Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie ..

DES CLAUDIUS PTOLEMÄUS
HANDBUCH DER ASTRONOMIE

ZWEITER BAND

AUS DEM GRlECnisCHEN ÜBERSETZT UND MIT
ERKLÄRENDEN ANMERKUNGEN VERSEHEN

VON

KARL MANITIIJS

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER LEIPZIG 1913

Inhaltsverzeichnis
des zweiten Bandes.

Siebentes Buch.

Seite

Erstes Kapitel Nachweis, daß die Fixsterne ewig die-
selbe Lage zueinander beibehalten ... 3

Zweites Kapitel. Nachweis, daß die Fixsternsphäre eine
in der Richtung der Ekliptikzeichen vor sich gehende
Bewegung hat ........ 12

Drittes Kapitel. Nachweis, daß die in der Richtung der
Zeichen vor sich gehende Bewegung der Fixsternsphäre
sich um die Pole der Ekliptik vollzieht .... 16

Viertes Kapitel. Einrichtung des Fixsternkatalogs . . 29

Fünftes Kapitel. Sternbestand der nördlichen Halbkugel 32

Achtes Buch.

Erstes Kapitel. Sternbestand der südlichen Halbkugel . 49
Zweites Kapitel. Die Lage der Milchstraße ... ,64

Drittes Kapitel Anfertigung eines Himmelsglobus . . 72
Viertes Kapitel. Die besonderen Stellungen, in welche die

Fixsterne gelangen 77

Fünftes Kapitel Mitaufgänge, Mitkulminationen und Mit-
untergänge der Fixsterne 83

Sechstes Kapitel Heliakische Auf- und Untergänge der

Fixsterne 87

Neuntes Buch.

Erstes Kapitel Die Reihenfolge der Sphären der Sonne,

des Mondes und der fünf Wandelsterne ... .92

Zweites Kapitel. Schwierigkeiten des Vorhabens, eine

Theorie der Planeten aufzustellen 94

Drittes KapiteL Die periodischen Wiederkehren der fünf

Wandelsterne . 99

Viertes Kapitel. Tafeln der mittleren Bewegungen der

fünf Planeten in Länge und Anomalie .... . 103

Fünftes Kapitel. Vorbemerkungen zu den Hypothesen der

fünf Wandelsterne 119

lY Inhaltsverzeichnis. 1

Seite J

Sechstes Kapitel. Art und Unterschied der Hypothesen, 122 =

Siebentes Kapitel. Nachweis des Apogeums des Merkur ]

und der Weiterbewegung desselben 130 j

Achtes Kapitel Nachweis daß der Merkur während eines i

Kreislaufs zweimal in die größte Erdnähe gelangt . . 136 ;

Neuntes Kapitel. Das Verhältnis der Exzentrizität und ]

die zahlenmäßige Größe des Epizykels des Merkur . . 140 j

Zehntes Kapitel. Korrektion der periodischen Bewegun- j

gen des Merkur 146 l

Elftes Kapitel. Epoche der periodischen Bewegungen des j

Merkur 155 j

H
Zehntes Buch. 1

Erstes Kapitel. Nachweis des Apogeums der Yenus . . 156 *■
Zweites Kapitel. Zahlenmäßige Größe des Epizykels der \

Venus 158 ;

Drittes Kapitel. Das Verhältnis der Exzentrizität der Venus 161 ;
Viertes Kapitel. Korrektion der periodischen Bewegun- i

gen der Venus 164 i

Fünftes Kapitel. Epoche der periodischen Bewegungen \

der Venus 171 \

Sechstes Kapitel. Vorbemerkungen zu den Nachweisen !

für die übrigen Planeten 172 1

Siebentes Kapitel. Nachweis der Exzentrizität des Mars 1

und seines Apogeums . .... 176 1

Achtes Kapitel, Nachweis der zahlenmäßigen Größe des ]

Epizykels des Mars 195 ]

Neuntes Kapitel. Korrektion der periodischen Bewegun- |

gen des Mars 199 |

Zehntes Kapitel. Epoche der periodischen Bewegungen ^

des Mars 203

Elftes Buch. J

j

Erstes Kapitel. Nachweis der Exzentrizität und des Apo-
geums des Jupiter 204

Zweites Kapitel Nachweis der zahlenmäßigen Größe des

Epizykels des Jupiter . 220 |

Drittes Kapitel. Korrektion der periodischen Bewegungen ;

des Jupiter ... 223 i

Viertes Kapitel. Epoche der periodischen Bewegungen

des Jupiter 227

Fünftes Kapitel. Nachweis der Exzentrizität und des Apo-
geums des Saturn 228 \

i

Inhaltsverzeichnis. V

Seite

Sechstes Kapitel. Nachweis der zahlenmäßigen Größe des

Epizykels des Saturn 243

Siebentes Kapital. Korrektion der periodischen Bewegun-
gen des Saturn 247

Achtes Kapitel. Epoche der periodischen Bewegungen des

Saturn 251

Neuntes Kapitel. Gewinnung der genauen Örter aus den
periodischen Bewegungen auf dem Wege geometrischer
Konstruktion 252

Zehntes Kapitel. Praktische Anleitung zur Aufstellung

von Tabellen der Anomalien 253

Elftes Kapitel. Die Tabellen zur Berechnung der genauen

Länge der fünf Planeten 260

Zwölftes Kapitel Berechnung der Länge der fünf Pla-
neten nach den Tabellen 260

Zwölftes Buch.

Erstes Kapitel. Vorbemerkungen zur Rückläufigkeit •. . 267
Zweites Kapitel. Nachweis der Rückläufigkeitsstrecken

des Saturn 278

Drittes Kapitel. Nachweis der Rückläufigkeitsstrecken

des Jupiter 285

Viertes Kapitel. Nachweis der Rückläufigkeitsstrecken

des Mars 289

Fünftes Kapitel. Nachweis der Rückläufigkeitsstrecken

der Venus 293

Sechstes Kapitel. Nachweis der Rückläufigkeitsstrecken

des Merkur 297

Siebentes Kapitel. Praktische Anleitung zur Aufstellung

einer Tabelle für die Stillstände 303

Achtes Kapitel. Zahlen der genauberechneten Anomalie 312
Neuntes Kapitel. Nachweis der größten Elongationen der

Venus und des Merkur 312

Zehntes Kapitel. Größte Elongationen von der genauen

Sonne (Tabelle) 324

Dreizehntes Buch.

Erstes Kapitel. Die Hypothesen zur Erklärung des Laufs

in Breite der fünf Planeten 325

Zweites Kapitel. Art der Bewegung der nach den Hypo-
thesen eintretenden Neigungswinkel und Schiefstände 329

Drittes Kapitel. Zahlenmäßiger Betrag der Neigungswin-
kel und der Schiefstände von Fall zu Fall .... 334

YI Inhaltsverzeichnis.

Seite

Viertes Kapitel. Praktische Anleitung zur Aufstellung von

Tabellen für die Einzelörter in Breite 342

Fünftes Kapitel. Die Tabellen zur Bestimmung der Breite 375

Sechstes Kapitel. Berechnung der Abweichung der fünf

Planeten in Breite nach den Tabellen 375

Siebentes Kapitel. Heliakische Auf- und Untergänge der

fünf Planeten 380

Achtes Kapitel. Nachweis, daß das eigenartige Verhalten
der Venus und des Merkur mit den Hypothesen in Ein-
klang steht 386

Neuntes Kapitel. Schlüssel zur Bestimmung der Elonga-
tionen von der Sonne bei den heliakischen Auf- und
Untergängen von Fall zu Fall 393

Zehntes Kapitel. Tabellen der heliakischen Auf- und Unter-
gänge der fünf Planeten 394

Elftes Kapitel. Schlußwort 395

Anhang.

Erläuternde Anmerkungen 396

Nachtrag zu Seite 129, ii 435

Verzeichnis der Abweichungen von dem Text

Heibergs.

Im ersten Bande 436

Im zweiten Bande 438

Berichtigungen.

Zum ersten Bande 440

Zum zweiten Bande 440

Namenverzeichnis 441

DES CLAUDIUS PTOLEMÄÜS
HANDBUCH DEE ASTRONOMIE

ZWEITEK BAND

BUCH vii-xni

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II.

Siebentes Buch.

Erstes Kapitel.

Nachweis, daß die Fixsterne ewig dieselbe Lage

zueinander beibehalten.

Nachdem wir, lieber Syrus, in dem ersten Bande unseres { jj^
Handbuchs die Erscheinungen bei Sphaera recta und bei
Sphaera obliqua besprochen, dann weiter die Hypothesen
der Bewegungen von Sonne und Mond und ihrer demgemäß :
der Theorie nach eintretenden Stellungen erörtert haben, 5 ;
werden wir nunmehr, weil es die Voraussetzung der weite- i
ren theoretischen Betrachtung bildet, das Kapitel von der \
Sternenwelt in Angriff nehmen, und zwar zunächst, wie es \
die logische Reihenfolge verlangt, das Kapitel von den so- j
genannten Fixsternen. 10;

Da muß denn zuallererst über diese Benennung folgende \
Bemerkung vorausgeschickt werden. Weil die Sterne an Ha '
sich sowohl die gleichen Figuren als auch die gleichgroßen ]
Abstände scheinbar ewig zueinander beibehalten, so dürften j
wir sie treffend als „Fixsterne" bezeichnen. Weil aber ihre 15;
ganze Spbäre, an welcher sie wie angewachsen umschwingen, \
in der Richtung der Zeichen, d. i. gegen den ersten Um- j
Schwung nach Osten zu, scheinbar auch ihrerseits einen !
eigenen fest geregelten Fortschritt bewerkstelligt, so dürfte |
für die Sphäre die Bezeichnung der „Unbeweglichkeit" nicht 20 j
mehr zutreffend sein. Finden wir doch beide Punkte auf f
Grund des Beobachtungsmaterials, welches die Verhältnis- \
mäßig kurze Zeit an die Hand gibt, durchaus bestätigt. [
Erstens ist schon früher Hipparch nach den Erscheinungen, '
wie sie ihm vorlagen, zu der vorläufigen Annahme dieser ^5,
beiden Punkte gelangt, d. h. er vermochte dort, wo es sich ■

4 Siebentes Buch. Erstes Kapitel,

um (die Vorhersage für) einen längeren Zeitraum handelt,
Hei 3 mehr nur Näherungswerte als endgültige Ansätze zu liefern,
weil er nur ganz wenige vor seiner Zeit angestellte Beobach-
tungen der Fixsterne vorfand, fast nur die von Aristyll

5 und Timocharis aufgezeichneten, und auch diese weder
zweifellos sicher noch zuverlässig bearbeitet. Zweitens ge-
langen wir selbst aus der Vergleichung der heutzutage an-
gestellten theoretischen Betrachtungen mit den damaligen zu
demselben Ergebnis, welches indessen bereits sicherer ist,

10 weil die Prüfung auf einer längeren Vorzeit beruht und weil
Hipparchs Aufzeichnungen über die Fixsterne, die wir vor-
zugsweise zur Vergleichung herangezogen haben, uns in
tadelloser Fassung überliefert sind.

Daß nun auch bis auf den heutigen Tag keinerlei Ver-

15 änderung in der Stellung der Fixsterne zueinander ein-
getreten ist, sondern die zu Hipparchs Zeit beobachteten
Alignements auch jetzt noch ohne jede Verschiebung als die-
Ha 3 selben sich der Betrachtung darbieten, und zwar nicht allein
die Alignements, welche Sterne des Tierkreises zueinander

20 in Beziehung setzen, oder solche, welche die außerhalb des
Tierkreises stehenden Sterne mit Sternen in gleicher Lage
verbinden — hätte doch gegen letztere unbedingt eine Ver-
änderung eintreten müssen, wenn nach der ersten Hypothese,
welche Hipparch aufstellt, ausschließlich die Sterne des

25 Tierkreises den Fortschritt in der Eichtung der Zeichen
bewerkstelligten — , daß also nicht bloß diese zwei Arten,
sondern auch die Alignements der Sterne des Tierkreises mit
den außerhalb in beträchtlicher Entfernung stehenden Ster-
nen keinerlei Veränderung zeigen, dürfte jedem begreiflich

30 werden, der Lust hat nachzuprüfen und die Betrachtung

Hei 4 mit Wahrheitssinn zu wiederholen, wenn er die Erscheinungen,

wie sie heutzutage sich darbieten, mit den zu Hipparchs

Zeit gemachten Aufzeichnungen in voller Übereinstimmung

findet.

35 Wir werden nun auch hier, damit die Probe bequem ge-
macht werden kann, einige von den Aufzeichnungen mit-
teilen, welche am leichtesten wahrnehmbar sind und das

Unveränderlichkeit des Fix Sternhimmels. 5 ^

j

Ergebnis des Vergleichs als allgemeingültig vor Augen füh- 1
ren können, insofern sie zeigen, daß die von den außerhalb '
des Tierkreises stehenden Sternen gebildeten Alignements (
sowohl an sich als auch im Verhältnis zu solchen des Tier-
kreises unverändert geblieben sind. 5 ;

Hipparchs Aufzeichnungen über die Sterne des Tierkreises '
lauten folgendermaßen.^)

Krebs. Der Stern (a) in der südlichen Schere des Kreb- {
ses, der diesem und dem Kopfe der Wasserschlange voran- i
gehende glänzende [ß) und von denen im Kleinen Hund der 10 ;
glänzende (a Procyon) liegen nahezu auf einer Geraden; ]
denn der mittelste (ß) weicht von der durch die äußersten i
Sterne gezogenen Geraden nur IY2 ZolP^ nordöstlich (?) ab, :
während die Zwischenabstände gleichgroß sind. |

Löwe. 1. Von den vier Sternen (^e%X) im Kopfe des 15 ]
Löwen liegen die beiden östlichen (jw-f) auf einer Geraden ]
mit dem Stern (co Hydrae) im Ansatz des Nackens der
Wasserschlange.

2. Eine durch den Schwanz (ß Denebola) des Löwen und Ha 4
den Stern (rj Benetnasch) am Ende des Schwanzes des Großen 20 ;
Bären gezogene Gerade läßt den hellen (a Can.venat. „Herz {
Karls IL") unter dem Schwänze des Großen Bären einen Zoll '
westlich liegen.

3. Eine durch den Stern (« Can.venat.) unter dem Schwänze Hei i
des Großen Bären und den Schwanz {ß Denebola) des Lö- 25 i
wen gezogene Gerade geht genau durch die vorangehenden \
Sterne (7 and 15 Com. Bereu.) im Haupthaar. !

Jungfrau. 1. Zwischen dem nördlichen Fuß (fi) der

Jungfrau und dem rechten Fuß (^Bootis) des Bootes liegen j

zwei Sterne, von denen der südliche (109) mit dem Fuße 30 i

des Bootes gleichhelle von einer durch die (genannten) |

Füße (der Jungfrau und des Bootes) gezogenen Geraden nach l

Osten abweicht, während der nördliche (31 Bootis) halbhelle l

auf einer Geraden mit den Füßen liegt. j

2. Dem halbhellen (31 Bootis) der beiden letztgenannten 35 i

gehen zwei helle Sterne (43 H und 46 H Bootis) voraus, \

welche mit dem halbhellen (31) ein gleichschenkliges Drei- \

Q Siebentes Buch. Erstes Kapitel.

eck bilden, dessen Spitze der halbhelle ist, während sie selbst
(43, 4 6) auf einer Geraden (?) mit dem Arktur und dem
südlichen Fuße (X) der Jungfrau liegen.

3. Zwischen der Spika und dem vorletzten (y Hydrae)

5 im Schwänze der Wasserschlange stehen drei Sterne (61,

63, 69) auf einer Geraden (?) miteinander; von diesen liegt

der mittelste ((33) auf einer Geraden mit der Spika und dem

vorletzten (y) im Schwänze der Wasserschlange.

Scheren. Nahezu auf einer Geraden mit den glänzen-
10 den Sternen {ccß) in den Scheren steht nach Not den zu ein
glänzender dreifacher (a Serp. ünuk); zu beiden Seiten des-
selben steht nämlich je ein kleiner Stern (k und 29 *H Serp.).
Skorpion. 1. Eine durch den nachfolgenden (X) der im
Hei 6 Stachel des Skorpions stehenden Sterne (kv) und das rechte
15 Knie (tj Ophiuchi) des Schlangenträgers gezogene Gerade
halbiert (?) den Abstand der beiden vorangehenden Sterne
(O- A Oph.) im rechten Fuße des Schlangenträgers.

2. Das fünfte ('9') und das siebente (a) Schwanzgelenk
Ha 5 liegt auf einer Geraden mit dem glänzenden Stern (o; Arae)
20 in der Mitte des Räucheraltars.

3. Der nördlichere ((> Arae) von den

^ Sternen (d'ö Arae) an der Grundfläche

^^ / <p des Räucheraltars^' steht als mittelster

/ nahezu auf einer Geraden mit dem fünften

25 ^f Schwanzgelenk ('9') und dem Stern (a Arae)

/; in der Mitte des Räucheraltars, so daß er

von jedem der beiden ungefähr den glei-

/ ;' chen Abstand hat.

/ i*^ Schütze. 1. Südöstlich von dem Kreis

30 / t« unter dem Schützen (d. i. von der Süd-

a * /'*^ liehen Krone) liegen zwei helle Sterne (a|3),

welche voneinander den geraumen Ab-

ß4 stand von etwa 3 Ellen^^ haben. Von

. ihnen steht der südlichere und glänzen-

a) Beide Sterne werden von Hipparch (Comment. p. 222, 27;
236,8) erwähnt, c Arae ist, als durch vorliegendes Alignement
bestimmt, dort nachzutragen.

Unveränderlichkeit des rixsternhimmels.

dere (ß ein Doppelstern), der im Fuße des Schützen, nahe-
zu auf einer Geraden mit dem mittelsten (a) von den drei
hellen Sternen {aßy Cor. austr.) im Kreis^ welche in eben-
diesem am weitesten nach Osten zu liegen, und dem nach-
folgenden (^) von den im Viereck (^ir 09) einander diagonal
gegenüberstehenden glänzenden Sternen (^0), so daß die
zwischen beiden (ß und ^) sich erstreckenden Abstände (ßa
und a^) gleichgroß (?) sind.

2. Der nördliche (a) der (S 6, 3l) genannten weicht von
dieser Geraden nach Osten zu ab und liegt mit den glän-
zenden Sternen (^(?), welche im Viereck einander diagonal
gegenüberstehen, auf einer Geraden.

Wassermann. 1. Die beiden dicht nebeneinander stehen-
den Sterne (^v Pegasi) im Kopfe des Pferdes und die nach-
folgende Schulter (a) des Wassermanns liegen nahezu (?) auf
einer Geraden, zu welcher die Gerade von der vorangehen-
den Schulter (ß) des Wassermanns nach dem Stern (s Enif)

am ünterkinnbacken des ^.

öirrah

10

15

Hei'

Pferdes parallel verläuft.

2. Die vorangehende
Schulter (ß) des Wasser-
manns, der glänzende (^)
von den zwei Sternen
(^^ Peg.) am Halse des
Pferdes und der Stern
(a Andr. Sirrah) am Na-
bel des Pferdes liegen
auf einer Geraden und
die Abstände {^ß und
^a) sind gleichgroß.

3. Eine durch das Maul
(s Enif) des Pferdes und
den östlichen (rj) von
den vier Sternen (^r^^ity)
im Wasserkrug gezogene
Gerade halbiert nahezu
unter rechten Winkeln

Scheat

20

Algenih

Markab\

ß*

'k

7t

V

,ff

^ß

Fomalhaut
die Gerade, welche dUrch die

30 !

35 )

3 Siebentes Buch. Erstes Kapitel.

beiden dicht nebeneinander stehenden Sterne {'^v Peg.) im
Kopfe des Pferdes geht.
Ha 6 Fische. Der Stern (j3) an der Schnauze des südlichen
Fisches steht mit dem glänzenden (o; Markab) an den Schul-
5 tern und dem glänzenden (ß Scheat) an der Brust des Pferdes
auf einer Geraden.

Widder. 1. Der vorangehende Stern ((3 Triang.) an der

Grundlinie des Dreiecks weicht einen Zoll östlich von einer

Geraden ab, welche durch den Stern (a) am Maule des

10 Widders und den linken Fuß (j Alamak) der Andromeda gebt,

2. Die vorangehenden (ßy) von den Sternen (aßy) im

Kopfe des Widders liegen mit dem Halbierungspunkte der

Grundlinie (ßy Triang.) des Dreiecks auf einer Geraden.

Stier. 1. Die ostwärts stehenden Sterne (ae) der Hyaden

15 und in dem Fell, welches der Orion in der linken Hand

hält, von Süden gezählt der sechste (tc^ Or.) stehen auf einer

Geraden.

2. Eine durch das vorangehende Auge (d) des Stiers und
Hei 8 den von Süden siebenten Stern im Fell (o^ Or.) gezogene
20 Gerade läßt den glänzenden Stern {a Aldebaran) der Hyaden
einen Zoll nördlich liegen.

Zwillinge. Mit den Köpfen (a Kastor und ß Pollux)
der Zwillinge liegt auf einer Geraden ein Stern (^ Cancri
Tegmine), welcher hinter dem nachfolgenden Kopf (ß) das
25 Dreifache des Abstandes der Köpfe (östlich) zurückbleibt,
während er mit den südlicheren {öd") von den vier Sternen
{öd-yri Oancri) um den Nebelfleck (die sog. Krippe, £ Cancri)
auf einer Geraden liegt.

Von diesen und ähnlichen Alignements, welche so ziem-
30 lieh über die ganze Sphäre weg einen Anhalt zum Vergleich
bieten, sehen wir kein einziges bis auf den heutigen Tag
verändert, was doch in sehr bemerkbarer Weise in der Zwi-
schenzeit von etwa 260 Jahren*^ geschehen sein müßte, wenn

a) Sonst stets 265 Jahre, nämlich von 128 v. Chr. bis 138 n. Chr. ;
so S. 15,9; 20,21. Vgl. I 142, i4; 143,1, wo es sich nm eine
Zwischenzeit von 285 ägyptischen Jahren (von 146 v. Chr. bis
140 n. Chr.) handelt.

Unveränderlichkeit des Fixsternhimmels. 9

ausschließlich die im Tierkreis stehenden Sterne den Fort- Ha \
schritt nach Osten bewerkstelligten. :

Damit aber auch unsere Nachkommen an der Hand einer \
noch größeren Anzahl von ähnlichen Alignements den auf i
eine längere Zwischenzeit gegründeten Vergleich anstellen 6 j
können, werden wir noch von den Alignements, welche in \
älterer Zeit nicht zur Aufzeichnung gelangt, sondern erst ;
von uns beobachtet worden sind, diejenigen hinzufügen, \
welche besonders leicht wahrgenommen werden können. Als j
Ausgangspunkt wählen wir den 10 ■

Widder. Von den drei Sternen {ccßy) im Kopfe des i
"Widders liegen die beiden nördlicheren {aß) mit dem glän- \
zenden Stern {s Persei) im südlichen Knie des Perseus und Hei i
der sog. Capeila auf einer Geraden.

Stier. 1. Eine durch die sog. Capeila und den glänzen- 15 j
den Stern (a Aldebaran) der Hyaden gezogene Gerade läßt 1
den Stern (t, Aur.) im vorangehenden Fuße des Fuhrmanns \
ein wenig östlich liegen. '

2. Die sog. Capeila und der dem nachfolgenden Fuße des \
Fuhrmanns mit der Spitze des nördlichen Stierhorns gemein- 20 \
same Stern (/3) liegen mit dem Stern (y Bellatrix) in der j
vorangehenden Schulter des Orion auf einer Geraden. }

Zwillinge. Die glänzenden Sterne (a/3) in den Köpfen *
der Zwillinge liegen mit dem glänzenden Stern (O Hydrae) ;
im Nacken der Wasserschlange nahezu auf einer Geraden. 26 \

Krebs. 1. Die beiden dicht nebeneinander stehenden |
Sterne (tjc Urs. maj.) im Vorderfuße des Großen Bären, der {
Stern {t) an der Spitze der nördlichen Schere des Krebses
und der nördliche Esel (y) liegen auf einer Geraden. j

2. Der südliche Esel (^), der glänzende Stern {a Procyon) 30 i
im Kleinen Hund und der zwischen ihnen stehende helle (|3), '
welcher dem Kopf der Wasserschlange vorangeht, liegen i
nahezu (?) auf einer Geraden. \

Löwe. 1. Eine von dem mittelsten (y) der glänzenden <
Sterne (^yt^) im Nacken des Löwen nach dem glänzenden 35 '
Stern (a Alphard) in der Wasserschlange gezogene Gerade Ha s

10 Siebentes Buch. Erstes Kapitel.

läßt den Stern (a Regulus) im Herzen des Löwen ein wenig
östlich liegen.

2. Eine Gerade, gezogen von dem glänzenden Stern (d)

an der Hüfte des Löwen nach dem glänzenden (7 Phekda)

5 am Hinterschenkel des Großen Bären, welcher im Viereck

Hei 10 von der nachfolgenden Seite der südliche ist, läßt die beiden

dicht nebeneinander stehenden Sterne (y'^ Urs. maj.) am

Ende des nachfolgenden Fußes des Großen Bären ein wenig

westlich liegen.

10 Jungfrau. 1. Eine von dem Stern (^) auf dem Schenkel

der Jungfrau nach dem vorletzten (y Hydrae) in dem Ende

des Schwanzes der Wasserschlange gezogene Gerade läßt die

sog. Spika ein wenig westlich liegen.

2. Eine von der Spika nach dem Stern (ß Bootis) im
15 Kopfe des Bootes gezogene Gerade läßt den Arktur ein wenig

östlich (vielmehr stark westlich!) liegen.*^^

3. Die Spika und die Sterne (öy Corvi) auf den Flügeln
des Raben liegen auf einer Geraden.

4. Die Spika, der Stern (^) auf dem Schenkel der Jung-
20 frau und von den drei Sternen (jitv Bootis) in dem voran-
gehenden Schienbein des Bootes der nördliche glänzende (?^ "i
liegen auf einer Geraden.

Scheren. 1. Die glänzenden Sterne (a|3) in den Scheren
liegen mit dem Stern (tt Hydrae) am Ende des Schwanzes
25 der Wasserschlange auf einer Geraden.

2. Der glänzende Stern (a Zuben-el-dschenubi) in der süd-
lichen Schere, der Arktur und von den drei Sternen {s^rj
Urs. maj.) im Schwänze des Großen Bären der mittelste
(^ Mizar) liegen auf einer Geraden.
30 .3. Der glänzende Stern (ß Zuben-el-schemali) ia der nörd-
lichen Schere, der Arktur und der Stern {y Phekda) am
Hinterschenkel des Großen Bären liegen auf einer Geraden.

Skorpion. 1. Der Stern (^ Oph.) im nachfolgenden
Schienbein des Schlangenträgers, der im fünften Schwanz-

a) Die Ortsveränderung gegen die benachbarten Sterne be-
trägt ungefähr drei Vollmondbreiten in westlicher Richtung.
Vgl. Hipp. Comment. p. 192, 9; 194, s und die erl. Anm 26 dazu.

1
Unveränderlichkeit des Fixsternhimmels. H '•

gelenk ('9') des Skorpions und von den beiden dicht neben-
einander stehenden (Av) im Stachel des Skorpions der voran- j
gebende (y) liegen aut einer Geraden. j

2. Der vorangehende (ö) von den drei Sternen (taa) in |
der Brust des Skorpions und die zwei Sterne (t^^ Oph.) in 5^
den Knien des Schlangenträgers bilden ein gleichschenkliges Hei ;
Dreieck, an dessen Spitze der vorangehende ((?) von den Ha '
drei Sternen in der Brust steht. ;

Schütze. 1. Der Stern (|3) zweiter Größe im vorderen
südlichen Knöchel des Schützen steht mit dem Stern (y) an 10
der Pfeilspitze und dem Stern (rj Oph.) im nachfolgenden ;■
Knie des Schlangenträgers auf einer Geraden. |

2. Der Stern (a) am Knie desselben Beines des Schützen, j
welcher neben dem (Südlichen) Kranz steht, liegt mit dem -
Stern (y) an der Pfeilspitze und dem Stern (^ Oph.) im vor- 15 '
angehenden Knie des Schlangenträgers auf einer Geraden.

Steinbock. 1. Eine von dem glänzenden Stern (a Wega) in \
der Leier nach den Sternen (aß) in den Hörnern des Stein- \
bocks gezogene Gerade läßt den glänzenden Stern (a Atair)
im Adler ein wenig östlich liegen. 20 i

2. Eine von dem glänzenden Stern (a Atair) im Adler i
nach dem Stern erster Größe (a Fomalhaut) am Maule des j
Südlichen Fisches gezogene Gerade halbiert nahezu den Ab- j
stand zwischen den zwei glänzenden Sternen (y 6) im Schwänze 1
des Steinbocks. 25 i

Wassermann. Eine von dem Stern erster Größe {a Fo- |
malhaut) am Maule des Südlichen Fisches nach dem Stern |
(g Enif) am Maule des Pferdes gezogene Gerade läßt den i
glänzenden Stern (a) an der nachfolgenden Schulter des \
Wassermanns ein wenig östlich liegen (s. Fig. S. 7). 30 •

Fische. Die Sterne (cc Pisc. austr. und ß Piscium) an ]
den Mäulern der beiden südlichen Fische und die voran- \
gehenden [a Markab und ß Scheat) des Vierecks im Pferde ■
liegen auf einer Geraden (s. Fig. S. 7). ^

Prüft man wieder auch gerade auf diese Alignements hin 35 ■
die Sternbilder nach dem Sternbestand des Himmelsglobus '
Hipparchs, so wird man die Lage der betreffenden Sterne Hei |

12 Siebentes Buch. Zweites Kapitel.

auf dem Globus, wie sie der damaligen Beobachtung ent-
sprechend zur Auftragung gelangt ist, ohne wesentliche Ab-
weichungen als die nämliche wie heutzutage finden.

Zweites Kapitel.

Nachweis, daß die Fixsternsphäre eine in der Richtung

der Ekliptikzeichen vor sich gehende Bewegung hat.

Ja 10 Aus diesem und ähnlichem Beobachtungsmaterial kann
5 uns der Schluß nahegelegt werden, daß schlechthin allen
sog. Fixsternen einerlei Verhalten und dieselbe Bewegung
eigen sei. Daß aber auch ihre Sphäre eine ganz eigenartige
Bewegung in der dem Umschwung des Weltalls entgegen-
gesetzten Richtung vollziehe, d.h. nach der Seite hin, welche
10 östlich des durch die beiden Pole des Äquators und der
Ekliptik gezogenen größten (Kolur-) Kreises (vgl. 123, 14—22)
liegt, das wird uns hauptsächlich daraus ersichtlich, daß die
nämlichen Sterne in vergangener Zeit nicht dieselben Ent-
fernungen wie heutzutage von den Wende- und Nachtgleichen-
15 punkten einhalten, sondern je nach der Länge der verflossenen
Zwischenzeit gegen früher in immer größerer Entfernung
östlich der betreffenden Punkte gefunden werden.

In der Schrift „Über die Veränderung der Wende- und
Nachtgleichenpunkte" gelangt nämlich Hipparch durch Ver-
20 gleichung von zu seiner Zeit (vgl. I 136, 26) genau beob-
achteten Mondfinsternissen mit solchen, welche noch früher
von Timocharis beobachtet worden waren, zu dem Ergebnis,
lei 13 daß die Spika von dem Herbstnachtgleichenpunkt gegen die
Eichtung der Zeichen zu seiner Zeit 6*^, zu Timocharis' Zeit
la 11 dagegen nahezu 8® entfernt stand. Er drückt sich nämlich
26 schließlich folgendermaßen aus: „Wenn also z. B. die Spika
früher in der Länge der Zeichen 8^ westlich des Herbst-
punktes stand*), jetzt aber nur noch 6°" usw. Aber auch
bei den anderen Fixsternen, welche er in die Vergleichung

a) D. h. in iTp 22° ohne Rücksicht auf ihre südliche Breite,
die unverändert 2" beträgt.

Bewegung der Fixsternsphäre. 13 '.

miteinbezogen hat, weist er nach, daß in der Eichtung der j
Zeichen ein Weiterrücken von gleichgroßem Betrage statt- :j
gefunden habe. j

Als wir selbst die scheinbaren Entfernungen der Fixsterne |
von den Wende- und Nachtgleichenpunkten, wie sie sich zu 5 j
unserer Zeit darbieten, mit den von Hipparch beobachteten j
und aufgezeichneten Abständen verglichen, fanden wir gleich- ]
falls, daß ein WeiteiTÜcken in der Richtung der Ekliptik- |
zeichen dem oben mitgeteilten Fortschritt entsprechend statt- j
gefunden habe. Angestellt haben wir die Prüfung dieser 10 {
Erscheinung mit dem für solche Zwecke von uns kon- j
struierten Instrument (1254 ff.) durch Beobachtungen der '
von Fall zu Fall gebotenen Elongationen des Mondes von ■
der Sonne. Wir stellten den einen (d. i. den äußeren) Astro- ]
labring auf den zur Stunde der Beobachtung (durch Elon- 15 ;
gation und Parallaxe) gegebenen scheinbaren Ort des Mon- ,
des ein und drehten den anderen (inneren) auf den anzu-
visierenden Fixstern, um Mond und Fixstern gleichzeitig in !
ihren Positionen in die Visierlinie zu bekommen. Auf diese i
Weise erhielten wir aus dem Abstand von dem Monde auch 20 ;
für jeden der glänzenden Fixsterne den zurzeit eingenom- ^
menen Ort. 5

So beobachteten wir, um ein Beispiel zu geben, im zweiten Hei :
Jahre Antonius am 9. ägyptischen Pharmuthi (23. Februar
139 n. Chr.), als in Alexandria die Sonne eben im Begriff 25 ;
war unterzugehen, während der letzte Grad des Stiers (oder
TTO*^) kulminierte, d.i. öYg Äquinoktialstunden nach dem Ha i
Mittag des 9*®^, daß der scheinbare Mond von der in )( 3^ ^
anvisierten Sonne eine Elongation von 92^ 7' 30" hatte.*) [
Als nach einer halben Stunde die Sonne bereits unter- 30 \
gegangen war und der vierte Teil der Zwillinge (d. i. TT 7^ 30') {

a) Hiernach wäre der scheinbare Ort des Mondes, d. h., weil
zurzeit östlich des Meridians, der durch die in der Kichtung der
Zeichen wirkende Längenparallaxe vermehrte genaue Ort, um
5% Uhr 92« T 30" - [27« X -f 60«] = H 5« 7' 30". Aber dieser
Ort wird S. 14, 9 noch berichtigt.

14 Siebentes Buch. Zweites Kapitel.

kulminierte*', betrug, als der scheinbare Mond in derselben
Stellung anvisiert wurde^', der scheinbare Abstand des Sterns
(Regulus) im Herzen des Löwen von dem Monde an dem
anderen (äußeren) Astrolabring wieder in der Richtung der
5 Zeichen öTVg Ekliptikgrade. Nun war zuerst (d.i. bei Be-
ginn der Beobachtung) der genaue Ort der Sonne )( 3^ 3',
so daß der scheinbare Mond bei der Elongation von 92*^ 7' 30'
in der Richtung der Zeichen damals (d. i noch östlich des
Meridians) ohne wesentlichen Fehler^) in TT 5" 10' stand, wo

10 er auch nach unseren Voraussetzungen (d. i, nach den Mond-
tafeln) stehen mußte.^^ Nach Verlauf der halben Stunde
mußte sich aber der Mond ungefähr ^/^ in der Richtung
der Zeichen weiterbewegt haben^^', während seine (Längen-)
Parallaxe gegen die erste Stellung ungefähr 7i2^ gegen die

15 Richtung der Zeichen^' betragen mußte. Mithin stand nach

biei 15 Verlauf der halben Stunde der scheinbare Mond in TT 5^ 20'

(d. i. in TT 5» 10' + [15' — 5']). Folglich stand der Stern

im Herzen, da sein scheinbarer Abstand von dem Monde in

der Richtung der Zeichen 57" 10' betrug, in ^ 2<^ 30', d.h.

20 er hatte von dem Sommerwendepunkt eine Entfernung von
32^ 30'.

Nun hatte dieser Stern im 50*^^ Jahre der dritten Kal-
lippischen Periode (129/128 v.Chr.), wie Hipparch als Be-

a) Indem während dieser halben Stunde TVg Äquatorgrade
den Meridian passiert hatten, wodurch der Mond etwa 2" west-
lich des Meridians zu stehen kam.

b) D h. unter Annahme derselben scheinbaren Elongation,
mithin ohne Rücksicht auf die inzwischen vor sich gegangene
Eigenbewegung und Änderung der Parallaxe, wurde der innere
Astrolabring. auf den ersten Ort eingestellt bleibend, von
neuem auf den Mond gedreht. S. Anm. 3.

c) D. i. infolge des berichtigten Sonnenorts 3' weiter östlich,
aber mit Vernachlässigung von 30".

d) Bei der stündlichen mittleren Bewegung in Länge von
0^ 32' 56" etwas mehr.

e) Weil er nunmehr 2*^ westlich des Meridians stand, woraus
sich die gegen die Richtung der Zeichen wirkende Längen-
parallaxe erklärt.

Bewegung der Fixsternsphäre. 15 ]

obaclater aufzeiclinet*), vom Sommerwendepunkt ab eben- \

falls wieder in der Richtung der Zeichen eine Entfernung \

von 29^ 50'. Folglich ist der Stern im Herzen des Löwen iia u
in der Richtung der Ekliptikzeichen 2° 40' weitergerückt.

Da die Zwischenzeit seit Hipparchs Beobachtung bis zum 6 j

ersten Jahre der Regierung Antonius (137/138 n. Chr.), in '

welchem gerade auch wir die Örter der meisten Fixsterne \

durch Beobachtung festgestellt haben, ungefähr (128 + 137) j

265 Jahre beträgt, so ist auf diesem Wege gefunden wor- ;|

den, daß in rund 100 Jahren ein Fortrücken von einem 10 j

Grad in der Richtung der Zeichen stattgefunden hat. Das i

ist offenbar auch die mit Vorbehalt hingestellte Annahme *

Hipparchs gewesen, der in der Schrift „Über die Länge des }

Jahres" also sagt: „Wenn nämlich aus diesem Grunde die '
Wenden und die Nachtgleichen in einem Jahre mindestens 15

Vioo° gögßii cliö Richtung der Zeichen zurückgingen, so Hei le

müßten sie in 300 Jahren mindestens 3° zurückgegangen \

sein." j

Nachdem wir auf dieselbe Weise auch die Spika und die j

glänzendsten in der Nähe der Ekliptik stehenden Sterne von 20 ;

dem Monde aus anvisiert hatten und dann weiter direkt von ^

diesen Sternen aus bequemer auch die anderen, fanden wir ^

ihre Abstände voneinander ungefähr wieder gleichgroß wie \

die von Hipparch beobachteten, während die Entfernungen \

von den Wende- und Nachtgleichenpunkten gegen Hipparchs 25 i

Aufzeichnung bei jedem ungefähr um obige 2^ 40' in der i

Richtung der Zeichen zugenommen hatten. \

a) Nach Hipparch (Comment. p. 240, 20) stand er in Q 30 ^

16 Siebentes Buch. Drittes Kapitel.

Drittes Kapitel.

Nachweis, daß die in der Richtung der Zeichen vor sicl]|

gehende Bewegung der Fixsternsphäre sich um die Pol^

der Ekliptik vollzieht. I

I
Hn 14 Daß also auch die Fixsternsphäre in der Richtung de»

Ekliptikzeichen den oben annähernd bestimmten Fortschri"

bewerkstelligt, ist uns durch vorstehendes verständlich ge

worden. Indem es nun die weitere Aufgabe ist, die Ar

5 der geschilderten Bewegung zu untersuchen, d. h. ob sie sie

um die Pole des Äquators oder um die Pole der Ekliptikä

vollziehe, so würde die Frage schon mit dem Vorrücken im

Länge entschieden sein — denn ebenso wie die durch die:

Hei 17 Pole des Äquators gezogenen größten (Deklinations-) Kreisel

10 in der Ekliptik ungleiche Bogen abschneiden, schneiden auchi
die durch die Pole der Ekliptik gezogenen größten (Breiten-)^
Kreise auf dem Äquator ungleiche Bogen ab*^ — wenn;
nicht in der (verhältnismäßig) so kurzen Zeit der Fortschritt-
in Länge nur ganz unbedeutend wäre und deshalb (bei Be-^

16 Ziehung desselben auf den Äquator) der aus dem genann-;
ten Grunde sich etwa äußernde Unterschied (der Bogen)^
noch kaum bemerkbar sein könnte. Am besten dürfte diese!
Frage entschieden werden durch die Positionen der Fix-1
Sterne in Breite, wie sie ehemals waren und wie sie heut-i

20 zutage sind; denn zu welchem der beiden Kreise, zum Aqua-,

tor oder zur Ekliptik, die Fixsterne ewig dieselben schein-:

baren Abstände in Breite einhalten, um dessen Pole wird;

sich offenbar auch die Bewegung ihrer Sphäre vollziehen.;

Ha 15 Schon Hipparch erklärt sich nun für die Bewegung um;

25 die Pole der Ekliptik; er betont nämlich in der Schrifti
„Über die Veränderung der "Wende- und Nachtgleichen-;
punkte" den Umstand, daß gerade wieder die Spika nachi
den von Timocharis und von ihm selbst ansrestellten Be-|

a) So daß die bei allen Sternen gleichgroß gefundenen;
Bogen des Vorrückens in Länge nur auf eine parallel zur!
Ekliptik verlaufend^ Bewegung hinweisen können. i

Bewegung um die Pole der Ekliptik. 17 'l

obachtungen nicht zum Äquator, sondern zur Ekliptik den j
Betrag ihres Abstandes in Breite innegehalten habe und i
nach wie vor 2° südlich der Ekliptik stehe. Deshalb nimmt ]
er auch in der Schrift „Von der Länge des Jahres" einzig
und allein die Bewegung an, welche sich um die Pole der 5 ;
Ekliptik vollzieht, ist aber gleichwohl seiner Sache noch Hei u
nicht gewiß, wie er selbst versichert , weil erstens auf die
Beobachtungen der Astronomen aus der Schule des Timo- j
charis wegen ihrer sehr oberflächlichen Fassung kein rechter ■
Verlaß sei, und weil zweitens der in der Zwischenzeit ein- lO
getretene Unterschied noch nicht groß genug sei, um aus
ihm einen sicheren Schluß ziehen zu können. Wir dagegen,
die wir die in Frage stehende Erscheinung sowohl auf Grund
einer noch längeren Vorzeit als auch so ziemlich an allen
Fixsternen beobachtet vorfinden, können natürlich schon mit 15 \
größerer Zuversicht an die Bewegung der Fixsterne um die ]
Pole der Ekliptik glauben. Indem wir nämlich für jeden i
Fixstern seinen Abstand von der Ekliptik in Breite auf dem '
durch deren Pole gezogenen größten (Breiten-) Kreis durch |
Beobachtung feststellten, fanden wir fast genau dieselben 20 ;
Beträge, wie sie zu Hipparchs Zeit aufgezeichnet und zu- ;
sammengestellt worden sind, oder wenigstens mit einer ganz '
geringen Differenz behaftet, wie eine solche direkt bei den \
Beobachtungen schon infolge eines kleinen Versehens ein-
treten kann. Wenn wir dagegen die Abstände vom Äquator 25 j
auf dem durch dessen Pole gezogenen größten (Deklinations-) Ha i(
Kreis durch Beobachtung feststellten, fanden wir weder die
von uns gewonnenen Beträge in ÜbereinstimmuBg mit den
von Hipparch in derselben Hinsicht aufgezeichneten, noch j
diese wieder mit den noch früher von den Astronomen aus 30 !
der Schule des Timocharis überlieferten. Gerade aus diesen .
(älteren) Aufzeichnungen fanden wir nun den sich gleich- :
bleibenden Betrag der Breite zur Ekliptik nur noch mehr ä
bestätigt, wogegen stets nördlicher als der ältere Abstand ^
vom Äquator die Sterne auf der Halbkugel von der Winter- 35
wende über den Frühlingspunkt bis zur Sommerwende ge- Hei i\
funden wurden, stets südlicher die Sterne auf der entgegen-

Ptolemäus, übers, v. Manitius. IL 2

18

Siebentes Buch. Drittes Kapitel.

gesetzten Halbkugel. Und zwar ergaben sich bei den Sternen
in der Nähe der Nachtgleichenpunkte größere, bei denen in
der Nähe der Wendepunkte geringere Unterschiede (gegen
früher), etwa dem Betrag entsprechend, um welchen die ost-
5 wärts liegenden Teile der Ekliptik bei gleichgroßem Fortschritt
in Länge (auf der einen Halbkugel) weiter nördlich oder (auf
der anderen) weiter südlich des Äquators zu liegen kommen.
I. Um an einigen besonders deutlichen Beispielen die ge-
schilderte Bewegung noch besser zu veranschaulichen, werden

10 wir für jede der näherbezeichneten Halbkugeln die Abstände
der Sterne in Breite vom Äquator (d. i. ihre Deklination),
gemessen auf dem durch dessen Pole gezogenen größten
Kreis, zusammenstellen, wie sie erstens zur Zeit der Astro-
nomen aus der Schule des Timocharis (und Aristyll), zwei-

15 tens zur Zeit des Hipparch und drittens in derselben Hin-
sicht von uns gewonnen worden sind.

A. Die Halbkugel mit dem Frühlingspunkt.
1. Der glänzende Stern

Tim.+ 5<^48'|Hipp.+ 5^48'

im Adler (Atair)
20 2. Die Mitte der Pleias

Uli 17 (Alkyone)

H3i 20 3. Der glänzende der Hy-

aden (Aldebaran) . .

4. Der glänzendste im
25 Fuhrmann,diesog.Ca-

pella . .

5. Der Stern in der voran-
geh enden Schulter des
Orion (Bellatrix) . . .

30 6. Der Stern in der nach-
folgen denSchulter des
Orion (Beteigeuze) . .

7. Der glänzende Stern
am Maule des Hundes

35 (Sirius) . .......

8. Der vorang. von den
glänzenden Sternen in
den Köpfen der Zwil-
linge (Kastor)

40 9. Der nachfolgende

Hei 21 (Pollux) ........

„ -|-14«30'
„ + 8^45'

Ar. +40° 0'

Tim.+ 1^2'

„ + 3«o0'

„ -16^20'

Ar H-33<> 0'
„ +30« 0'

+ 15^10'
+ 9°45'

+ 40<'24'

+ 1<'48'

+ 4^20'

-16<> 0'

+ 33n0'

+ 30« 0'

Wir+ 5 «50'
„+16«15'
„ +11« 0'

„ +41«10'

„ + 2 «30'

+ 5 «15',
-15«45'

+ 33«24'
+ 30«10'

Bewegung um die Pole der Ekliptik.

19

Bei allen diesen Sternen, welche hinsichtlich ihrer Lage
in Länge von den oben bezeichneten Halbkugeln der mit
dem Frühlingspunkt angehören, sind die späteren Stellungen
zum Äquator in Breite alle nördlicher geworden als die
zeitlich früheren, und zwar bei den Sternen (wie 1, 8 und 9)
in der Nähe der Wendepunkte selbst um einen ganz geringen
Betrag, dagegen um einen ziemlich beträchtlichen bei den
Sternen (wie 2 und 3) in der Nähe der Nacbtgleichenpunkte,
was durchaus dem Fortschritt um die Pole der Ekliptik in
der Richtung der Zeichen entspricht, weil auch die nach-
folgenden Abschnitte dieses Halbkreises (der Ekliptik) immer
nördlicher werden als die vorangehenden*^ und zwar die
Abschnitte in der Nähe der Nachtgleichenpunkte wieder mit
größeren Unterschieden (gegen früher), die in der Nähe der
Wendepunkte mit geringeren Unterschieden.

Ha 18^

10

15 1

B. Die entgegengesetzte Halbkugel.

l.Der Stern im Herzen
des Löwen (Regulus)

2. Die sog. Spika . . . .

3. Von den 3 Sternen im
Schwänze des Großen
Bären der letzte (Be-
netnasch)

4. Der vorletzte in der
Mitte des Schwanzes
(Mizar)

5. Der drittletzte am
Ansatz des Schwanzes
(Alioth)

6. Der Arktur

Tim.+ 21''20'
„ + 1'24'

Ar. +61^30'
„ +67*^15'

„ +68''30'
Tim. r 31^30'

Hipp +20 "40'
„ + 0«36'

+ 60^45'
+ 66^30'

+ 67^36'
+ 31'' 0'

Wir+ig'^öo' ;

„ — 0^30' Hol 23!
20 !

„ +59 «40'

+ 65*^ 0'

25

„ +66<>15' Ha 19'
„ +29^50' 30 ■

a) Die vom Widderpunkt in der Richtung der Zeichen ver-
laufenden Grade (T 8 TT) erheben sich immer mehr über den
Äquator, die von da gegen die Richtung der Zeichen verlaufen-
den Grade (X '^^ o') nähern sich immer mehr dem Äquator
von Süden her und zwar geht die Zunahme der nördlichen oder
die Abnahme der südlichen Deklination anfangs stärker, gegen
die Wendepunkte hin in geringerem Maße vor sich.

äo

Siebentes Buch. Drittes Kapitel.

7. Von den glänzenden
Sternen in den Scheren
des Skorpions der am
Ende der südlichen

5 Schere (Zuben-el-
dschenubi)

8. Der am Ende der nörd-
lichen Schere (Zuben-

Hei 23 el-schemali)

10 9. Der glänzende in der
Brust des Skorpions,
der sog. Antares . . .

Tim.- ö«» 0'
„ + 1°12'
„ -18°20'

Hipp.- 5»36'
„ + 0«24'
„ -19» 0'

Wir- 7 «10'
„ - 1» 0'
„ -20^5'

Bei allen diesen Sternen sind umgekehrt, der entgegen-
gesetzten Lage entsprechend, die späteren Positionen zum

15 Äquator in Breite verhältnismäßig südlicher geworden als
die zeitlich früheren.

IL Auch aus vorstehendem Material läßt sich die Tat-
sache ableiten, daß der Fortschritt der Fixsternsphäre in
Länge in der Richtung der Zeichen in rund 100 Jahren,

2Q_ wie oben (S. 15, lO) bereits bemerkt, einen Grad beträgt,
mithin 2^ 40' in den 265 Jahren, die zwischen den Beob-
achtungen Hipparchs und den unserigen liegen. Ganz be-
sonders deutlich dürfte sich dies ans dem Unterschied in
Breite herausstellen, welcher bei den Sternen in der Nähe

25 der Nachtgleichenpunkte gefunden worden ist.

A. Die Halbkugel mit dem Frühlingspunkt.
1. Die Mitte der Pleias (Alkyone), zu Hipparchs Zeit
15*^10' nördlich des Äquators gefunden, zu unserer Zeit
16^15', ist in der Zwischenzeit um 1*^5' nördlicher ge-
30 worden. Ebensoviel beträgt nahezu der Unterschied in Breite
Hei 24 zum Aquator zwischen den genannten 2^/^^ der Ekliptik am
Ende des Widders, die auf den Fortschritt in Länge in der
Richtung der Zeichen entfallen, welcher in derselben Zeit
stattgefunden hat.*)

a) Angenommen, die Alkyone habe zu Hipparchs Zeit (vgl.
Comment. p. 214, 12) auf dem durch Y 30" gehenden Deklina-
tionskreis gestanden, mithin zur Zeit des Ptolemäus auf dem
durch ^ 2** 40' gehenden, so gibt die Tabelle der Ekliptikschiefe,

Ha

Bewegung um die Pole der Ekliptik. 21

2. Die sog. Capella, zu Hipparchs Zeit 40° 24' nörd-
lich des Äquators gefunden, zu unserer Zeit 41^ .10', ist
Yg® nördlicher geworden. Ebensoviel beträgt wieder der
Unterschied in Breite zum Äquator zwischen den 273° der
Ekliptik um die Mitte des Stiers.*^ 5

3. Der Stern (y Bellatrix) in der vorangehenden Schul-
ter des Orion, zu Hipparchs Zeit 1° 48' nördlich des Äqua-
tors gefunden, zu unserer Zeit 2® 30', ist ungefähr ^s" nörd-
licher geworden. Ebensoviel beträgt ungefähr der Unter-
schied in Breite zum Äquator zwischen den 2° 40' der 10
Ekliptik nach dem zweiten Drittel des Stiers.^^

B. Die entgegengesetzte Halbkugel.

1. Die Spika, zu Hipparchs Zeit O'^ 36' nördlich des
Äquators gefunden, zu unserer Zeit 0^ 30' südlich desselben,
ist 1" 6' südlicher geworden. Ebensoviel beträgt wieder der 15
Unterschied in Breite zum Äquator zwischen den 2° 40' der
Ekliptik am Ende der Jungfrau.'^)

, . /Ha 21

2. Der Stern (rj Benetnasch) am Ende des Schwanzes JHei 25
des Großen Bären, zu Hipparchs Zeit 60^45' nördlich des
Äquators gefunden, zu unserer Zeit 59^40', ist 1^5' süd- 20
lieber geworden. Ebensoviel beträgt der Unterschied in

selbst wenn man ^ 3° statt H 2^40' annimmt, als Unterschied
der Meridianbogen , welche zwischen diesem Ekliptikstück (von
30° bis 33<^ Länge) und dem Äquator liegen, nur 12^3' 30"
-11M0' = 1«3'30".

a) Der Unterschied der Deklination zwischen dem Ekliptik-
stück von 8 14^' 30' (vgl. Hipp. Comm. p. 248, 4) bis H 17M0',
d. i. zwischen den Längen 44" 30' bis 47*^10', beträgt nach der
Tabelle der Schiefe 17" 15' - 16" 27' = 0" 48',

b) Der Unterschied der Deklination zwischen H 25" (vgl. Hipp.
Comm. p. 186, 10) und « 27° 40', d. i. zwischen 55" bis 57" 40'
Länge, beträgt 19" 59' - 19" 20' = 0" 39'.

c) Der Unterschied der Deklination zwischen np 24" (vgl. Hipp.
Comm. p. 196, 19) und Tip26"40', d. i. zwischen 3"20' und 6" des
Ekliptikquadranten rückwärts des Herbstpunktes, beträgt
2"25'-l"20' = l"5'.

22 Siebentes Buch. Drittes Kapitel.

Breite zum Äquator zwischen den 2^40' der Ekliptik im
ersten Drittel des Zeichens der Scheren.^^

3. Der Arktur, zu Hipparchs Zeit 31^ nördlich des Äqua-
tors gefunden, zu unserer Zeit 29^50', ist l^lO' südlicher
5 geworden. Ebensoviel beträgt ungefähr der Unterschied in
Breite zum Äquator zwischen den ebenfalls im ersten Drittel
der Scheren gelegenen 2^' 40' der Ekliptik.^^

III. Noch anschaulicher dürfte uns der Nachweis der Er-
scheinung, die uns hier beschäftigt, an der Hand folgender
10 Beobachtungen gelingen.

A. Die Pleias betreffend.

1. Timocharis macht als Beobachter in Alexandria fol-
gende Aufzeichnung. Im 47*®^ Jahre der ersten Kallippi-
schen TGjährigen Periode am 8. Anthesterion, d. i. am 29.
15 ägyptischen Athyr (29. Januar 283 v. Chr.), bedeckte am
Ende der dritten (Nacht-) Stunde die südliche Hälfte des
iiei 26 scheinbaren Mondes'') genau das nachfolgende Drittel oder
die Hälfte der Pleias.

Der Zeitpunkt fällt in das 465*® Jahr seit Nabonassar

20 auf den 29/30. ägyptischen Athyr, 3 bürgerliche Stunden

vor Mitternacht, d. s. SYgÄquinoktialstunden (8^40°^ abends),

weil die Sonne in z^ 7^ stand ^^; ungefähr ebensoviel Äqui-

noktialstunden vor Mitternacht ergibt die Rechnung mit

gleichförmigen Sonnentagen. Zu dieser Stunde war nach

Ha 22 den früher von uns nachgewiesenen Unterlagen (d. i. nach

26 den Mondtafeln)

a) Der Unterschied der Deklination zwischen su 4^ (vgl. Hipp.
Comm. p. 242, 18) und sl 6H0' beträgt 2Ul' - l*» 37' = 1**4'.

b) Der Unterschied der Deklination zwischen sl IV (vgl. Hipp.
Comm. p. 194, 3) und Sh 13« 40' beträgt b"" 29' -4^25' = 1*^4', also
beträchtlich hinter obiger Angabe zurückbleibend.

c) Weil die östliche Elongation 82° beträgt, so stand der Mond
etwas über einen halben Tag vor dem ersten Viertel.

d) Die Aufgabe, aus dem Sonnenort das Verhältnis der bür-
gerlichen Stunde zur Äquinoktialstunde zu finden, wird I 98,24
prelöst.

Bewegung um die Pole der Ekliptik. 23

der genaue Ort des Mondes \j 0^ 20'

d. i. seine Entfernung vom Frühlingspunkt 30^ 20'

seine (wahre) nördliche Breite 3^ 45'

der scheinbare Ort in Länge für Alexandria^^ Y 29''20'
seine scheinbare nördliche Breite 3^ 35', 5

weil TT 20'^ kulminierte.*^'

Folglich war das nachfolgende Ende der Pleias da-
mals vom Frühlingspunkt in der Richtung der Zeichen un-
gefähr 29^30' entfernt, weil das Mondzentrum (in T 29" 20')
noch (10' westlich) voranging, und stand ungefähr 3^40' 10
nördlich der Ekliptik; denn das Ende (der Pleias) war (seiner-
seits) wieder ein wenig (d. i. 5') nördlicher als das Mond-
zentrum.

2. Agrippa macht als Beobachter in Bithynien folgende Hei 27
Aufzeichnung. Im 1 2*®^ Jahre Domitians am 7*®^ des landes- 15
üblichen Monats Metroos bedeckte zu Beginn der dritten
Nachtstunde der Mond*') mit dem südlichen Hörn den nach-
folgenden Teil der Pleias.

Der Zeitpunkt fällt in das 840*® Jahr seit Nabonassar
auf den 2/3. ägyptischen Tybi (29. November 92 n. Chr.), 20
4 bürgerliche Stunden vor Mitternacht, d. s. 5 Äquinoktial-
stunden (7^ abends), weil die Sonne in f 6^ stand. Auf den
Meridian von Alexandria reduziert, fand folglich die Beob-
achtung öVs Äquinoktialstunden vor Mitternacht (6^40°^
nachmittags) statf^), oder nach Rechnung mit gleichförmigen 'J5
Sonnentagen b^/^. Zu dieser Zeit war

a) D. i. der durch die Längenparallaxe verminderte Ort;
weil der Mond etwa SVg Stunden westlich des Meridians stand,
wirkt sie gegen die Richtung der Zeichen.

b) Der kulminierende Grad, aus der Länge der bürgerlichen
Stunde nach I 99,i7 zu berechnen, läßt die Entfernung des
Mondortes vom Meridian erkennen (hier 52 Äquatorgrade).

c) 2yj Tage vor dem Vollmond, weil die östliche Elongation
147" beträgt. Daß in dieser Phase von dem südlichen Hörn die
Rede ist, muß auffallen.

d) 20°^ früher, weil der Meridian von Bithynien (Heraklea?)
5" östlich von dem Meridian von Alexandria angenommen wird.
Vgl. I Anh. Anm. 1.

24 Siebentes Buch. Drittes Kapitel.

der genaue Ort des Mondzentrums ^3^ 7'

die (wahre) nördliche Breite 4^ 50'

der scheinbare Ort in Länge für Bithynien \)'3^15'

Ha 23 die scheinbare nördliche Breite 4^ O',

5 weil )( 20<^ kulminierte.*)

Folglich war der nachfolgende Teil der Pleias damals in
Länge vom Frühlingspunkt in der Richtung der Zeichen
33<^15' entfernt und stand 3M0' nördlich der Ekliptik.^)
Hei 28 Schlußfolgerung. Der nachfolgende Teil der Pleias stand
10 in Breite nördlich der Ekliptik auf dem durch deren Pole
gezogenen größten Kreis damals genau wie heutzutage 3^40',
hat sich aber in Länge vom Frühlingspunkt weg in der Rich-
tung der Zeichen 3^45' weiterbewegt — denn nach der ersten
Beobachtung stand er 29^30', nach der zweiten 33^15' von
15 ihm entfernt — , während die zwischen den beiden Beobach-
tungen liegende Zeit (840 — 465 =) 375 Jahre beträgt.
In 100 Jahren hat sich demnach der nachfolgende Teil der
Pleias einen Grad in der Richtung der Zeichen weiterbewegt.

B. Die Spika betreffend.

20 1. Timocharis macht als Beobachter in Alexandria fol-
gende Aufzeichnung. Im 36*®^ Jahre der ersten Kailippischen
Periode am 15. Elaphebolion, d. i. am 5. Tybi, erreichte der
Mond^) zu Beginn der dritten (Nacht-) Stunde mit der Mitte
seines dem Nachtgleichen aufgang zugewendeten Randes die

25 Spika. Und die Spika ging durch (den Mond), indem sie
von seinem Durchmesser genau den dritten Teil nach Norden
zu abschnitt.

Der Zeitpunkt fällt in das 454*® Jahr seit Nabonassar auf
den 5/6. ägyptischen Tybi (9. März 294 v. Chr.), 4 bürger-

a) Demnach stand der Mond etwa (40 Äquatorgrade oder)
2% Stunden östlich des Meridians, woraus sich die in der Rich-
tung der Zeichen wirkende Längenparallaxe erklärt.

b) Somit muß das südliche Hörn etwa 20' tiefer als das Mond-
zentrum geschätzt werden. S. Anm. 2 a. E.

c) Kurz nach dem Vollmond, da er die diametrale Stellung
zur Sonne erst mit 7^ überschritten hatte.

Bewegung um die Pole der Ekliptik. 25

liehe Stunden, d. s. nahezu auch 4 Äquinokti aistun den vor
Mitternacht (8^ abends), weil die Sonne in )( 15^ stand; die
gleiche Zahl von Stunden vor Mitternacht ergibt auch die
genaue Rechnung mit gleichförmigen Sonnentagen. Zu dieser Hei 29
Stunde war wieder 5

der genaue Ort des Mondzentrums in Länge IT]; 21*21' iia 24
d. i. die Entfernung vom Sommer Wendepunkt in

der Richtung der Zeichen 81^21'

die (wahre) südliche Breite 1° 50'

die scheinbare Entf . vom Sommerwendepunkt in Länge 82* 5' 10
die scheinbare südliche Breite nahezu 2* O',

weil 6p 15* kulminierte.*^

Folglich war die Spika damals in Länge von dem Sommer-
wendepunkt aus dem oben (S. 23, 9) angegebenen Grunde
(weil das Mondzentrum noch 15' westlich voranging) 82*20' 15
entfernt und stand nahezu 2* südlich der Ekliptik.

2. Ferner berichtet Timocharis folgendes. Im 48*®^ Jahre
derselben Periode am 6*®" Tage des letzten Drittels des
Pyanepsion, d. i. am 7. Thoth, berührte die Spika, als von
der zehnten (Nacht-) Stunde ungefähr eine halbe Stunde ver- 20
flössen und der Mond^^ aus dem Horizont eben aufgegangen
war, genau das nördliche Hörn des scheinbaren Mondes.

Der Zeitpunkt fällt in das 466^® Jahr seit Nabonassar
auf den 7/8. ägyptischen Thoth (9. November 283 v. Chr.),
(9V2 — 6 =) 3V2 bürgerliche Stunden nach Mitternacht, wie 25
er selbst angibt; das wären SVg Äquinoktialstunden, weil die
Sonne etwa in der Mitte des Skorpions stand. Allein, wie
eine einfache logische Erörterung zeigt, sind es nur 2'^/^ Stun- Hei 30
den nach Mitternacht; denn so viel Äquinoktialstunden nach
Mitternacht (2^30"^ nachts) kulminiert TT 22*30', während .SO
nahezu die gleichen Grade der Jungfrau (1I]) 22^ 5') auf-
gehen, in denen damals der Mond stand, als er, wie Timocharis
angibt, „eben aufging". Nach der Rechnung mit gleichför-

a) Demnach stand der Mond etwa (64 Äquatorgrade oder)
47« Stunden östlich des Meridians.

b) Etwa einen halben Tag vor dem letzten Oktanten, weil die
westliche Elongation 52** beträgt.

26 Siebentes Buch. Drittes Kapitel.

migen Sonnentagen finden wir aber nur 2 Äquinoktialstunden
nach Mitternacht verflossen. Zu dieser Zeit war wieder für
das Mondzentrum
Ha 25 die genaue Entfernung vom Sommerwendepunkt 81^ 30'
5 die (wahre) südliche Breite 2° 10'

die scheinbare Entfernung in Länge 82^ 30'

die scheinbare südliche Breite^) 2^15'.

Folglich stand die Spika auch nach dieser Beobachtung
genau wieder nahezu 2° südlich der Ekliptik^^ und war vom
10 Sommerwendepunkt 82^30' entfernt.

Schlußfolgerung. In den (466 — 454=) 12 Jahren,
welche zwischen den beiden Beobachtungen liegen, hat sich
die Spika ungefähr 10' in der Richtung der Zeichen weiter-
bewegt.

15 3. Der Geometer Menelaos berichtet, in Eom folgende Be-
obachtung gemacht zu haben. Im ersten Jahre Trajans am
15/16. Mechir sei die Spika, als die 10*® (Nacht-) Stunde
voll war, von dem Monde ^) bedeckt gewesen; denn man habe
sie nicht gesehen. Aber gegen das Ende der 11*^^ Stunde
Hei 31 sei beobachtet worden, daß sie dem Zentrum des Mondes

21 weniger als sein Durchmesser bei gleichgroßem Abstand von
seinen Hörnern westlich voraus gewesen sei.

Der Zeitpunkt fällt in das 845*® Jahr seit Nabonassar auf
den 15/16. ägyptischen Mechir (11. Januar 9 8 n. Chr.), 4 bürger-

25 liehe Stunden nach Mitternacht, wo das Mondzentrum un-
gefähr mit der Spika zusammenfiel, oder 5 Äquinoktialstun-
den (5^ früh), weil die Sonne in ^ 20^ stand, auf den Meri-

a) Bei nahezu 90*^ Zenitabstand muß der überwiegend größere
Teil der Höhenparallaxe auf die ostwärts wirkende Längen-
parallaxe entfallen. Den kulminierenden Grad s. S. 25,30.

b) Da das Mondzentrum ungefähr 15' südlicher als die Spika
stand, so beträgt die südliche Breite der letzteren „nahezu" 2°.

c) Etwa 2 Tage vor dem letzten Viertel bei 114*^ westlicher
Elongation. Man vergleiche die drei Tage spätere Beobachtung
S. 28,15, bei welcher der Mond einen Tag nach dem letzten
Viertel stand.

Bewegung um die Pole der Ekliptik. 27

dian von Alexandria ^^ reduziert 6Y3, nach der Rechnung
mit gleichförmigen Sonnentagen 67^ oder ein wenig mehr.
Zu dieser Stunde war für das Mondzentrum
die genaue Entfernung vom Sommerwendepunkt 85^45'
die (wahre) südliche Breite nahezu 1^ 20' 5

die scheinbare Entfernung in Länge 86^15'

die scheinbare südliche Breite 2^ O',

weil ^ 7^/2^ kulminierte.^)

Folglich hatte auch die Spika damals dieselbe Position. Ha 26
Schlußfolgerung. Die Spika stand zur Zeit des Timocharis 10
wie zu unserer Zeit wieder um den gleichen Betrag, d. i. 2^
südlich der Ekliptik, in Länge dagegen ist sie seit der Be-
obachtung im 36^®^ Jahre (294 v. Chr.) in der Zwischenzeit
von (845 — 454 =) 391 Jahren in der Richtung der Zeichen
3^55' vorgerückt, und 3° 45' seit der Beobachtung im 48*^^ 15
Jahre (283 v. Chr ) in der Zwischenzeit von (845 — 466 =) HeiS2
379 Jahren. Es ergibt sich demnach auch aus diesen Be-
obachtungen ein Fortschritt der Spika in der Richtung der
Zeichen von ungefähr einem Grade in 100 Jahren.

0. Den Stern (/3) in der Stirn des Skorpions betreffend. 20
1. Timocharis berichtet als Beobachter in Alexandria fol-
gendes. Im 36*®^ Jahre der ersten Kailippischen Periode am
25. Poseideon, d. i. am 16. Phaophi, hatte bei Beginn der
;j[Qten (;N'acht-) Stunde der scheinbare Mond'') mit seinem nörd-
lichen Rande ganz genau den nördlichen {ß) von den drei 25
Sternen (jtöß) in der Stirn des Skorpions erreicht.

Der Zeitpunkt fällt in das 454*® Jahr seit Nabonassar auf
den 16/17. ägyptischen Phaophi (21. Dezember 21)5 v. Chr.),

a) Der Meridian von Rom wird somit auf 20" westlich des
Meridians von Alexandria geschätzt, was etwa 4** zuviel ist.

b) Demnach stand der Mond in »r 26'' 15' etwa «/g Stunde
westlich des Meridians. Daß in dieser Stellung die Längen-
parallaxe den Ort des Mondes in der Richtung der Zeichen vor-
rückt, kann nicht richtig sein.

c) Etwa y^ Tag vor dem letzten Oktanten, weil die westliche
Elongation 54*^ beträgt.

28 Siebentes Buch. Drittes Kapitel.

3 bürgerliche Stunden nach Mitternacht, d. s. S^g Äquinoktial-
stunden (3^ 24°^ nachts), weil die Sonne in ^26^ stand, nach
der Rechnung mit gleichförmigen Sonnentagen S'^/q. Zu dieser
Stunde war für das Mondzentrum
6 die genaue Entfernung vom Herbstgleichenpunkt 31^15'
die (wahre) nördliche Breite 1° 20'

die scheinbare Entfernung in Länge 32^ O'

die scheinbare nördliche Breite 1^ 5',

weil ^15^ kulminierte.**^

10 Folglich war der nördlichste (ß) von den drei Sternen
(Ttdß) in der Stirn des Skorpions in Länge damals vom
^* ^Merbstgleichenpunkt gleichfalls 32^ entfernt und stand
ungefähr 1^ 20' nördlich der Ekliptik.^)

2. Menelaos berichtet als Beobachter in Rom folgendes.

15 Im ersten Jahre Trajans am 18/19. Mechir stand gegen Ende
der 1 1*®^ (Nacht-) Stunde das südliche Hörn des scheinbaren
Mondes °^ auf einer Geraden mit dem mittelsten (ö) und dem
südlichen (ti) von den Sternen {nöß) in der Stirn des Skor-
pions, während sein Zentrum hinter dieser Geraden (östlich)

20 zurückblieb und so weit von dem mittelsten Stern (^) abstand,
wie der mittelste (6) von dem südlichen (tt). Den nördlichen
(j3) von den Sternen in der Stirn schien der Mond zu be-
decken; denn er war nirgends sichtbar.

Der Zeitpunkt fällt wieder in das 845*® Jahr seit Nabo-

25 nassar auf den 18/19. ägyptischen Mechir (14. Januar 98 n.
Chr.), 5 bürgerliche Stunden nach Mittemacht, d.s. Q^/^Äqui-
noktialstunden (6^ 10°^ früh), weil die Sonne in /? 23" stand,
auf den Meridian von Alexandria reduziert, TYg, ungefähr
ebensoviel nach der Rechnung mit gleichförmigen Sonnen-

30 tagen. Zu dieser Stunde war für das Mondzentrum

a) Demnach stand der Mond in itx 2° etwa 4 y^ Stunden östlich
des Meridians nur wenige Grade über dem Horizont, woraus sich
die starke Längenparallaxe erklärt.

b) D. i. etwa 15' oder einen Halbmesser weiter nördlich als
das Mondzentrum.

c) Einen Tag nach dem letzten Viertel, weil die westliche
Elongation 77 '^ beträgt.

Siebentes Bach. Viertes Kapitel. 29

die genaue Entfernung vom Herbstgleichenpunkt 35^ 20'
die (wahre) nördliche Breite 2® 10

die scheinbare Entfernung in Länge 35° 55
die scheinbare nördliche Breite 1^ 20',

weil ^ 30** kulminierte.*) 5

Folglich hatte der nördlichste (ß) von den Sternen in der
Stirn des Skorpions ungefähr dieselbe Position.

Schlußfolgerung. Auch an diesem Stern ist ehemals wie Hei u
heutzutage derselbe Abstand von der Ekliptik in Breite be-
obachtet worden, während er in Länge in der zwischen den 10
Beobachtungen verflossenen Zeit, welche (845 — 454 ==)
391 Jahre beträgt, vom Herbstgleichenpunkt ab in der Ha 28
Richtung der Zeichen 3^ 55' vorgerückt ist. Hieraus folgt
wieder, daß der Fortschritt dieses Sterns in der Richtung der
Zeichen in 100 Jahren einen Grad beträgt. 15

Viertes Kapitel.
Einrichtung des Fixsternkatalogs.

Aus der vergleichenden Beobachtung dieser Sterne, welche
in ähnlicher Weise auch an den übrigen glänzenden Fixsternen
vorgenommen wurde, sowie aus dem übereinstimmenden Ab-
stand der übrigen Sterne von den sicher bestimmten haben
wir es bestätigt gefunden, daß erstens die Fixsternsphäre den 20
Fortschritt von der festgestellten Größe, soweit der (verhältnis-
mäßig) so kurze Zeitraum es an die Hand zu geben vermag,
von den Wende- und Nachtgleichenpunkten aus in der Rich-
tung der Zeichen bewerkstelligt, und daß zweitens die also
sich äußernde Bewegung der Sphäre sich um die Pole des 25
durch die Mitte der Tierkreisbilder gehenden schiefen Kreises
vollzieht, aber nicht um die Pole des Äquators, d. i. des
ersten Umschwungs. Demnach haben wir es für unsere nächste

a) Demnach stand der Mond in vti 6^ wenig über 5° östlich
des Meridians, wo der überwiegend größere Teil der Höhenparal-
laxe auf die Breitenparallaxe entfallen muß.

30 Siebentes Buch. Viertes KapiteL

Aufgabe gehalten, die für jeden der besprochenen und der
Hei 35 übrigen Fixsterne für die Gegenwart beobachteten Positionen
in Länge und Breite zu katalogisieren, nicht die theoretisch
auf den Äquator bezogenen, sondern diejenigen, welche mit
5 Bezug auf die Ekliptik auf dem durch deren Pole und je
den betreffenden Stern gezogenen größten Kreis gemessen
werden. Denn nur auf diesen Kreisen bleiben bei der vor-
Ha 29 stehend angenommenen Bewegungsrichtung die auf die Eklip-
tik bezogenen Positionen der Sterne in Breite für alle Zeiten

10 notwendigerweise dieselben, während der Fortschritt in Länge
in der Richtung der Zeichen in gleichen Zeiten gleiche Bo-
genstücke zusetzt.

So haben wir denn wieder mit demselben Instrument —
deshalb hierzu geeignet, weil die an ihm angebrachten Astro-

15 labringe um die Pole der Ekliptik gedreht werden können —
alle Sterne bis zu denen der sechsten Größe beobachtet, soweit
es möglich war letztere anzuvisieren. Wir handhabten das
Instrument in der Weise, daß wir den einen (d. i. den äußeren)
der besagten Astrolabringe stets nach einem mit Hilfe des

20 Mondes (vgl. I 257,33) schon vorher bestimmten glänzenden
Stern auf den betreffenden Grad des Ekliptikringes einstell-
ten, während wir den zweiten (inneren) Bing, der an seinem
ganzen Umfang eingeteilt ist und auch in Breite nach den
Polen der Ekliptik zu verschoben werden kann, seinerseits

25 auf den zu bestimmenden Stern einstellten, bis auch dieser,

wie der Grundstern (an dem äußeren Astrolabring), durch

Hei 36 die Absehöffnung des eigens auf ihn eingestellten Ringes in

die Visierlinie kam. War dies geschehen, so wurden uns

sofort beide Örter des zu bestimmenden Sterns durch den

30 auf ihn eingestellten Astrolabring gleichzeitig angezeigt (vgl.
I 258,17): der Ort in Länge wird durch den gemeinsamen
Schnittpunkt des Astrolabringes mit dem Ekliptikring be-
stimmt, der Ort in Breite, durch den Bogen zwischen dem
vorgenannten Schnittpunkt und der ü b e r dem Horizont stehen-

35 den Absehöffnung.

Damit uns nun auch in dieser Hinsicht der Sternbestand
des Globus beliebig zur Verfügung stehe, haben wir ihn in

Einrichtung des Fixsternkatalogs. 31

Tabellen zu vier Spalten angeordnet.'') In der ersten Spalte
steht für jeden Stern, der einem Sternbild angehört, die ihm Ha so
der dargestellten Gestalt nach zukommende Bezeichnung, in
der zweiten der Ort in Länge innerhalb der Zeichen, wie
er sich aus den Beobachtungen für den Anfang der Regierung 5
Antonius (137 n. Chr.) ergibt — wobei der Anfang der
Quadranten wieder von den Wende- und Nachtgleichenpunk-
ten aus gerechnet wird — , in der dritten der Abstand von
der Ekliptik in Breite, je nachdem er nördlich f-f ) oder süd-
lich (— ) ist, in der vierten Spalte endlich die Schätzung der 10
Größe.

Während die Abstände in Breite ewig dieselben bleiben,
können die Positionen in Länge auch den Ort für andere
Zeiten sofort an die Hand geben: unter der Annahme, daß
der Zuwachs in 100 Jahren einen Grad beträgt, zieht man 15
die Grade, welche auf die Zwischenzeit zwischen der (hier
gegebenen) Position und dem in Frage gezogenen Zeitpunkt
entfallen, von den Graden der (gegebenen) Position ab, wenn Hei 37
es sich um die (zurückliegende) ältere Zeit handelt, addiert
sie dagegen zu ihnen, sobald die (erst kommende) spätere 20
Zeit in Frage steht.

Was die zur Beschreibung der Gestalt dienenden charak-
teristischen Bezeichnungen anbelangt, so sind sie einmal der
Annahme entsprechend zu verstehen, welche der bildlichen
Anordnung des Sternbestandes zugrunde liegt, zweitens mit 25
Bezug auf die durch die Pole der Ekliptik gehenden Grenz-
linien: wir bezeichnen Sterne als anderen „vorangehend" oder
,, nachfolgend", je nachdem sie die hiermit bezeichnete Stellung
in den (westlich) vorangehenden oder (östlich) nachfolgenden
Graden der Ekliptik innehaben; „südlicher" oder „nördlicher" 30
nennen wir Sterne, je nachdem sie dem die betreffende Be-
zeichnung führenden Ekliptikpol näher stehen. Was ferner
die charakteristischen Beziehungen der einzelnen Sterne zu
der dargestellten Gestalt an sich betrifft, so haben wir uns Ha 31
nicht durchgängig an die Hezeichnungen gehalten, die unsere 35

a) Die Zahl der Spalten ist auf sechs erhöht worden. S. Anm. 4.

32

Siebentes Buch. Fünftes Kapitel.

Vorgänger gebraucht haben, ebensowenig wie diese ihren
einstigen Vorgängern gefolgt sind, sondern wir haben viel-
fach andere Benennungen eingeführt, je nachdem es die bessere
Charakterisierung und gefälligere Abrundung der ümrißlinien
5 forderte. So versetzen wir z. B. die Sterne (yd Virg.), welche
Hipparch in die „Schultern" der Jungfrau setzt*), in die
„Seiten" derselben, weil ihr Abstand von den Sternen (v^oit
Virg.) im Kopf sichtlich größer ist als der Abstand von den
Sternen (a^ Virg.) vorn in den Händen. Die hiernach be-

10 messene Lage (der Sterne y und 6 zwischen Kopf und Hän-
den) paßt demnach entschieden gut zu den Seiten, ist aber
mit den Schultern gänzlich unvereinbar. Bequem dürfte
man ohne weiteres auf die abweichend bezeichneten Sterne
kommen, wenn man die im Katalog angegebenen Positionen

15 direkt zum Vergleich heranzieht.

Die Anordnung des Katalogs"*) gestaltet sich folgendermaßen.

Ha 32)
Hei 38

Fünftes Kapitel.

Sternbestand der nördlichen Halbkugel.

A. Sternbilder außerhalb des Tierkreises.

imbronn

Bajer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

Größe

370*
5780
5393

5019

5206
4725*

4872*
4611

a
6
e

?

V

Y

5

Kleiner Bär-

1. Der am Ende des Schwanzes

2. Der nach diesem im Schwänze • . . .

3. Der nach diesem vor dem Ansatz des
Schwanzes .

TT 0^10'
n S»30'

TT 160

n29°40'
G 3» 40'

G17O30'
O26<>10'

Gi3°

+

+

+

+
+

4-

+

+

660
70«

740 20'

75040'
77040'

72050'
74050'

710 10'

3
4

4

4

4

2
2

4

4. Der südliche der vorangehenden Seite
des Vierecks

5. Der nördliche derselben Seite ....

6. Der südliche von denen in der nach-
folgenden Seite . .

7. Der nördliche derselben Seite ....

7 Sterne: 2 zweiter, 1 dritter,

4 vierter Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogen :

8. Der auf einer Geraden mit den Sternen
{^Y) in der nachfolgenden Seite, und
zwar südlicher stehende

a) So im Kommentar p. 242, 5 und 270, 2.

Großer Bär.

33

Bayer

Sternbeschreibuiig

Länge

Breite Größe

0

1.

A

2.

Tf^

3.

9

4.

h

5.

d

6.

t

7.

h

8.

V

9.

<p

10.

^ .

11.

t

12.

X

13.

e

14.

f

15.

a

16.

ß

17.

d

18.

y

19.

i

20.

h'-

21.

V

22.

V

23.

^

24

s

25.

c

26.

V

27.

27

8 C. Ten
40 Lim

88 Lim
llL.min,

8 L. min,
lOL.min
31 Lim

Großer Bär.
Der am Ende der Schnauze ...
Der vorangehende von denen in den

beiden Augen

Der nachfolgende derselben . . .
Der vorangehende von den 2 auf der Stirn

Der nachfolgende derselben

Der am Ende des vorangehenden Ohres
Der vorangehende von den 2 am Halse

Der nachfolgende derselben

Der nördlichere von den 2 auf der Brust

Der südlichere derselben

Der am linken Knie

Der nördlichere von denen am Ende

des linken Vorderfußes

Der südlichere derselben

Der oberhalb des rechten Knies . . .

Der unter dem rechten Knie

Von denen im Viereck der auf dem

Rücken

Von denselben der in den Weichen. .
Der am Ansatz des Schwanzes ....
Der übrige am linken Hinterschenkel.
Der vorangehende von denen am Ende

des linken Hinterfußes

Der diesem nachfolgende

Der an der linken Kniekehle

Der nördlichere von denen am Ende

äes rechten Hinterfußes

Der südlichere derselben

Von den 3 im Schwanz der erste nach

dem Ansatz

Der mittelste derselben

Der dritte, d. i. der am Ende des

Schwanzes

Sterne: 6 zweiter, 8 dritter, 8 vierter,
5 fünfter Größe.
Unter ihm stehende, nicht in das Bild
miteinbezogene Sterne:

28. Der unter dem Schwanz abwärts nach
Süden zu

29. Der diesem vorangehende schwächere

30. Der südlichere von denen zwischen
den Vorderfüßen (tu) des Bären und
dem Kopf (/ux) des Löwen

31. Der nördlicher von diesem stehende .

32. Von den übrigen drei schwachen der
nachfolgende

33. Der diesem vorangehende

34. Der weiter noch letzterem vorangehende

35. Der zwischen den Vorderfüßen und den
Zwillingen.

8 Sterne: 1 dritter, 2 vierter,
1 fünfter Größe, 4 schwache.

TT 25» 20'

TT 25050'
TT 26° 20'
TT 26010'
TT 260 40'
TT 28° 10'
Q 0030'
O 20 30'

G 90
Gii°

Q 100 40'
O 50 30'

o

3

5040
5050'

G 17040'
G 22010'
Q 3010'
Q 30

12010'

180
Q 290 50'

270 50'
200 10'

QI50
G 130 20'

G 16° 10'
G 12° 10'

Gii^io'
G 00 0'

+ 390 50'

+ 430
+ 430

+ 470 10'

+ 470
+ 50030'

+ 430 50'

+ 44020'

+ 4 20

+ 440
+ 350

+ 290 20'
+ 280 20'
+ 360
+ 330

+ 490
+ 440 30'
+ 510
+ 45030'

+ 290 20'
+ 280 15'
+ 35015'

+ 25050'
+ 250

+ 530 30'
+ 550 40'

+ 540

+ 39045'
+ 410 20'

+ 17015'
+ 190 10'

+ 200
+ 220 30'

220 15'

schw,
schw,
schw,

schw,

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II.

34

Siebentes Buch. Fünftes Kapitel.

AmbroDD

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

5431*

5584*

5567

5700

5714*

5901*

5999
5939
6065*
6271

6223
6434*
6525
6340

6116

6257
5654*

5904

5623
5310

5388
5450
5221^

5091

4433

4493

4078

3782

Drache.

1. Der an der Zunge

2. Der im Bachen

3. Der oberhalb des Auges

4. Der an der Kinnlade

5. Der oberhalb des Kopfes

6. Der nördliche von den 3 auf einer Ge-
raden in der ersten Biegung des Nackens

7. Der südliche derselben

8. Der mittelste derselben

9. Der letzterem östlich nachfolgende . .

10. Von dem Viereck in der nächsten Win-
dung der sudliche der vorangehenden
Seite

11. Der nördliche der vorangehenden Seite

12. Der nördliche der nachfolgenden Seite

13. Der südliche der nachfolgenden Seite

14. Von dem Dreieck in der nächsten Bie-
gung der südliche

15. Der vorangehende von den 2 übrigen
des Dreiecks

16. Der nachfolgende derselben

17*. Der vorang. von den 8 im nächsten

vorangehenden Dreieck

18. Von den 2 übrigen des Dreiecks der
südliche

19. Von den i übrigen der nördlichere. .

20. Von den 2 kleinen westlich des Drei-
ecks der nachfolgende

21. Der vorangehende derselben

22. Der südlichere von den 3 nächsten auf
einer Geraden

23*. Der mittelste der drei

24. Der nördlichere derselben . . . .

25. Der nördlichere von den 2 westwärts
folgenden

26. Der südlichere derselben

27. Der westlich von diesen in der "Win-
dung am Schwänze

28. Der vorangehende von den zwei von
letzterem ziemlich weit abstehenden .

29. Der nachfolgende derselben ...

30. Der an diese nach dem Schwanz hin
anschließende

31. Der letzte am Ende des Schwanzes

31 Sterne : 8 dritter, 16 vierter,
5 fünfter, 2 sechster Größe.

■IL 260 40'

nxiio50'

11113° 10'

nX 27020'
nX 29040'

/ 24040
;^ 2020'

/ 280 50
S' 190 30'

A

^

X 80
" 200 30'
, 7040
X 220 50'

y 100 40'

Y 21040'

T 260 10'

TT 130 20'

8 200 20'
8 11° 50'

Q 280 40'
G 210 40'

11p 90

Tip 9020'

np 80 20'

Ttp 100
11]> 10020'

Hp 120 40'

G 130 10

+ 820 20'
+ 78015'
+ 8O02O'
+ 8103O'

+ 810 40'
+ 830
+ 780 50'
+ 7705O'

+ 8O03O'

+ 810 20'
+ 80O15'

+ 84» 30'

+ 870 30'
+ 840 50'

+ 87030
-1- 860 50'

+ 810 15'
+ 830
+ 840 50'

+ 780
+ 74040'

+ 70O

4- 640 40'
+ 650 30'

-t- 610 15'
+ 560 15

6578*

7676

7014*

6945>

Cepheas. 1

1. Der im rechten Fuß I M 5°

2. Der im linken Fuß i 8 ^o

3. Der unter dem Gürtel an der rechten 1

Seite I Y '"20'

4. Der über der rechten Schulter berüh-
rende X 160 40'

Anm. Zu den mit * bezeichneten Keihenzahlen der dritten Spalte s. Anm. 4.

Cepheus. Bootes.

35

Bajer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

6754 I

6660

7182'
7430
7252
7225
7229

7085*
7324*

5. Der über dem rechten Ellbogen beruh
rende

6. Der unter demselben Ellbogen gleich-
falls berührende

7. Der auf der Brust

8. Der an dem linken Arm

9. Von den 3 in der Tiara der südliche .

10. Der mittelste der drei

11. Der nördlichere der drei

11 Sterne: 1 dritter, 7 vierter,

3 fünfter Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne :

12. Der der Tiara vorangehende

13. Der der Tiara nachfolgende

2 Sterne: 1 vierter, 1 fünfter Größe.

X 9»20'

XIO»
X 28°30'

y 7030'

X 16O20'
X 17°20'
X19«

X 13° 40'
X 21°20'

+ 72»

+ 740
+ 65° 30'
+ 62° 30'
+ 60° 15'
+ 61° 15'
+ 61°20'

64°
59°30'

4526*

4544*

4590

4543

4614

4760*

4825*

4869*

4820

4784

c

4768

V'

4788

b

4758

(O

4678

e

4625

a

4610

?

4648*

4441*

V

4401

t

4415

V

4534* a

Bootes.

1. Der vorangehende von den 3 in der
linken Hand

2. Der mittelste südlichere der drei . . .

3. Der nachfolgende der drei

4. Der am linken Ellbogen

5. Der an der linken Schulter

6. Der im Kopf

7. Der an der. rechten Schulter

8*. Der nördlichere als letzterer an der

Keule ...,.,..,..

9. Der noch nördlichere am Ende der

Keule

10. Von den 2 unterhalb der Schulter in

der Keule der nördlichere

11*. Der südlichere derselben

12. Der am Ende der rechten Hand . . .

13. Von den 2 an der Handwurzel der
vorangehende

14. Der nachfolgende, derselben

15. Der am Ende des Griffs der Keule . .

16. Der am rechten Schenkel im Schurzfell

17. Von den 2 im Gürtel der nachfolgende

18. Der vorangehende derselben

19. Der an der rechten Ferse

20. Von den 3 in dem linken Schienbein
der nördliche

21. Der mittelste der drei . ,

22. Der südliche derselben

22 Sterne: 4 dritter, 9 vierter,

9 fünfter Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogen:

23. Der rötliche zwischen den Schenkeln,
der sog. Arktur

1 Stern erster Größe.

TT]) 2° 20'
np 4° 10'
11}) 5° 20
TIV 9° 40
np 19° 40'
Hj) 26° 40'
Sh 5° 40'

Sh 5°40'

Sh 5°

-n])27°

58° 40'
58° 20'
60° 10'
54° 40'
49°
53°50'! 4.3
48° 40' 4.3

53° 15'

57° 30'

Sh 7° 40'

+ 46° 30'

SU 8° 30'

+ 45° 30'

SL 8° 10'

+ 41° 20'

Sh 6° 40'

+ 41° 40'

Sh 7°

+ 42° 30'

SL 7° 20'

+ 40° 20'

iL 0° 0'

+ 40° 15'

lip 25° 40'

+ 41° 40'

11p 25°

4- 42° 10'

SL 5°20'

+ 28°

Tip 21° 20'

+ 28°

11p 20° 30'

+ 26° 30'

11p 21° 20'

+ 25°

+ 31°30'

36

Siebentes Buch. Fünftes Kapitel.

imbroDii Bajer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

4920*

4884*

4908

4970

4966*

5004
5056
5078

Nördliche Krone.

1. Der glänzende in der Krone

2. Der allen vorangehende

3. Der diesem nachfolgende nördlichere.

4. Der weiter diesem nachfolgende nörd-
lichere

5. Der dem glänzenden südwärts nach-
folgende

6. Der weiter diesem nahe nachfolgende .

7. Der hinter diesen wieder nachfolgende

8. Der allen in der Krone nachfolgende.

8 Sterne: 1 zweiter, 5 vierter,
1 fünfter, 1 sechster Größe.

14° 40'
11° 40'
11° 50'

irL13°40'

17° 10'
19° 10'
21°20'
21040'

+ 44°30'
+ 46° 30'

+ 48°

+ 50° 30'

+ 44° 45'
+ 44° 50'
+ 46° 10'
+ 490 20'

5460*

a

5239*

ß

5189*

y

5111*

y.

5462*

ö

5561*

X

5645*

/"

5770

0

5716

V

5710

^

5298*

^

5394

8

5401

d

5436

c

5471

7t

5486

e

5528*

9

5705

>

5613

i

5549

X

5601

V

5687

z

5307

n

5258

0

5185

X

5125

<p

5090

V

5029

/

Herkules.

1. Der im Kopf

2. Der an der rechten Schulter neben der
Achsel

3. Der am rechten Arm

4. Der am rechten Ellbogen

5. Der an der linken Schulter

6. Der am linken Arm

7. Der am linken Ellbogen

8. Von den 3 an der linken Handwurzel
der nachfolgende

9. Von den übrigen 2 der nördliche . .

10. Der südlichere derselben

11. Der in der rechten Seite

12*. Der in der linken Seite

13. Der nördlichere als dieser am linken
Hinterbacken

14. Der am Ansatz desselben Schenkels .

15. Von den 3 am linken Schenkel der
vorangehende

16. Der diesem nachfolgende

17. Der weiter diesem nachfolgende . . .

18. Der am linken Knie

19. Der am linken Schienbein

20. Von den 3 am Ende des linken Fußes
der vorangehende

21. Der mittelste der drei

22. Der nachfolgende derselben

23. Der am Ansatz des rechten Schenkels

24. Der nördlichere als dieser an demsel-
ben Schenkel

25. Der am rechten Knie

26. Von den 2 unter dem rechten Knie
der südlichere

27. Der nördlichere derselben

28. Der an der rechten Wade

[Der am Ende des rechten Fußes ist der-
selbe wie der (1') am Ende der Keule
(des Bootes). Ohne diesen]

28 Sterne: 6 dritter, 17 vierter, 2 fünfter,
3 sechster Größe.

TTI.1704O'

+ 37° 30'

Tr[ 3° 40'
VI 1°40'

ua28°

TIX 16° 40'
TIX 22°
11X27040'

+ 430
+ 40» 10
+ 37° 10'

-f- 48°
+ 49° 30'
+ 52°

/ 5° 30'
/ 1040'
/ 1°30'
nX 3° 50'
IIX 10° 10'

+ 520 50'
+ 540
+ 530
+ 50040'
+ 53030

TIX 10°
TTX 11° 10'

+ 560 30'
+ 580 30

TlXl***
TTX 15° 20'
TIX 16° 20'
^ 0050'
TTX 220 10'

+ 59050'
-1- 60° 20
+ 61° 15
+ 61°
+ 69° 20'

TTj, 150 20'
TTX 16° 50'
TTX 19° 40'
TTX 0°40'

-1- 70O15'
+ 710 15
+ 720 15'
-f- 60O15'

Sh 25° 20'
Sh 15° 40'

+ 63°
+ 65° 30'

Sh 13° 40'
irLlO°10'
Sh 110 10'

+ 63° 40'
+ 640 15
+ 6O0

Herkules. Leier. Schwan.

37

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

5207^

Nicht in das Bild miteinbezogen:
Der südlicher als der am rechten Arm (y)

stehende

1 Stern fünfter Größe.

VI 2°40'

38° 10'

5961*
6001*

6005*
6078

6211*

6226
6046^

6042
6112*

6123

Leier. .

1. Der glänzende an der Muschel, die
sog. Leier (Wega)

2. Von den 2 neben ihm dicht beisammen
stehenden der nördliche

3. Der südlichere derselben

4. Der diesen nachfolgende in der Mitte
zw. dem Ansatz der Hörner

5. Von den 2 dicht beisammen stehenden
auf der östlichen Seite der Muschel
der nördliche

6. Der südlichere derselben

7. Von den 2 vorangehenden am Steg
der nördlichere

8. Der südlichere derselben

9. Von den 2 nachfolgenden am Steg der
nördlichere

10*. Der südlichere derselben

10 Sterne: 1 erster, 2 dritter,
7 vierter Größe.

/ 17°20'

/ 20° 20'
/ 20° 20

/ 23°40'

+ 62°

2°
1°40'

/21°
/ 20° 50

/ 24° 10
^ 24°10'

62°40'
61°

60°

+ 61°20'
+ 60° 20'

+ 56° 10'
+ 55°

+ 55° 20'
+ 54° 45'

6308*

/*

6352

<P

6463

rj

6615

y

6726*

a

6393*

ö

6344

&

6310

i

6236

Y.

6747

S

6759*

l

6899

C"

6816

V

6868

5

6562

Ol

6564

0--

6662

w^-

6915*

r

6927

a

Schwan.

1. Der am Schnabel

2. Der diesem nachfolgende im Kopf . .

3. Der mitten am Hals

4. Der an der Brust

5. Der glänzende im Schwanz

6. Der im Bug des rechten Flügels . . .

7. Von den 3 im rechten Fittig d. südliche

8. Der mittelste von den drei

9. Der nördliche derselben am Ende des
Fittigs

10. Der im Bug des linken Flügels . . .

11. Der nördlichere derselben in der Mitte
desselben Flügels

12. Der am Ende des Fittigs des linken
Flügels

13. Der im linken Fuße

14. Der am linken Knie

15. Von den 2 im rechten Fuße der vor-
angehende

16. Der nachfolgende derselben

17. Der nebeiförmige am rechten Knie . .
17 Sterne : 1 zweiter, 5 dritter, 9 vierter,

2 fünfter Größe.
Nicht in das Bild miteinbezogene Sterne :

18. Von den 2 unter dem linken Flügel
der südlichere

19. Der nördlichere derselben

2 Sterne vierter Größe.

^ 4° 30'

+ 49°

^ 9°

+ 50° 30'

^ 16°20'

+ 54° 30

"^ 28°30'

+ .^7°20

asÄ 9° 10'

+ 60°

^ 19°20'

+ 64° 40

^22° 30'

+ 69° 40

JJ'21°10'

+ 71° 30

^ 16° 40'

+ 74°

aw 0°50'

+ 49° 30

»» 3° 50'

+ 52°10'

K^ 6° 40

+ 44°

SM 10°

+ 55° 10

(KÄ 14° 30'

+ 57°

a^ loiO'

+ 64°

a^Ä 2° 40'

+ 64° 30'

s^l2°10'

+ 64° 45

<s& 10° 40'
«w 13° 50'

49° 40'
51°40'

38

Siebentes Bucli. Fünftes Kapitel.

Ambroni) Bayer I Sternbeschreibung

Länge

Breite Größe

131
144*
191*
231

353

480
637*
279
302

7761*

115

19

7739

Kassiopeia.

Der im Kopf

Der auf der Brust .

Der nördlichere als dieser im Gürtel .
Der über dem Sessel in der Gegend

der Schenkel .,

Der an den Knien

Der an dem Schienbein

Der am Ende des Fußes

Der am linken Arm

Der unterhalb des linken Armbugs , .

Der am rechten Ellbogen

Der oberhalb des Fußes des Throns ,

Der in der Mitte der Lehne

Der am Ende der Lehne ,

Sterne: 4 dritter, 6 vierter, 1 fünfter,
2 sechster Größe.

Y 7050'

Y 10° 50'

Yis*»

Y 16° 40'

Y 20" 40'

Y 270

^ 1°40'

Y 14° 40'

Y 17° 40'

Y 2° 20'

Y 15°

Y 7° 50'

Y 3° 40'

45° 20'
46° 45'
47° 50'

49°

45° 30'
47° 45'
47° 20'
44° 20'
45°
50°

52° 40'
51° 40'
51° 40'

602*

745*

822

716*

763

842

919*

947

978
1006
845
840*

850

827*

788

1186

1129

1142

1169*

1209

1303

1019

1096*

1102

1016*[

1079

Peraeus.
Der Nebelfleck am Ende der rechten

Hand

Der am rechten Armbug . . ... . .

Der an der rechten Schulter

Der an der linken Schulter

Der im Kopf

Der im Raum zwischen den Schultern
Der glänzende in der rechten Seite. .
Von den drei nach dem in der Seite

der vorangehende

Der mittelste der drei

Der nachfolgende derselben

Der am linken Armbug

Von denen im Medusenhaupte der glän-
zende

Der diesem nachfolgende

Der dem glsnzenden vorangehende . .
Der weiter diesem vorangehende letzte

Der am rechten Knie

Der ihm vorangehende über dem Knie
Von den 2 oberhalb der Kniekehle der

vorangehende

Der nachfolgende an der Kniekehle

selbst

Der an der rechten Wade

Der am rechten Fußknöchel

Der am linken Schenkel

Der am linken Knie

Der an der linken Wade

Der an der linken Ferse

Der ihm nachfolgende am Ende des

linken Fußes

26 Sterne: 2 zweiter, 5 dritter,

16 vierter, 2 fünfter Größe,

1 nebeiförmiger.

Y 26° 40'

+ 40° 30'

M i°io'

+ 37° 30

8 2° 40'

+ 34° 30

Y 27°30'

+ 32° 20'

^ 0°40'

+ 34° 30

y 1°30'

+ 31° 10

8 4° 50'

+ 30°

^ 5°2o'

+ 27° 50'

8 7°

+ 27° 40

J5 7° 40'

+ 27°20'

8 0°30'

+ 27°

Y 29° 40'

+ 23°

Y29°10'

+ 21°

Y 27°40'

+ 21°

Y26°50'

+ 22° 15'

8 14°50'

+ 28°

813°

+ 28° 10

8 12° 20'

+ 25°

814°

+ 26° 15'

8 14° 10'

+ 24° 30

8 16° 20'

+ 18° 45'

8 6° 50'

+ 21° 50'

8 8° 40'

+ 19° 15'

8 8° 20'

+ 14° 45

8 4° 10'

+ 12°

8 6° 20'

+ 11°

Perseus, Fuhrmann. Schlangenträger.

39

Sternbesclireibuiig

Länge

Breite

1172

1178

750

/

H34 Cam.
16

Nicht in das Bild miteinbezogene
Sterne :

27. Der östlich von dem am linken Knie («)

28. Der nördlich von denen am rechten Knie

29. Der denen im Medusenhaupt voran-
gehende .

3 Sterne: 2 fünfter Größe, 1 schwacher.

^ 11" 50'
Y 240 40'

+ 18°
+ 31°

20° 40'

1821

1785 !
1518*j

1831
1773 I
1837*
1435*1
1461

1440 i

1409

1589*

1629

1600

1387

Fuhrmann.

1. Von den 2 am Kopf der südlichere. .

2. Der nördlichere über dem Kopf . . .

3. Der an der linken Schulter, die sog.
Capeila

4. Der an der rechten Schulter

5. Der am rechten Armbug

6. Der an der rechten Handwurzel . . .

7. Der am linken Armbug

8. Von den 2 an der linken Handwurzel,
den sog. Zicklein, der nachfolgende

9. Der vorangehende derselben . . . . .

10. Der am linken Fußknöchel

11. Der am rechten Fußknöchel, gemein-
sam mit dem Hörn {[i Tauri)

12. Der nördlich des letzteren im Gewand-
saum

13. Der noch nördlichere als dieser am
Hinterbacken

14. Der kleine über dem linken Fuß . . .

14 Sterne : 1 erster, 1 zweiter,

2 dritter, 7 vierter, 2 fünfter,

1 sechster Größe.

J\ 2° 30
TT 2° 20'

^

25°
2° 50'
J\ 1°10'
TT 2° 50'
J5 22°

« 22° 10'

8 22°

8 19° 50'

8 25° 40'

8 26°

8 26° 20'
8 20" 40'

-I- 30°
+ 31° 50'

+ 22° 30'
+ 20°
+ 15° 15'
+ 13° 20'
+ 20° 40'

+ 18°
-H 18°
+ 10° 10'

+ 5°

+ 8° 30'

H- 12° 10'
+ 16°

5585*
5627

5649
5357

5374

5238*

5153*

5169
5594
5707

5737*
5438*
5491
5455*

5499
5529

Schlangentiäger.

1. Der im Kopf

2. Von den 2 an der rechten Schulter der
vorangehende

3. Der nachfolgende derselben

4. Von den 2 an der linken Schulter der
vorangehende

5. Der nachfolgende derselben

6. l)er am liuken Armbug

7. Von den 2 am Ende der linken Hand
der vorangehende

8. Der nachiolgende derselben

9. Der am rechten Armbug

10. Von den 2 am Ende der rechten Hand
der vorangehende

11. Der nachfolgende derselben

12. Der am rechten Knie

13*. Der an dem rechten Schienbein . . .

14. Von den 4 im rechten Fuß der voran-
gehende

15. Der diesem nachfolgende

16. Der weiter letzterem nachfolgende . .

TT], 24° 50'

TT], 28°
Vi{ 29°

TT], 13° 20'
TT[i4°40'
TT], 8° 20'

n 5°

TT]. 6°
TT], 26° 40'

/ 2° 20'
\^ 3° 20'
TT], 21° 10'
TT], 23° 40'

TT], 23°
TT], 24° 20'
TT].i5°

27° 15'
26° 30'

33°

31° 50'
24° 30'

17°

16° 30'
15°

13° 40'

14° 20'

7°30'

2° 15'

2° 15'
1°30'
0°20'

40

Siebentes Bucli. Fünftes Kapitel.

Bayer

Sternbesclireibuiig

Länge

Breite

5556
5618

5265
5237

5208
5197
5242
5203^

5721

5724*
5730*
5752*

5767

25.

Der letzte nachfolgende von den vier
Der diesen nachfolgende, der die Ferse

berührt

Der am linken Knie

Von den 3 auf einer Geraden an dem
linken Schienbein der nördliche . . .

Der mittelste derselben

Der südliche der drei

Der an der linken Ferse

Der die Höhlung des linken Fußes be-
rührende

24 Sterne: 5 dritter, ]3 vierter,

6 fünfter Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne :
Der nördliche von den 3 östlich der

rechten Schulter

Der mittelste der drei

Der südliche derselben

Der den 3 nachfolgende über dem

mittelsten ...

Der alleinstehende nördlichere als die

vier

5 Sterne vierter Größe.

111 25» 50'

nx 27010'

IT], 12010'

TTX 110 40'
IT], 10040'
TTX 9050'
TT], 12020'

TU, 100 40'

/ 20

/ 2040'

/ 30

/ 30 40'

/ 4040'

+ 50 20'

+ 30 10'

+ 1040'

+ 0040'

+ 280 10'
+ 260 20'
+ 250

+ 270

+ 330

4960

5014

5045

4984*

4995

5081

4918*

4985
4969
5007
4996

5217

5493*

5588

5606
5719

5854

6081=»

üOph.

Schlange.

1. Von dem Viereck im Kopfe der am
Ende der Kinnlade

2. Der die Nüstern berührende

3. Der am Schlaf

4. Der am Ansatz des Nackens

5. Der in der Mitte des Vierecks im Rachen

6. Der außerhalb nördlich des Kopfes . .

7. Der nach der ersten Krümmung des
Nackens

8. Von den 3 nach diesem der nördliche

9. Der mittelste der drei

10. Der südliche derselben

11. Der nach der folgenden Krümmung
der linken Hand {s ö) des Schlangen-
trägers vorangehende

12. Der den Sternen in der Hand nach-
folgende

13. Der nach dem rechten Hinterschenkel
des Schlangenträgers

14. Von den 2 ihm nachfolgenden der süd-
lichere

15. Der nördlichere derselben

16. Der nach der rechten Hand (vt) an
der Krümmung des Schwanzes ....

17. Der diesem nachfolgende, gleichfalls
im Schwänze

18. Der am Ende des Schwanzes

18 Sterne: 5 dritter, i2 vierter,
1 fünfter Größe.

lTL 180 50'
Sh 210 40'

sh 24020'

Sh22°

Jli21o20'

^0.26010'

ia2lO40'
irL24O50'

lTL 24020'

urL26O20'

^280 50'
TT], 80 10'

Tri, 230 40'

TT], 270

nt 270 50'
/ 3040'

/ 80 40'
P^ 180 20'

+ 380
+ 40O
+ 360
+ 34015'
+ 37015'
-f- 420 30'

+ 160 30

+ 13015'

-f- 100 30'

-1- 803O'
+ IO05O'

+ 2üO

-f- 2101O'
+ 270

Pfeil. Adler. Delphin.

41

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

6481

6407*

6400

6354

6360

Pfeil.

1. Der einzeln stehende an der Spitze . .

2. Von den 3 am Schaft der nachfolgende

3. Der mittelste derselben

4. Der vorangehende von den drei . . .

5. Der am Ende des Einschnitts am Schaft

5 Sterne: 1 vierter, 3 lüniter,
1 sechster Größe.

^10° 10'
^ 6» 40'
Z 5»50'
;r 4»40'
§' 3» 20'

39» 20'
39» 10'
39° 30'
39»
38» 40'

6512
6451*
6411*

6415

6390*

6458
6317

6349
6155*

6546
6275

6331
6330
6156

Adler.

1. Der in der Mitte des Kopfes

2. Der diesem vorangehende am Halse .

3. Der gliinzende auf dem Bücken, der
sog. Atair

4. Der nördlich in der Niihe des letzteren
stehende

5. Von den 2 an der linken Schulter der
vorangehende

6. Der nachfolgende derselben

7. Von den 2 an der rechten Schulter der
vorangehende

8. Der nachfolgende derselben

9. Der unter dem Schwänze des Adlers
weiter ab stehende, der die Milchstraße
berührt

9 Sterne: 1 zweiter, 4 dritter,

1 vierter, 3 fünfter Größe.

Sterne bei dem Adler, welche den

Antinous bilden.

10. Von den 2 südlich des Kopfes des
Adlers der vorangehende

11. Der nachfolgende derselben

12. Der südwestlich von der rechten Schul-
ter des Adlers .

13. Der südlich von letzterem stehende. .
14*. Der noch südlichere als dieser . . .
15. Der allen vorangehende

6 Sterne: 4 dritter, 1 vierter,
1 fünfter Größe.

Z 7»10'
Z 4» 50'

+ 26» 50
+ 27» 10

Z ^W

+ 29» 10'

Z 4»40'

+ 30»

Z 3» 10'
Z 6»

+ 31» 30
+ 31» 30

/ 29» 40'
^ 1»10'

+ 28» 40
+ 26» 40

/22»10'

+ 86» 40

Z 3»40'
5' 8» 50'

/26»
^ 28» SO'
^ 29»40'
^ 21» 10'

21° 40'
19» 10'

25»

+ 15° 30'
+ 18» 10'

6664

6703

6688"

6713
6729

6746*
6670

Delphin.

3 im Schwänze der

Von den

gehende

Von den übrigen 2 der nördlichere. .

Der südlichere derselben

Von denen im rhombusförmigen Vier-
eck der südliche der vorangeh. Seite .
Der nördlichere der vorangehenden Seite
Von der nachfolgenden Seite des Ehom-

bus der südliche

Der nördliche der nachfolgenden Seite
Von den 3 zwischen Schwanz und
Rhombus der südliche

^ 17»40'
:g' 18» 40'
^ 18» 40'

^ 18° SO'
S'20»10'

^21°20'
?^23°10'

^17° 30'

-J- 29°10'
+ 29»
+ 27»45'

+ 32»
4- 33» 50'

+ 32°
+ 33° 10'

+ 30» 15'

42

Siebentes Buch. Fünftes Kapitel.

Imbrono

Bajer

Sternbesclireibung

Länge

Breite

Größe

6678
6695

c

^

9. Von den übrigen. 2 nördlichen der vor-

^17° 30'

5' 19°

+ 31° 50'
+ 31° 30'

6
6

10. Der übrige nachfolgende derselben . .

10 Sterne: 5 dritter, 2 vierter,

3 sechster Größe.

6916
6958
6886*
6908*

a
1

Füllen.

1. Von den 2 im Kopf der vorangehende

2. Der nachfolgende derselben

3. Von den 2 am Maule der vorangehende

4. Der nachfolgende derselben

4 schwache Sterne.

S'26°20'

^28°
15' 26°20'
S' 27° 40'

+ 20° 30'
+ 20° 40'
+ 25° 30'
+ 25°

schw.
schw.
schw.
schw.

14*

34

7499*

7503*

7588

7610
7393

7385
7404

742t

7378

7403
7453
7432
7213

7180

7077*

7217

7193

7084*

a Andr.

y

a
t

V

n

0

Q
a
&

V

e

Tt
l

y.

Pferd.
1. Der am Nabel, zugleich im Kopf der

X17°50'

X 12° 10'

X 2° 10'

^ 26° 40'

X 4° 30'
X 5°

*jj29°
*»28°30'

f«i26°10'

i«Ä27°

fti*18°50'
sii20°30'
s^21°20'
;t^20°30'

xxt 9° 20'
^ 8°
xxi 5° 20'
ft^23°20'
^i*17°20'
s»12°20'

4- 26°
4- 12° 30'
4- 31°
4- 19° 40'

+ 25° 30'

4- 25°

+ 35°
4- 34° 30'

+ 29°
4- 29° 30'

-1- 18°
+ 19°
4- 15°
+ 16°

4- 16° 30'
+ 16°
4- 22° 30'
+ 41° 10'
+ 34° 15'
4- 36° 50'

2.3
2.3
2.3
2.3

4

4

3
5

4
4

3
4
5
5

3

4

3.2
4.3
4.3
4.3

2. Der an der Hüfte und am Ende des
Flügels

3. Der an der rechten Schulter und am
Ansatz des Beins

4. Der auf dem Bücken und an der
Schulter des Flügels

5. Von den 2 im Rumpf unter dem Flügel

6. Der südlichere derselben

7. Von den 2 im rechten Knie der nörd-

8. Der südlichere derselben

9. Von den 2 dicht nebeneinander auf
der Brust der vorangehende

10. Der nachfolgende derselben

11. Von den 2 dicht nebeneinander am
Ha'se der vorangehende

12. Der nachfolgende derselben

13. Von den 2 in der Mähne der südlichere

14. Der nördlichere derselben

15. Von den 2 dicht nebeneinander im
Kopf der nördlichere

16. Der südlichere derselben

17. Der am Maule

18. Der am rechten Knöchel

19. Der am linken Knie . . ,

20. Der am linken Knöchel

20 Sterne: 4 zweiter, 4 dritter,
9 vierter, 3 iünfter Größe.

141

132

139

61

7t
S

o

Ändromeda.

1. Der in dem Eaume zwischen den Schul-
tern

X 25° 20'
X 26° 20
X24°20'

X 23° 40'

+ 24° 30'

+ 27°
+ 23°

+ 32°

3
4
4

4 !
i

2. Der an der rechten Schulter

3. Der an der linken Schulter

4. Von den 3 am rechten Arm der süd-
liche

Andromeda. Triangel. Widder.

43

imbroan

Bayer

55

^

5.

73

Q

6.

7668

i

7.

7678

y.

8.

7666

k

9.

188

c

10.

238

v

11.

295*

/^

12.

236

f^

13<

198

V

14.

544*

y

15.

438

(pPers.

16.

410

üPers.

17.

404

V

18.

423

t

19.

293

<P

20.

341

5

21.

368

CO

22.

7489

0

23.

Sternbeschreibung

Länge

Breite

Der nördliche derselben

Der mittelste der drei

Von den 3 am Ende der rechten Hand

der südliche

Der mittelste derselben

Der nördliche der drei

Der am linken Arm

Der am linken Armbug

Von den 3 über dem Gürtel der süd-
liche

'. Der mittelste derselben

Der nördliche der drei

Der über dem linken Fuß

Der im rechten Fuß

Der südlichere als dies r

Von den 2 in der linken Kniekehle

der nördlichere . . .

Der südlichere derselben

Der am rechten Knie

Von den 2 in der Schleppe der nörd-
lichere

Der südlichere derselben

Der den 3 am Ende der rechten Hand

außerhalb vorangehende

23 Sterne: 4 dritter, 15 vierter,
4 lünfter Größe.

i

24040'
25"

X 19° 40'
X 20° 40'
X 220 10'
X 24° 10'

X 2.040'

Y 30 50'

Y 2"

Y 1°50'
Y16°50'

Y 17010'

Y 150 10'

Y 120 20'
Y120

Y 100 10'

Y 12040'

Y 140 10'

X 110 40'

4- 33030'
+ 32O20'

+ 410
+ 420
4- 440
+ 170 30'
+ 15050'

+ 260 20'
+ 300
+ 320 30'
+ 280
+ 370 20'
+ 350 40'

+ 290
-t- 280
+ 350 30'

+ 340 30'
+ 320 30'

+ 440

482
564

598
600

Triangel.

1. Der an der Spitze des Dreiecks . . ,

2. Von den 3 an der Grundlinie der vor
angehende

3. Der mittelste derselben

4. Der nachfolgende der drei

4 Sterne: 3 dritter, 1 vierter Größe.

Y 11°

Y 160

Y 160 20'

Y 16050'

+ 160 30'

+ 200 40'
+ I904O'
+ 190

In nördlichen Sternbildern in Summa 360 Sterne:

3 erster, 18 zweiter, 81 dritter, 177 vierter, 58 fünfter,

13 sechster Größe; 9 schwache, 1 nebeiförmiger.

B, Sternbilder des Tierkreises.

483*

r

492

(i

584

V

604

^

502

t

693

V

797*

s

Widder.

1. Von den 2 im Hörn der vorangehende

2. Der nachfolgende derselben . .

3. Von den 2 an der Schnauze der nörd-
lichere

4. Der südlichere derselben ....
5*. Der am Halse

6. Der an der Hüft-

7. Der am Ausatz des Schwanzes .

Y

60 40'

Y

70 40'

T

11°

Yll°30'|

iT

60 50'

Y

170 40'

Y 21O20'

70 20'
80 20'

704O'

60

5050'

60

4050'

44

Siebentes Bucli. Fünftes Kapitel.

Bajer

Sternbesohreibung

Länge

Breite

855

874
908
776
756
729

559

749*

737

720
702*

8. Von den 3 im Schwänze der voran-
gehende

9. Der mittelste der drei

10. Der nachfolgende derselben , . . . .

11 Der am Hinterschenkel

12. Der unter der Kniekehle

13*. Der am Ende des Hinterbeins . . . .

1 3 Sterne : 2 dritter , 4 vierter,

6 lünfter, 1 sechster Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne :

14. Der über dem Kopf, den Hipparch an
die Schnauze setzt

15. Von den 4 über der Hüfte der nach-
folgende glänzendere

16. Von den übrigen 3 schwächeren der
nördliche

1 7. Der mittelste der drei

18. Der südliche derselben

5 Sterne: 1 dritter, 1 vierter,
3 fünfter Größe.

Y 23° 50'

+

1°40'

Y 25020'

+

2°30'

Y 27"

+

1°50'

Y 19° 40'

+

1°30'

Y18°

—

1°30'

Yi5°

—

5° 15'

Y 10° 40'

Y 21° 40'

Y 21° ^0'

Y 19° 40'
Y19°10'

+ 10° 30

+ 10° 10'

+ 12° 40'
+ 11° 10'
+ 10° 40'

959
955
935
929
1053*

/
s

0
e

1.
2.
3.

1109*

1182

1120

1320

1305*

1205

X

/«*

V

d
Y

8*.
10*

1230

6'

1264*

■9-'

13Ö6*

a

1263

s

1383

i

1473

m

17.

1475
1681
1342*
1589*

7^

t

20*.
21.

Stier.
Von den 4 am Abschnitt der nördliche

Der au ihn anschließende

Der weiter an diesen anschließende. .

Der südlichste der vier

Der diesen nachfolgende am rechten

Schulterblatt

Der an der Brust

Der am rechten Knie

Der am rechten Knöchel

Der am linken Knie

. Der am linken Ellbug

Von den sog. Hyaden in der Stirn der

an den Nüstern

Der zwischen diesem und dem nörd-
lichen Auge (s)

Der zwischen ihm (y) und dem süd-
lichen Auge (a)

Der rötliche glänzende der Hyaden im

südlichen Auge

Der übrige (der Hyaden) im nördlichen

Auge

Der am Ansatz des südlichen Horns

und des Ohres

Von den 2 am südlichen Hörn der süd-
lichere

Der nördlichere derselben

Der an der Spitze des südlichen Horns
Der am Ansatz des nördlichen Horns
Der an der Spitze des nördlichen Horns,
derselbe wie der am rechten Fuße (y)
des Fuhrmanns

Y 26° 20
Y26°

Y 24° 20'

Y 24° 20'

Y 29° 40'
X 3°40
^ 6° 40
8 3°
{512° 10'
^10° 20'

8 9°

^ 10°20'

J5 10°50'

^ 12° 40'

^ 11° 50'

J517°30'

^20° 20'
^20°
^ 27° 40'
^ 15°40'

8 25° 40'

— 6°

— 7°15'

— 8° 30'

— 9°15'

— 8°

— 12° 40'

— 14° 50'

— 10°

— 13°

— 5°45'

— 4° 15'

— 5° 50'

— 5° 10'

— 3°

— 4°

— 5°

— 3° 30'

— 2° 30'

— 0°15'

+ 5°

stier. Zwillinge.

45

Bajer

ternbeschreibung

Länge

Breite

H38

10

ISO

129
118

125
132
136

139

22. Von den 2 nahe beisammen stehenden
am nördlichen Ohr der nördlichere. .

23. Der südlichere derselben

24. Von den 2 kleinen am Halse der vor-
angehende

25. Der nachfolgende derselben

26. Von der vorangehenden Seite des Vier-
ecks im Nacken der südlichere ....

27*. Der nördlichere der vorangehend. Seite

28. Der südlichere der nachfolgenden Seite

29. Der nördlichere der nachfolgenden Seite

30. Von der Pleias das nördlichere Ende
der vorangehenden Seite

31. Das südliche Ende der vorangehenden
Seite

32*. Das nachfolgende dichteste Ende der

Pleias (mit dem Hauptstern)

33*. Der außerhalb stehende kleine nörd-
lich der Pleias

32 Sterne : 1 erster, 6 dritter,

11 vierter, 13 fünfter,

1 sechster Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne :

34. Der unter dem rechten Fuß und dem
Schulterblatt

35. Von den 3 über dem südlichen Hörn
der vorangehende

36*. Der mittelste der drei ........

37. Der nachfolgende derselben

38. Von den 2 unter der Spitze des süd-
lichen Horns der nördlichere

39. Der südlichere derselben

40. Von den 5 nachfolgenden unter dem
nördlichen Hörn der vorangehende . .

41. Der diesem nachfolgende

42. Der weiter diesem nachfolgende . . .

43. Von den übrigen 2 nachtolgenden der
nördlichere

44. Der südlichere derselben

11 Sterne: 1 vierter, 10 fünfter Größe.

8120
^ 11»40

8 80 30'

812°
8 11" 40'

8 20 10'

8 20 30'

8 30 40'

8 30 40'

Y250

^200
8 240
^260

H290
^290

^270
M290

n 1°

TJ 20 20'
TT 30 20'

0030'
00 15'

O04O'
10

50

70 20'
30
50

4030'

30 40'

3020'

50

— 17030'

— 20

— 1045'

— 20

— 60 20'

— 7040'

+ O04O'

+ 10

4- 1020'

-f- 30 20'

+ 1015'

a

1.

ß

2.

d-

3.

t

4.

i

5.

V

6

y.

7.

Zwillinge.
Der im Kopf d. vorangehenden Zwillings
Der rötliche im Kopf des nachfolgen-
den Zwillings

Der am linken Ellbogen des voran-
gehenden Zwillings

Der an demselben Arm

Der ihm nachfolgende in dem Baume

zwischen den Schultern

Der diesem nachfolgende an der rech-
ten Schulter desselben ZwilUngs . . .
Der an der nachfolgenden Schulter des
nachfolgenden Zwillings

TT 23020'

+

90 30'

TT 260 40'

+

60 15'

TT 160 40'
TT 180 40'

+
+

100
7020'

n22o

+

50 30'

n24o

+

40 50'

TT 260 40'

+

2040'

46

Siebentes Buch. Fünftes Kapitel.

ImkroiiD

Bajer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

dröße

2436

A

8. Der in der rechten Seite des voran-

gehenden Zwillings

TT 21° 40'

+ 2° 40

5

2464

63

9. Der in der linken Seite des nachfol-

genden Zwillings

TT 23° 10'

-1- 0°20'

5

2150*

8

10. Der am linken Knie des vorang. Zw. .

ni3°

+ 1°30'

3

2302*

C

11. Der unter dem linken Knie des nach-

folgenden Zwillings

TT 18° 15'

— 2° 30'

3

2413*

6

12. Der am linken Schoß des uachf. Zw. .

n 21° 40'

— 0°30'

3

2399*

X

13. Der über dem rechten Armbug des-

selben Zwillings

TJ 21° 40'

— 6°

3

1941*

n

14. Der am vorgesetzten Fuß des voran-

gehenden Zwillings

TT 6° 30'

— 1°30'

4.3

1997

h

15. Der diesem nachfolgende in demselben

Fuße

TT 8° 30'

— 1°15'

4.3

2046*

V

16. Der am Ende des rechten Fußes des

vorangehenden Zwillings

mo°io'

- 3° 30'

4.3

2108*

Y

17. Der am Ende des linken Fußes des

nachfolgenden Zwillings

ni2°

- 7° 30'

3

2161

S

18. Der am Ende des rechten Fußes des

nachfolgenden Zwillings

n 14° 40'

— 10° 30'

4

18 Sterne: 2 zweiter, 5 dritter,

9 vierter, 2 fünfter Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne:

1871

1

19. Der dem vorgesetzten Fuß (t]) des vor-

angehenden Zwillings vorangehende .

n 4° 10'

— 0°40'

4

1944

X Aur.

20. Der dem vorangehenden Knie (e) vor-

angehende glänzende

n 6° 30'

+ 5° 50'

4.3

2201

d

21. Der dem linken Knie (c) des nachfol-

genden Zwillings vorangehende. . . .

TT 15° 10'

— 2° 15'

5

2600

9

22. Von den 8 auf einer Geraden, die dem
rechten Arm {k) des nachf. Zw. nach-

folgen, der nördliche

n 28° 20'

— 1°20'

5

2546

f

23. Der mittelste der drei

n 26° 20'

— 3° 20'

5

2505

68

24. Der südliche derselben neben dem Ell-

bogen (X) des Armes

17 26°

— 4° 30'

5

2765*

i:canc.

25*. Der den 3 vorgenannten nachfolgende

glänzende . '. .

G 3°

— 2° 40'

4

7 Sterne: 3 vierter, 4 fünfter Größe.

Krebs.

2949*

e

1. Die Mitte des auf dem Bruststück

stehenden Nebelflecks, der sog. Krippe

G 10° 20'

+ 0°20'

neb.

2898

n

2. Von den 2 vorangehenden des Vier-

ecks um den Nebelfleck der nördlichere

G 7°40'
G 8°

+ 1°15'

4.5

2892

&

3. Von den 2 vorangeh. der südlichere .

— 1°10'

4.5

2969*

Y

4. Von den 2 nachfolgenden des Vierecks,

den sog. Eseln, der nördliche. . . .

G 10° 20'
G 11^20'
G 16° 30'
G 8°20'
G 2° 40'
G 7° 10'

-1- 2° 40'

4.3

2977*

ö

5. Der südliche der 2 vorgenannten . . ,

— 0°10'

4.3

3050*

a

6. Der an der südlichen Schere

- 5° 30'

4

2989*

i

7. Der an der nördlichen Schere ....

+ 11° 50'

4

2739

i"^

8. Der am nördlichen Hinterfuß ....

+ 1°

5

2799

{i

9. Der am südlichen Hinterfuß

— 7°30'

4.3

9 Sterne: 7 vierter, 1 fünfter Größe,

1 nebeiförmiger.

Krebs. Löwe.

47

Sternbeschreibung

Länge

Breite

3144
3108

3112

Nicbt in das Bild miteinbezogene
Sterne :

10. Der über dem Bug der südlichen Schere

11. Der dem Ende der südlichen Schere
nachfolgende

12. Von den 2 nachfolgenden über dem
Nebelfleck der vorangehende

13. Der nachfolgende derselben

4 Sterne: 8 vierter, 2 fünfter Größe.

O 19« 40'

0 21° 10'

Ol4°
IslT»

20 20'

— 5°40'

7015'
4050'

3196

3235

3348

3319

3447

3467*

3401

3407*

3405

3375

3313

3240

3302*

3384

3532

3528

3597

3613
3674

3721*
3723

3727

3750*

3742

3768*

3813

3867*

3582

41 L.mlD

3641*
3683

31

Löwe.

Der am Ende der Nüster

Der im Bachen

Von den 2 im Kopf der nördlichere .

Der südlichere derselben

Von den 3 am Halse der nördliche. .
Der anschließende mittelste der drei .

Der südliche derselben

Der im Herzen, der sog. Begulus . .
Der südlichere als dieser, etwa auf der

Brust

Der ein wenig dem im Herzen voran-
gehende

Der am rechten Knie

Der an der rechten Vorderklaue . . .
Der an der linken Vorderklaue. . . .

Der am linken Knie

Der an der linken Achsel

Von den 3 am Bauch der vorangehende
Von den übrigen 2 nachfolgenden der

nördliche

Der südlichere derselben

Von den 2 an der Hüfte der voran-
gehende

Der nachfolgende derselben

Von den 2 an den Hinterbacken der

nördlichere

Der südlichere derselben

Der an den Hinterschenkeln

Der an den hinteren Kniekehlen . . .
Der südlichere als dieser, etwa an den

Ellbogen

. Der an den Hinterklauen

Der am Ende des Schwanzes

27 Sterne: 2 erster, 2 zweiter,

6 dritter, 8 vierter, 5 fünfter,

4 sechster Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne :
Von den 2 über dem Rücken der vor-
angehende

Der nachfolgende derselben

Von den 3 unter den Weichen der

nördliche

Der mittelste derselben

61180 20'
Q 210 10'
924020'
Q 240 10'
D 0°10'
Ö 20 10'
Q 0040'
Q 2«» 30'

Q 3030'

Q 00 0'
R 27020'
Q 24» 10'
Q 27020'
Q 2030'
Ö 9" 10'
Q 7°

Q 10" 20'
Q 12° 10'

Q 11° 20'
Q 14010'

Q 140 20'
D 160 20'
Ö 200 20'
Q 210 40'

D 24040'
Q 270 30'
Q 24030'

80 10'

+

10"

+

7030'

+

120

+

9030

+

110

+

8° 30'

+

4030'

+

QOIO'

-

1050

00 15'

00 0

—

3040

4010

4015

0010

+

40

+ 5020'
+ 2020'

+ 120 15'
+ 13040

-f- 110 10'

+ 9040'

+ 5050'

+ 10 15'

— 0050'

— 3010'
+ 110 50'

130 20'
15030'

+ 10 10'
— 0030'

48

Siebentes Buch. Fünftes Kapitel.

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

3664
4037

3979

d
15 Com.

7 Com,
23 Com.

32. Der südlicbe derselben

33. Der nördlichste Teil der zwischen den
äußersten Sternen von Löwe und Bär
gelegenen nebeltörmigen Gruppe, des
sog. Haupthaares

34. Von den südlichen Ausläufern des
Haupthaares der vorangehende . . . .

35. Der nachfolgende derselben in einer
Figur von der Form eines Efeublattes
5 Sterne: 1 vierter, 4 fünfter Größe

und das Haupthaar.

Ä?24<>50'
Q 24» 20'
D 28° 30'

— 2° 40'

+ 30°
+ 25°
+ 25° 30'

3850

3849
3928

3910
3873*

3997

4109*
4187
4224*
4177

4111

4126
4198

4298*

4337

4326

4331
4370

4305
4391*
4439
4532

4512

4595*

4552

Jungfrau.

1. Von den 2 oben am Schädel der süd-
liche

2*. Der nördlichere derselben

3. Von den 2 ihnen nachfolgenden im
Antlitz der nördlichere

4. Der südlichere derselben

5. Der am Ende des südlichen, d. i. lin-
ken Flügels

6. Von den 4 im linken Flügel der vor-
angehende

7. Der diesem nachfolgende

8. Der weiter diesem nachfolgende . .

9. Der letzte nachfolgende von den vier.

10. Der in der rechten Seite unter dem
Gürtel

11. Von den 3 im rechten, d. i. nördlichen
Flügel der vorangehende

12. Von den übrigen 2 der südliche . . .

I 13. Der nördliche derselben, die sog. Vin-
demiatrix

14. Der am Ende der linken Hand, die
sog. Spika

15. Der unter dem Gürtel, etwa am rech-
ten Hinterbacken

16. Von der voraug. Seite des Vierecks am
linken Schenkel der nördliche ....

17*. Der südliche der vorangehenden Seite
18. Von den 2 der nachfolgenden Seite der

nördlichere

19*. Der südlichere der nachfolgenden Seite

20. Der am linken Knie

21. Der am rechten Hinterschenkel. . . .

22. Von den 3 in der Schleppe um die
Füße der mittelste

23. Der südliche derselben

24. Der nördliche der drei

25. Der am Ende des linken, d. i. südlichen
Fußes

26. Der am Ende des rechten, d. i. nörd-
lichen Fußes

26 Sterne: 1 erster, 6 dritter,
7 vierter, 10 fünfter, 2 sechster Größe.

26° 20'
26°

^

0°40'
0°30'

tip 8°l.ö'
lip 13 ' 10'
UV 17° 30'
lip 21°

np 14° 20'

np 8° 10'

tl])10°10'

npi2°io'

'tTp26°40'

^24° 50'

11]) 26° 20'
11p 27° 15'

Sh 0° 0'
lip 28°
Sh l°40'
lip 28°

SL 6° 40'
Sh 7°20'
SL 8° 20'

JL10°

Sh 12° 40'

-}- 4° 15'
+ 5° 40'

5° 30'

0°20'

1°30'
2° 50'
2° 30'
1°40'

8° 30'

13° 30'
11° 40'

+ 15° 10'

+ 8° 40'

+ 3° 20'

+ 0° 10'

+ 1°30'

— 3»

— 1°30'
+ 8° 30'

-t- 7« 10'

+ 2° 40'

+ 11°40'

-1- 0»30'

+ 9° 50'

Achtes Buch. Erstes Kapitel.

49

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

Größe

4100

4170
4217
4239

4271

4413

27,

31

32

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne :
Von den 3 auf einer Geraden unter
dem linken Ellbogen der vorangebende

, Der mittelste derselben

Der nachfolgende der drei

Von den 3 etwa auf einer Geraden
unter der Spika der vorangehende . .

•=. Der mittelste derselben, ein Doppel-
stern

Der nachfolgende der drei

6 Sterne: 4 fünfter, 2 sechster Größe.

np 14040'

n|)22°15'

nV27oio'

11p 28° 10'

sh 50

— 3030'

— 3030'

— 3°20'

— 7° 10'

— 8° 20'

— 70 50'

Achtes Buch.

4696*

4688*
4827*

4746*
4799

4774*

4917*
5023

5051

5084*

5017

4940

4955
4761

4921*

4938*

37

48

SSc.

JL

41

y Sc.
2HSc.
0 Sc.

Erstes Kapitel.
Sternbestand der südlichen Halbkugel.

A. Sternbilder des Tierkreises.
Scheren.

1. Von denen am Ende der südlichen
Schere der glänzende

2. Der nördlichere als dieser u. schwächere
8. Von denen am Ende der nördlichen

Schere der glänzende

4. Der ihm vorangehende schwache . . .

5. Der in der Mitte der südlichen Schere

6. Der diesem vorangehende an derselben
Schere

7. Der in der Mitte der nördlichen Schere

8. Der ihm nachf. in derselben Schere .

8 Sterne: 2 zweiter, 4 vierter,

2 fünfter Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne :

9. Von den 3 nördlicheren als die nörd-
liche Schere der vorangehende ....

10. Von den 2 nachfolgenden der südlichere

11. Der nördliche derselben

12. Von den 3 zwischen den Scheren der
nachfolgende

13. Von den übrigen 2 vorangehenden der
nördliche

14*. Der südliche derselben

15. Von den 3 südlicheren als die südliche
Schere der vorangehende

16. Von den übrigen 2 nachfolgenden der
nördlichere

17. Der südlichere derselben

9 Sterne: 1 dritter, 5 vierter,
2 fünfter, 1 sechster Größe.

^18°

suir

+

+

00 40'
20 30'

ifL 22010'

Sh 17040'

11.240

4-
+

80 50'
80 30'
10 40'

Sh 210 20'
iL 270 50'
11X 30

+
+
+

10 15'
4045'
30 30'

LfL260lO'
ni 30 40'
111 40 20'

+

+
-t-

90

60 40'
90 15'

111 30 30'

+

00 30'

ir|, 00 40'
11], 10 10'

+

00 20'
1030'

Sh230

—

7030'

llt 10 10'
111 20

—

80 30'
90 40'

5
4

4

4

4.5

5
4.5
4.5

Ptolemäus, übers, v. Manitius. IL

50

Achtes Buch. Erstes Kapitel.

Sternbesclireibung

Länge

5087^

5061
5054
5040

6

5129*

V

5097
5178*

0)'

a

5223*

a

5254

5128

t

5164
5326

d

5333
5348

&

5343
5440
5583
5637

5403

X

5562*
5518

l

V

5650
5533
5509

G
d Oph
43 Oph

Skorpion.

1. Yon den 3 glänzenden in der Stirn
der nördliche

2. Der mittelste derselben

8. Der südlichere der drei

4. Der noch südlichere als dieser an einem
der Füße

5. Yon den 2 Begleitern des nördlichsten
(ß) der glänzenden der nördliche . . .

6. Der südliche derselben (ein doppelter)

7. Von den 3 glänzenden im Körper der
vorangehende

8. Der rötliche mittelste derselben, der
sog. Antares

9. Der nachfolgende der drei

10. Von den 2 unter ihnen etwa am äußer-
sten Fuße der vorangehende

11. Der nachfolgende derselben

12. Der im 1. Schwanzgelenk vom Kör-
per ab

13. Der nach diesem im 2. Schwanzgelenk
14*. Der nördliche des Doppelsterns im

3. Schwanzgelenk

15. Der südlichere des Doppelsterns . . .

16. Der folgende im 4. Schwanzgelenk . .

17. Der nach ihm im 5. Schwanzgelenk. .

18. Der weiter folgende im 6. Schwanz-
gelenk

19. Der im 7. Schwanzgelenk neben dem
Stachel

20. Von den 2 im Stachel der nachfolgende

21. Der vorangehende derselben

21 Sterne: 1 zweiter, 13 dritter,
5 vierter, 2 lüniter Größe.
Nicht in das Bild miteinbezogene
Sterne:
22*. Der dem Stachel nachfolgende nebei-
förmige

23. Von den 2 nördlich des Stachels der

vorangehende

24*. Der nachfolgende derselben

3 Sterne: 2 iünfter Größe,
1 nebeliörmiger.

/ 1°10'

11125030'
111 25° 30'

Hl 6°20'
Hl 5° 40'
Hl 5° 40'

+

1°20'
1°40'
5°

111 6°

~

7050'

Hl 7°
Hl 6° 20'

+

4-

1°40'
0°30'

Hl 10° 40'

—

3° 45'

Hl 12° 40'
Hl 14° 30'

—

4°
5°30'

Hl 9° 20'
Hl 10° 40'

—

6° 30'
6° 40'

111 18° 30'
Hl 18°50'

-

11°
15°

11120°
111 20° 10'
111 23° 10'
Hl 28° 10'

-

18°

18° 40'
19° 30'
18° 50'

/ 0°30'

16° 40'

Hl 29°
H127°30'
Hl 27°

15° 10'
13°20'
13° 30'

13° 15

6° 10'
4° 10'

5746
5841

5862
5892

5798'
6060

Schütze.

1. Der an der Pfeilspitze

2. Der an der von der linken Hand er-
faßten Stelle (des Bogens)

3. Der im südlichen Teile des Bogens. .

4. Von denen im nördlichen Teile des
Bogens der südlichere

5. Der nördlichere derselben am Ende
des Bogens

6. Der an der linken Schulter . . . .

/ 4° 30'

— 6° 30

/ 7° 40'
/ 8°

— 6» 30

- 10° 50

/ 9°

— 1°30

/ 6°40'
/ 15°20'

+ 2° 50
— 3° 10

Skorpion. Schütze. Steinbock.

51

Bajer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

5^

9.

0

10.

n

11.

d

12.

Q

V

13.

14.

e^

15.

9

16

57

17.

i^

18.
]9.

^

20.

t

21.

t

22.

a

23.

24.

V

25.
26.

t

27.

CO

28.

^

29.

b

30.

c

31

7. Der diesem vorangebende am Pfeil . . ^ 13°

8. Der nebeiförmige Doppelstern im Auge /^ 15°10'

. Von den 3 im Kopf der vorangehende y^ 15° 40'

. Der mittelste derselben j,;^ 17°40'

. Der nachfolgende der drei /^ 19° 10'

. Von den 3 im nördlichen Oberkleid

der südliche . ^ 21°20'

. Der mittelste derselben j<^ 22°20'

. Der nördliche der drei P^ 22°50'

. Der den 3 nachfolgende schwache . . j^ 25° 40'
. Von den 2 im südlichen Oberkleid der

nördlichere /^ 29°30'

. Der südlichere derselben j<7< 27°40'

. Der an der rechten Schulter j<^ 22°40'

. Der am rechten Armbug y^ 24° 50'

. Von den 3 auf dem Kücken der im

Baum zwischen den Schultern ... ; ^^ 20°
. Der mittelste derselben am Schulter-
blatt / 17°40'

. Der übrige unter der Achsel y^ 16° 20'

. Der am vorderen linken Knöchel ...;/' 17° 40'

. Der am Knie desselben Fußes . . . . ^ 17°

. Der am vorderen rechten Knöchel . . ^^ 6° 40'

. Der am linken Schenkel / 27°20'

. Der am hinteren rechten Ellbogen . . ^^ 23° 50'
. Von den 4 im Ansatz des Schwanzes

der vorangehende der nördlichen Seite y^ 27° 40'

. Der nachfolgende der nördlichen Seite y^ 28° 50'

. Der vorangehende der südlichen Seite y^ 28° 50'

. Der nachfolgende der südlichen Seite y^ 29° 40'

31 Sterne: 2 zweiter, 9 dritter,

9 vierter, 8 iünfter, 2 sechster Größe,

1 nebeiförmiger.

— 3° 30'

+ 0°45'

+ 2° 10'
+ 1°30'
+ 2°

+ 2° 50'

+ 4° 30'

+ 6° 30'

+ 5° 30'

+ 5° 50'

+ 2°

— 1°50'

— 2°'.0'

— 2°30'

— 4° 30'

— 6°45'

— 23°

— 18°

— 13°

— 13° 30'

— 20° 10'

— 4°50'

— 4° 50'

— 5° 50'

— 6° 30'

Steinbock.

1. Von den 3 im nachfolgenden Hörn der
nördliche

2. Der mittelste derselben

3. Der südliche der drei

4. Der an der Spitze des vorangehenden
Homs

5. Von den 3 an der Schnauze der süd-
liche

6. Von den übrigen 2 der vorangehende.

7. Der nachfolgende derselben

8. Der den 3 vorangehende unter dem
rechten Auge

9*. Von den 2 am Halse der nördlichere

10. Der südlichere derselben

11. Der am linken gebeugten Knie . . . .

12. Der unter dem rechten Knie

13. Der an der linken Schulter

14. Von 2 dicht nebeneinander stehenden
unter dem Bavich der vorangehende .

^ 7°20'

-t-

7° 20'

5' 7°40'

+

6° 40'

^ 7° 20'

+

5°

7 5°

+

8'

7 9°

+

00 45'

•^ 8°40'

+

1«45'

^ 8° 50'

+

10 30'

:^ 6° 10'

+

OHO'

^S' 11° 40'

4-

3» 50'

^ 11°50'

+

0«50'

^ 11°40'

8» 40'

;^ 10°50'

—

6« 30'

S' 16° 40'

—

7*40'

20° 10'

e'so'

52

Achtes Buch. Erstes Kapitel.

Ambronn

Bajer

Stembeschreibung

Länge

Breite

6987
6911

6875

6948
7034

7062
7051"

7091*
7056

7123
7088
7080

17.

22.

Der nacMolgende derselben

Von den 3 in der Mitte des Leibes der

nachfolgende

Von den übrigen 2 vorangehenden der

südlichere

Der nördlichere derselben

Von den 2 auf dem Bücken der voran-
gehende

Der nachfolgende derselben

, Von den 2 am Steißbein des Bück-
grats der vorangehende .......

Der nachfolgende derselben ....

Von den 2 in der Gegend des Schwan-
zes der vorangehende

Der nachfolgende derselben

Von den 4 im nördlichen Teil des

Schwanzes der vorangehende

Von den übrigen 3 der südliche . . .

Der mittelste derselben

Der nördliche derselben am Ende des

Schwanzes

28 Sterne: 4 dritter, 9 vierter,
9 fünfter, 6 sechster Größe.

g' 20° 20'

^18° 30'

;5' 160 40'
'^ 160 40'

S' 160 40'

^210

J7 230 20'
f?25o

^ 24050'
J^ 260 20'

^ 260 50'

^ 280 40'
'^ 27040'

S' 280 40'

— 40

— 2050'

00 0'
— 0050'

— 4045'

— 4030'

7050

7179*

7167

7007*

7036

6883

6784
6748
7275*
3295

7310*

7345
7256*

7269
7321
7183

7214
7444*

7417

7300*
7410

Wassermann.

1. Der im Kopf des Wassermanns . . .

2. Von den 2 an der rechten Schulter der
glänzendere

3. Der unter ihm stehende schwächere .

4. Der an der linken Schulter

5. Der unter ihm auf dem Bücken, etwa
unter der Achsel.

6. Von den 3 in der linken Hand am Man-
tel der nachfolBteude

7. Der mittelste derselben

8. Der vorangehende der drei

9. Der am rechten Ellbogen

10. Von den 3 am Ende der rechten Hand
der nördliche

11. Von den übrigen 2 nördlichen der voran-
gehende

12. Der nachfolgende derselben

13. Von den 2 dicht beieinander stehenden
an d. Vertief, d. rechten Hüfte d. vorang.

14*. Der nachfolgende derselben

15. Der auf dem rechten Hinterbacken . .

16. Von den 2 auf dem linken Hinter-
backen der südliche

17*. Der nördlichere derselben

18. Von den 2 an der rechten Wade der
südlichere

19. Der nördlichere derselben unter der
Kniekehle

20. Der am linken Hinterschenkel . . .

21. Von den 2 an der linken Wade der
südlichere

axt 0O20'

«j» 50 10'
S' 260 30'

5^27020'

^17040'
'^ 160 10'
S' 14040'
a^ 9030'

»»11040'

!Kal20
asftl3O20'

ssa 6010'
(Wi 70
(KÄ 80 40'

Ä» 1040'
»» 30 10'

Äsa 110 40'

(K«110 20'
iKÄ 40 40'

ai* 80 20'

+ 15045'

+ 110
+ 9040'
+ 80 50'

+ 5030'

-H 80

+ 80 40'

+ 80 45'

+ 10045'

+ 90

+ 80 30'

+ 30 10'

+ 30

— 00 50'

— 10 40'

— 00 15'

— 50

— 50 40'

— 100

Wassermann. Fisclie.

53

Bajer

Sternbesclireibung

Länge

Breite

131 H

«P. a,

2 Ceti

22. Der nördlichere derselben unter dem
Knie

23*. Von denen im Wasserguß von d. Hand
ab der vorangehende

24*. Der anschließende aüdlich des vor-
genannten

25. Der an diesen anschließende nach der
Krümmung

26. Der weiter diesem nachfolgende . . .

27. Der in der Krümmung südlich von
diesem

28. Von den 2 südlich des letzteren der
nördlichere

29*.' Der südlichere der zwei

30. Der von diesen nach Süden abstehen-
de einzelne

31. Von den 2 nach letzterem dicht bei-
einander stehenden der vorä.ngehende

32*. Der nachfolgende derselben . . . .

33. Von den 3 in der anschließenden Gruppe
der nördliche

34. Der mittelste der drei

35*.Der nachfolgende derselben . . .

36. Desgleichen von den folgenden 3 der
nördliche

37. Der südliche der drei . .

38. Der mittelste derselben

39*.Von den 3 in der noch übrigen Gruppe

der vorangehende

40. Von den 2 übrigen der südlichere . .

41. Der nördlichere derselben

42. Der letzte im Wasserguß an der
Schnauze des Südl. Fisches ...

42 Sterne: 1 erster, 9 dritter, 18 vierter,

13 fünfter, 1 sechster Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene Sterne:

43. Von den 3 der Krümmung des Wasser-
gusses nachf. der vorangehende . .

44. Von den 2 übrigen der nördlichere. .

45. Der südlichere derselben

3 Sterne vierter Größe.

26» 40'
29» 40'

7» 50'

— 9»

15»

+ 2»

14» 50'

+ 0»10'

17»40'
20»

— 1»10'

— 0»30'

20» 30'

— 1»40'

19»
19» 50'

— 3»30'

— 4» 10'

20» 50'

— 8»15'

22» 40'
23» 10'

— 11»

— 10»50'

21»40'
22» 10'
23» 10'

— 14«

— 14»45'

— 15» 40'

17»

18» 20'
17»30'

— 14» 10'

— 15»45'

— 15»

11»50'
12» 20'
13»10'

— 15» 20'

— 14» 45'

— 14»

7»

— 20» 20'

— 15» 30'

— 14» 40'

— 18» 15'

Fische.

Der an dem Maule des vorangehenden

Fisches ,

Von den 2 am Schädel desselben der

südlichere ,

Der nördlichere derselben . ...
Von den 2 auf dem Bücken der voran-
gehende

Der nachfolgende derselben

Von den 2 am Bauche der voran-
gehende

Der nachfolgende derselben

Der im Schwänze desselben Fisches .

xm 21»40'
«»24» 10'

a«»28»10'
X 0»40'

aa»26»
^ 29» 40'
X 6»

9» 15'

7» 30'
9»20'

9» 30'
7» 30'

4» 30'
3» 30'
6» 20'

54

Achtes Buch. Erstes Kapitel

Sternbesclireibung

Länge

71

114*
196

255
316*

331
380

431

486

538*

450

409

363

306*

308
241

229

202*

268*

307
334
315*
340

7759

7775

7776

V

9
99 H

27

9. Von denen im Band desselben der
erste vom Schwanz ab . . . . . . .

10. Der nachfolgende derselben

11. Von den folgenden 3 glänzenden der
vorangehende

12. Der mittelste derselben

I 13. Der nachfolgende der drei

j 14. Von den 2 kleinen unter letzteren in

I d. Krümmung d. nördlichere

! 15. Der südlichere derselben

16. Von den 3 nach der Krümmung der
vorangehende

17. Der mitte'ete derselben

18. Der nachfolgende der drei

19. Der im Knoten der beiden Bänder . .

20. Von denen im nördl. Bande der voran-
gehende vom Knoten ab

21. Von den 3 nach ihm folgenden der
südliche

22. Der mittelste derselben

23. Der nördliche von den 3 am Ende des
Schwanzes ...

24. Von den 2 am Maule des nachfolgen-
den Fisches der nördlichere

25. Der südliche derselben . .

26. Von den 3- kleinen im Kopf der nach-
folgende

27. Der mittelste derselben

28. Der vorangehende der drei

29. Von den 3 in der Kückenflosse nach
dem am Ellbogen (»;) der Andromeda
der vorangehende

30. Der mittelste derselben

31. Der nachfolgende der drei

32. Von den 2 am Bauch der nördlichere

33. Der südlichere derselben

34. Der in der nachfolgenden Ilücken-
flosse am Schwänze

34 Sterne : 2 dritter, 22 vierter, 3 fünfter,

7 sechster Größe.
Nicht in das Bild miteinbezogene Sterne:

35. Von dem Viereck unter dem voran-
gehenden Fisch der vorangehende der
2 nördlichen

36. Der nachfolgende derselben

37. Von der südlichen Seite der voran-
gehende

38. Der nachfolgende der südlichen Seite.

4 Sterne vierter Größe.

Xis«

XIT'IO'
X20«30'
X23»

X22''20'
X23'>

X 26«30'
X 28*40'

Y 0«40'

Y 2« 30'

Y 0''30'

Y OlO'

Y 0*40'

Y 00 30'

Y 20

Y l''40'

X 280 40'

X 27040'

X270

X 250 40'
X 260 20'
X 270 40'

Y 20 10'
X 290 50'

Y 00 0'

X 10 10'

X 20 15'

X 0040'

X 20 20'

In Bildern des Tierkreises in Summa 346 Sterne:
5 erster, 9 zweiter, 64 dritter, 1 33 vierter, 1 05 fünfter,
27 sechster Größe, 3 nebeiförmige und das Haupthaar,

Walfisch. Orion.

55

B. Sternbilder außerhalb des Tierkreises.

Bayer

ternbeschreibung

Länge

Breite

804

X

1.

817*

a

2.

722*

y

3.

699

ö

4.

681*

V

5.

730

^'

6.

632

^Ar.

7.

638

Q

8.

667

a

9.

701

e

10.

727

jt

11.

448

t

12.

528

V

13.

478*

^

14.

.'52

.9

15.

291

rj

16.

244

<P'

17*

234

(p^

18.

206

<p-

19.

169

(p^

20.

67

i

21.

164*

Walfisch.

, Der am Ende der Nüster

, Von den ä an der Schnauze der nach-
folgende am Ende der Kiefer . . . .
, Der mittelste derselben mitten im Maule
, Der vorangehende der 3 am Kinnbacken
. Der an der Augenbraue und dem Auge
Der nördlichere als dieser, etwa am

(Stirn-) Haar

. Der diesen vorangehende, etwa in der

Mähne

, Von dem Viereck auf der Brust der
nördliche der vorangehenden Seite . .
. Der südliche der vorangehenden Seite
. Der nördliche der nachfolgenden Seite
, Der südliche der nachfolgenden Seite
, Von den 3 im Leibe der mittelste . .

, Der südliche derselben

, Der nördliche der drei

Von den 2 nahe der Schwanzgegend

der nachfolgende

Der vorangehende derselben

". Von dem Viereck in der Schwanz-
gegend der nördl. der nachf. Seite . .
Der südliche der nachfolgenden Seite
Der nördliche der vorangehenden Seite
Der südliche der vorangehenden Seite
Von den 2 an den Schwanzenden der

am nördlichen Ende

, Der am südlichen Schwanzende . . .
22 Sterne; 10 dritter, 8 vierter,
4 fünfter Größe,

Y 17°40'

Y 17» 40'

Y 12» 40'

Y 10» 30'

Y 10» 10'

Y 12» 40'

Y 7» 40'

Y 3»

Y 3»20'

Y 6» 40'

Y 7'
X22»
X23*
X25»

$

19» 40'
15»

Xii" ,

X 10» 40'
X 9» 20'
X 9"

X 4'20'
X 5*40'

— 7*45'

— 12» 20'

— 11» 30'

— 14»

— 8» 10'

— 6» 20'

— 4» 10'

— 24» 30'

— 28»

— 25» 10'

— 27» 30'

— 25» 20'

— 30» 50'

— 20«

— 15» 40'

— 15» 40'

— 13« 40'

— 14» 40'

— 13»

— 14»

— 9» 40'

— 20» 20'

1658^
1811=»

1588"
1626"
1861
1960
1923

1948
1925
1799

1869
1702

1653

Orion.

1. Der nebeiförmige im Kopf des Orion. ^ 27»

2. Der glänzende rötliche an der rechten
Schulter TT 2»

3. Der au der linken Schulter H 24»

4. Der unter diesem nachfolgende. . . . ^ 25»

5. Der am rechten Armbug FI 4» 20'

6. Der am rechten Ellbogen ! TT 6» 20'

7*.Von dem Viereck am Ende der rechten

Hand der nachfolgenue der südlichen

Seite, ein Doppelstern TT 6*30'

8. Der vorangehende der südlichen Seite TT 6»

9. Der nachfolgende der nördlichen Seite TT 7» 20'

10. Der vorangehende der nördlichen Seite TT 6*40'

11. Von den 2 in der Keule der voran-
gehende TT 1»40'

12. Der nachfolgende derselben TT 4*40'

13. Von den 4 auf dem Rücken, ungef.

auf einer Geraden, der nachfolgende . J^ 27» 50'

14. Der diesem vorangehende ^ 26» 20'

— 13» 30'

— 17»

— 17» 30'

— 18»

— 14» 30'

— 11»50'

10»
9» 45'
8» 15'
8» 15'

3» 45'
4» 15'

19*40'
20»

56

Achtes Buch, Erstes Kapitel.

imbronn

Bajer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

Größe

1628*

«1

15. Der weiter letzterem vorangehende . .

H 25»20'

— 20« 10'

6

1604

V

16. Der übrige vorangehende der vier , .

g 24» 10'

— 20« 40'

5

1492

15

17. Von denen im Fell der linken Hand

der nördliche

^ 20» 30'
K 19» 20'

— 8«

4

1459

11

18. Der zweite vom nördlichsten ab . . .

— 8» 10'

4

1411

0^

19. Der dritte vom nördlichsten ab. . . .

§18»

— 10» 15'

4

1404

7t^

20. Der vierte vom nördlichsten ab . . .

8 16»20'

— 12» 50'

4

1382

Jt"^

21. Der fünfte vom nördlichsten ab . . .

K 15» 10'

— 14» 15'

4

1380

7t^

22. Der sechste vom nördlichsten ab . . .

8 14» 50'

— 15« 50'

3

1386

n^

23. Der siebente vom nördlichsten ab . .

8 14° 50'

— 17« 10'

3

1400

n"

24. Der achte vom nördlichsten ab. .

8 15» 20'

— 20« 20'

3

1429*

7t«

25. Der letzte nnd südlichste von denen

1635*

s

im Fell

J^ 16» 20'
H 25» 20'

-21« 30'
— 24« 10'

3

2

26. Von den 3 im Gürtel der vorangehende

1674

e

27. Der mittelste derselben

>-( 27» 20'

— 24« 50'

2

1715*

f

28. Der nachfolgende der drei

§28» 10'

— 25» 40'

2

1586*

0

29. Der am Schwertgriff

8 23» 50'

— 25» 50'

3

1667*

30. Von den 3 dichtgedrängten am Ende

des Schwertes der nördliche

8 26»30'

— 28» 20'

4

1665*

■9-

31. Der mittleste derselben

8 26» 40'

-29» 10'

3.4

1669*

i

32. Der südliche der drei

8 27»

— 29» 50'

3

1703

d

33. Von den 2 unter der Spitze des Schwer-

tes der nachfolgende

H 27»40'

— 30» 40'

4

1637

V

34. Der vorangehende derselben

J5 26» 30'

— 30» 50'

4

1523*

ß

35. Der glänzende am Ende des linken

Fiißes mit dem Fluß gemeinsame . .

H 19« 50'

— 31« 30'

1

1540

t

36*.Der nördlichere als dieser über dem

Knöchel an der linken Wade

8 21'

— 30« 15'

4.3

1583

e

37. Der unter der linken Ferse außerhalb

8 23» 20'

— 31» 10'

4

1764

y.

38. Der unter dem rechten, d.i. nachfol-

genden Knie

IT 0»10'

— 33« 30'

3.2

38 Sterne: 2 erster, 4 zweiter, 8 dritter.

15 vierter, 3 fünfter, 5 sechster Größe,

1 nebeiförmiger.

Fluß (Eridanus).

1494

X

1. Der nach dem iß) am Ende des Fußes

des Orion am Anfange des Flusses . .

J5 18» 20'

— 31«50'

4.3

1483

ß

2. Der nördlichere als dieser in der Krüm-

mung bei der Wade (r) des Orion . .

8 18» 30'

-28« 15'

4

1444

^

3. Von den nach diesem folgenden 2 der

nachfolgende

8 18«
8 14» 40'

— 29« 50'

4

1396

0}

4. Der vorangehende derselben

— 28« 15'

4

1359

H-

5. Von den weiter folgenden 2 der nach-

folgende

K13«10'

— 25«50'

4

1311

V

6. Der vorangehende derselben

8 10» 10'

— 25» 20'

4

1238

S

7. Von den 3 nach diesem der nach-

folgende

8 6« 20'

— 26»

5

1184*

0^

8. Der mittelste derselben

§ 5» 30'

— ?7»

4

1164

Ol

9. Der vorangehende der drei

8 2» 50'

— 27« 50'

4

1104

Y

10. Von den 4 im folgenden Abstand der

nachfolgende

^27«
Y24»20'

— 32« 50'

3

1043

7t

11. Der diesem vorangehende

— 81«

4

1020

d

12. Der weiter letzterem vorangehende

Y24»10'

— 28« 50'

3

974

8

13. Der vorangehende der vier

Y22»

— 28«

3

Fluß. Hase. Großer Hund.

57

imbronn

Bajer

Sternbesclireibung

Länge

Breite

Größe

884

c

14.

Desgl. von den 4 im folgenden Ab-

stand der nachfolgende.

Y i7no'

— 25 30'

3

823*

?'

15.

Der diesem vorangehende . .

Y 14030'

— 23050'

4

830

r

16.

Der weiter letzterem vorangehende . .

Y12<>10'

— 23020'

3

783

rj

17.

Der vorangehende von den vier . .

Y10<'30'

— 23015'

4

733

t^

18.

Der erste in der Windung des Fl.,

der d. Brust des Walfisches berührt .

Y 5010'

— 320 10'

4

758

f"-

19.

Der diesem nachfolgende

Y 5050'

- 340 50'

4

824

t^

20.

Von den folgenden 3 der vorangehende

Y 80 50'

— 380 30'

4

906*

«4

21.

Der mittelste derselben

Y13»50'

— 380 10'

4

977

t^

22.

Der nachfolgende der drei . . .

YIT^SO'

— 3ao

4

1052

t^

23.

Von den folg. etwa ein Trapez bilden-

den vier der nördl. der vorang. Seite

Y21<>20'

— 410 20'

4

1060

t~

24.

Der südlichere der vorangehenden

Seite

Y 21030'

— 420 30'

5

1088

t^

25.

Der vorangehende der nachfolgenden

Seite

Y 22010'

— 43015'

4

1110

tr«

26.

Der diesem vorangehende letzte der vier

Y 240 40'

— 43020'

4

1302

v^

27.

Von den ostwärts abstehenden dicht

beieinander stehenden 2 d. nördliche

H 4» 10'

- 500 20'

4

1312

v""-

28.

Der südlichere derselben ...

8 5°

— 51045'

4

1247

d

29.

Von den 2 folgenden nach der Krüm-

mung der nachfolgende . . . ,

Y 280 10'

-53050'

4

1206

u*

30.

Der vorangehende derselben . .

Y 25050'

— 53010'

4

1089

y5

31.

Von den 3 im folgenden Abstand der

nachfolgende

Y 1^°50'

— 530

4

1072

g

32.

Der noittelste derselben

Y 14050'

— 53030'

4

1065

h

33.

Der vorangehende der drei

Yii^so'

— 52030'

4

805*

d-

34.

Der äußerste glänzende des Flusses .

Y 00 10'

— 53030'

1

34 Sterne : 1 erster, 5 dritter, 26 vierter.

2 fünfter Größe.

.

Hase.

1508*

t

1.

Von dem Viereck an den Ohren der

nördliche der vorangehenden Seite

^ 19040'

— 350

5

1513*

y.

2.

Der südliche der vorangehenden Seite

^ 19050'

— 360 30'

5

1560

V

3.

Der nördliche der nachfolgenden Seite

K 210 20'

— 350 40'

5

1558

l

4.

Der südliche der nachfolgenden Seite

^ 210 20'

— 360 40'

5

1512

i«

5.

Der am Kinn

8 19">10'

— 39015'

4.3

1472

s

6.

Der am Ende der linken Vorderpfote

g 160 10'

- 450 15'

4.3.

1646*

a

7.

Der in der Mitte des Leibes . . . , :

g 25050'

— 41030'

3

1617*

ß

8.

Der unter dem Bauch .......

g 240 50'

— 440 20'

3

1790

d

9.

Von den 2 in den Hinterpfoten der

nördlichere

TT 1"

-440 10'

4.3

1745*

Y

10.

Der südlichere derselben .....

^290

-450 50'

4.3

1758

c

11.

Der an der Hüfte ...

rr 0» 0'

— 380 20'

4.3

1827

n

12

Der am Ende des Schwanzes . . .
12 Sterne : 2 dritter, 6 vierter,
4 fünfter Größe.

TT 2040'

— 380 10'

4.3

Großer Hund.

2167*

a

1.

Der glänzendste rötliche am Maule, d.

sog. Hundsstern (Sirius)

n 170 40'

— 39010'

1

2243

d-

2.

Der an den Ohren .

n 19040'

-350

4

2257*

/*

3

Der am Kopf

n 210 20'

-360 30'

5

58

Achtes Bucb. Erstes Kapitel.

Imbronn

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

Größe

2309*

y

4. Von den 2 am Hälse der nördliche . .

TT 23» 20'

— 37« 45'

4

2260

i

5*.Der südliche derselben ...

TT 21» 20'

— 40«

4

2255

7t

6. Der an der Brust

TT 20« 30'

— 42« 40'

5

2127

yi

7. Yon 2 am rechten Knie der nördliche

TJ 16« 10'

-41» 15'

5

2115

V-

8. Der südlichere derselben . .

ni6«

— 42» 30'

5

2003

f.

9. Der am Ende der Vorderpfote . .

nii"

-41« 20'

3

2077

10. Von den "2 am linken Knie der voran-

«ehende

ni4»40'

— 46» 30'

5

2101

r^

11. Der nachfolgende derselben . . .

TT 16« 10'

— 45» 50'

5

2306

02

12. Von den 2 an der linken Schulter der

nachfolgende

TJ 24« 40'

— 46» 10'

4

2248

o'

13. Der vorangehende derselben

TJ 21« 40'

— 47»

5

2339*

6

14. Der am Ansatz des linken Schenkels

TT 26« 40'

— 48» 45'

3.4

2277*

e

15. Der unter dem Bauch im Eaume zw.

den Schenkeln

TT 23« 40'

— 51» 30'

3

2211

X

16. Der am Bug der rechten Pfote . . , .

n23»

-55» 10'

4

1993*

c

17. Der am Ende der rechten Pfote . .

TT 9» 40'

— 53« 45'

3

2449

V

18. Der am Schwanz

18 Sterne: 1 erster, 5 dritter, 5 vierter,

7 fünfter Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne :

Q 2« 10'

— 50» 40'

3.4

2800

19 Mon.

19. Der nördUch vom Kopf des Hundes .

TT 19» 30'

— 25» 15'

4

1905

.9 Col.

20. Von den 4 unter den Hinterpfoten etwa
auf einer Geraden stehenden der süd-

lichste

nio«

— 61» 30'

4

1971

^ »

21. Der nördlichere als dieser

TT 11*20'

— 58» 45'

4

2005

^

22*.Der noch nördliche e als letzterer .

ni3«

-57»

4

2054*

X

23. Der noch übrige nördlichere der vier.

TT 14» 10'

-56»

4

1756

/iCol.

24*. Von den 3 westlich dieser vier etwa
auf einer Geraden stehenden der vor-

angehende

^28«
TT 0«20'

— 55» 30'

4

1807

^ »

25. Der mittelste derselben

— 57»40'

4

1845

y .,

26. Der nachfolgende der drei

TJ 2» 20'

— 59» 50'

4

1796

ß »

27. Von den 2 glänzenden unter letzteren

der nachfolgende

^29«
8 26«

— 59« 40'

2

1721*

a »

28. Der vorangehende derselben

— 57» 40'

2

1642

e »

29. Der übrige südlichere als die vorge-

nannten

^22" 10'

-59» 30'

4

11 Sterne: 2 zweiter, 9 vierter Größe.

Kleiner Hund (Procyon).

2463
2649*

Der im Nacken

TT 25«

— 14«

4

Der glänzende an den Hinterpfoten, der

sog. Procyon

TT 29*10'

— 16» 10'

1

2 Sterne: 1 erster, 1 vierter Größe.

Argo.

1

2683

e Pupp.

1. Von den 2 am Galjon der vorangeh. .

Q10«20'

— 42» 30'

5

2748

' »>

2. Der nachfolgende derselben

Gl4«20'

— 43» 20'

3

2634

1 »

3. Von den 2 dicht beieinander stehenden
über dem kleinen Schild am Hinter-

2628

0 „

teil der nördlichere

O 8« 50'

— 45»
-46» 10'

4

4

4. Der südlichere derselben

9 8« 40'

Kleiner Hund, Argo.

59

Barer

Sternbesclireibung

Länge

Breite

2550
2554*

2530

2595
2562
2682
2446

2408*
2545

2567
2611
2667
2730

2777

2794
2990

3001
2965

2929

2958

2983"
3025

3055
3115

3244

2764"
2851

3198
3377
3333='

3589
2134

m Pupp.

H 47 irtr.
X PupP'
H3Arg.

7t Pnpp.
/ »

c „
b „

d V'el.

D „
C „

a „

Y ,)

f "
Ji Vel.

Y »
f Car.
6 Vel.

9^ »

ü Car.

r Pupp,

27.

Der diesen vorangehende

Der glänzende in der Mitte des klei-
nen Schildes

Von den 3 unter dem kleinen Schild

der vorangehende

Der nachfolgende derselben

Der mittelste der drei \

Der an der kleinen Gans

Von den 2 am Kiel des Hinterteils der

nördlichere

Der südlichere derselben

Von denen am Verdeck des Hinterteils

der nördlichere

Von den 3 folgenden der vorangehende

Der mittelste derselben

Der nachfolgende der drei

Der diesen nachfolgende glänzende am

Verdeck

Von den 2 schwachen unter dem glän-
zenden der vorangehende.

Der nachfolgende derselben

Von den 2 über dem genannten glän-
zenden der vorangehende

Der nachfolgende derselben

Von den 3 an den Schildchen etwa am

Mastbehälter der nördliche

Der mittelste derselben

Der südliche der drei

Von den 2 unter letzteren dicht bei-
einander stehenden der nördlichere . .

Der südlichere derselben

Von den 2 in der Mitte des Mastes der

südliche

Der nördlichere derselben

Von den 2 an der Spitze des Mastes

der vorangehende

Der nachfolgende derselben

Der unterhalb des nachfolgenden dritten

Schildcheus

Der an der Schnittlinie des Verdecks .
Der zwischen den Steuerrudern am Kiel
Der diesem nachfolgende schwache . .
Der diesem nachfolgende glänzende

unter dem Verdeck

Der von diesem südlich stehende glän-
zende am nuteru Kiel

Von den 3- letzterem nachfolgenden der

vorangehende

Der mittelste derselben

Der nachfolgende der drei

Von den 2 diesen nachfolgenden der
vorangehende dicht an der Schnittlinie

Der nachfolgende derselben

Von den 2 am nördlichen, d i. voran-
gehend. Steuerruder der vorangehende
Der nachfolgende derselben

O 5« 20'
Q 9» 20'
O 80 30'

G 4P

O 4°
Oiono'

O 12" 10'
Q 13» 40'
O 16« 30'

0 21" 10'

Q 18« 10'
G21«

Q23«10'
G24«20'

TT 4«
TT 20» 10'

— 45« 30'

— 47» 15'

— 49» 45'

— 49» 30'

— 49« 15'
-49» 50'

— 53»

— 58« 40'

— 55» 30'

— 58» 40'

— 57» 15'

— 57» 50'

— 58« 40'

— 59« 20'

— 56« 40'

— 57» 40'

— 51» 30'

— 55» 40'
-57» 10'

— 60»

— 61» 15'

— 51« 50'

— 49«

-43» 20'

— 43» 30'

— 54» 30'

— 51» 15'

— 63«

— 64« 30'

— 63» 50'

— 69» 40'

— 65» 40'!

— 65» 50'

— 67« 20'

— 62» 50'

— 62« 15'

— 65» 50'

— 65» 40'

60

Achtes Bnch. Erstes Kapitel.

imbronn

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

2030*
2223

a Arg.
t Pupp.

44, Von den 2 am andern Steuerruder der

vorangehende, der sog. Kanobus

45*.Der noch übrige nachfolgende derselben

45 Sterne: 1 erster, 6 zweiter,

11 dritter, 19 vierter, 7 fünfter,

1 sechster Größe.

TT17''10'
17 29»

75»
710 45'

2941

2933

2995=

2972
3049

3102

3142
3246

3221"
3208

3210*

3300

3344
3419
3500

3563
3617
3711

3687
3793

3832
3883"
4272

4490

3518

9>

V

ß Grat.

50 Mon.
rfSit.

Wasserschlange.

1. Von den 5 im Kopf der südlichere der
2 vorangehenden an den Nüstern . . .

2. Der nördlichere derselben oberhalb des
Auges

3. Von den 2 ihnen nachfolgenden der
nördliche, etwa am Schädel

4. Der südlichere derselben am Eachen .

5. Der allen nachfolgende, etwa am Kinn-
backen

6. Von den 2 im Ansatz des Jsackens der
vorangehende

7. Der nachfolgende derselben

8. Von den 3 folgenden in der Krümmung
des Nackens der mittelste

9. Der nachfolgende der drei

10. Der südlichste derselben

11. Von den 2 südlich dicht beieinander
stehenden der schwache nördliche

12. Von den 2 dicht beieinander stehenden
der glänzende

18. Von den 3 nachfolgenden nach der
Krümmung der vorangehende ....

14. Der mittelste derselben

15. Der nachfolgende der drei

16. Von den drei folgenden auf einer Ge-
raden der vorangehende

17. Der mittelste derselben

18. Der nachfolgende der drei ....

19. Von den 2 nach dem Fuß des Bechers
der nördlichere

20. Der südlichere derselben

21. Von den 3 nach diesen ein Dreieck
bildenden der vorangehende

22. Der nüttelste südlichere derselben . .

23. Der nachfolgende der drei

24. Der nach dem Eaben in der Schwanz-
gegend

25*.Der am Ende des Schwanzes

25 Sterne: 1 zweiter, 3 dritter,

19 vierter, 1 fünfter, 1 sechster Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene

Sterne:

26. Der südlich des Kopfes

27. Der in einiger Entfernung den Sternen
{t'^it^) im Nacken nachfolgende . . .

2 Sterne dritter Größe.

Q14»
6313» 20'

Ois^äo'

Gl5»30'

017° 30'

Q 200 20'
O 23» 20'

Ttp 1»
nj) 2» 20'

np 12» 10'
11])14»30'

n])i6»io'

SU 0» 0'
SU 13» 30'

Q 12» 30'

QU»

■15»
■13» 10'

■ 11» 30'
-14» 15'

•12» 15'

■ 11» 50'

■ 13» 40'

-15» 20'
14» 50'
17» 10'

19» 45'

. 20» 30'

26» 30'
26»
23» 15'

24» 40'
23» 15'
22» 10'

25045'
30» 10'

31» 20'
33» 10'
31»20'

13040'
13» 40'

23015'
16» 20'

Wasserschlange. Becher. Rabe. Zentaur.

61

Bayer

Sternbeschreibung

3941*

3948
4004
3973

4051*

4068
4077

Länge

Becher.

3661* a 1. Der am Fuße des Bechers mit der
Wasserschlange gemeinsame

J756* y 2. Von den 2 in dör Mitte des Bechers
der südlichere

3739 § 3. Der nördlichere derselben ......

3848 f 4. Der am südlichen Rande der Mündung

3753 e 5. Der am nördlichen Eande ....

3894 r\ 6, Der am südlichen Henkel ....

3809 d- 7. Der am nördlichen Henkel .....
7 Sterne vierter Größe.

Rabe-

1. Der am Schnabel mit der Wasser-
schlange gemeinsame

2. Der am Halse beim Kopf

3. Der auf der Brust

4. Der im vorangehenden, d. i. fechten
Flügel ; . . .

5. Von den 2 im nachfolgenden Flügel
der vorangehende

6. Der nachfolgende derselben . . . . .

7. Der am Ende des Fußes mit der
"Wasserschlange gemeinsame . . .

7 Sterne: 5 dritter, 1 vierter,
1 fünfter Größe.

Q 26<»20'

np 2030'
Tip 0» 0'

ITJ) 7»
Q 290 20'

np 9» 10'

Tip 1«40'

— 230

19« 20'
18«

18« 30'
13« 40'
16« 10'
11« 30'

np 15«20'
1ipi4«20'
irp 16« 4:0'

Tip 13» 20'

Tip 16« 40'
Tip 17«

11P20«30'

21« 40'
19« 40'
18« 10'

14« 50'

12« 30'
11« 40'

18» 10'

4410
4429*
4386

4423*
4278

4491

4320*

4560

4569
4655

4658

4407

4408
4451
4489
4617
4736
4438

Zentaur.

1. Von den 4 im Kopf der südlichste . . ' iTL 10« 30

2. Der nördlichste derselben lTIi 10«

3. Von den noch übrigen 2 mittelsten der
vorangehende uTL 9«10'

4. Der nachfolgende noch übrige der vier Su 10«

5. Der an der linken, d. i. vorangehenden
Schulter ! lTL 6«10'

6. Der an der rechten Schulter ; Lail5«40'

7. Der am linken Schulterblatt jfL 9«10'

8. Von den 4 im Thyrsusstabe der nörd-
lichere der 2 vorangehenden Sh 18» 10'

9. Der südlichere derselben ^ 19» 10'

10. Von den noch übrigen 2 der am Ende

des Thyrsusstabes ufL 22«

11. Der noch übrige südlichere als der
letztere iri|22»30'

12. Von den 3 in der rechten Seite der
vorangehende ' Sh 13» 20'

13. Der mittelste derselben j lTL 14»

14. Der nachfolgende der drei La|15»10'

15. Der am rechten Arm. " . . . lTL 16»20'

16. Der am rechten EUbogen !il;22»50'

17. Der am Ende der rechten Hand . . .1 irL27»30'

18. Der glänzende am Ansatz des Men-|
schenleibes i iXI. 18«

— 21« 40'

— 18» 50'

— 20» 30'

— 20»

— 25« 40'

— 22» 30'

— 27« 30'

— 22« 20'

— 23« 45'

— 18« 15'

— 20« 50'

-r 28« 20'

— 29« 20'

— 28«

— 26«30'
-25» 15'

— 24« 15'

— 33» 30'

62

Achtes Buch. Erstes Kapitel.

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite Größe

4453

f '

4464

4301*

4204

/

4105*

Y

3954
3939

',

4355*

s

4058

yCr.

3967
4131*

4033*
3808

« «

4634*
4470

a
ß

19. Von den 2 schwachen nördlicheren als
letzterer der nachfolgende

20. Der vorangehende derselben

21. Der am Ansatz des Kückens

22. Der diesem vorangehende auf dem
Pferderücken

23. Von den 3 an der Hüfte der nachfol-
gende

24. Der mittelste derselben

25. Der vorangehende der drei

26. Von den 2 am rechten Schenkel dicht
beieinander stehenden der vorangehende

27. Der nachfolgende derselben

28. Der auf der Brust unter der Achsel
des Pferdes

29. Von den 2 unter dem Bauche der vor-
angehende

30. Der nachfolgende derselben

31*. Der am Bug des rechten (Hinter-)

Fußes

32. Der am Knöchel desselben Fußes. . .

33*. Der unter demBug des linken (Hinter-)
Fußes

34*. Der an der Höhlung des Huts des-
selben Fußes

35. Der am Ende des rechten Vorderlußes

36*. Der am Knie des linken (Vorder-)
Fußes

37. Der außerhalb unter dem rechten

Hinterfuß

37 Sterne: 1 erster, 5 zweiter,
7 dritter, 16 vierter. 8 iünfter Größe.

11.16« 50'

Sh 12« 10'

SU 9«

Sh 5» 50'
lO, 5»
Sh 2» 40'

Sh 2» 40'
Sh 3« 20'

iL 18» 20'

irL16»20'
Shll'^W

tTLlO«
LfL15«20'

Sh 6« 20'

ILIIOIO'
ITl 8« 20'

Sh 24« 10'

Sh 140 40'

— 31«

— 33»

— 34» 50'

— 37«40'

— 40«

— 43»

— 41«

— 46« 10'

— 46» 45'

— 40» 45'

— 4S«

— 43» 45'

-51» 10'

— 51« 40'

55» 10'

— 55« 20'

— 41« 10'

— 45» 20'

— 49« 10'

4732

4693
4905*

4848*
4762*
4794*
4826*

4841
4796
4606

4629

4628*

5057*

5092

4942

Wolf.
Der am Ende des Hinterfußes bei der

Hand [y.) des Zentauren

Der am Bug desselben Fußes

Von den 2 am Schulterblatt der voran-
gehende

Der nachfolgende derselben

Der in der Mitte des Leibes des Wolfes
Der am Bauch unter den Weichen . .

Der am Schenkel

Von den 2 am Ansatz des Schenkels

der nördlichere

Der südlichere derselben .......

Der am Ende der Hüfte

Von den 3 am Ende des Schwanzes

der südliche

Der mittelste der drei

Der nördliche derselben

Von den 2 im Nacken der südlichere.

Der nördlichere derselben

Von den 2 an der Schnauze der voran-
gehende .

^0.28«

il]i25«50'

in.

1«

IT

4» 10'

n

3«

IT

0«10'

111

0«30'

in

4« 40'

in

3« 40'

in

5» 40'

Sh 22«

JL21«50'

^23«

in

8» 50'

in.

9« 20'

n

5» 40'

24» 50'
29« 10'

21»15'
21«

25« 10'
27«

28« 30'
30» 10'
33» 10'

31« 20'
30» 30'
29° 20'
17«
15»20'

13»20'

Wolf. Räucheraltar. Südliche Krone. Südlicher Fisch.

63

Baver

Stern beschreibung

Länge

Breite

4999
4806

4828

17. Der nachfolgende derselben

18. Von den 2 im Vordertuß der südlichere
19*. Der nördlichere derselben

19 Sterne: 2 dritter, 11 vierter,
6 lünfter Größe.

nX 6" 40'
LrL27''10'
JL26<'30'

— 11« 50'

— 11» 50'

— 10«

5569
5744
5550
5369

5507

5508
5360

Räacheraltar.

1. Von den 2 an der Basis der nördlichere

2. Der südlichere derselben

3. Der in der Mitte des kleinen Altars .

4. Von den 3 an der Brandstelle der
nördliche

5. Von den übrigen 2 dicht beieinander
stehenden der südlichere

6. Der nördlichere derselben

7. Der am Ende der Brennröhre . . . .
7 Sterne: 5 vierter, 2 fünfter Größe.

in 27« 40'
/ 3«
in, 26« 20'

IIX 20« 40'

^^l 25« lO'
nt 25«

111 20« 50'

— 22« 40'

— 25« 45'
-26« 30'

— 30« 20'

— 34« 10'

— 33« 20'

— 34« 15'

5879

6008
6062
6121
6162

6177

6170

6147*

6089

6094
5974

5926*
5925

aTel.

Südliche Krone.

1. Der außerhalb des südlichen Bogens
vorangehende

2. Der nachfolgende in der Krone selbst

3. Der diesem nachfolgende

4. Der weiter letzterem nachfolgende . .

5. Der nach diesem vor dem Knie (a) des
Schützen

6. Der nach diesem nördlichere als der
glänzende (a) am Knie

7. Der nördlichere als dieser

8. Der noch nördlichere als letzterer . .

9. Von den 2 vorangehenden nach diesem
im nördlichen Bogen der nachfolgende

10. Der vorangehende von den 2, schwachen

11. Der letzterem eine geraume Strecke
vorangehende

12. Der weiter letzterem vorangehende . .

13. Der letzte südlichere als der vorge-
nannte

13 Sterne: 5 vierter, 6 lünfter,
2 sechster Größe.

/ 9« 10'
^ 11« 40'
/ 13« 10'
^ 14050'

/16«10'

/17«
/ 16« 50'
/16«30'

/ 15« 10'
/ 14« 40'

/ 11« 50'
/ 9« 40'

/ 9« 10'

— 21«30'

— 21«

— 23«

— 20«

— 18-30'

— 17« 10'

— 16«

— 15« 10'

— 15« 20'

— 14« 50'

- 14« 40'

— 15« 50'

— 18« 30'

7463*

a

7325*

1^

7431*

Y

7456*

d

7372

s

7194

/"

7320

?

7236

X

Südlicher Fisch.

0. Der am Maule, derselbe wie am An-
fang des Wassergusses

1. Von den 3 im südlichen Bogen des
Kopfes der vorangehende

2. Der mittelste derselben

3. Der nachfolgende der drei

4. Der am Kiemen

5. Der an der südlichen Kückenflosse . .

6. Von den 2 am Bauch der nachfolgende

7. Der vorangehende derselben

xxt 0«40'
as* 4« 10'
tau 5» 20'

axa 4« 20'
'^ 25» 10'
xü 1«10'
^ 28« 50'

- 20« 20'

- 20« 20'

- 22« 15'

— 22« 30'

- 16« 15'

— 19« 30'

- 15« 10'

— 14*40'

64

Achtes Buch. Zweites Kapitel.

Ambronn

Bayer

Sternbeschreibung

Länge

Breite

Größe

7155*

7096*

7074

7124

6761*
6858

i

Y Gr.

a Mlcr.

Y ..

8. Von den 3 in der nördlicben Flosse
der nachfolgende

^ 25» 10'
S'21»50'

S'21»
JS' 20» 10'

S' 8»

S'ii»io'

S'14»

^12«

IS' 13» 50'
S'13»50'

-15»

— 16» 30'

— 18» 10'

— 22« 15'

— 22« 20'
-22« 10'

— 21« 10'

— 20« 50'

-17«
-14» 50'

4

9. Der mittelste derselben

10. Der vorangehende der drei

11. Der am Ende des Schwanzes

11 Sterne: 9 vierter, 2 fünfter Größe.

Nicht in das Bild miteinbezogene
Sterne:

12. Von den dem Fisch vorangehenden
3 glänzenden der vorangehende . . .

13. Der mittelste derselben

14*.Der nachfolgende der dr. i

15. Der diesem vorangehende schwache .

16. Von den noch übrigen 2 nach ^Norden
der südlichere

4
4
4

3.4

3.4

3.4

5

4

17. Der nördlichere derselben

6 Sterne: 3 dritter, 2 vierter,
1 fünfter Größe.

4

In südlichen Sternbildern in Summa 316 Sterne:

7 erster, 18 zweiter, 63 dritter, 164 vierter,

54 fünfter, 9 sechster Größe, 1 nebeiförmiger.

Gesamtsumme 1022 Sterne:

15 erster, 45 zweiter, 208 dritter, 474 vierter,

217 fünfter, 49 sechster Größe, 9 schwache,

5 nebeiförmige, hierüber das Haupthaar.

Ha 84
Hei 170.

Zweites Kapitel.
I Die Lage der Milchstraße.

Der Fixsternkatalog ist hiermit zum Abschluß gebracht.
Wie es die logische Reihenfolge fordert, werden wir im An-
schluß daran die Lage der Milchstraße schildern, so gut dies
möglich ist und wie es uns die Beobachtung ihrer einzelnen
Teile an die Hand gegeben hat. Gleichzeitig wollen wir
den Versuch machen, der scheinbaren Formlosigkeit, welche
sie hier und da zeigt, bestimmten ' Umriß zu verleihen.

Daß der Kreis der Milchstraße nicht ein Kreis schlecht-
hin, sondern ein Gürtel ist, der allenthalben sozusagen die

Die Milchstraße. 65

Farbe der Milch zeigt — daher auch die Benennung — , aber
auch nicht ein gleichförmiger und regelrechter Gürtel, son-
dern ein nach Breite, Färbung, Dichtigkeit und Lage ver-
schiedengearteter, sowie daß er an einer Stelle doppelt ist:
diese Wahrnehmung dürfte sich wohl schon bei oberflächlicher 6
Betrachtung dem Auge aufdrängen. Geht man aber auf
Einzelheiten ein, die einer aufmerksameren Beobachtung be-
dürfen, so finden wir folgendes zu berichten.

Der doppelte Teil des Gürtels hat sozusagen zwei Zu-
sammenschlußstellen, die eine bei dem Räucheraltar, die andere 10
bei dem Schwan, jedoch nur in dem Sinne, daß der voran-
gehende (westliche) Gürtel mit dem andern (östlichen) in
keinerlei Zusammenhang steht — denn er läßt an
beiden Zusammenschlußstellen, sowohl ander bei dem Räucher-
altar als auch an der bei dem Schwan, (freie) Zwischen- 15
räume — , während der nachfolgende (östliche) Gürtel mit
dem übrigen Teile der Milchstraße allenthalben zusammen- Hei i7i
hängt und mit ihm einen Gürtel bildet, durch welchen wohl
auch ein genau die Mitte einhaltender größter Kreis gehen
könnte. Diesen Gürtel wollen wir zuerst besprechen, wobei Ha 85
wir mit seinen südlichsten Teilen beginnen. 21

Diese Teile gehen durch die Füße des Zentauren, sind
aber wesentlich dünner und lichtärmer. Der Stern (ß Crucis)
am Bug des rechten Hinterfußes (Kat. 31) ist ein wenig
südlicher als die nördliche Grenzlinie der Milchstraße, gleicher- 25
weise der Stern (ß) am Knie des linken Vorderfußes (Kat. 36)
und der (a Crucis) unter dem Knöchel des rechten Hinter-
fußes (Kat. 32). Dagegen liegt der Stern (k) am Bug des
linken Hinterfußes (Kat. 33) mitten in der Milchstraße,
während der (?) am Knöchel desselben Fußes (Kat. 34) und 30
der (a) am Knöchel des rechten Vorderfußes (Kat. 35) von
dem südlichen Rande ungefähr 2®, wie der größte Kreis 360'
hat, nach Norden zu entfernt liegen. Die Teile in der Gegend
der Hinterbeine sind ein wenig dichter.

Im weiteren Verlauf ist der nördliche Rand der Milch- 35
Straße von dem Stern (^) an der Hüfte des Wolfes (Kat. 10)
ungefähr lY2^ entfernt, während der südliche Rand den Stern (^)

Ptjlemäus, übers, v. Manitius. II. 5

QQ Achtes Buch. Zweites Kapitel.

an der Brennröhre des Rauche raltars (Kat. 7) inner-
halb liegen läßt, aber von den beiden dicht nebeneinander
stehenden (yß) an der Brandstelle (Kat. 5.6) den nördlicheren
(ß) und von den beiden (ö-ö-) an der Basis (Kat. 1. 2.) den
5 südlicheren {&) noch berührt. Der Stern (f) im nördlichen
Teile der Brandstelle (Kat. 4) und der Stern (a) in der Mitte
Hei 172 derselben (Kat. 3) liegen in der Milchstraße selbst. Diese
Teile sind wesentlich dünner.

Weiterhin schließt der nördliche Teil der Milchstraße die

10 drei Schwanzgelenke (ß-Loc) vor dem Stachel (Xv) des Skor-
pions (Kat. 17 — 21) und den dem Stachel nachfolgenden
Nebelfleck (Kat. 22) ein, während der südliche Rand den
Stern('»^) am vorderen rechtenKnöchel des Schützen (Kat. 25)
berührt und den (6) an der linken Hand (Kat. 2) in sich

15 schließt. Der Stern (e) im südlichen Teil des Bogens (Kat. .3)
Ha 86 steht außerhalb der Milchstraße, der Stern (j) an der Pfeil-
spitze (Kat. 1) mitten darin; auch die Sterne (X^) im nörd-
lichen Teil des Bogens (Kat. 4. 5) liegen in der Milchstraße,
jeder von beiden etwas mehr als 1^ von dem ihm nahen

20 Rande entfernt, der südliche (X) vom südlichen, der nördliche
(^) vom entgegengesetzten. Die Teile in der Gegend der
drei Schwanzgelenke (-O-tJc) sind ein wenig dichter, die um
die Pfeilspitze (y) sind stark verdichtet und erscheinen rauch-
artig.

25 Die weiterhin sich anschließenden Teile sind ein wenig
dünner und erstrecken sich unter Einhaltung nahezu derselben
Breite längs des Adlers hin. Der Stern ('9') am Ende des
Schwanzes der Schlange (Kat. 18), welche der Schlangen-
träger hält, liegt im reinen Himmelsblau und ist ein wenig
Hei 173 mehr als 1^ von dem vorangehenden (westlichen) Rande der

31 Milchstraße entfernt. Von den unter dem Adler liegenden
glänzenden Sternen liegen die beiden vorangehenden (Kat. 12.
15) in der Milchstraße selbst, der südlichere (A Ant.) 1^ ent-
fernt von dem nachfolgenden (östlichen) Rande, der nörd-

35 liebere (ö Ant.) 2^. Der nachfolgende (ö) von den Sternen

(ft(?) in der rechten Schulter des Adlers (Kat. 7. 8) berührt

^ den nämlichen Rand, der vorangehende ((i) wird innerhalb

Die Milchstraße. 67

eingeschlossen, ebenso auch der vorangehende glänzende (y)
von den Sternen (ycp) im linken Flügel (Kat. 5. 6.) Der
glänzende Stern (a) auf dem Rücken (Kat. 3) und die beiden
(ßo) mit ihm auf einer Geraden (?) stehenden (Kat. 2. 4)
berühren nahezu gleichfalls den nämlichen ßand. Alsdann 5
liegt der ganze Pfeil in der Milchstraße eingeschlossen, und
zwar ist der Stern (y) an der Spitze (Kat. 1) 1^ von dem
östlichen Rande entfernt, der (ß) am Ende des Einschnitts
am Schaft (Kat. 5) 2*^ von dem westlichen. Die beiderseits
des Adlers liegenden Teile sind ein wenig dichter, die übrigen 10
ein wenig dünner.

Weiterhin tritt die Milchstraße an den Schwan heran,
und zwar wird der nordwestliche Rand in einer hakenför- Ha 87
migen Abzweigung von dem Stern (l) in der südlichen
Schulter des Schwans (Kat, 11) begrenzt, ferner von dem 15
unter ihm in dem nämlichen Flügel (Kat. 10) stehenden
Stern (s) und von den beiden Sternen (v^) in dem südlichen
Fuße (Kat. 13. 14), während der südöstliche Rand von dem
Stern (^) am Ende des südlichen Fittigs (Kat. 12) begrenzt
wird und die nicht in das Bild miteinbezogenen zwei Sterne 20
(tö) unter demselben Flügel (Kat. 18. 19) so einschließt,
daß sie von diesem Rande ungefähr 2^ entfernt bleiben.
Die um den Flügel gelegenen Teile sind ein wenig dichter. Hei i74

Die weiterhin folgenden Teile hängen zwar mit diesem
Gürtel zusammen, sind aber bedeutend dichter und gehen 25
wie von einem anderen Anfangspunkte aus; denn sie neigen
sich den äußersten Teilen des anderen Gürtels zu und schließen
sich, indem sie eine Lücke nach diesem hin lassen, von der
südlichen Seite her an den Gürtel an, mit dessen Beschrei-
bung wir zunächst beschäftigt sind. Dieser ist an der Zu- 30
sammenschlußstelle zwar sehr dünn, fängt aber hinter der
nach dem anderen Gürtel zu gelassenen Lücke an dichter
zu werden, und zwar von dem glänzenden Stern (a) am Sterz
des Schwanes (Kat. 5) und der im nördlichen Knie (Kat. 17)
stehenden nebeiförmigen Gruppe (co^ mit o)^ und ro^) ab. 35
Dann beschreiben diese Teile einen leichten Bogen bis zu
dem Stern (^) im südlichen Knie (Kat. 14) und erstrecken

68 Achtes Bucli. Zweites Kapitel.

ihre allmählich abnehmende Dichtigkeit bis zur Tiara des

Cepheus. Begrenzt werden sie an der nördlichen Seite

durch den südlichen (s) von den drei Sternen (s^l) in der

Tiara (Kat. 9. 10. 11) und dem (6) diesen nachfolgenden

5 (^Kat. 13). Hier bilden diese Teile zwei Ausläufer; der eine

verläuft in nordöstlicher, der andere in südwestlicher Richtung.

Alsdann umschließt die Milchstraße die Kassiopeja ganz

mit Ausschluß des Sterns (t) am Ende des Fußes (Kat. 7).

Ha 88 Der südliche Rand wird begrenzt von dem Stern (^) im Kopf

10 der Kassiopeja (Kat. l), der nördliche von dem Stern (x)

am Euße des Throns (Kat. 11) und von dem Stern (e) an

dem Schienbein der Kassiopeja (Kat. 6) ; die übrigen Sterne

dieses Bildes und seiner Umgebung liegen alle innerhalb der

Hei 175 Milchstraße. Die Teile an den Rändern verlaufen in dünnerem

15 Erguß, während die in der Mitte der Kassiopeja gelegenen

eine in der Längsrichtung sich erstreckende Dichtigkeit zeigen.

Weiterhin liegt die rechte Seite des Perseus innerhalb der

Milchstraße. Ihre nördliche Seite, welche sehr dünn ist, begrenzt

der vereinzelte Stern (H 34 Cam.) außerhalb des rechten Knies

20 des Perseus (Kat. 28), die südliche Seite, welche sehr dicht
ist, der glänzende Stern (a) in der rechten Seite (Kat. 7) und
von den drei (öi^jö) südlich davon stehenden (Kat. 8. 9. 10)
die beiden nachfolgenden (ipö). In ihr umschlossen liegt
auch der Nebelfleck (Ji) am Griff (Kat. 1), ferner die Sterne

25 (t) im Kopf (Kat. 5), (y) an der rechten Schulter (Kat. 3)
und (j]) am rechten Armbug (Kat. 2), mitten in der Milch-
straße das Viereck (Älfic) im rechten Knie (Kat. 17. 18. 19),
ferner der Stern (d) an der rechten Wade (Kat. 20), endlich
gleichfalls noch ein wenig innerhalb der südlichen Seite der
Stern (e) an der rechten Ferse (Kat. 21).

30 Hierauf läuft der Gürtel, indem er den Eindruck merklich
dünneren Ergusses macht, durch den Fuhrmann. Der
Stern (a) an der linken Schulter, die sogenannte Capeila
(Kat. 3), und die beiden Sterne (vt) am rechten Ellbogen

35 (Kat. 5) berühren nahezu den nordöstlichen Rand der Milch-
straße, der kleine Stern (2) über dem linken Fuß (Kat. 14)
im Gewandsaum grenzt die südwestliche Seite ab, der Stern

Die Milchstraße. 69

(x) über dem rechten Fuß (Kat. 12) liegt Yg" innerhalb der-
selben Seite, während die beiden dicht nebeneinander stehen- Hei i76
den Sterne (t^^) am linken Ellbogen, die sogenannten Zick-
lein (Kat. 8. 9), in der Mitte des Gürtels liegen. Ha 89

Weiterhin geht die Milchstraße durch die Füße derZwil- 6
linge, indem sie gerade bei den Sternen an den Enden der
Füße eine gewisse in der Längsrichtung sich erstreckende
Dichtigkeit entwickelt. Der nachfolgende (l) von den drei
auf einer Geraden stehenden Sternen (136,139,1) unter dem
rechten Fuße [ß Tauri) des Fuhrmanns (Kat. Zw. 19), von 10
den beiden (%^%^) in der Keule des Orion (Kat. 11. 12) der
nachfolgende {%*) und von den vier Sternen {^vf^f^) am
Ende seiner Hand (Kat. 7 — 10) die beiden nördlichen (f^f^)
begrenzen den vorangehenden (westlichen) Rand der Milch-
straße, der helle Stern (x Aur.) unter der rechten Hand ('9') 16
des Fuhrmanns (Kat. Zw. 20) und der Stern {^) am Ende
des nachfolgenden Fußes des nachfolgenden Zwillings (Kat. 18)
liegen ungefähr 1° innerhalb der nachfolgenden (östlichen)
Seite, während die Sterne (rj^vy) an den Enden der übrigen
Füße (Kat. 14 — 17) mitten in der Milchstraße liegen. 20

Von dort geht der Gürtel an dem Kleinen und dem
Großen Hund vorbei, indem er den Kleinen Hund nach
Osten zu abtrennt, so daß das ganze Bild nicht unbeträcht-
lich außerhalb der Milchstraße liegt, während er den Großen
Hund nach Westen zu abtrennt, so daß er gleichfalls fast 25
ganz außerhalb liegt. Denn es trifft den Stern (o^) auf seinem
Rücken (Kat. 12) ein wolkenähnlicher Ausläufer, der auch
nahezu die letzterem hintereinander folgenden drei Sterne
(65, 67, 68 H) im Nacken (?) des Gro'ßen Hundes berührt, wo-
gegen der Stern (19 Mon.) über dem Kopf des Großen Hundes 30
(Kat. 19), der außerhalb und weiter weg vereinzelt steht, un-
gefähr 2^/2^ innerhalb des östlichen Randes liegt. Es ist diese
Strömung in ihrer ganzen Ausdehnung merklich dünner.

Hierauf geht die Milchstraße durch die Argo, Der nörd- Hei 177
liehe und vorangehende (m) von den Sternen in dem kleinen 36
Schild des Hinterteils (Kat. 5) begrenzt den westlichen Rand
des Gürtels, der Stern (>t) in der Mitte des Schildes (Kat. 6),

70 Achtes Buch. Zweites Kapitel.

die beiden (qt) unter letzterem dicht nebeneinander stehen-
den (Kat. 7. 8), der glänzende (^) am Anfang des Verdecks
Ha 90 bei dem Steuerruder (Kat. 17) und von den drei Sternen
(ö%(p) am Kiel (Kat. 37. 38. 39) der mittelste (jc) berühren
5 nahezu die nämliche (westliche) Seite. Den östlichen Rand
begrenzt der nördliche (^d) von den drei Sternen (dab) am
Mastbehälter (Kat. 22. 23. 24), während der glänzende Stern
(i) am Galjon (Kat. 2) 1^ innerhalb derselben Seite und der
helle Stern {X) unter dem nachfolgenden kleinen Schild am

10 Verdeck (Kat. 31) um den nämlichen Betrag eines Grades
außerhalb derselben Seite liegt. Der südliche (ß) von den
zwei hellen Sternen (ßcc) in der Mitte des Mastes (Kat. 27.
28) berührt dieselbe (östliche) Seite; die beiden glänzenden
Sterne (ye) an derselben Schnittlinie des Kiels (Kat. 35.36)

15 stehen ungefähr 2^ innerhalb des vorangehenden (westlichen)
Randes. Von hier aus schließt sich nunmehr die Milchstraße
an den durch die Füße des Zentauren gehenden Gürtel an.
Diese durch die Argo gehende Strömung ist ziemlich dünn ;
wesentlich dichter sind die Teile derselben, welche um den

20 kleinen Schild, um den Mastbehälter und um die Schnitt-
linie des Kiels herum liegen.

Nachdem der eingangs erwähnte Gürtel, wie (S. 65,14)
gesagt, einen (freien) Zwischenraum nach dem bisher be-
schriebenen Gürtel hin bei dem Räucheraltar gelassen und

25 von dort seinen Anfang genommen hat, schließt er die vom

Hei 178 Körper des Skorpions ab (Kat. 12. 13. 14) gezählten drei

Schwanzgelenke (ffx^) ein und läßt den nachfolgenden (r)

von den drei Sternen (aar) im Körper (Kat. 7. 8. 9) 1^

außerhalb des westlichen Randes liegen, während der Stern

30 (rj) im vierten Schwanzgelenk (Kat. 16) im reinen Himmels-
blau zwischen den beiden Gürteln liegt, von jedem ungefähr
gleich weit, d. i. wenig mehr als einen Grad entfernt. Hierauf
beschreibt der vorangehende (westliche) Gürtel eine kreis-
bogenförmige Biegung nach Osten und wird an der west-

35 liehen Seite der Milchstraße begrenzt von dem Stern (t^) am

Ha 91 rechten Knie des Schlangenträgers (Kat. 12), an der

östlichen von dem Stern (^) an demselben Schienbein (Kat. 13),

Die Milchstraße. 71

während der vorangehende (^Ä) von den Sternen (^Ad-b51) am
Ende des nämlichen Fußes (Kat. 14 — 17) dieselbe Seite be-
rührt. Dann begrenzt weiterhin den westlichen Rand der
Stern (ft) unter dem rechten Armbug des Schlangenträgers
(Kat. 9), den östlichen der vorangehende (y) von den beiden 5
Sternen (vv) am Ende der nämlichen Hand (Kat. 10. 11).
Von dort ab erstreckt sich ein ziemlich großer Zwischenraum
von reinem Himmelsblau, in welchem die beiden Sterne (^tj)
im Schwänze der Schlange (Kat. 16. 17) nach dem Stern (t)
am Ende (der Hand) liegen. Der gesamte (bisher) beschrie- 10
bene Teil dieses Gürtels besteht aus einer ganz dünnen, fast
luftartigen Strömung mit Ausnahme des Teiles, welcher die drei
Schwanzgelenke (eft^) einschließt, der merklich dichter ist.

Nach dem Zwischenraum beginnt die Milchstraße wieder Hei 179
von neuem bei den vier Sternen (Kat. 25 — 28), die der rechten 15
Schulter (ßy) des Schlangenträgers (Kat.2. 3) nachfolgen.
Den östlichen Rand dieses Gürtels begrenzt Berührung haltend
der vereinzelt stehende helle Stern (^) unter dem Schwänze
des Adlers (Kat. 9), den entgegengesetzten der von den oben-
genannten vier Sternen weiter weg nördlich stehende (Kat. 29). 20

Von da ab zieht sich dieser Gürtel, dünn wie er ist, auch
noch zu einem schmalen Streifen in den Teilen zusammen,
welche dem Stern (ß) am Schnabel des Schwans (Kat. l)
vorangehen, so daß scheinbar der Eindruck einer Lücke her-
vorgerufen wird. Der übrige Teil desselben von dem Stern 26
(ß) am Schnabel bis zu dem Stern (y) an der Brust des
Schwans (Kat. 4) ist indessen sowohl breiter als auch be-
deutend dichter Der Stern (rj) amHalse des Schwans (Kat. 3)
liegt in der Mitte dieses dichten Teils. Es zweigt sich aber
von dem Stern (y) an der Brust ein dünner Teil nach Norden 30
ab bis zu dem Stern (d) an der Schulter des rechten Flügels Ha 92
(Kat. 6) und den beiden dicht nebeneinander stehenden {0^0^)
am Ende des rechten Fußes (Kat. 15. 16), wodurch, wie
(S. 67,28) gesagt, nach dem anderen Gürtel hin eine reine
Lücke entsteht, welche von den genannten Sternen (ßrjy) des 35
Schwans bis zu dem glänzenden Stern (a) am Sterz (Kat. 5)
reicht.

72 Achtes Buch. Drittes Kapitel.

Drittes Kapitel.
Anfertigung eines Himmelsglobus.

Die in der Milchstraße beachtenswerten Erscheinungen
sind hiermit ihrer Lage nach beschrieben. Nun wollen wir
Hei 180 aber das Bild, welches der Himmelsglobus darbieten soll,
auch mit den für die Fixsternsphäre nachgewiesenen Hypo-
5 thesen in Einklang bringen; wurde doch nach ihnen auch
diese Sphäre ähnlich wie die Sphären der Wandelsterne von
dem ersten Umschwung scheinbar von Osten nach Westen
um die Pole des Äquators herumbewegt, aber auch von einer
in entgegengesetzter Richtung fortschreitenden Bewegung

10 um die Pole der Ekliptik geleitet. So werden wir denn
zur Anfertigung dieses Globus und zur Auftragung des Stern-
bestandes folgenden Weg einschlagen.

Für die Farbe der den Untergrund bildenden Kugel wer-
den wir einen etwas dunkleren Ton wählen, wie er nicht

15 der Luftfärbung des Tages, sondern mehr dem Dunkel der
Nacht entspricht, bei welchem die Sterne sichtbar werden.
Nachdem wir auf der Kugel genau diametral gegenüber zwei
Punkte bestimmt haben, werden wir um diese als Pole einen
größten Kreis beschreiben, welcher jederzeit in der Ebene

20 der Ekliptik liegen soll, worauf wir unter rechten Winkeln

zu ihm einen zweiten Kreis durch seine Pole ziehen. Von

Ha 93 einem der Schnittpunkte ausgehend, welche dieser Kreis mit

ersterem bildet, werden wir dann den Ekliptikkreis unter

Beisetzung der Zahlen zu praktisch gewählten Abschnitten

25 in die üblichen 360 Grade teilen. Hierauf werden wir aus
hartem Holz, welches sich nicht mehr verzieht, zwei allseitig
so genau abgeschärfte Ringe herstellen, daß ihre Oberflächen
in vier Kanten zusammenstoßen^^ ; der kleinere muß an seiner
ganzen konkaven Fläche mit dem Globus Berührung halten.
Hei 181 während der andere nur wenig größer sein darf. In der

31 Mitte der konvexen (Rund-) Fläche beider Ringe werden wir

a) D. h. daß die Querschnitte dieser Ringe Quadrate darstellen.
Vgl. I 41, 26 und Prodi Hypotyp. p. 43, c.

Himmelsglobus. * 73

ihre Dicke genau halbierende Linien einritzen.*^ Nachdem
wir durch diese Linien hindurch in die eine der durch sie
geschiedenen Seitenflächen Einschnitte bis zu der Hälfte
des Kreisumfangs gemacht^^ werden wir auch die durch
diese Einschnitte abgegrenzten Halbkreise (beider Ringe) in 5
die (auf sie entfallenden) 180 Grade teilen. Ist dies ge-
schehen, so treffen wir die Bestimmung, daß der kleinere
Ring mit der (Mittellinie der) Fläche des bezeichneten (Ring-)
Abschnitts jederzeit durch die beiden Pole des Äquators und
der Ekliptik und weiter durch die Wendepunkte gehen (d. i. 10
als Breitenkreis dienen) soll. Nachdem wir ihn diametral
gegenüber an den Enden des durch die Einschnitte gekenn-
zeichneten Abschnitts mit bis zur Mitte reichenden Bohr
löchern versehen haben, werden wir ihn vermittelst kleiner
Stifte auf die Pole (der Ekliptik) aufsetzen, welche wir auf 15
dem Globus festgelegt hatten, so daß er über die ganze
Kugeloberfläche herumbewegt werden kann.

Um einen bleibenden Ausgangspunkt für die Auftragung
des Fixsternbestandes zu erhalten, weil es keine Gewähr
bietet, direkt an der Ekliptik des Globus die Wende- und 20
Nachtgleichenpunkte zu kennzeichnen, wenn die Entfernung
der aufzutragenden Sterne, auf diese Punkte bezogen, nicht
dieselbe bleibt, so werden wir (als Fundamentalstern) den
glänzendsten Fixstern — ich meine den (Sirius) am Maule Ha ö4
des Großen Hundes — auf dem die Ekliptik (des Globus) 25
unter rechten Winkeln schneidenden (Breiten-) Kreis durch
einen Punkt bezeichnen: dies geschieht auf der Höhe des

a) Diese Linien sollen die genaue Einstellung der Mitte der
Ringe auf die durch die Sterne gehenden Breitenkreise bzw.
auf den Kolur'der Wenden vermitteln.

b) Der Umfang beider Ringe wird hierdurch halbiert, weil
nur die eine Hälfte des Umfangs eingeteilt werden soll, bei
dem kleineren Ring als Breitenkreis die von Ekliptikpol zu
Ekliptikpol reichende, bei dem größeren als Meridiankreis die
vom ^'ordpol bis zum Südpol reichende. Diese Gradteilung ist
natürlich auf der einen Seitenfläche der Ringe an dem inneren
Rande vorzunehmen, welcher der Oberfläche des Globus am
nächsten liegt.

74 ' Achtes Buch. Drittes Kapitel.

Grades, der den Anfang der Einteilung (der Ekliptik) bildet,
Hei 182 und zwar in demjenigen Abstand von der Ekliptik nach
ihrem südlichen Pole hin, wie ihn die (im Katalog) ver-
zeichneten (SOVß) Grade in Breite an die Hand geben. Bei
Ö allen anderen Fixsternen werden wir weiterhin die bezeich-
nenden Punkte in der Reihenfolge des Katalogs machen.
Hierzu wird der (Kolur-)Ring, welcher an dem durch die
Einschnitte begrenzten Abschnitt (von Ekliptikpol zu Eklip-
tikpol) eingeteilt ist, um die Pole der Ekliptik gedreht.

10 Zunächst legen wir nämlich stets die Fläche seiner durch
die Einschnitte abgegrenzten Seite an denjenigen Punkt der
Ekliptik an, welcher von dem Anfangspunkt der Zählung,
der an dem durch den Hundsstern gehenden Gradabschnitt
liegt, ebenso viele Grade in Länge entfernt ist, wie nach dem

1^ Katalog der Stern, um den es sich handelt, vom Hundsstern
absteht. An dem Punkte der (bis hierher in Länge) weiter-
geschobenen eingeteilten Seite angelangt, welcher wieder
ebenso viele Grade von der Ekliptik absteht, wie dem be-
treffenden Stern im Katalog nach dem nördlichen oder nach

20 dem südlichen Ekliptikpol hin Abstand zukommt, werden
wir an dieser Stelle den Ort des Sterns durch einen Punkt
kenntlich machen. Schließlich setzen wir der Reihe nach
die gelbe oder die für einige (z. B. die roten) Sterne beson-
ders charakteristische Farbe in dem Maße auf, wie es zu

25 dem für jeden Stern eingeschätzten Größenbetrag im rich-
tigen Verhältnis steht.

Die ümrißzeichnungen der einzelnen Sternbilder werden

Ha 95 wir so einfach als möglich ausführen, indem wir die unter

dasselbe Bild fallenden Sterne nur durch Linien umreißen,

30 und zwar durch Linien, die sich von der Farbe, in wel-
cher der ganze Globus gehalten ist, nicht allzusehr abheben,
damit weder der praktische Zweck, der sich aus dieser
charakteristischen Linienführung ergeben soll, verfehlt werde.
Hei 1S3 noch die Aufsetzung bunter Farben die Ähnlichkeit des Bil-

35 des mit der Wirklichkeit beeinträchtige. Dadurch erreichen
wir, daß der auf den ersten Blick in das Auge fallende Ver-
Sfleich uns leicht werde und unschwer im Gedächtnis zu be-

Himmelsglobus. 75

halten sei, sobald wir uns schon bei dem Bilde, welches der
Globus bietet, daran gewöhnen, in den Konstellationen bloße
Phantasiegebilde zu erblicken.

Nachdem wir nun auch die Lage der Milchstraße nach
den oben dargelegten Positionen und Alignements und nicht 5
minder den Dichtigkeitsverhältnissen oder Lücken ent-
sprechend aufgetragen haben, werden wir auch den größeren
Eing, welcher dauernd Meridian sein soll, mit dem kleineren,
der den Globus umschließt, in Verbindung bringen, und zwar
um Pole, welche mit denen des Äquators identisch sind. Zu 10
diesem Zweck werden wir zunächst diese Punkte auf dem
größeren, d. i. dem (feststehenden) Meridianring, wieder an
den Enden der durch die Einschnitte abgegrenzten und ein-
geteilten Seite, welche (bei Sphaera recta ganz) über dem
Horizont liegen wird, diametral gegenüber mit (nach innen 15
gerichteten) Polstiften versehen. Für diese sind auf dem
kleineren Ring, der durch beide Pole (sowohl den der Eklip-
tik als den des Äquators) geht, an den Enden der Bogen,
welche beiderseits diametral gegenüber von den Ekliptik-
polen die 23^51' der Schiefe Abstand haben, an den Ein- 20
schnittsteilen des Einges*^ kleine Erhöhungen gelassen, in
denen sich die Lager für die Polstifte (des Meridianringes)
befinden sollen.

Die durch Einschnitte (an den Ekliptikpolen) abgegrenzte
Seite des kleineren Einges, welche natürlich jederzeit^) mit Ha 96
dem durch die Wendepunkte gehenden Meridian (d. i. mit 26
dem Kolur des Globus) zusammenfallen muß, werden wir
nun für jeden gegebenen Fall (dauernd) auf denjenigen Punkt Hei i84
der Ekliptikteilung (des Globus) einstellen, welcher so viel
Grade von dem durch den Hundsstern gehenden Anfang (der 30

a) Der Plural t&v tivkIcov ist sicher falsch: nur der kleinere
Ring, der Kolur, welcher sich mit dem Globus unter dem fest-
bleibenden größeren Ring um die Pole des Äquators drehen soll,
kann Lager für die Polstifte des Meridianringes haben.

b) Sobald dieser Ring auf die beschriebene Weise unter den
feststehenden Meridianring eingesetzt ist; als um den Globus
drehbarer Breitenkreis war er ja nur zar Auftragung der Sterne
verwendet worden.

76 Achtes Buch, Drittes Kapitel.

Zählung) entfernt ist, als der Hundsstern zu der in Frage
kommenden Zeit vom Sommerwendepunkt absteht. Diese
(Länge des Hundssterns) beträgt z. B. zu Anfang der Regie-
rung Antonius (137 n, Chr.) 12^ 20' gegen die Richtung der
5 Zeichen.*^ Den Meridianring aber werden wir unter rechten
Winkeln mit dem vom Gestell (des Globus) dargestellten
Horizont in feste Verbindung bringen, so daß er von der
scheinbaren Fläche des letzteren halbiert wird, aber in der
eigenen Ebene gedreht werden kann, damit wir von Fall zu

10 Fall den nördlichen Pol an der Meridianteilung um den
Bogen der zugrunde gelegten geographischen Breite über
den Horizont erheben können.

Kein großer Nachteil wird uns daraus erwachsen, daß es
nicht möglich gewesen ist, auf dem Globus selbst den Äqua-

15 tor und die Wendekreise anzubringen. Es wird nämlich der
an der eingeteilten Seite des Meridianringes in der Mitte
zwischen den Polen des Äquators liegende Punkt, welcher
von jedem dieser Pole die 90 Grade des Quadranten Ab-
stand hat, dieselbe Geltung haben wie die Punkte des

20 Äquators, während diejenigen Punkte (der Meridianteilung),
welche von diesem Punkt einen nördlichen oder südlichen
Abstand von 23^51' haben, als die Punkte des betreffenden
Wendekreises gelten werden, d. h. durch den nördlich so
weit abstehenden Punkt werden die Punkte des Sommer-

25 Wendekreises gehen, durch den südlich so weit abstehenden

die Punkte des Winterwendekreises. Werden also die Sterne,

die in Frage kommen, vermittelst der ersten, d. i. der von

Osten nach Westen vor sich gehenden Umdrehung an die

Fei 185 eingeteilte Seite des Meridianringes gebracht, so können auch

Ha 97 ihre Abstände vom Äquator oder von den Wendekreisen in

31 jedem einzelnen Falle wieder an derselben Einteilung (dieses
Ringes) abgelesen werden, weil er eben einen durch die Pole
des Äquators gehenden (Deklinations-) Kreis darstellt.

a) D. h. der Ort des Sirius liegt für 137 n.Chr. in Länge 12^20'
rückwärts des Wendepunktes G 0^ d. i. in TT 17 ''40'. Zum An-
fang der Regierung Antonius vgl. S. 15,« u. I Anh. Anm. 30.

Achtes Buch. Viertes Kapitel. 77

Viertes Kapitel.

Die besonderen Stellungen, in welche die Fixsterne

gelangen.

Nachdem das eigenartige Verfahren der Auftragung des
Fixsternbestandes dargelegt ist, bleibt noch übrig, das Ka-
pitel von den Stellungen der Fixsterne zu behandeln.

Abgesehen von den Stellungen, welche die Fixsterne ledig-
lich zueinander einnehnaen, wie z. B. wenn gewisse Sterne 6
auf einer Geraden stehen, ein Dreieck oder andere mathe-
matische Figuren bilden, werden drei Klassen von Stellungen,
in welche die Fixsterne gelangen, von der Theorie in Be-
tracht gezogen: erstens die Stellungen, in welche sie aus-
schließlich zu den Wandelsternen, zur Sonne und zum Monde 10
oder zu den Teilen der Ekliptik gelangen; zweitens die
Stellungen, in welche sie ausschließlich zu der Erde ge-
langen; drittens die Stellungen, in welche sie gleichzeitig
sowohl zu der Erde als auch zu den Wandelsternen, zu der
Sonne und zu dem Monde oder zu den Teilen der Ekliptik 15
gelangen.

I. Die Stellungen, in welche die Fixsterne ausschließlich
zu den Wandelsternen und zu den Teilen der Ekliptik ge-
langen, sind zwiefach aufzufassen:

A. In einem allgemeinen Sinne: die Fixsterne und die 20
Wandelsterne kommen entweder auf ein und denselben durch
die Pole der Ekliptik gehenden (Breiten-) Kreis zu stehen
oder halten zueinander, auf verschiedenen (Breiten-) Kreisen Hei i86
stehend, die Abstände der Seiten des (gleichseitigen) Drei-
ecks, des Quadrats oder des (regelmäßigen) Sechsecks ein, 25

d. h. Abstände von 120®, 90^ oder 30®.

B. In einem besonderen Sinne: es kann einer der Wandel-
sterne unter einem Fixstern weggehen. In Betracht kommen
diejenigen Fixsterne, deren Örter in dem dreikantigen Aus-
schnitt*^ des Tierkreises liegen, welcher den Lauf der Wandel- Ha 98
sterne in Breite umfaßt. Derart sind 31

a) Zwei nördlich und südlich der Ekliptik verlaufende Kanten
des Prismas werden von den durch die örter der größten nörd-

78 Achtes Bucli. Viertes Kapitel.

a) die Stellungen zu den fünf Wandelsternen bei
den scheinbaren Konjunktionen*) oder Bedeckungen;

b) die Stellungen zur Sonne und zum Monde bei
den heliakischen oder lunaren Untergängen, bei den Kon-

5 junktionen und bei den heliakischen oder lunaren Aufgängen.
Heliakischen oder lunaren Untergang nennen wir den Zeit-
punkt, zu welchem ein Stern, in die Strahlen der Lichtkörper
gelangend, anfängt unsichtbar zu werden, Konjunktion den
Zeitpunkt, zu welchem die Bedeckung des Sterns zentral
10 ist, heliakischen oder lunaren Aufgang den Zeitpunkt, zu
welchem er, den Strahlen der Lichtkörper entronnen, wieder
anfängt sichtbar zu werden.

IL Die ausschließlich zur Erde eintretenden Stellungen
der Fixsterne, vier an der Zahl, werden von einigen Astro-
15 nomen mit einem gemeinsamen Namen „Kardinalstel-
lungen" genannt; die besonderen Namen sind Aufgang,
obere Kulmination, Untergang und untere Kulmination.

A. Sphaera recta. Wo der Äquator in den Zenit zu
liegen kommt, gehen alle Fixsterne auf und unter und kul-

20 minieren bei jeder Umdrehung einmal über und einmal
unter dem Horizont, weil die Pole des Äquators alsdann
Hei 187 den Horizont berühren und keinen Parallelkreis weder zum
immersichtbaren noch zum immerunsichtbaren machen.

B. Sphaera parallela. Wo der Pol in den Zenit zu
'25 liegen kommt, geht kein Fixstern weder auf noch unter,

weil alsdann der Äquator die Lage des Horizonts einnimmt
und die eine der durch ihn geschiedenen Halbkugeln sich
dauernd über, die andere dauernd unter dem Horizont

liehen und südlichen Breite gehenden Parallelen zur Ekliptik
gebildet, die dritte Kante verläuft bei dem täglichen Umschwung
parallel zur Ekliptik durch das Auge des Beobachters.

a) Unter dieser Art von Konjunktionen (■koXXtjösls) versteht
man nicht nur diejenigen Annäherungen von Planeten an Fix-
sterne, bei denen die beiden Sterne wie aneinander geklebt er-
scheinen, sondern auch noch die Annäherung bis auf einige
Grade.

Stellungen der Fixsterne. 79

dreht, so daß jeder Stern im Verlauf einer Umdrehung
zweimal kulminiert, der eine Teil der Sterne zweimal
über, der andere Teil zweimal unter dem Horizont.

C. Sphaera obliqua. Da bei den anderen Stellungen Ha 99
der Sphäre, welche (bei Neigung der Achse) zwischen den 5
beschriebenen liegen, einige Kreise immersichtbar und andere
immerunsichtbar werden, so haben die von diesen Kreisen
nach den Polen hin eingeschlossenen Sterne weder Aufgang
noch Untergang, aber bei jeder Umdrehung zwei Kulmi-
nationen: die in dem immersichtbaren Kreise liegenden 10
Sterne über dem Horizont, die in dem immerunsichtbaren
liegenden unter dem Horizont. Die übrigen auf den grö-
ßeren Parallelkreisen stehenden Sterne gehen sowohl auf
als unter und kulminieren bei jeder Umdrehung einmal
über und einmal unter dem Horizont. 15

Die von einer Kardinalstellung bis wieder zu der näm-
lichen verstreichende Zeit ist überall dieselbe ; denn sie um-
faßt für die sinnliche Wahrnehmung eine Umdrehung. Auch
die von einer Kardinalstellung bis zur diametral gegenüber- Hei 188
gelegenen verstreichende Zeit ist, theoretisch auf den Meri- 20
dian bezogen, überall dieselbe; denn sie umfaßt die Hälfte
einer Umdrehung. Wird sie aber theoretisch auf den Hori-
zont bezogen, so ist sie wieder dieselbe (nur dann), wenn
der Äquator im Zenit liegt; denn alsdann umfaßt sie eben-
falls wieder die Hälfte einer Umdrehung, weil in diesem 25
Fall sämtliche Parallelkreise nicht nur von dem Meridian,
sondern auch von dem Horizont halbiert werden. Bei den
anderen Stellungen (der Sphäre bei geneigter Achse) ist aber
weder die über dem Horizont noch die unter dem Horizont
(zwischen Auf- und Untergang bzw. Untergang und Wiederauf- 30
gang) verstreichende Zeit an sich bei allen Sternen die gleiche;
ebensowenig ist bei jedem Stern die über dem Horizont
(d. i. zwischen Aufgang und Untergang) verstreichende Zeit
gleich der unter dem Horizont (nach Untergang bis Wieder-
aufgang) verstreichenden; dies ist nur der Fall bei den- 35
jenigen Sternen, welche im Äquator selbst stehen, weil dieser
allein auch bei Sphaera obliqua von dem Horizont halbiert

80 Achtes Buch. Viertes Kapitel.

wird, während alle anderen Parallelkreise in unähnliche und
ungleiche Bogen zerschnitten werden.

Dementsprechend ist auch die Zeit vom Aufgang bis zur
oberen Kulmination für jeden Stern gleich der Zeit von der
5 oberen Kulmination bis zum Untergang, und ebenso die Zeit
Ha 100 vom Untergang bis zur unteren Kulmination gleich der Zeit
von der unteren Kulmination bis zum Aufgang, weil der
Meridian sowohl die über dem Horizont als auch die unter
dem Horizont liegenden Bogen der Parallelkreise halbiert.
10 Dagegen ist die Zeit vom Aufgang bis zur oberen Kulmi-
nation ungleich der Zeit vom Untergang bis zur unteren
Kulmination bei Sphaera obliqua, gleich bei Sphaera recta,
weil nur bei letzterer durchweg die über dem Horizont lie-
genden Bogen (der Parallelkreise) gleich sind den unter dem
15 Horizont liegenden. Infolgedessen gehen bei Sphaera recta
die gleichzeitig kulminierenden Sterne stets sowohl gleich-
zeitig auf als auch gleichzeitig unter, insoweit wenigstens
Hei 189 ihr Fortschritt um die Pole der Ekliptik nicht wahrnehmbar
ist. Dagegen gehen bei Sphaera obliqua die gleichzeitig
20 kulminierenden Sterne weder gleichzeitig auf noch gleich-
zeitig unter, sondern die südlicheren gehen stets später auf
als die nördlicheren und gehen auch eher wieder unter.

HI. Die von der Theorie in Betracht gezogenen Stellungen
der Fixsterne, welche gleichzeitig zur Erde und zu den
25 Wandelsternen oder zu den Teilen der Ekliptik eintreten,
faßt man wieder im allgemeinen nach den Aufgängen, Kul-
minationen und Untergängen ins Auge, die gleichzeitig mit
einem Planeten oder einem Teile der Ekliptik erfolgen. Die
speziell zur Sonne (in dieser Hinsicht) eintretenden Stellungen
30 werden von der Theorie in neun Klassen geschieden.

1. Der sog. Früh-Oststand findet statt, wenn der Stern
mit der Sonne in den östlichen Horizont tritt. Zu unter-
scheiden sind

a) der nichtsichtbare Morgen-Nachaufgang, wenn der
Ha 101 Stern selbst, im Anfangsstadium seines heliakischen Unter-
36 gangs begriffen, gleich nach der Sonne aufgeht;

Stellungen der Fixsterne. 81

b) der wahre Morgen-Mitaufgang, wenn der Stern
gleichzeitig und zusammen mit der Sonne in den östlichen
Horizont tritt;

c) der sichtbare Morgen-Voraufgang, wenn der Stern, Hei i90
im Anfangsstadium seines heliakischen Aufgangs begriffen, 5
vor der Sonne aufgeht.

2. Die sog. Früh-Kulmination findet statt, wenn der
Stern selbst, während die Sonne im östlichen Horizont steht,
entweder über oder unter dem Horizont kulminiert. Zu unter-
scheiden sind wieder 10

a) die nichtsichtbare Morgen-Nachkulmination, wenn
der Stern gleich nach Sonnenaufgang kulminiert;

b) die wahre Morgen-Mitkulmination, wenn der Stern
gleichzeitig mit Sonnenaufgang kulminiert;

c) die Morgen-Vorkulmination, wenn die Sonne gleich 15
nach Kulmination des Sterns aufgeht. Findet die Kulmi-
nation über dem Horizont statt, so ist sie sichtbar.

3. Der sog. Früh-Weststand findet statt, wenn der Stern
im westlichen Horizont steht, während die Sonne im östlichen
steht. Zu unterscheiden sind wieder 20

a) der nichtsichtbare Morgen-Nachuntergang, wenn
der Stern gleich nach Sonnenaufgang untergeht;

b) der wahre Morgen-Mituntergang, wenn der Stern
gleichzeitig mit Sonnenaufgang untergeht;

c) der sichtbare Morgen -Voruntergang, wenn die Ha 102
Sonne gleich nach dem Untergang des Sterns aufgeht. 26

4. Der sog. Meridian -Oststand findet statt, wenn der Hei 191
Stern im Osthorizont steht, während die Sonne kulminiert.

Zu unterscheiden sind wieder

a) dernichtsichthareTages-Meridian-Oststand, wenn 30
der Stern aufgeht, während die Sonne über dem Horizont
kulminiert;

b) der sichtbare Nacht-Meridian-Oststand, wenn der
Stern aufgeht, während die Sonne unter dem Horizont kul-
miniert.

Ptolemäu8, übers, v. Manitius. II. ß

82 Achtes Buch. Viertes Kapitel.

5. Die sog. Mittag-Kulmination findet statt, wenn die
Sonne und der Stern gleichzeitig in den Meridian treten.
Auch hier sind zu unterscheiden

a) zwei nichtsichtbare Tages-Kulminationen , wenn
5 bei Kulmination der Sonne über dem Horizont der Stern

a) gleichzeitig mit ihr über dem Horizont,
ß) ihr diametral gegenüber unter dem Horizont
kulminiert;

b) zwei Nacht-Kulminationen, wenn die Sonne unter
10 dem Horizont kulminiert, und zwar

cc) die nichtsichtbare, wenn der Stern mit der
Sonne gleichfalls unter dem Horizont kulminiert;

ß) die sichtbare, wenn der Stern der Sonne dia-
metral gegenüber über dem Horizont kulminiert.
15 6. Der sog. Meridian- Weststand findet statt, wenn der

Stern im westlichen Horizont steht, während die Sonne kul-
miniert. Zu unterscheiden sind wieder

a) der nichtsichtbare Tages - Meridian -Weststand,
Hei 192 wenn der Stern untergeht, während die Sonne über dem

20 Horizont kulminiert;

b) der sichtbare Nacht -Meridian -Weststand, wenn
Ha 103 der Stern untergeht, während die Sonne unter dem Horizont

kulminiert.

7. Der sog. Spät-Oststand findet statt, wenn der Stern
25 im östlichen Horizont steht, während die Sonne im west-
lichen steht. Zu unterscheiden sind wieder

a) der sichtbare Abend-Nachaufgang, wenn der Stern
gleich nach Sonnenuntergang aufgeht;

b) der wahre Abend -Mitaufgang, wenn der Stern
30 gleichzeitig mit Sonnenuntergang aufgeht;

c) der nichtsichtbare Abend- Voraufgang , wenn die
Sonne gleich nach dem Aufgang des Sterns untergeht.

8. Die sog. Spät-Kulmination findet statt, wenn der
Stern, während die Sonne im westlichen Horizont steht,

35 entweder über oder unter dem Horizont kulminiert. Zu
unterscheiden sind wieder

Achtes Buch. Fünftes Kapitel. 83

a) die sichtbare Abend-Nachkulmination, wenn der
Stern gleich nach Sonnenuntergang kulminiert;

b) die wahre Abend-Mitkulmination, wenn der Stern
gleichzeitig mit Sonnenuntergang kulminiert;

c) die nichtsichtbare Abend -Vorkulmination, wenn Hei 193
gleich nach Kulmination deg Sterns die Sonne untergeht. 6

9. Der sog. Spät- Weststand findet statt, wenn der Stern
gleichzeitig mit der Sonne in den westlichen Horizont tritt. Ha 104
Zu unterscheiden sind wieder

a) der sichtbare Abend -Nachuntergang, wenn der 10
Stern selbst, im Anfangs st adi um seines heliakischen Unter-
gangs begriffen, gleich nach der Sonne untergeht;

b) der wahre Abend-Mituntergang, wenn der Stern
zusammen und gleichzeitig mit der Sonne untergeht; .

c) der nichtsichtbare Abend-Voruntergang, wenn der 15
Stern, im Anfangsstadium seines heliakischen Aufgangs be-
griffen, vor der Sonne untergeht.

Fünftes Kapitel.

Mitaufgänge, Mitkulminationen und Mituntergänge

der Fixsterne.

Unter den vorstehend beschriebenen Verhältnissen können
die Zeiten (d. s. die Kalenderdaten) der wahren, theoretisch
auf das Zentrum der Sonne bezogenen Mitaufgänge, Mit- 20
kulminationen und Mituntergänge ohne weiteres lediglich
auf dem Wege geometrischer Konstruktion aus der nach
dem Sternenstand gegebenen Lage von uns bestimmt wer-
den, weil auch die Punkte der Ekliptik, mit denen jeder Hei 194
Fixstern kulminiert und auf- oder untergeht, mit Hilfe der 25
zu Gebote stehenden Lehrsätze auf dem Wege geometrischer
Konstruktion nachweisbar sind.

I. Mitkulminationen.
Es sei AB TA der durch die beiden Pole des Äquators
und der Ekliptik gehende (Kolur-) Kreis, A ET sei der Halb- SO
kreis des Äquators um den Pol Z, BEA der Halbkreis der

6*

g4 Achtes Buch. Fünftes Kapitel.

Ekliptik um den Pol H. Durch die Pole der Ekliptik sei
Ha 105 als Bogen eines größten Kreises H0KA gezogen, auf dem

man sich den Fixstern, um
welchen es sich handelt, in
Punkt 0 zu denken hat. Mit
Bezug auf die so gezogenen
(Breiten-) Kreise sind ja die
Positionen der Fixsterne von
uns beobachtet und katalo-
10 y 1/ \ ""-^--^^ gisiert worden. Nun ziehe

man auch durch die Pole des
Äquators Z0MN als Bogen

eines größten Kreises.

Daß der in 0 angenom-
16 mene Stern gleichzeitig mit den Punkten M der Ekliptik
und N des Äquators kulminiert, ist klar^^, daß aber diese
Hei 195 Punkte bestimmbar sind , und somit auch der Bogen 0 N
(auf welchem in Punkt M die Sonne steht), wird auf fol-
gendem Wege ersichtlich werden.
20 Da in Bogen zweier größter Kreise, d. i. in die Bogen A H
und AN, die (in Punkt 0 sich schneidenden) Bogen größter
Kreise HA und NZ hineingezogen sind, so gilt nach dem
im ersten Bande des Handbuchs (S. 51, l) bewiesenen Satz
2shHK ^ 2shHJ\ 2shQH
2shKZ 2sbAe ' ^s&NZ *
25 Nun sind AZ, NZ und HK ohne weiteres als Quadranten
gegeben; ferner ist

K0 als Breite Ides Sterns dem Katalog zu
KB als Länge^^J entnehmen,
ZH und KA der Tabelle der Ekliptikschiefe.*^)

a) Weil alle drei Punkte auf demselben Deklinationskreis ZN
liegen.

b) Weil B der Winterwendepunkt ist.

c) ZH als die Schiefe der Ekliptik, KA allerdings nur unter
der Voraussetzung, daß KA als Normale zur Ekliptik unwesent-
lich verschieden ist von dem Meridianbogen KE, den Ptolemäus
verschweigt, obgleich auch an der unförmlichen Figur des Ori-
ginals der Meridianquadrant ZE^ aber falsch, gezogen ist.

Mitkulminationen. 85

Es ist also klar, daß von den in obiger Gleichung stehen-
den Bogen gegeben sein werden HA (als AZ +ZH), AZ,
HA (als HK-fKA), A0 (als KA+KG) und NZ; folg-
lich wird sich auch der (in der Gleichung) noch übrige
Bogen 0N (d. i. die südliche Deklination des Sterns) be- 5
stimmen lassen. Nun gilt ferner der Satz (I 49, 3l)

2sbZH _ 2sbZe 2sbN^ pa'^ioß

JsbHX ~ Jsbm ' 2sbAA ' \Beil9Q

Nach vorstehendem sind von den in der Gleichung stehen-
den Bogen gegeben Z H , HA,Z0(als NZ— 0N)und0N;
mit KB ist ferner gegeben durch die gleichzeitigen Aufgänge lO
des Äquators und der Ekliptik bei Sphaera recta der (Äqua-
tor-) Bogen AA*); folglich wird auch der (in der Gleichung)
noch übrige Bogen NA sich bestimmen lassen.

Schließlich wird demnach mit dem ganzen (Äquator-)
Bogen NA(=NAH-AA) auch der Ekliptikbogen MB ge- 15
geben sein (und damit der Grad der Sonne und der Ka-
lendertag der Kulmination).

II. Mitauf- und Mituntergänge.

Auch die mit den Fixsternen gleichzeitig auf- oder unter-
gehenden Punkte des Äquators und der Ekliptik werden 20
mit Hilfe der Mitkulminationen
leicht auf folgende Weise ge-
wonnen.

1. Es sei AB TA der Meri-
dian, ein Halbkreis des Aqua- / \^ ^ \ ^ 25
tors sei AEF um den (süd-
lichen) Pol Z, und BEA ein
Halbkreis des Horizonts. Der
Stern soll in dem Punkte H
des Horizonts aufgehen. Durch 2'*"^'--^ --^^ 30

a) Indem man mit dem von :? 0° ab gegebenen Ekliptikbogen
K B in die Tabelle für Sphaera recta (I 94) eingeht und der zweiten
Spalte den Äquatorbo^en - A entnimmt, welcher nur unter der
Anm.c) hingestellten Voraussetzung dem Bogen AA gleich ist.

86 Achtes Buch. Fünftes Kapitel.

die Punkte Z und H ziehe man Z H 0 als Quadranten eines
größten Kreises.

Da nun wieder die (in Punkt H sich schneidenden) Bogen
Hei 197 Z 0 und B E in Bogen zweier größter Kreise, d. i. in die
5 Bogen AZ und AE, hineingezogen sind, so gilt wieder (vgl.
I 49 3l)

2sbZB _ SsbZH SslOE
2sbBk ~ 2sbHe ' SshEA *
Ha 107 Von den in der Gleichung stehenden Bogen sind (Z B +
BA=)ZA, (ZH 4-H0=)Z0 und E Aals Quadranten ge-
10 geben; es ist ferner ZB als die Polhöhe gegeben (somit BA
als die Äquatorhöhe), bestimmbar mit Hilfe (der Berech-
nung) der Mitkulmination sind der Punkt 0 des Äquators*^
und der Bogen H0 (somit ZH als Z0 — H0); folglich
wird auch der (in der Gleichung) noch übrige Bogen 0E
15 sich bestimmen lassen.

2. Es ist leicht einzusehen, daß bei den Mituntergängen, wenn
wir einen 0 E gleichen Bogen westlich von 0 aus abtragen,
wie z. B. 0 K , der (in H mit dem Punkt E aufgehende) Stern
gleichzeitig mit dem Punkt K des Äquators untergehen wird,

20 weil sich alsdann erstens der Untergang (von der Mitkul-
mination des Äquatorpunktes 0 ab) auf einem dem Bogen
BH gleichen Bogen (des Horizonts) vollzieht^^, und weil
zweitens westlich des Meridians ein gleichgroßer (Stunden-)
Winkel gebildet wird, wie der (Z. A Z 0) ist, welcher an der

25 vorliegenden Figur östlich des Meridians von den Bogen
AZ und Z0 gebildet wird.

3. Ohne weiteres wird sich nun aus den für jede geo-
graphische Breite nachgewiesenen gleichzeitigen Auf- und
Untergängen (von Teilen) des Äquators und der Ekliptik

30 (I 94—97) einerseits der mit dem Punkt E des Äqua-

Hei 198 tors uud dem Stern gleichzeitig aufgehende, anderseits der

mit dem Punkt K und dem Stern gleichzeitig untergehende

a) Der Bogen H0 entspricht an der vorigen Figur (s. S. 85, 5)
dem Bogen ÖN, d. i. der südlichen Deklination des Fixsterns.

b) Die Untergangsweite des Sterns wird gleich der Aufgaugs-
weite BH sein.

Achtes Buch. Sechstes Kapitel. 87

Grad der Ekliptik bestimmen lassen.^) Ferner ist klar,
daß die theoretisch auf das Zentrum der Sonne bezogenen
Aufgänge, Kulminationen und Untergänge der Fixsterne,
d. h. ihre sog. wahren gleichzeitigen Kardinalstellungen,
zu den Zeiten stattfinden werden, zu denen sich in den be- 5
treffenden Punkten der Ekliptik der genaue Ort der Sonne
befindet.

Sechstes Kapitel.
Heliakische Auf- und Untergänge der Fixsterne.

Für die heliakischen Auf- oder Untergänge finden wir Ha i08
die Methode der geometrischen Konstruktion, bei welcher
lediglich von der Position der Fixsterne (ohne Rücksicht 10
auf ihre Stellung zur Sonne) ausgegangen wurde, nicht mehr
ausreichend. Läßt sich nämlich auf diesem Wege z. B. auch
nachweisen, mit welchem Ekliptikgrad dieser oder jener
Stern aufgeht, so ist es doch nicht möglich, auf dem gleichen
Wege die Größe des (Ekliptik-) Bogens zu bestimmen, wel- 15
chen die Sonne noch unter dem Horizont stehen muß, damit
der Stern erstmalig sichtbar oder unsichtbar werde. Denn
dieser Bogen kann weder bei allen Sternen derselbe sein,
noch bei denselben Sternen unter allen Umständen der gleiche.
Er muß vielmehr verschieden sein 20

erstens im Verhältnis zur Größe der Sterne,
zweitens im Verhältnis zu ihrem Breitenabstand von

der Sonne,
drittens im Verhältnis zur Änderung der Neigung der
Ekliptik. 25

Denken wir uns den Kreis AB TA _^ _ Heii99

als Meridian, AEZf als einen
Halbkreis der Ekliptik und BEA
als einen Halbkreis des Horizonts

um den Pol H, so ist folgendes '"(\^ \ ^^ 30

klar.

1. Wenn von den Sternen, wel-
che mit dem Ekliptikpunkt E auf-
gehen, der größere erstmalig sieht-

38 Achtes Buch. Sechstes Kapitel.

bar zu werden beginnt, während die Sonne beispielshalber
den Bogen EZ unter dem Horizont entfernt steht, wird der
kleinere Stern, auch wenn er den gleichgroßen Breiten-
abstand von der Sonne hat, erstmalig sichtbar werden, wenn
6 die Sonne einen größeren Bogen als EZ entfernt steht
und somit geringeren lichten Schein entwickelt.
Ha 109 2. Wenn bei gleicher Größe der Sterne derjenige, wel-
cher in Breite annähernd in Punkt E steht, bei der Ent-
fernung EZ erstmalig sichtbar wird, muß der Stern, welcher
10 weiter als ersterer (von E in Breite) entfernt steht, schon
bei geringerer Entfernung (der Sonne) sichtbar werden,
weil selbst bei derselben Entfernung der Sonne unter dem
Horizont der in der Ekliptik selbst und (näher) an der
Sonne entwickelte lichte Schein stärker ist als derjenige,
15 welcher sich in weiterer Entfernung (wo der Stern steht)
geltend macht.

3. Je mehr bei gleicher Größe derjenigen Sterne, welche
Hei 200 mit dem gleichgroßen Abstand in Breite aufgehen, die Eklip-
tik gegen den Horizont geneigt ist und dadurch den /. AEZ
20 kleiner macht, um so größer als EZ muß die Entfer-
nung (der Sonne) sein, bei welcher der Stern erstmalig
sichtbar wird.

Wenn wir, wie dies an der folgenden Figur geschieht,
durch die Pole des Horizonts
und die in Punkt Z stehende
Sonne den Halbkreis H0ZK
legen*), welcher natürlich (als
Höhenkreis) den Horizont unter
rechten Winkeln schneiden wird,
so bleibt die Entfernung der
Sonne unter dem Horizont für
dieselben Sterne unter allen Um-
ständen dem (Sehungs-) Bogen
Z 0 gleich, weil bei dem in die-

a) Da es sich um einen Halbkreis handelt, so ist die Bezeich-
nung H 0 Z K , welche Cod. D unter Einschub von 0 durch zweite
Hand bietet, der Bezeichnung 0ZK des Textes vorzuziehen.

Heliakisclie Auf- und Untergänge. 89

ser Hinsicht gleichgroß bleibenden Abstand (der Sonne) auch
der über den Horizont sich erstreckende lichte Schein gleich-
stark ist ; dagegen muß der Bogen EZ, während der Bogen Z0,
wie gesagt, derselbe bleibt, um so kleiner werden, je steiler
die Ekliptik steht, und um so größer, je mehr sie geneigt ist. 5

Es bedarf mithin für jeden einzelnen Stern zur Fest-
stellung der Entfernung der Sonne unter dem Horizont in
der Ekliptik der Beobachtung. Und wenn die auf dem zum
Horizont senkrechten (Höhen-) Kreis gemessene Entfernung,
wie an der vorliegenden Figur der (Sehungs-) Bogen Z0, 10
nicht einmal an allen Orten des bewohnten Gebietes der
Erde für dieselben Sterne die nämliche bleibt, weil die an Ha iio
sich gleichstarke Leuchtkraft (der Sonne) in der dichteren Hei 201
Atmosphäre der nördlichen Breiten nicht den gleichen lich-
ten Schein verbreitet, so werden wir nicht mit den Beobach- 15
tungen einer einzigen geographischen Breite auskommen,
sondern solche auch für alle übrigen Breiten anstellen müssen.
Wenn dagegen für dieselben Sterne der Z0 entsprechende
(Sehungs-) Bogen allerorten als der nämliche gewahrt bleibt,
wofür allerdings die Wahrscheinlichkeit spricht — denn 20
auch die Leuchtkraft der Sterne muß in derselben Weise
(wie die der Sonne) von dem Unterschied der Atmosphäre
abhängig sein — ,' so werden uns bereits die für eine einzige
geographische Breite beobachteten Entfernungen (d. s. die
Ekliptikbogen EZ) ausreichen, um auch die übrigen auf 25
dem Wege geometrischer Konstruktion daraus abzuleiten,
mag sich die Neigung der Ekliptik ändern je nach dem Be-
obachtungsort oder infolge des nachgewiesenen Fortschritts
der Fixsternsphäre in der Richtung der Zeichen.

Es sei an der (S. 88, 23) erklärten Figur aus der Beobach- 30
tung einer beliebigen geographischen Breite die Entfernung
EZ gegeben. Da wieder die (in Punkt E sich schneidenden)
Bogen B0 und ZA in Bogen zweier größter Kreise, d.i. in
die Bogen HB und HZ, hineingezogen sind, so gilt die
Gleichung (wie S. 85, 7) 35

2shAB 2sbkE 2sbZÖ

2sbBH ^ 2sbEZ ' 2sbQH'

90 Achtes Buch, Sechstes Kapitel.

Von den in der Gleichung stehenden Bogen sind B H und
0H ohne weiteres als Quadranten gegeben. Da ferner E
als der Punkt, mit welchem der Stern aufgeht, als gegeben
Hei 202 angenommen wird, so ist auch A als der kulminierende
5 Punkt (der Ekliptik) nach den mit Hilfe der Aufgangs-
tafeln zu lösenden Aufgaben (I 99,26) bestimmbar, d.h.
Ha 111 hierdurch ist der Bogen AE gegeben, und der Bogen
EZ aus der Beobachtung. Auch der Bogen AH ist be-
stimmbar, indem er sich zusammensetzt^^ aus dem Aquator-
10 abstand (d. i. der Deklination) des (kulminierenden Ekliptik-)
Punktes A, welcher der Tabelle der Schiefe zu entnehmen
ist, und dem auf demselben Meridian (B H) gemessenen Zenit-
abstand des Äquators, welcher der Polhöhe gleich ist.^^
Folglich wird auch der (in der Gleichung) noch übrige
15 Bogen Z0 sich bestimmen lassen.

Ist dieser (Sehungs-) Bogen gefunden und bleibt er aller-
orten (vgl. S. 89, 19) der nämliche, so werden wir mit Hilfe
desselben auch die zahlenmäßigen Beträge des (Aufgangs-)
Bogens EZ, wie sie bei den anderen Neigungen (der Eklip-
20 tik) eintreten, aus denselben Bogen (wie oben) gewinnen.
Denn es gilt wieder die Gleichung^^

^s6BH ^2shQH 2sbEZ ^
2sb^B ~ SsbZQ ' 2sl)^E*

Von den in der Gleichung stehenden Bogen ist jetzt (der

Sehungsbogen) Z0 gegeben (sowie als Quadranten, wie oben,

25 BH und 0H); ferner läßt sich mit Hilfe des oben (S. 86, 14)

gelieferten Nachweises der Punkt E bestimmen, welcher in

der geographischen Breite, der die Untersuchung gilt, gleich-

a) Als Summe von Zenitabstand des Äquators und Deklination
des Punktes A, wenn die Deklination südlich ist, als Differenz
von Zenitabstand und Deklination, wenn letztere nördlich ist.
Vgl. I Anh. Anm. 6.

b) Der noch fehlende Bogen AB, d.i. die Äquatorhöhe, ist
der Komplementbogen zu dem durch die Polhöhe gegebenen
Zenitabstand des Äquators.

c) Es ist dieselbe wie S..89, 35, nur daß die Zähler mit den
Nennern vertauscht sind.

Heliakische Auf- und Untergänge. 91

zeitig mit dem Stern aufgeht, endlich werden ebenso wieder
die Bogen AE und AB gewonnen.*^ Folglich ist auch der
(in der Gleichung) noch übrige Bogen EZ der Ekliptik be-
stimmbar.

Dasselbe methodische Verfahren wird von uns auch für Hei 203
die im Westhorizont stattfindenden heliakischen Unter- 6
gänge wahrgenommen werden, nur mit dem Unterschied,
daß an der sonst gleichen Figur die Lage der Ekliptik ihrer
Neigung entsprechend nach der anderen (d. i. niedersteigen-
den) Seite gezeichnet zu verstehen ist, weil der Horizont- 10
bogen BA als der westliche angenommen wird.

Um auch dieses Kapitel nicht übergangen zuhaben, halten Ha 112
wir vorstehende Ausführungen zur Erläuterung der Aufgaben,
welche auf diesem theoretischen Gebiete der Lösung harren,
für ausreichend. Weil aber der Beobachter, welcher auf diesem 15
Gebiete derartige Voraussagungen sammelt, mit einer Fülle
von Faktoren zu rechnen hat, nicht nur wegen der unzähli-
gen Differenzen, welche die verschiedenen Beobachtungsorte
und Neigungen der Ekliptik verursachen, sondern auch wegen
der unendlichen Zahl der Sterne an sich, weil ferner das 20
Beobachtungsgeschäft gerade hinsichtlich der heliakischen
Auf- und Untergänge überaus mühevoll und nicht leicht
wahrzunehmen ist, da sowohl das Auge des Beobachters selbst,
als auch die Beschaffenheit der Atmosphäre, die an den ins
Auge gefaßten Stellen herrscht, den Zeitpunkt des ersten 25
mutmaßlichen Sehens ungleichmäßig und unsicher machen
kann, wie mir persönlich aus eigener Erfahrung bei den
Differenzen, die sich bei derartigen Beobachtungen ergeben,
zur Genüge klar geworden ist, weil zu alledem auch infolge
des Fortschritts der Fixsternsphäre die Mitaufgänge, Mit- 30
kulminationen und Mituntergänge für jede geographische
Breite nicht einmal ewig dieselben bleiben können, wie wir

a) Bogen AE durch Berechnung des kulminierenden Grades
aus dem aufgehenden, worauf sich dann aus der Deklination
des kulminierenden Grades und dem Zenitabstand des Äquators
der Bogen AB ergibt. Vgl. S. 90, 4— 13.

92 Neuntes Buch. Erstes Kapitel.

sie für die Gegenwart mit Aufgebot einer Unsumme von
Hei 204 Zahlen und Nachweisen ausklügeln würden, so haben wir
eine derartige Zeitverschwendung gemieden und begnügen
uns für den vorliegenden Zweck mit den Ergebnissen, welche
5 annäherungsweise entweder direkt aus den früheren Auf-
zeichnungen oder aus der Handhabung des Globus von Fall
zu Fall gewonnen werden können. Sehen wir ja doch, daß
auch den an die heliakischen Auf- und Untergänge ge-
knüpften Witterungsanzeichen, falls man diesen Vorgängen
10 und nicht vielmehr den Stellen der Ekliptik die Ursache zu-
Ha 113 schreibt, immer nur der Wert einer ungefähr annähernden
Voraussage, keineswegs die Geltung einer festen Regel oder
gar der Unabänderlichkeit zukommt; denn die Ursache (des
Witterungswechsels) tritt im allgemeinen wohl ein, ist aber
1 5 in ihrer Wirkung nicht direkt von dem ersten Zeitpunkt der
heliakischen Auf- und Untergänge abhängig, sondern viel-
mehr von den Stellungen, die in Opposition zur Sonne statt-
finden und von den hierbei von Fall zu Fall eintretenden
Positionswinkeln des Mondes.

Neuntes Buch.

Erstes Kapitel.

Die Reihenfolge der Sphären der Sonne,
des Mondes und der fünf Wandelsterne.

Hei 206) Was man über die Fixsternwelt in der Hauptsache in
21 einem wissenschaftlichen Kommentar zur Sprache bringen
kann, soweit die bisher festgestellten Himmelserscheinungen
diesem Vorhaben förderlich sind, dürfte hiermit ungefähr er-
schöpft sein. Da für das vorliegende Handbuch die Theo-
25 rien der fünf Wandelsterne noch ausstehen, so werden wir,
um unnötige Wiederholungen zu vermeiden, die Mitteilungen
über dieselben, soweit dies angängig ist, unter einen gemein-
samen Gesichtspunkt zusammenfassen und die jeden einzelnen

Reihenfolge der Sphären. 93

betreffenden Beweisführungen erst im Anschluß daran be-
handeln.

Was zunächst die Reihenfolge der Planetensphären an-
belangt, denen gleichfalls die Lagerung um die Pole des
schiefen Kreises der Ekliptik eigen ist, so finden wir so ziem- 5
lieh bei allen ersten Astronomen volle Übereinstimmung über
folgende zwei Punkte:

1. Alle Planetensphären befinden sich in größerer Erdnähe
als die Fixsternsphäre, aber in größerer Erdferne als die
Sphäre des Mondes. 10

2. Die drei Sphären des Saturn, des Jupiter und des Mars,

von denen die Sphäre des Saturn die größte und die des Ha ii5
Jupiter nach der größeren Erdnähe hin die zweite ist, während
die des Mars unter der des Jupiter liegt, befinden sich in
größerer Erdferne als die übrigen Planetensphären und die 15
Sphäre der Sonne.

Dagegen sehen wir, daß die Sphären der Venus und des Hei 207
Merkur bei den älteren Astronomen unter die Sphäre der
Sonne gesetzt, aber bei einigen späteren gleichfalls über
dieselbe verlegt werden, weil niemals ein Vorübergang dieser 20
Planeten vor der Sonne stattgefunden hat. Uns scheint dieser
angeblich entscheidende Grund deshalb nicht stichhaltig zu
sein, weil es Planeten unter der Sonne geben kann, ohne
daß dieselben durchaus in einer durch die Sonne und unser
Auge gehenden Ebene zu liegen brauchen; sie können viel- 25
mehr in einer anderen Ebene liegen und aus diesem Grunde
keinen scheinbaren Vorübergang an der Sonne bewerk-
stelligen, wie ja auch bei Passierung der unterhalb der Sonne
verlaufenden Bahnstrecke des Mondes zur Zeit der Konjunk-
tionen meistens keine Finsternisse eintreten. 30

Da aber auch sonst diese Frage nicht entschieden werden
kann, weil keiner der Planeten eine wahrnehmbare Parallaxe
zeigt, eine Erscheinung, nach welcher allein die Entfernungen
sich bestimmen lassen, so scheint größere Glaubwürdigkeit
die Anordnung der älteren Astronomen zu verdienen, welche 35
der Mittellage der Sonne natürlicher entsprechend die zur
Opposition gelangenden Planeten von denen scheidet, welche

94 Neuntes Buch. Zweites Kapitel.

diese Stellung nicht erreichen, sondern immer in der Nähe
der Sonne verweilen. Wenigstens darf diese Anordnung
letztere Planeten von der Sonne weg nicht in so große Erd-
nähe versetzen, daß die Annäherung eine bemerkenswerte
5 Parallaxe zur Folge haben könnte.

Zweites Kapitel.
Schwierigkeiten des Vorhabens, eine
Theorie der Planeten aufzustellen.

Hei 203) Die Frage nach der Reihenfolge der Sphären dürfte hier-
mit erledigt sein. Wenn wir uns die Aufgabe gestellt haben,
auch für die fünf Wandelsterne, wie für die Sonne und für
den Mond, den Nachweis zu führen, daß ihre scheinbaren

10 Anomalien alle vermöge gleichförmiger Bewegungen
auf Kreisen zum Ausdruck gelangen, weil nur diese Be-
wegungen der Natur der göttlichen Wesen entsprechen, wäh-
rend Regellosigkeit und Ungleich förmigkeit ihnen fremd
sind, so darf man wohl das glückliche Vollbringen eines

15 solchen Vorhabens als eine Großtat bezeichnen, ja in Wahr-
heit als das Endziel der auf philosophischer Grundlage be-
ruhenden mathematischen Wissenschaft. Freilich ist dieses
Unternehmen aus vielen Gründen mit großen Schwierigkeiten
verbunden und begreiflicherweise noch von niemand vorher

'20 mit Erfolg in Angriff genommen worden.

Betrachten wir nämlich zunächst einmal die Feststellung
der periodischen Bewegungen eines jeden Planeten, für welche
ein Versehen, das bei der noch so genauen Vergleichung
von Beobachtungen von dem Auge in Bezug auf minimale

25 Teile gemacht worden sein kann, schneller eine wahrnehm-
bare Differenz im Verlauf der Zeit verursacht, wenn die
Prüfung auf einer kürzeren Zwischenzeit beruht, lang-
samer, wenn sie auf einer längeren beruht, so ist die
Zeit, seit welcher wir Aufzeichnungen von Planetenbeobach-

30 tungen besitzen, für ein so weitblickendes Unternehmen ver-
hältnismäßig kurz und läßt für eine unvergleichlich längere
Zeit nur eine recht unsichere Voraussage zu.

Schwierigkeiten einer Theorie der Planeten. 95

Was zweitens die Feststellung der Anomalien anbelangt,
so bringt keine geringe Erschwerung die Wahrnehmung mit
sich, daß an jedem Planeten zwei scheinbare Anomalien sich iia 117
geltend machen, die nach Größe und Wiederkehrzeit un- Hei 209
gleich sind; die eine wird theoretisch in ursächliche Be- 5
Ziehung zur Sonne gesetzt, die andere in Beziehung zu den
Teilen der Ekliptik; doch sind beide durchweg miteinander
vermischt, so daß es infolgedessen schwer hält, die jeder
einzelnen anhaftende Eigentümlichkeit auszuscheiden. Ein
weiterer Übelstand ist der, daß die Aufzeichnungen der 10
alten Beobachtungen größtenteils recht verständnislos und
oberflächlich gehalten sind. Die mehr zusammenhängenden
Beobachtungsreihen betreffen nämlich Stillstände und
heliakische Auf- und Untergänge; aber bei keiner
dieser eigenartigen Erscheinungen ist die Feststellung abso- 15
lut zuverlässig: die Stillstände können für den genauen
Zeitpunkt durchaus keinen sicheren Anhalt bieten, weil viele
Tage vor wie nach dem eigentlichen Stillstand der örtliche
Fortschritt ganz unmerklich ist, während die heliakischen
Auf- und Untergänge nicht nur die Ort er sofort mit der 20
erstmaligen oder der letztmaligen Sichtbarkeit der Planeten
dem Auge wieder entschwinden lassen, sondern auch hin-
sichtlich der Zeiten mit Fehlern behaftet sein können, so-
wohl wegen des verschiedenen Zustandes der Atmosphäre, als
auch infolge des Unterschieds der Sehkraft der Beobachter. 25

Überhaupt ergeben die Beobachtungen, welche mit Be-
zug auf einen Fixstern bei größerem Abstand (des Planeten)
angestellt werden, wenn man sich dabei nicht in jeder Be-
ziehung als geschickter und erfahrener Beobachter anstellt,
einen durch Rechnung schwer festzustellenden und daher 30
nur annähernd richtigen zahlenmäßigen Betrag der Messung
nicht allein deshalb, weil die zwischen den beobachteten
Sternen gezogenen Linien verschiedene und nicht durchweg
rechte Winkel mit der Ekliptik bilden, was natürlich bei
dem mannigfachen Wechsel der Neigung der Ekliptik für Hei 210
die zahlenmäßige Berecnnung (des Planeten-) Ortes in Länge 36
und Breite mancherlei Irrungen im Gefolge hat, sondern auch Ha 118

96 Neuntes Buch. Zweites Kapitel.

deshalb, weil die nämlichen Abstände in der Nähe des Hori-
zontes dem Auge größer und bei den Kulminationen kleiner
erscheinen, weshalb selbstverständlich die Messungen bald
größer bald kleiner ausfallen können, als der vorliegende
5 Abstand wirklich beträgt.

Daher glaube ich auch, daß Hipparch, dieser größte Freund
der Wahrheit, sowohl aus allen hier mitgeteilten Gründen
als auch ganz besonders deshalb, weil er von seinen Vor-
gängern noch kein so bedeutendes Material an genauen Be-

10 obachtungen erhalten hatte, als er selbst uns geliefert hat,
sich zwar gründlich mit der Theorie der Sonne und des Mondes
beschäftigt und auch, soweit es möglich war, mit allen ihm
zu Gebote stehenden Mitteln den Nachweis geliefert hat,
daß man dabei mit der Annahme gleichförmiger Bewegungen

15 auf Kreisen zum Ziel gelange, daß er dagegen zu einer Theorie
der fünf Wandelsterne in den auf uns gekommenen Kommen-
taren überhaupt gar nicht erst den Grund gelegt, sondern le-
diglich die Beobachtungen derselben zu ersprießlicherer Ver-
wendung geordnet und an ihnen den Beweis geführt hat, daß

20 die Erscheinungen mit den Hypothesen der damaligen Astro-
nomen nicht in Einklang zu bringen seien. Denn allem An-
scheine nach glaubte er nicht lediglich die Erklärung ab-
geben zu dürfen, daß jeder Planet eine doppelte Anomalie
zeige, oder daß bei jedem ungleich e Rückläufigkeitsstrecken

25 von so und so großer Länge einträten, während die übrigen
Astronomen ihre Beweise auf dem Wege geometrischer Kon-
struktion unter Annahme einundder selben Anomalie und
Rückläufigkeitsstrecke führten ; auch beschränkte er sich nicht
auf die Erklärung, daß diese Erscheinungen bei Annahme

30 von Exzentern oder mit der Ekliptik konzentrischen Kreisen,
Hei 211 welche Epizyklen in Umlauf versetzen, oder wohl gar unter
Kombination beider Kr.eisarten zum Ausdruck gelangen, wo-
bei so und so groß die auf die Ekliptik bezogene Anomalie, so
und so groß die im Verhältnis zur Sonne eintretende Ano-
Ha 119 malie ausfalle; denn darauf haben sjch so ziemlich alle ver-

3*5 legt, die an der Hand der sogenannten „Tafeln für ewige
Zeiten" die gleichförmige Bewegung auf Kreisen nachweisen

Schwierigkeiten einer Theorie der Planeten. 97

wollten, es aber grundfalsch anstellten und den Beweis dafür
schuldig blieben, so daß die einen das gesteckte Ziel über-
haupt nicht, die anderen wenigstens einigermaßen erreichten.
Vielmehr hat er in Erwägung gezogen, daß es einem Manne,
der es auf allen Gebieten mathematischen Wissens zu solcher 5
Gründlichkeit und zu so starkem Wahrheitssinn gebracht,
nicht genügen könne bei den angedeuteten Zielen stehen
zu bleiben, worauf es den anderen nicht ankam, sondern daß
es, wenn man seine eigene Überzeugung auch seinen zukünf-
tigen Interessenten beibringen wolle, unbedingt geboten sei, 10
an der Hand klarer und einwandfreier Erscheinungen den
zahlenmäßigen Betrag beider Anomalien und den periodischen
Lauf nachzuweisen und dann wieder, ohne beides zu scheiden,
Lage und Reihenfolge der Kreise ausfindig zu machen, auf
denen Anomalie und periodischer Lauf vor sich geht, sowie 15
die Art ihrer Bewegung, kurz und gut so ziemlich die ge-
samten Erscheinungen mit der Eigenart der Kreishypothese
in Einklang zu bringen: diese Aufgabe, meine ich, ist auch
ihm mit unüberwindlichen Schwierigkeiten verknüpft er-
schienen. 20

Nicht um unser Vorhaben in das rechte Licht zu setzen,
haben wir diese Erklärungen abgegeben, sondern um einige
Erleichterungen zu rechtfertigen. Wenn wir von der Sache
an sich irgendwo genötigt werden, ein mit der Logik nicht
ganz in Einklang zu bringendes Mittelchen anzuwenden, wie
z. B. wenn wir unsere Beweise unter der Annahme führen, 25
daß die von der Bewegung an ihren Sphären beschriebenen
Kreise feine Linien seien und in derselben Ebene mit der Hoi 212
Ekliptik liegen, weil diese Annahme zur Erleichterung des
Beweisverfahrens dient, oder weim wir uns genötigt sehen, 30
gewisse Axiome vorauszusetzen, welche ihre Feststellung
nicht von einem vor Augen liegenden Anfang aus, sondern
auf dem Wege zusammenhängender Erprobung und An-
passung erlangt haben, oder genötigt sind, nicht für alle Ha 120
Planeten dieselbe unterschiedslos gleiche Art der Bewegung 35
oder der Neigung ihrer Kreise anzunehmen, so machen wir
diese Konzessionen mit dem guten Gewissen, daß erstens

Ptolemäus, übers, v. Manitius II. 7

98 Neuntes Buch. Zweites Kapitel.

die nicht ganz zu billigende Anwendung eines derartigen
Mittelchens, insofern sich keine wesentliche Differenz infolge-
dessen einzustellen droht, der Lösung unserer Aufgabe keinen
Eintrag tun wird, daß zweitens die ohne Beweis herangezo-
5 genen Axiome, wenn sie einmal mit den Erscheinungen in
Übereinstimmung befunden werden, nicht ohne eine gewisse
methodische Erwägung gefunden sein können, wenn auch
die Art und Weise ihrer Feststellung schwer auseinander-
zusetzen ist, sintemal es überhaupt für die ersten Anfänge

10 entweder gar keine oder nur eine ihrer Natur nach schwer
zu definierende Urheberschaft gibt, und daß drittens wohl
niemand die Möglichkeit eines Unterschiedes in der Art der
Kreishypothese für verwunderlich und unlogisch halten dürfte,
da auch die an den Planeten selbst festgestellten Erschei-

15 nungen ungleichartig gefunden werden, wofern nur Hand
in Hand mit dem Prinzip, für alle Planeten schlechthin die
gleichförmige Bewegung auf Kreisen aufrecht zu er-
halten, auch alle Erscheinungen von dem höheren und all-
gemeineren Gesichtspunkt der Gleichartigkeit der Hypothesen

20 aus ihre Erklärung finden.

Hei 213 Was die Beobachtungen anbelangt, so haben wir zu den

für jeden Planeten zu führenden Beweisen nur solche zur

Mitbenutzung herangezogen, welche in hervorragender Weise

die Gewähr der Zuverlässigkeit zu bieten vermochten, d. h.

25 erstens diejenigen, welche bei Konjunktion oder wenigstens
bei großer Annäherung an Fixsterne oder auch an den Mond
gemacht sind, zweitens ganz besonders diejenigen, welche
an den astrolabischen Instrumenten angestellt worden sind.
Wird doch das Auge vermittelst der an den (Astrolab-)
Ha 121 Ringen diametral gegenüber angebrachten AbsehÖfifnungen*^

31 gewissermaßen auf eine Gerade (mit den Objekten) versetzt,
sieht die gleichgroßen Abstände allenthalben auf ähnlichen
Bogen verlaufen und vermag die auf die Ekliptik bezogenen
Örter eines jeden Objekts in Länge und Breite mit aller

35 Schärfe wahrzunehmen, in Länge dadurch, daß der am Astrolab

a) Sogenannte Diopter trägt nur der unter dem inneren Astro-
labring angebrachte schmale bewegliche Ring. S. I 256, 27.

Neuntes Buch. Drittes Kapitel. 99

der Ekliptik entsprechende Ring auf die Beobachtungsobjekte
eingestellt wird, in Breite dadurch, daß die Absehöffnungen,
welche an den durch die Ekliptikpole gehenden (Astrolab-)
Ringen diametral gegenüber angebracht sind, auf diese Ob-
jekte gerichtet werden. 6

Drittes Kapitel.
Die periodischen Wiederkehren der fünf Wandelsterne.

Nachdem diese Vorbemerkungen erledigt sind, werden wir
zunächst die von Hipparch berechneten periodischen klein-
sten Wiederkehren mitteilen, die einen jeden der fünf Wan-
delsterne zu dem Ausgangspunkt (seiner mittleren Bewegung)
zurückführen. Dieselben haben zwar unserseits eine Kor- 10
rektion erfahren, als nach Gelingen des Nachweises der
Anomalien die genaue Vergleichung der Epochen (der pe-
riodischen Bewegungen), wie wir seinerzeit erklären werden*^,
sich möglich machte, indessen werden sie von uns voran-
gestellt, um zur Berechnung der Anomalien die Einzelbeträge H^i 214
der mittleren Bewegung eines jeden Planeten in Länge und ^^
Anomalie als gegebene Größen zur Verfügung zu haben,
obgleich eine wesentliche Differenz ja nicht eintreten würde,
wenn man hier den mittleren Lauf auch nur mit dem an-
nähernd richtigen Werte zur Benutzung heranziehen wollte. 20
Im allgemeinen ist unter Bewegung in Länge die des Epi-
zykelmittelpunktes auf dem Exzenter, unter Bewegung in
Anomalie die des Planeten auf dem Epizykel zu verstehen.

Die 57 Wiederkehren in Anomalie des Saturn fanden
wir sich vollziehen in 59 Sonnenjahren, wie sie zu unserer Ha 122
Zeit üblich sind — d. h. in Jahren, welche von Wende oder 26
Nachtgleiche bis wieder zu demselben Punkte laufen — und
hierüber 1^/, zusammenfallend mit 2 Umläufen^^ des Pla-

a) Diese Erklärung wird für jeden Planeten am Schluß des
Kapitels gegeben, welches die Korrektion seiner periodischen
Bewegungen behandelt: IX. 10, X. 4. 9, XI. 8. 7.

b) Es sind die sogenannten tropischen Umläufe der Pla-
neten. Für Saturn z. B. beträgt ein tropischer Umlauf (u) hier-
nach (59»-j- ly/) : (2^ -f 1043') = 29^ 182<i.

7*

100 Neuntes Buch. Drittes Kapitel.

neten (von einer Wende bis wieder zu derselben) und hier-
über 1^43'. Was nämlich die drei Planeten anbelangt,
welche von der Sonne immer wieder überholt werden, so
durchläuft die Sonne in der Wiederkehrperiode des betref-
5 fenden Planeten stets ebensoviele (Jahres-) Kreise (a), als
die Summe der Umläufe (u) des Planeten in Länge und der
Wiederkehren (w) in Anomalie beträgt (59* -|- 1*^45' = 2^
-t- 1^3' + 57^).*)

Die 65 Wiederkehren in Anomalie des Jupiter fanden
10 wir sich vollziehen in 71 Sonnenjahren gleichen Sinnes we-
niger 4*^ 54', zusammenfallend mit 6 Umläufen des Planeten
Hei 215 von einer Wende bis wieder zu derselben weniger 4^50'
(71^ — 4^54' = 6^ - 4^50' + 65^).

Die 37 Wiederkehren in Anomalie des Mars fanden wir
15 sich vollziehen in 79 heutzutage üblichen Sonnenjahren und
hierüber 3*^13', zusammenfallend mit 42 Umläufen des Pla-
neten von einer Wende bis wieder zu derselben und hier-
über Sno' (79*-f 3'il3' = 42^-f-30lO' + 37^).

Die 5 Wiederkehren in Anomalie der Venus fanden wir
20 sich vollziehen in 8 heutzutage üblichen Sonnenjahren we-
niger 2^18', zusammenfallend mit 8 Umläufen des Planeten,
welche ebensovielen der Sonne gleich sind, weniger 2^15'
(8* - 2*1 18' = 8^ — 2<^ 15' = 5^).

Die 145 Wiederkehren in Anomalie des Merkur fanden
25 wir sich vollziehen in 46 ebensolchen Jahren und hierüber
1*12', zusammenfallend mit 46 Umläufen des Planeten,
welche wieder ebensovielen der Sonne gleich sind, und hier-
über 1<^ (46* + l'i 2' = 46^ + 1<^ = 145^).

Verwandeln wir für jeden Planeten die Zeit der Wieder-

Ha 123 kehr nach der von uns (I 146, u) nachgewiesenen Länge

31 des Jahres (von 365'il4'48") in Tage und die Anzahl der

Wiederkehren in Anomalie in Grade, deren auf einen Kreis

360 entfallen, so werden wir haben für

a) Länge (a) der Sonne = Länge (u) -f Anomalie (w) des Pla-
neten nach dem später (Buch X, Kap. 6) bewiesenen ^a^-

Periodische Wiederkehren. 101

Saturn 21561^ 18' = 20520° der Anomalie

Jupiter 25927^ 37' = 23400« „ „ Hei 216

Mars 28857'^ 53' = 13 320° „ „

Venus 2919*^40'= 1800° „

Merkur 16802** 24' = 52 200° „ „ 5

Dividieren wir nun Planet für Planet mit der Zahl der
Tage in die zugehörige Zahl der Grade der Anomalie, so
erhalten wir als täglichem ittlere Be wegung i n Anomalie für

Saturn 0°67' 7" 43'" 41^^ 43^ 40^

Jupiter 0°54' 9" 2"' 46^^ 26^ O^i 10

Mars 0° 27' 41" 40'" 19^^ 20^ 58^i

Venus 0° 36' 59" 25'" 531^11^ 28^1

Merkur 3° 6' 24" 6'" 59^^ 35^ 50^'.

Nehmen wir hiervon Planet für Planet den 24*®^ Teil, so Hei 217
erhalten wir als stündliche mittlere Bewegung in Ano- 15
malie für

Saturn 0° 2' 22" 49'" 19^^ 14V 19^1 lo^n

Jupiter 0° 2' 15" 22'" 361^ 56V 5V1

Mars 0° 1' 9" 14'" 10^^ 48^ 22^1 25^"

Venus 0° 1' 32" 28'" 341V 42V 58^1 40^" 20

Merkur 0° 7' 46" 0'" 17^^ 28^ 59^1 35vn

Multiplizieren wir femer die täglichen Beträge jedes Pla-
neten mit 30, so erhalten wir als die monatliche mittlere
Bewegung in Anomalie für

Saturn 28°33' 51" 50'" 51^^ 50^ O^i 26

Jupiter 27° 4' 31" 23'" 13^^ o^ O^i

Mars 13° 50' 50" 9'" 40^^ 29^ O^i

Venus 18°29'42"56'"35iV44V0vi

Merkur 93° 12' 3" 29'" 47^^ 55^ O^i. Ha m

Multiplizieren wir desgleichen die täglichen Beträge mit 30
den 365 Tagen des ägyptischen Jahres, so erhalten wir als
die jährliche mittlere Bewegung in Anomalie für
Saturn 347° 32' 0" 48'" 50^^ 38^ 20^1
Jupiter 329° 25' 1" 52"' 28^^ lO^ o^i
Mars 168° 28' 30" 17'" 42^^ 32^ 50^1 35

102 Neuntes Buch. Drittes Kapitel.

Venus 225 <> 1' 32" 28'" 34i^' 39^ lö^i

Merkur 53 •^ 56' 42" 32"' 32^^ 69^ lO^i Überschuß.

Multiplizieren wir ebenso jeden jährlichen Betrag mit 18,
Hei 218 so erhalten wir, gerade wie bei der Aufstellung der Tafeln
5 für die Lichtkörper, als mittleren Überschuß der Anomalie
der Periode von 18 ägyptischen Jahren für
Saturn 135*^36' 14" 39'" 111^30^ O^i
Jupiter 169*^ 30' 33" 44'" 27^^ 0^ O^'i
Mars 152<'33' 5" 18'" 45^^ 51^ O^'i

10 Venus 90* 27' 44" 34'" 23^^ 46^ 30^

Merkur 251« 0' 45" 45'" ÖS^^ 45^' O^i.

Im weiteren Anschluß hieran werden wir auch die Be-
träge der mittleren Bewegung in Länge erhalten. Doch
können wir es uns hierbei ersparen, die Anzahl der Umläufe
15 (in Länge) in Grade zu verwandeln und in die Zahl der Grade
mit der für jeden Planeten gegebenen Zahl der Zeit zu divi-
dieren. Denn für die Venus und den Merkur werden wir
selbstverständlich dieselben Beträge erhalten, wie sie früher
(I 147) für die Sonne festgesetzt worden sind*\ während
20 wir für die drei übrigen Planeten nur die Differenzen zwischen
den betreffenden Zahlen (der Länge) für die Sonne und den
(oben gefundenen) Beträgen der Anomalie für jeden Pla-
neten zu bilden haben.^) Auf diesem Wege erhalten wir
als die tägliche mittlere Bewegung in Länge für
25 Saturn O'^ 2' 0" 33'" 31'^ 28^' 51^'^

Jupiter 0<^ 4' 59" 14'" 26i^^ 46^ 31^'^
Mars 0« 31' 26" 36'" 53^^ 51^ 33^i,

Ha 125 als die stündliche für

Hei2i9 Saturn 0<^0' 5" 1'" 23^^ 48^ 42^'i 7^" 30vni

30 Jupiter 0*^0' 12" 28'" 6^^ 6^56^117^1130^^™

Mars O^* 1' 18" 36'" 32^^ 14^ 39^'i

a) Weil die Mittelpunkte der Epizyklen dieser Planeten mit
dem. mittleren Ort der Sonne zusammenfallen.

b) Nach dem Buch X, Kap. 6 bewiesenen Satz (vgl. S. 100,
Anm. a)) : Länge der Sonne abzüglich der Anomalie des Planeten
= Länge des Planeten.

¥

Neuntes Buch. Viertes Kapitel. 103

als die monatliche für

Saturn 1<> 0' 16" 45"' 44»^ 25^ 30^i
Jupiter 2° 29' 37" 13"' 23^^ 15^ 30^^
Mars lö^' 43' 18" 26'" öö^^ 46^ 30^1,

als die jährliche für 5

Saturn 12<> 13' 23" 56'" 301^^ 30^ 15^1
Jupiter 30» 20' 22" 52"' 52^^ 58^ 35^1
Mars 191<> 16' 54" 27'" 38^^ 35^ 45^^,

als die mittlere Bewegung in 18 Jahren bzw. (bei Jupiter
und Mars) als Überschuß derselben für 10

Saturn 220^' 10" 57'" 9^^ 4^ 30^i

Jupiter ISG'^ 6' 51" 51'" 53^^ 34^ 30^1

Mars 203*^ 4' 20" 17'" 34^^ 43^ 30^i.

Wir werden nun wieder zum praktischen Handgebrauch
für alle Planeten der Reihe nach Tafeln der Summierung 16
vorstehend mitgeteilter Bewegungsstrecken aufstellen, und
zwar wieder, wie sonst, jede zu 45 Zeilen in je 3 Teilen.*^
Die erste Tafel wird die Summierungen der 18jährigen
Perioden, die zweite die der Jahre und der Stunden (zu
18 + 24 Zeilen), die dritte die der Monate und der Tage 20
(zu 12 + 30 Zeilen) enthalten.

Viertes Kapitel.
Tafeln der mittleren Bewegungen der fünf Planeten |Ha 126
in Länge und Anomalie. Hei 220

Die Tafeln gestalten sich folgendermaßen.

a) Der erste Teil enthält die Argumentzahlen der betreffen-
den Zeitabschnitte, der zweite die Ansätze der Gradzahlen für
die Länge, der dritte den Ansatz der Grad zahlen für die Ano-
malie. Vgl. 1 147, 31.

104

Planetentafeln. Saturn.

I.

Ta

fei für

Period

en

ZU 18 J

ahren.

Jahre

Län
Mittlerer Ort

S'26°43'

A

aomali e

Apogeum IIX 14° 10'

Mittlerer Ort 34

'2'

18

220°

1'

10"

57'"

91V

4V 30VI

135«

36'

14"

S9'"

HIV

30V

OVI

S6

80

2

21

54

18

9 0

271

12

29

18

23

0

0

64

300

3

32

51

27

13 30

46

48

43

58

57
36

34

30
0

0

72

160

4

43

48

36

18

0

182

24

46

0

90

20

5

54

45

45

22

30

318

1

13

15

57

80

0

108

240
100

7
8

5
16

42
40

54

27
31

0

93
229

37
13

27
42

55
34

9

0

30

0

126

3

30

20

0

144

820

9

27

37

12

36

0

4

49

57

13

33

0

0

162

180

10

38

34

21

40

30

140
276

26
2

11

26

52
31

43

30
0

0

180

40

11

49

31

30

45

0

55

0

198

260

13

0

28

39

49

30

f.1

38

41

11

6

80

0

216

120

14

11

25

48

54

0

187

14

55

50

18

0

0

234

340

15

22

22

57

58

30

322

51

10

29

29

30

0

252

200

16

33

20

7

3

0

98

27

25

8

41

0

0

270

60

17

44

17

16

7

30

234

3

39

47

52

30

0

288

280

18

55

14

25

12

0

9

39

54

27

4

0

0

306

140

20

6

11

34

16

30

145

16

9

6

15

30

0

324

0

21

17

8

43

21

0

280

52

23

45

27

0

0

342

220

22

28

5

52

25

30

56

28

38

24

38

SO

0

360

80

23

39

3

1

SO

0

192

4

53

3

50

0

0

378

^00

24

50

0

10

34

30

327

41

7

43

1

30

0

396

160

26

0

57

19

39

0

103

17

22

22

13

0

0

414

20

27

11

54

28

43

30

238

53

37

1

24

30

0

432

240

28

22

51

37

48

0

14

29

51

40

36

0

0

450

100

29

33

48

46

52

30

150

6

6

19

47

80

0

468

320

30

44

45

55

57

0

285

42

20

58

59

0

0

486

180

31

55

43

5

1

30

61

18

35

38

10

30

0

504

40

33

6

40

14

6

0

196

54

50

17

22

0

0

522

260

34

17

37

23

10

30

332

31

4

56

33

80

0

540

120

35

28

34

32

15

0

108

7

19

35

45

0

0

558

340

36

39

31

41

19

30

243

43

34

14

56

30

0

576

200

37

50

28

50

24

0

19

19

48

54

8

0

0

594

60

39

1

25

59

28

30

154

56

3

33

19

30

0

612

280

40

12

23

8

83

0

290

32

18

12

31

0

0

630

140

41

23

20

17

37

30

66

8

32

51

42

30

0

648

0

42

34

17

26

42

0

201

44

47

30

54

0

0

666

220

43

45

14

85

46

30

337

21

2

10

5

30

0

684

80

44

56

11

44

51

0

112

57

16

49

17

0

0

702

300

46

7

8

53

55

30

248

33

31

28

28

SO

0

720

160

47

18

6

3

0

0

24

9

46

7

40

0

0

738

20

48

29

8

12

4

30

159

46

0

46

51

30

0

756

240

49

40

0

21

9

0

295

22

15

26

3

0

0

774

100

50

50

57

30

13

30

70

58

30

5

14

30

0

792

320

52

1

54

39

18

0

206

34

44

44

26

0

0

810 180 1

53 12 1

51

48

22 30 1

342 10 1

59

23

37

SO

0

Planetentafeln. Saturn.
IIa. Tafel für Jahre.

105

Anzahl

Län

ge

An omalie

1

120

13'

23"

56"'

30IV

30V

15VI

347°

32'

0"

48"'

50IV

38V

20VI

2

24

26

47

53

1

0

80

335

4

1

87

41

16

40

3

36

40

11
35

49
46

31

30

1

45

322
310

86

8

2
3

26
15

31

55
83

0

4

48

53

2

0

22

20

i 5

61

6

59

42

32

31

15

297

40

4

4

18

11

40

1 6

73

20

23

39

3

1

30

285

12

4

53

3

50

0

7

85

33

47

35

33

31

45

272

44

5

41

54

28

80

8

97

47

11

32

4

2

0

260

16

6

30

45

6

40

9

HO

0

35

28

34

S2

15

247
235

48
20

7
8

19

8

85

45
28

0

10

122

13

59

25

5

2

30

26

20

11

134

27

23

21

35

32

45

222

52

8

57

17

1

40

12

146

40

47

18

6

3

0

210

24
56

9
10

46
34

7

40

18

0

13

158

54

11

14

36

33

15

197

58

20

14

171

7

35

11

7

3

30

185

28

11

23

48

56

40

15

183

20

59

7

87

33

45

173

0

12

12

39

35

0

16

195

34

23

4

8

4

0

160

32

13

1

30

13

20

17

207

47

47

0

38

34

15

148

4

13

50

20

51

40

18

220

1

10

57

9

4

80

185

36

14

39

11

30

0

IIb

Ta

fei

für

Sti]

md

en.

Anzahl

1

.äng

'6

Ar

lom

alle

1

Oo

0'

5"

1'"

23^v

48V

42^1

Oo

2'

22"

49"

I9IV

14V

I9VI

2

0

0

10

2

47

37

24

0

4

45

38

38

28

38

3

0

0

15

4

11

26

6

0

7

8

27

57

42

57

4

0

0

20

5

85

14

48

0

9

31

17

16

57

17

5

0

0

25

6

59

3

81

0

11

54

6

36

11

b6

6

0
0

0
0

80
35

8
9

22

52
40

13

0

14
16

16
39

55
45

55

25
40

55

7

46

55

0

14

14

8

0

0

40

11

10

29

37

0

19

2

34

«3

54

33

9

0

0

45

12

34

18

19

0

21

25

28

5:{

8

52

10

0

0

50

13

58

7

1

0

23

48

18

12

23

12

11

0

0

55

15

21

55

43

0

26

11

2

31

37

31

12

0

1

0

16

45

44

25

0
0

28
80

33
56

51
41

50

51
6

50

9

13

0

1

5

18

9

83

8

10

14

0

1

10

19

33

21

50

0

33

19

30

29

20

28

15

0

1

15

20

57

10

32

0

35

42

19

48

84

47

16

0

1

20

22

20

59

14

0

38

5

9

7

49

7

17

0

1

25

13

44

47

56

0

40

27

58

27

3

26

18

0

1

30

25

8

36

38

0

42

50

47

46

17

45

19

0

1

35

26

32

25

20

0

45

13

37

5

32

4 1

20

0

1

40

27

56

14

2

0

47

36

26

24

46

23 1

21

0
0

1
1

45
50

29
30

20

2
51

45

0
0

49
52

59
22

15
5

44

0
15

42

2

82

43

27

3

23

0

1

55

32

7

40

9

0

54

44

54

22

29

21

24

0

2

0

33

31

28

51

0

57

7

48

41

43

40

106

Planetentafeln. Saturn.

III

\ T

afel fü

r M

ona

te.

Tage

Länge

Anomalie

30

1»

0'

16"

45"'

44IV

25V

30^1

28»

83'

51"

50'"

5liv

50V

OVi

60

2

0

33

31

28

51

0

57

7

43

41

43

40

0

90

3

0

50

17

13

16

30

85

41

35

32

35

30

0

120

4

1

7

2

57

42

0

114

15

27

23

27

20

0

150

5

1

23

48

42

7

30

142

49

19

14

19

10

0

180

6

1

40

84

26

SS

0

171

23

11

5

11

0

0

210

7

1

57

20

10

58

30

199

57

2

56

2

50

0

240

8

2

14

5

55

24

0

228

30

54

46

54

40

0

270

9

2

30

51

39

49

30

257

4

46

37

46

30

0

300

10

2

47

37

24

15

0

285

38

38

28

88

20

0

330

11

8

4

23

8

40

30

314

12

80

19

30

10

0

360

12

3

21

8

53

6

0

342

46

22

10

22

0

0

I]

[Ib.

rafel für Tage.

Inzahl

Länge

Anomalie

1

0»

2'

0"

33'"

31IV

28V

5ivi

0»

57'

7"

48"'

4liv

43V

40VI

2

0

4

1

7

2

57

42

1

54

15

27

23

27

20

3

0

6

1

40

34

26

33

2

51

23

30

11
54

5
46

11
54

0

4

0

8

2

14

5

55

24

3

48

40

5

0

10

2

47

37

24

15

4

45

38

38

28

38

20

6

0

12

3

21

8

53

6

5

42

46
54

22
5

10

22
5

0

7

0

14

3

54

40

21

57

6

39

52

40

8

0

16

4

28

11

50

48

7

37

1

49

33

49

20 .

9

0

18

5

1

43

19

39

8

34

9

33

15

33

0

10

0

20

5

35

14

48

30

9

31

17

16

57

16

40

11

0

22

6

8

46

17

21

10

28

25

0

39

0

20

12

0

24

6

42

17

46

12

11

25

32

44

20

44

0

13

0

26

7

15

49

15

3

12

22

40

28

2

27

40

14

0

28

7

49

20

43

54

13

19

48

11

44

11

20

15

0

30

8

22

52

12

45

14

16

55

65

25

65

0

16

0

32

8

56

23

41

36

15

14

8

39

7

38

40

17

0

34

9

29

55

10

27

16

11

11

22

49

22

20

18

0

86

10

3

26

39

18

17

8

19

6

31

6

0

19

0

38

10

36

58

8

9

18

5

26

50

12

49

40

20

0

40

11

10

29

37

0

19

2

34

33

54

83

20

21

0

42

11

44

1

6

34

51

19
20

59
56

42
50

17

1

36

17
0

0

22

0

44

12

17

32

42

18

40

28

0

46

12

51

4

3

33

21

53

57

44

59

44

20

24

0

48

13

24

35

32

24

22

51

5

28

41

28
11

0
40

25

0

50

13

58

7

1

15

23

48

13

12

23

26

0

52

14

31

38

30

6

24

45

20

56

4

55

20

27

0

54

15

5

9

58

57

25

42

28

39

46

89

0

28

0

56

15

88

41

27

48

26

39

36

23

28

22

40

29

0

58

16

12

12

56

39

27

36

44

7

10

6

20

30

1

0

18

45

44

25

30

28 33 1

51

50

51

50 0 1

Planetentafeln. Jupiter.

107

I. Tafel f

ür Perioden zu 18 Jahren.

Län

«e

A

Jahre

Mittlerer Ort ^4» 41'

Apogeum lips« 9'

Mittlerer Ort 146" 4'

18

186»

6'

51"

51'"

53IV

34V

30^1

169»

30'

33"

44'"

27IV

ov

OVi

36

12

13

43

43

47

9

0

339

1

7

28

54

0

0

54

198

20

35

35

40

43

30

148

31

41

13

21

0

0

72

24

27

27

27

34

18

0

318

2

14

57

48

0

0

90

210

34

19

19

27

52

30

127

32

48

42

15

0

0

108

36

41

11

11

21

27

0 .

297

3

22

26

42

0

0

126

222

48

3

3

15

1

30

106

33

56

11

9

0

0

144

48

54

54

55

8

36

0

276

4

29

55

36

0

0

162

235

1

46

47

2

10

30

85

35

3

40

3

0

0

180

61

8

38

38

55

45

0

255

5

37

24

30

0

0

198

247

15

30

30

49

19

30

64

36

11

8

57

0

0

216

73

259

22

29

22
14

22
14

42

54

28

0

234
43

6
37

44
18

53
37

24

0
0

0

234

36

30

51

0

252

85

36

6

6

30

3

0

213

7

52

22

18

0

0

270

271

42

57

58

23

37

30

22

38

26

6

45

0

0

288

97

49

49

50

17

12

0

192

8

59

51

12

0

0

306

283

56

41

42

10

46

30

1

39

33

35

39

0

0

324

110

3

83

34

4

21

0

171

10

7

20

6

0

0

342

296

10

25

25

57

55

30

340

40

41

4

33

0

0

360

122

17

17

17

51

30

0

150

11

14

49

0

0

0

378

308

24

9

9

45

4

30

319

41

48

33

27

0

0

396

134

31

1

1

38

39

0

129

12

22

17

54

0

0

414

320

37

52

53

32

13

30

298

42

56

2

21

0

0

432

146
332

44
51

44
36

45
37

25

48
22

0

108

277

13
44

29
3

46
31

48

0
0

0

450

19

30

15

0

468

158

58

28

29

12

57

0

87

14

37

15

42

0

0

486

845

5

20

21

6

31

30

256

45

11

0

9
36

0
0

0

504

171

12

12

13

0

6

0

66

15

44

44

0

522

357

19

4

4

53

40

30

235

46

18

29

3

0

0

540

183

25

55

56

47

15

0

45

16

52

13

30

0

0

558

9

32

47

48

40

49

30

214

47

25

57

57

0

0

576

195

39

39

40

34

24

0

24

17

59

42

24

0

0

594

21

46

31

32

27

58

30

193

48

33

26

51

0
0

0

612

207

53

23

24

21

33

0

3

19

7

11

18

0

630

34

0

15

16

15

7

30

172

49

40

55

45

0

0

648

220
46

7
13

7
59

8
0

8

42

16

0

342
151

20
50

14

48

40
24

12

0
0

0

666

2

30

39

0

684

232

20

50

51

55

51

0

321

21

22

9

6

0

0

702

58

27

42

43

49

25

30

130

51

55

53

33

0

0

720

244

34

34

35

43

0

0

300

22

29

38

0

0

0

738

70

41

26

27

36

34

30

109

53

3

22

27

0

0

756

256

48

18

19

SO

9

0

279

23

37

6

54

0

0

774

82

55

10

11

23

43

30

88

54

10

51

21

0

0

792

269

2

2

3

li

18

0

258

24

44

35

48

0

0

810

95

8

53

55

10

52

30

67

55

18

20

15

0

0

108

Planetentafeln. Jupiter.

IIa Tafel für J

ahre.

intahl

1

Län

ge

Anomalie

30«

20'

22"

52'"

52IV

58^

35VI

329»! 25'

1"

52-"

28iv

lOV

qVI

2

60

40

45

45

45

57

10

298

50

3

44

56

20

0

3

91

1

8

38

38

55

45

268

15

5

37

24

30

0

4

121

21

31

31

31

54

20

237

40

7

29

52

40

0

5

151

41

54

24

24

52

55

207

5

9

22

20

50

0

6

182

2

17

17

17

51

30

176

30

11

14

49
17

0
10

0

7

212

22

40

10

10

60

5

145

55

13

7

0

8

242

43

3

3

3

48

40

115

20

14

59

45

20

0

9

273

3

25

55

56

47

15

84

45

16

52

13

30

0

10

303

23

48

48

49

45

50

54

10

18

44

41

40

0

IJ

333

44

11

41

42

44

25

23

35

20

37

9

50

0

12

4

4

34

34

35

43

0

353

0

22

29

38

0

0

13

34

24

57

27

28

41

85

322

25

24

22

6

10

0

14

64

45

20

20

21

40

10

291

50

26

14

34

20

0

15

95

5

43

13

14

38

45

261

15

28

7

2

30

0

16

125

26

6

6

7

37

20

230

40

29

59

30

40

0

17

155

46

28

59

0

35

55

200

5

81

51

58

50

0

18

186

6

51

51

53

34

30

169

30

33

44

27

0

0

III

\ Ti

ifel

für

Stund

en.

Anzahl

]

[jän(

?e

Anomalie 1

1

Qo

0'

12"

28"'

ßlV

6^

56VI

0»

2'

15"

22'"

36IV

56V

5VI

2

0

0

24

56

12

13

52

0

4

30

45

13

52

10

3

0
0

0
0

37
49

24
52

18

20

27

48

0

6
9

46

1

7
30

50

48
44

15

4

24

45

0

27

20

5

0

2

20

30

34

41

0

11

16

53

4

40

25

6

0

14

48

36

41

87

0

13

32

15

41

86

30

7

0

27

16

42

48

34

0

15

47

38

18

32

35

8

0

39

44

48

55

30

0

18

3

0

55

28

40

9

0

52

12

55

2

26

0

20

18

23

32

24

45

10

0

2

4

41

1

9

22

0

22

33

46

9

20

50

11

0

2

17

9

7

16

19

0

24

49

8

46

16

55

12

0

2

29

37

13

23

15

0

27

4

31

23

13

0

13

0

2

42

5

19

30

11

0

29

19

54

0

9

5

14

0

2

54

33

25

37

8

0

31

35

16

37

5

10

15

0
0

3
3

7
19

1
29

31

44
51

4

0
0

33
36

50
6

39
1

14

1
57

15

16

37

0

50

20

17

0

3

31

57

43

57

56

0

38

21

24

27

53

25

18

0

3

44

25

50

4

53

0

40

36

47

4

49

30

19

0

56

53

56

11

49

0

42

52

9

41

45

85

20

0

9

22

2

18

45

0

45

7

32

18

41

40

21

0
0

21
34

50

18

8

25
32

42

0

47

22
38

54
17

55

37
33

45
50

22

14

38

0 49

32

23

0

46

46

20

39

34

0 ! 51

53

10

9

29

55

24

0

59

14

26

46

31

0 1 54

9

2

46

26

0

Planetentafeln. Jupiter.

109

III

a T

afel für M

ona

te.

Tage

Läng

e

Anomalie

30

20

29'

37"

13'"

23IV

15V

30 VI

270

4'

31"

23"'

13^v

ov

Ovr

60

4

59

14

26

46

31

0

54

9

2

46

26

0

U

90

7

28

51

40

9

46

30

81

13

34

9

39

0
0

0
0

120

9

58

28

53

33

2

0

108

18

5

32

52

150

12

28

6

6

56

17

30

135

22

36

56

5

0

0

180

14

57

43

20

19

33

0

162

27

8

19

18

0

0

210

17

27

20

33

42

48

30

189

31

39

42

31

0

0

240

19

56

57

47

6

4

0

216

36

11

5

44

0

0

270

22

26

35

0

29

19

30

243

40

42

28

57

0

0

300

24

56

12

13

52

35

0

270

45

13

52

10

0

0

330

27

25

49

27

15

50

30

297

49

45

15

23

0

0

360

29

55

26

40

39

6

0

324

54

16

38

36

0

0

II

I^ '

rafel n

Ir Tage.

Anzahl

I

iäng

e

1

Anomalie

1

Qo

4'

59"

14'"

26IV

46V

31VI

0«

54'

9" 2'"

46IV

26V

OVi

2

0

9

58

28

53

33

2

1

48

18 5

32

52

0

3

0

14

57

43

20

19

33

2

42

27

8

19

18
44

0

i

0

19

56

57

47

6

4

3

36

36

11

5

0

5

0

24

56

12

13

52

35

4

30

45

13

52

10

0

6

0

29

55

26

40

39

6

5

24

54

16

38

36

0

7

0

34

54

41

7

25

37

6

19

3

19

25

2

0

8

0

39

53

55

34

12

8

7

13

12

22

11

28

0

9

0

44

53

10

0

58

39

8

7

21

24

57

54

0

10

0

49

52

24

27

45

10

9

1

30

27

44

20

0

11

0

54

51

38

54

31

41

9

55

39

30

30

46

0

12

0

59

50

53

21

18

12

10

49

48

33

17

12

0

13

1

4

50

7

48

4

43

11

43

57

36

3

38

0

14

1

9

49

22

14

51

14

12

38

6

38

50

4

0

15

1

14

48

36

41

37

45

13

32

15

41

36

30

0

16

1

19

47

51

8

24

16

14

26

24

44

22

56

0

17

1

24

47

5

35

10

47

15

20

33

47

9

22

0

18

1

29

46

20

1

57

18

16

14

42

49

55

48

0

19

1

34

45

34

28

43

49

17

8

51

52

42

14

0

20

1

39

44

48

55

30

20

18

3

0

55

28

40

0

21

1

44

44

3

22

16

51

18

57

9

58

15

6

0

22

1

49

43

17

49

3

22

19

51

19

1

1

32

0

23

1

54

42

32

15

49

53

20

45

28

3

47

58

0

24

1

59

41

46

42

36

24

21

39

37

6

34

24

0

25

2

4

41

1

9

22

55

22

33

46

9

20

50

0

26

2

9

40

15

36

9

26

23

27

55

12

7

16

0

27

2

14

39

30

2

; 55

57

24

22

4

14

53

42

0

|28

2

19

38

44

29

42

28

25

16

13

17

40

8

0

29

2

24

37

58

56

28

59

26

10

22

20

26

34

0

30

2

29

37

13

23

15

30

27

4

31

23

13

0

0

IIQ Planetentafeln. Mars.

I. Tafel für Perioden zu 18 Jahren.

Ljin

pe

Jahre

Mittlerer Ort W S^SS'

Apogeum

6^ 160 40'

Mittlerer Ort 327° 13'

18

2030

4'

20"

17'"

34^v

43V

30^1

152°

33'

5"

18"'

45^v

51^

qVI

36

46

8

40

35

9

27

0

305

6

10

37

31

42

0

54

249

13

0

52

44

10

30

97

39

15

56

17

33

0

72

92

17

21

10

18

54

0

250

12

21

15

3

24

0

90

295

21

41

27

53

37

30

42

45

26

33

49

15

0

108

138

26

45

28

21

0

195

18

31

52

35

6

0

126

341

30

22

3

3

4

80

347

51

37

11

20

57

0

144

184

34

42

20

37

48

0

140

24

42

30

6

48

0

162

27

39

38

12

31

30

292

57

47

48

52

39

0
0

180

230

43

22

55

47

15

0

85

30

53

7

88

30

198

73

47

43

13

21

58

30

238

3

58

26

24

21

0

216

276

52

3

30

56

42

0

30

37

3

45

10

12

0

2«4

119

56

23

48

31

25

30

183

10

9

3

56

3

0

252

323

0

44

6

6

9

0

335

43

14

22

41

54

0

270

166

5

4

23

40
15

52
36

30

128
280

16
49

19
25

41
0

27

45
36

0

288

9

9

24

41

0

13

0

306

212

13

44

58

50

19

30

73

22

30

18

59

27

0

324

55

18

5

16

25

3

0

225

55

35

37

45

18

0

342

258

22

25

33

59

46

30

18

28

40

56

31

9

0

360

101

26

45

51

34

30

0

171

1

46

15

17

0

0

378

304

31

6

9

9

13

30

323

34

51

34

2

51

0

396

147

35

26

26

43

57

0

116

7

56

52

48

42

0

414

350

39

46

44

18

40

SO

268

41

2

11

34

33

0

432

193

44

7

1

53

24

0

61

14

7

80

20

24

0

450

36

48

27

19

28

7

30

213

47

12

49

6

15

0

468

239

52

47

37

2

51

0

6

20

18

7

52

6

0

486

82

57

7

54

37

34

30

158

53

23

26

37

57

0

504

286

1

28

12

12

18

0

311

26

28

45

23

48

0

522

129

5

48

29

47

1

30

103

59

34

4

9

39

0

540

332

10

8

47

21

45

0

256

32

39

22

55

30

0

558

175

14

29

4

56

28

30

49

5

44

41

41

21

0

576

18

18

49

22

31

12

0

201

38

50

0

27

12

0

594

221

23

9

40

5

55

30

354

11

55

19

13

3

ü

612

64

27

29

57

40

39

0

146

45

0

37

58

54

0

630

267

31

50

15

15

22

30

299

18

5

56

44

45

0

648

110

36

10

32

50

6

0

91

51

11

15

30

36

0

666

313

40

30

50

24

49

30

244

24

16

84

16

27

0

684

156

44

51

7

59

33

0

36

57

21

53

2

18

0

702

359

49

11

25

34

16

30

189

30

27

11

48

9

0

720

202

53

31

43

9

0

0

342

3

32

30

34

0

0

738

45

57

52

0

43

43

30

134

36

37

49

19

51

Ü

756

249

2

12

18

18

27

0

287

9

43

8

5

42

0

774

92

6

32

35

53

10

30

79

42

48

26

51

83

0

792

295

10

52

53

27

54

0

232

15

53

45

37

24

0

810

138

15

13

11

2

37

30

24

48

59

4

23

15

0

Planetentafeln. Mars.
IIa. Tafel für Jahre.

111

Anzahl

Län

?e

Anomalie

1

1910

16'

54"

27'"

38IV

35V

45 VI

168°

28'

30"

17'"

42IV

32V

50 VI

2

22

33

48

55

17

11

80

336

57

0

35

25

5

40

8

213

50

48

22

55

47

15

145

25

30

53

7

88
11

30

4

45

7

37

50

34

23

0

313

54

1

10

50

20

5

236

24

32

18

12

58

45

122

22

31

28

82

44

10

6

67

41

26

45

51

34

30

290

51

1

46

15

17

0

7

258

58

21

13

80

10

15

99

19

32

8

57

49

50

8

90

15

15

41

8

46

0

267

48

2

21

40

22

40

9

281

32

10

8

47

21

45

76

16

32

39

22

55

30

10

112

49

4

36

25

57

80

244

45

2

57

5

28

20

11

304

5

59

4

4

33

15

58

13

33

14

48

1

10

12

135

22

53

81

43

9

0

221

42

3

32

30

34

0

13

326

39

47

59

21

44

45

80

10

33

50

13

6

50

14

157

56

42

27

0

20

30

198

39

4

7

55

89

40

15

349

13

36

54

38

56

15

7

7

34

25

38

12

30

16

180

30

31

22

17

32

0

175

36

4

43

20

45

20

17

11

47

25

49

56

7

45

344

4

35

1

8

18

10

18

203

4

20

17

84

48

80

152

33

5

18

45

51

0

IIb

. Ta

fei

für

Stl

ind

en.

Ariahl

3

.än{

?e

Anomalie 1

1

0°

1'

18"

36'"

82iv

14V

39VI

0

1'

9"

14'"

lO^v

48V

22 VI

2

0

2

37

13

4

29

18

0

2

18

28

21

36

44

3

0

S

55

49

36

48

6

0

3

27

42

32

25

7

4

0

5

14

26

8

58

35

0

4

36

56

48

13

29

5

0

6

83

2

41

13

14

0

5

46

10

54

1

52

6

0

7

51

39

13

27

53

0

6

55

25

4

50

14

7

0

9

10

15

45

42

32

0

8

4

39

15

38

36

8

0

10

28

52

17

57

11

0

9

13

53

26

26

59

9

0

11

47

28

50

11

49

0

10

23

7

87

15

27

10

0

13

6

5

22

26

28

0

11

32

21

48

3

44

11

0

14

24

41

54

41

7

0

12

41

35

58

52

6

12

0

15

43

18

26

55

46

0

18

50

50

9

40

29

13

0

17

1

54

59

10

25

0

15

0

4

20

28

51

14

0

18

20

31

81

25

4

0

16

9

18

31

17

13

15

0

19

39

8

3

39

43

ü

17

18

32

42

5

36

16

0

20

57

44

85

64

22

0

18

27

46

52

53

58

17

0

22

16

21

8

9

0

0

19

37

1

3

42

21

18

0

23

34

57

40

23

39

0

20

46

15

14

30

48

19

0

24

53

34

12

38

18

0

21

55

29

25

19

5

20

0

26

12

10

44

52

57

0

23

4

43

36

7

28

tl

0

27

30

47

17

7

86

0

24

18

57

46

55

50

22

0

28

49

23

49

22

15

0

25

23

11

57

44

18

23

0

30

8

0

21

36

54

0

26

32

26

8

32

85

24

0

31

26

36

53

51

33

0

27

41

40

19

20

58

112

Planetentafeln. Mars.

Illa. Tafel für Monate.

Tage

Län

ge

Anomalie

30

15°

43'

18"

26"'

55'^^

46^

30 V"

13"

50'

50"

9"'

40^v

29V

OVf

60

31

26

36

53

51

33

0

27

41

40

19

20

58

0

90

47

9

55

2ü

47

19

30

41

32

30

29

1

27

0

120

62

53

13

47

43

6

0

5.

23

20

38

41

56

0

150

78

36

32

14

38

52

30

69

14

10

48

22

25

0

180

94

19

50

41

34

39

0

83

5

0

58

2

54

0

210

110

3

9

8

30

25

30

96

53

51

7

43

23

0

240

125

46

27

35

26

12

0

110

46

41

17

23

52

0

270

141

29

46

2

21

58

30

124

37

31

27

4

21

0

300

157

13

4

29

17

45

0

138

28

21

36

44

50

0

330

172

56

22

56

13

31

30

152

19

11

46

25

19

0

360

188

39

41

23

9

18

0

166

10

1

56

5

48

0

1

[Il>.

Tafel f

ür Tag

e.

Anzahl

1

jän

?e

An

omalie

1

0»

81'

26"

36'"

53^^

5iv

33VI

0"

27

41"

40'"

I9IV

20V

58^1

2

1

2

53

13

47

43

6

0

55

23

20

38

41

56

3

1

34

19

50

41

:i4

39

1

23

5

0

58

2

54

4

2

5

46

27

35

26

12

1

50

46

41

17

23

52

5

2

37

13

4

29

17

45

2

18

28

21

36

44

50

6

3

8

39

41

23

9

18

2

46

10

1

56

5

48

7

3

40

6

18

17

0

51

3

13

51

42

15

26

46

8

4

11

32

55

10

52

24

3

41

33

22

34

47

44

9

4

42

59

32

4

43

57

4

9

15

2

54

8

42

10

5

14

26

8

58

35

30

4

36

56

43

13

29

40

11

5

45

52

45

52

27

3

5

4

38

23

32

50

38

12

6

17

19

22

46

18

36

5

32

20

3

52

11

36

13

6

48

45

59

40

10

9

6

0

1

44

11

32

84

14

7

20

12

36

34

1

42

6

27

43

24

30

53

32

15

7

51

39

13

27

53

15

6

55

25

4

50

14

30

16

8

23

5

50

21

44

48

7

23

6

45

9

35

28

17

8

54

32

27

15

36

21

7

50

48

25

28

56

26

18

9

25

59

4

9

27

54

8

18

30

5

48

17

24

19

9

57

25

41

3

19

27

8

46

11

46

7

38

22

20

10

28

52

17

57

11

0

9

13

53

26

26

59

20

21

11

0

18

54

51

2

33

9

41

35

6

46

20

18

22

11

31

45

31

44

54

6

10

9

16

47

5

41

16

23

12

3

12

8

38

45

39

10

36

58

27

25

2

14

24

12

34

38

45

32

37

12

11

4

40

7

44

23

12

25

13

6

5

22

26

28

45

11

32

21

48

3

44

10

26

13

37

31

59

20

20

18

12

0

3

28

28

5

8

27

14

8

58

36

14

11

51

12

27

45

8

42

26

6

28

14

40

25

13

8

3

24

12

55

26

49

1

47

4

29

15

11

51

50

1

54

57

13

23

8

29

21

8

2

30

15

48

18

26

55

46

30

13 1 50

50

9

40

29

0

Planetentafeln. Venus.

113

I.

Tafel für Perioden zn 18 Jahren.

Län

«e

Jahre

Mittlerer Or

hl

«45'

Apogeum

MO'

Mittlerer Ort 71« 7'

18

355«

37'

25"

36'"

20IV

34V

30VI

90»

27'

44" 34"'

23^v

46V

30^1

36

351

14

51

12

41

9

0

180

55

29 8

47

33

0

54

346

52

16

49

1

43

30

271

23

18 43

11

19

30

72

342

29

42

25

22

18

0

1

50

58 !l7

35

6

0

90

338

7

8

1

42

52

30

92

18

42 ;51

58

52

30

108

333

44

33

38

3

27

0

182

46

27 '26

22

89

0

126

329

21

59

14

24

1

30

273

14

12 0

46

25

30

144

324

59

24

50

44

36

0

3

41

56 35

10

12

0

162

320

36

50

27

5

10

30

94

9

41 9

33

58

30

180

316

14

16

3

25

45

0

184

37

25 43

57

45

0

198

311

51

41

39

46

19

30

275

5

10 |18

21

31

30

216

307

29

7

16

6

54

0

5

32

54 :52

45

18

0

234

303

6

32

52

27

28

30

96

0

39 27

9

4

30

252

298

43

58

28

48

3

0

186

28

24 1 1

32

51

0

270

294

21

24

5

8

87

30

276

56

8 35

56

37

30

288

289

58

49

41

29

12

0

7

23

53 10

20

24

0

306

285

36

15

17

49

46

30

97

51

37 44

44

10

30

324

281

13

40

54

10

21

0

188

19

22 !19

7

57

0

342

276

51

6

30

30

55

30

278

47

6 53

31

43

30

360

272

28

32

6

51

30

0

9

14

51 27

55

30

0

378

268

5

57

43

12

4

30

99

42

36 2

19

16
3

30

396

263

43

23

19

32

39

0

109

10

20 86

43

0

414

259

20

48

55

53

13

30

280

38

5 11

6

49

30

432

254

58

14

32

18

48

0

11

5

49 145

30

36

0

450

250

35

40

8

34

22

30

101

33

34 19

54

22

30

468

246

13

5

44

54

57

0

192

1

18 |54

18

9

0

486

241

50

31

21

15

31

30

282

29

3 |28

41

55

30

504

237

27

56

57

36

6

0

12

56

48 3

5

42

0

522

233

5

22

33

56

40

30

103

24

32 '37

29

28

30

540

228

42

48

10
46

17

15

49

0

193

284

52
20

17 !ll
1 '46

53

15
1

0

558

224

20

13

37

30

17

30

576

219

57

39

22

58

24

0

14

47

46 20

40

48

0

594

215

35

4

59

18

58

30

105 1 15

30 ,55

4

34

21

30

612

211

12

30

35

39

33

0

195

43

16

29

28

0

630

206

49

56

12

0

7

30

286

11

0

3

52

7

30

648

202

27

21

48

20

42

0

16

38

44

38

15

54

0

666

198

4

47

24

41

16

30

107

6

29

12

39

40

SO

684

193

42

13

1

1

51

0

197

34

13

47

3

27

0

702

189

19

38

37

22

25

30

288

1
29

58
42

21
55

27

13
0

30

720

184

57

4

13

43

0

0

18

51

0

738

180

34

29

50

3

34

30

108

57

27

30

14

46

30

756

176

11

55

26

24

9

0

199

25

12

4

38

33

0

774

171

49

21

2

44

43

30

289

52

56

89

2

19

30

792

167

26

46

39

5

18

0

20

20

41

13

26

6

0

810

163

4

12

15

25

52

30

110

48

25 47

49

52

30

Ptolemäua , übers, v. Manitius. II.

114

Planetentafeln. Venus.
IIa. Tafel für Jahre.

Anzahl

Länge

Anomalie

1

3590

45'

24"

45"'

21IV

8V

35VI

225»

1'

82"

28"'

34IV

39V

I5VI

2

359

30

49

30

42

17

10

90

3

4

57

9

18

30

3

359

16

14

16

3

25

45

315

4

37

25

43

57

45

4

359

1

39

1

24

34

20

180

6

9

54

18

37

0

5

358 47

3

46

45

42

55

45

7

42

22

53

16

15

6

358

32

28

32

6

51

30

270

9

14

51

27

55

30

7

358

17

53

17

28

0

5

135

10

47

20

2

34

45

8

358

3

18

2

49

8

40

0

12

19

48

37

14

0

9

357

48

42

48

10

17

15

225

13

52

17

11

53

15

10

357

34

7

33

31

25

50

90

15

24

45

46

32

30

11

357

19

32

18

52

34

25

315

16

57

14

21

11

45

12

357

4

57

4

13

43

0

180

18

29

42

55

51

0

13

356

50

21

49

34

51

35

45

20

2

11

30

30

15

14

356

35

46

34

56

0

10

270

21

34

40

5

9

30

15

356

21

11

20

17

8

45

135

23

7

8

39

48

45

16

356

6

36

5

38

17

20

0

24

39

37

14

28

0

17

355

52

0

50

59

25

55

225

26

12

5

49

7

15

18

355

37

25

36

20

34

30

90

27

44

34

23

46

30

II t

. Ta

Lfel

für

Sti

and

en.

Anzahl

]

jäni

?e

Anoma

Lie

1

0»

2'

27"

50'"

43IV

3V

ivi

0»

1'

32"

28'"

34IV

42V

58VI

2

0

4

55

41

26

6

2

0

3

4

57

9

25

57

3

0

7

23

32

9

9

3

0

4

37

25

44

8

56

4

0

9

51

22

52

12

5

0

6

9

54

18

51

54

5

0

12

19

13

35

15

6

0

7

42

22

53

34

53

6

0

14

47

4

18

18

7

0

9

14

51

28

17

52

7

0

17

14

55

1

21

9

0

10

47

20

3

0

50

8

0

19

42

45

44

24

10

0

12

19

48

37

43

49

9

0

22

10

36

27

27

11

0

13

52

17

12

26

48

10

0

24

38

27

10

30

12

0

15

24

45

47

9

46

11

0

27

6

17

53

33

14

0

16

57

14

21

52

45

12

0

29

34

8

36

36

15

0

18

29

42

56

35

44

13

0

32

1

59

19

39

16

0

20

2

11

31

18

42

14

0

34

29

50

2

42

18

0

21

34

40

6

1

41

15

0

36

57

40

45

45

19

0

23

7

8

40

44

40

16

0

39

25

31

28

48

20

0

24

39

37

15

27

38

17

0

41

53

22

11

51

21

0

26

12

5

50

10

37 .

18

0

44

21

12

54

54

23

0

27

44

34

24

63

36

19

0

46

49

3

37

57

24

0

29

17

2

59

36

34

20

0

49

16

54

21

0

25

0

30

49

31

34

19

33

21

0

51

44

45

4

3

27

0

32

22

0

9
43

2
45

32
30

22

0

54

12

35

47

6

28

0

33

54

28

23

0

56

40

26

30

9

29

0

35

26

57

18

28

29

24

0

59

8

17

13

12

31

0

36

59

25

53

11

28

Planetentafeln. Venus.

115

Illa Tafel für Monate.

Tage

Länge

A

Qomalie

30

290

34'

8"

36'"

36^"^

15V

30 VI

18°

29'

42"

56'"

35IV

44V

OVi

60

59

8

17

13

12

31

0

36

59

25

53

11

28

0

90

88

42

25

49

48
25

46

2

30

55
73

29

58

8
51

49
46

47

12
56

0

120

118

16

34

26

0

22

0

150

147

50

43

3

1

17

30

92

28

34

42

58

40

0

180

177

24

51

39

37

33

0

110

58

17

39

34

24

0

210

206

59

0

16

13

48

30

129

28

0

36

10

8

0

240

236

33

8

52

50

4

0

147

57

43

32

45

52

0

270

266

7

17

29

26

19

30

166

27

26

29

21

36

0

300

295

41

26

6

2

35

0

184

57

9

25

57

20

0

330

325

15

34

42

38

50

30

203

26

52

22

33

4

0

360

354

49

43

19

15

6

0

221

56

35

19

£

48

0

11

[Ib.

rafel f

iir Tag

e.

Anzahl

I

iänj

je

A

Qomalie

1

0°

59'

8"

17"'

13=^^

12V

31VI

0°

36'

59''

25"'

53IV

nv

28VI

2

1

58

16

34

26

25

2

1

13

58

51

46

28

56

3

2

57

24

51

39
52

37
50

38

1

50

27

58
57

17
43

39

34

45

24

4

3

56

33

8

4

2

32

52

5

4

55

41

26

6

2

35

3

4

57

9

25

57

20

6

5

54

49

43

19

15

6

3

41

56

35

19

8

48

7

6

53

58

0

32

27

37

4

18

56

1

12

20

16

8

7

53

6

17

45

40

8

4

55

55

27

5

31

44

9

8

52

14

34

58

52

39

5

32

54

52

58

43

12

10

9

51

22

52

12

5

10

6

9

54

18

51

54

40

11

10

50

31

9

25

17

41

6

46

53

44

45

6

8

12

11

49

39

26

38

30

12

7

23

53

10

38

17

36

13

12

48

47

43

51

42

43

8

0

52

36

31

29

4

14

13

47

56

1

4

55

14

8

37

52

2

24

40

32

15

14

47

4

18

18

7

45

9

14

51

28

17

52

0

16

15

46

12

35

31

20

16

9

51

50

54

11

8

28

17

16

45

20

52

44

32

47

10

28

50

20

4

14

56

18

17

44

29

9

57

45

57

18

11
11

5

42

49
49

45
11

57

26
37

24

19

18

48

37

27

10

49

50

52

20

19

42

45

44

24

10

20

12

19

48

37

43

49

20

21

20

41

54

1

37

22

51

12
13

56
33

48
47

3

29

37

0

12

48

22

21

41

2

18

50

22

30

16

23

22

40

10

36

3

47

53

14

10

46

55

23

23

44

24

23

39

18

53

17

0

24

14

47

46

21

16

35

12

25

24

38

27

10

30

12

55

15

24

45

47

9

46

40

26

25

37

35

27

43

25

26

16

1

45

13

2

58

8

27

26

36

43

44

56

37

57

16

38

44

38

56

9

36

28

27

35

52

2

9

50

28

17

15

44

4

49

21

4

29

28

35

0

19

23

2

59

17

52

43

30

42

82

32

30

29

34

8

36

36

15

30

18

29

42

56

35

44

0

8*

116

Planetentafeln. Merkur.

I. Tafel f

ür Perioden zu 18 Ja

hren.

Jahre

Länge
Mittlerer Ort ¥00 45'

Anomalie

Apogeum SL 1° 10'

Mittlerer Ort 210 55'

18

355"

37'

25"

36'"

20IV

34V

SOVi

251«

0'

45"

45'"

53IV

45V

QVI

86

351

14

51

12

41

9

0

142

81

31

47

SO

0

54

346

52

16

49

1

48

30

33

17

17

41

15

0

72

342

29

42

25

22

18

0

284

0

3

3

35

0

0

90

338

7

8

1

42

52

80

175

3

48

49

28

45

0

108

333

44

88

38

3

27

0

66

34

35

22

80

0

126

329 21

59

14

24

1

30

317

20

21

16

15

0

144

324

59

24

50

44

86

0

208

6

7

10

0

0

162

320

36

50

27

5

10

80

99

51

53

3

45

0

180

816

14

16

3

25

45

0

350

87

38

57

80

0

198

311

51

41

89

46

19

30

241

23

24

51

15

0

216

307

29

7

16

6

54

0

132

9

10

45

0

0

234

303

6

82

52

27

28

30

23

54

56

38

45

0

252

298

48

58

28

48

8

0

274

40

42

32

80

0

270

294

21

24

5

8

87

80

165

26

28

26

15

0

288

289

58

49

41

29

12

0

56

12

14

20

0

0

306

285

36

15

17

49

46

80

307

58

0

13

45

0

324

281

13

40

54

10

21

0

198

48

46

7

30

0

342

276

51

6

30

30

55

30

89

29

82

1

15

0

360

272

28

82

6

51

80

0

340

15

17

55

0

0

378

268

5

57

48

12

4

30

281

1

3

48

45

0

396

263

43

23

19

32

89

0

122

46

49

42

30

0

414

259

20

48

55

53

13

30

13

32

35

36

15

0

432

254

58

14

32

18

48

0

264

18

21

80

0

0

450

250

85

40

8

34

22

80

155

4

7

23

45

0

468

246

13

5

44

54

57

0

46

49

53

17

80

0

486

241

50

31

21

15

81

30

297

35

89
25

11

15
0

0

504

237

27

56

57

86

6

0

188

21

5

0

522

233

ö

22

38

56

40

30

79

7

10

58

45

0

540

228

42

48
13

10

46

17

15
49

0

330
221

52
38

56
42

52

80
15

0

558

224

20

37

30

46

0

576

219

57

89

22

58

24

0

112

24

28

40

0

0

594

215

85

4

59

18

58

30

3

10

14

33

45

0

612

211

12

30

85

89

33

0

254

56

0

27

30

0

630

206

49

56

12

0

7

30

145

41

46

21

15

0

648

202

27

21

48

20

42

0

86

27

32

15

0

0

666

198

4

47

24

41

16

30

287

28

13

18

8

45

0 1

684

193

42

13

1

1

51

0

178

28

59

4

2

30

0

lOii

189

19

38

37

22

25

30

69

29

44

49

56

15

0

720

184

57

4

13

43

0

0

320

30

30

85

50

0

0

738

180

34

29

50

8

84

80

211

31

16

21

48

45

0

756

176

11

55

26

24

9

0

102

32

2

7

87

80
15

0

774

171

49

21

2

44

43

80

353

32

47

58

31

0

792

167

26

46

39

5

18

0

244

33

33

89

25

0

0

1 810

163 i 4

12

15

25

52

80

135

34

19

25

18

45

0

Planetentafeln. Merkur.
IIa. Tafel für Jahre.

117

iDzahl

Läng

e

A

Qomalie

1

3590

45'

24''

45'"

21IV

8V

85VI

530

56'

42"

32'"

32IV

59V

10^1

2

359

30

49

30

42

17

10

107

53

25

5

5

58

20

S

359

16

14

16

3

25

45

161

50^

7

37

38

57

30

4

359

1

39

1

24

34

20

215

46

50

10

11

56

40

5

358

47

3

46

45

42

55

269

4.S

32

42

44

55

50

6

358

32

28

82

6

51

80

823

40

15

15

17

55

0

7

358

17

53

17

28

0

5

17

36

57

47

50

54

10

8

358

3

18

2

49

8

40

71

33

40

20

23

53

20

9

357

48

42

48

10

17

15

125

30

22

52

56

52

30

10

357

34

7

33

31

25

50

179

27

5

25

29

51

40

11

357

19

82

18

52

34

25

233

28

47

58

2

50

50

12

357

4

57

4

13

43

0

287

20

30

80

85

50

0

13

356

50

21

49

34

51

35

841

17

13

3

8

49

10

14

356

35

46

34

56

0

10

?<5

18

55

36

41

48

20

15

356

21

11

20

17

8

45

89

10

S8

8

14

47

30

16

356

6

86

5

38

17

20

143

7

20

40

47

46

40

17

355

52

0

50

59

25

55

197

4

3

18

20

45

50

18

355

37

25

36

20

34

30

251

0

45

45

58

45

0

IIb

. Ta

fei

für

Stl

and

en.

Anzahl

]

.änj

?e

A]

aom

alle

1

0°

2'

27"

50"'

43^v

3V

ivi

0°

7'

46"

0'"

I7IV

28V

59VI

2

0

4

55

41

26

6

2

0

15

32

0

34

57

59

8

0

7

28

82

9

9

3

0

23

18

0

52

26

58

4

0

9

51

22

52

12

5

0

31

4

1

9

55

58

5

0

12

19

13

85

15

6

0

38

50

1

27

24

57

6

0

14

47

4

18

18

7

0

46

36

1

44

53

57

7

0

17

14

.^5

1

21

9

0

54

22

2

2

22

57

8

0

19

42

45

44

24

10

2

8

2

19

51

56

9

0

22

10

86

27

27

11

9

64

2

37

20

56

10

0

24

38

27

10

30

12

17

40

2

54

49

55

11

0

27

6

17

53

33

14

25

26

3

12

18

55

12

0

29

84

8

36

36

15

33

12

3

29

47

55

13

0

32

1

59

19

39

16

40

58

3

47

16

54

14

0

84

29

50

2

42

18

48

44

4

4

45

54

15

0

36

57

40

45

45

19

56

30

4

22

14

53

16

0

39

25

31

28

48

20

4

16

4

39

43

53

17

0

41

53

22

11

51

21

12

2

4

57

12

52

18

0

44

21

12

54

54

23

19

48

5

14

41

52

19

0

46

49

8

37

57

24

27

34

5

32

10

52

20

0

49

16

54

21

0

25

35

20

5

49

39

51

21

0

51

44

45

4

3

27

43

6

6

7

8

51

23

0

54

12

35

47

6

28

50

r.2

6

24

37

50

23

0

56

40

26

30

9

29

58

38

6

42

6

50

, 24

0

59

8

17

13

12

31

3

6

24

6

59

35

50

118

Planetentafeln. Merkur.

III

a. T

afel fü

r M

onate.

Tage

Länge

A

nom

alle

30

29»

34'

8"

36'"

36iv

15V

30VI

930

12'

3"

29'"

47IV

55V

OVi

60

59

8

17

13

12

31

0

186

24

6

59

35

50

0

90

88

42

25

49

^8

46

30

279

36

10

29

23

45

0

1 120

118

16

34

26

25

2

0

12

48

13

59

11

40

0

150

147

50

43

3

1

17

30

106

0

17

28

59

35

0

180

177

24

51

39

37

33

0

199

12

20

58

47

30

0

1 210

206

59

0

16

13

48

30

292

24

24

28

35

25

0

240

236

33

8

52

50

4

0

25

36

27

58

23

20

0

270

266

7

17

29

26

19

30

118

48

31

28

11

15

0

300

295

41

26

6

2

35

0

212

0

34

57

59

10

0

330

325

15

34

42

38

50

30

305

12

38

27

47

5

0

360

354

49

43

19

15

6

0

38

24

41

57

35

0

0

I

IIb.

Tafel für Tag

e.

Anzahl

1

I

.äng

re

A

aomalie

1

Oo

59'

8"

17'"

13IV

12V

3ivi

30

6'

24"

6'"

59IV

35V

50VI

2

1

58

16

34

26

25

2

6

12

48

13

59

11

40

3

2

57

24

51

39

37

33

9

19

12

20

58

47

30

4

3

56

33

8

52

50

4

12

25

36

27

58

23

20

5

4

55

41

26

6

2

35

15

32

0

34

57

59

10

6

5

54

49

43

19

15

6

18

38

24

41

57

35

0

7

6

53

58

0

32

27

37

21

44

48

48

57

10

50

8

7

53

6

17

45

40

8

24

51

12

55

56

46

40

9

8

52

14

34

58

52

39

27

57

37

2

56

22

30

10

9

51

22

52

12

5

10

31

4

1

9

55

58

20

11

10

50

31

9

25

17

41

34

10

25

16

55

34

10

12

11

49

39

26

38

30

12

37

16

49

23

55

10

0

13

12

48

47

43

51

42

43

40

23

13

30

54

45

50

14

13

47

56

1

4

55

14

43

29

37

37

54

21

40

15

14

47

4

18

18

7

45

46

36

1

44

53

57

30

16

15

46

12

35

31

20

16

49

42

25

51

53

33

20

17

16

45

20

52

44

32

47

52

48

49

58

53

9

10

18

17

44

29

9

57

45

18

55

55

14

5

52

45

0

19

18

43

37

27

10

57

49

59

1

38

12

52

20

50

20

19

42

45

44

24

10

20

62

8

2

19

51

56

40

21

20

41

54

1

37

22

51

65

14

26

26

51

32

30

22

21

41

2

18

50

35

22

68

20

50

33

51

8

20

23

22

40

10

36

3

47

.53

71

27

14

40

50

44

10

24

23

39

18

53

17

0

24

74

33

38

47

50

20

0

25

24

38

27

10

30

12

55

77

40

2

54

49

55

50

26

25

37

35

27

43

25

26

80

46

27

1

49

31

40

27

26

36

43

44

56

37

57

83

52

51

8

49

7

30

28

27

35

52

2

9

50

28

86

59

15

15

48

43

20

29

28

35

0

19

23

2

59

90

5

39

22

48

19

10

30

29

34

8

36

36

15

30

93

12

3

29

47

55

0

Neuntes Buch. Fünftes Kapitel. 119

Fünftes Kapitel.

Vorbemerkungen zu den Hypothesen der iün!

Wandelsterne.

Da sich an die Aufstellung vorstehender Tafeln zunächstfaei 250
das Kapitel von den Anomalien anzuschließen hat, welche
bei dem Lauf in Länge der fünf Wandelsterne eintreten, so
haben wir zunächst zur allgemeinen Orientierung folgendes
zu bemerken. 5

Der einfachsten Bewegungen, die zugleich zur Lösung
des vorliegenden Problems ausreichen, gibt es wie(S. 96,30)
gesagt zwei: die eine geht auf Kreisen vor sich, welche zur
Ekliptik exzentrisch liegen, die andere auf Kreisen, welche
mit der Ekliptik konzentrisch sind und Epizyklen in Um- 10
lauf versetzen. Nun gibt es gleicherweise für jeden Planeten
auch zwei scheinbare Anomalien: die eine wird theo-
retisch auf die Teile der Ekliptik bezogen, die andere auf
die Stellungen zur Sonne.

Was zunächst die letztere Anomalie anbelangt, so er- 15
hielten wir aus der Beobachtung verschiedener unmittelbar
aufeinander folgender Stellungen (zur Sonne) in denselben
Teilen der Ekliptik das Ergebnis, daß bei den fünf Wandel-
sternen die Zeit von der größten Bewegung bis zur mittle-
ren jederzeit größer ist als die von der mittleren bis zur 20
kleinsten Bewegung*', eine charakteristische Erscheinung,
welche bei der exzentrischen Hypothese nicht eintreten kann,
da bei ihr das Gegenteil stattfinden muß (vgl. 1 153, 22).
Denn erstens geht bei dieser Hypothese der größte Lauf
jederzeit in der größten Erdnähe vor sich, zweitens ist — 25
und das gilt für beide Hypothesen — der Bogen (des Ex-
zenters oder des Epizykels) von dem Perigeum bis zu demjg^. J^J

a) Weil die Planeten in der Zeit von der größten zur mittle-
ren Bewegung rückläufig und stationär werden, während
sie in der Zeit von der mittleren zur kleinsten Bewegung durch-
gängig rechtläufig sind.

120 Neuntes Buch. FünfteB Kapitel.

Punkte der mittleren Bewegung kleiner als der Bogen von
diesem Punkte bis zu dem Apogeum.*^ Nun kann allerdings
bei der epizyklischen Hypothese diese Erscheinung in dem
Fall eintreten, wenn der größte Lauf nicht im Perigeum
5 (des Epizykels), wie bei dem Monde, sondern im Apogeum
vor sich geht, d.h. wenn der Planet von dem Apogeum aus
nicht gegen die Richtung der Zeichen, wie der Mond
(1219,6), sondern in der Eichtung der Zeichen seinen
Fortschritt (auf dem Epizykel) bewerkstelligt. Daher legen

10 wir die Annahme zugrunde, daß diese Art der Anomalie
vermittelst der Epizyklen zum Ausdruck gelangt.

Was zweitens die theoretisch auf die Teile der Ekliptik
bezogene Anomalie anbelangt, so erhielten wir vermittelst
der Ekliptikbogen, welche sich bis zu denselben heliakischen

15 Aufgängen oder denselben Stellungen erstrecken, das gegen-
teilige Ergebnis, daß die Zeit von der kleinsten Bewegung
bis zur mittleren immer größer ist als die von der mittle-
ren bis zur größten Bewegung^', wieder eine charakteristische
Erscheinung, welche zwar bei jeder der beiden Hypothesen

20 eintreten kann — wir haben diesen Punkt bei der Würdi-
gung der Gleichartigkeit beider Hypothesen im Anfang
des Abschnitts von der Sonne (I 153,22) ausführlich
besprochen — aber doch eigentlich mehr eine Begleit-
erscheinung der exzentrischen Hypothese ist. So legen wir

2ö denn die Annahme zugrunde, daß diese Art der Anomalie
nach der exzentrischen Hypothese zum Ausdruck gelange,
weil die andere Anomalie ausschließlich als eine Eigentüm-
lichkeit der epizyklischen Hypothese erfunden worden ist.
Nun fanden wir aber weiter bei fortgesetzter genauer An-

30 passung und Vergleichung des von Fall zu Fall durch die
Beobachtung festgestellten Laufs mit den aus der Kombi-
nation beider Hypothesen sich ergebenden Leitpunkten, daß

a) Tgl. die Figuren zu Anm. 24 u. 35 im Anhang zu Band I.

b) Weil auch bei den Planeten, wie bei der Sonne und dem
Monde, der scheinbare Lauf in der Erdferne kleiner ist als
der gleichförmige, größer dagegen in der Erdnähe.

Vorbemerkungen zu den Hypothesen. 121

der Verlauf der Bewegung nicht so ganz einfach sein könne./g^. ^^^^
Erstens können die Ebenen, in denen wir die Exzenter be-
schreiben, nicht unbeweglich sein, weil dann die durch beide
Mittelpunkte — durch den des betreffenden Exzenters und
den der Ekliptik — gehende Gerade, auf welche die Theorie 5
die Apogeen und die Perigeen verlegt, ewig in derselben
Entfernung von den Wende- oder den Nachtgleichenpunkten
verharren müßte. Zweitens können die Epizyklen wieder
ihre Mittelpunkte nicht auf diesen Exzentern zum Umlauf
gelangen lassen, deren Zentren es sind, an denen bei gleich- 10
förmiger Herumleitung der Bewegung in der Richtung der
Zeichen die Epizjklen in den gleichen Zeiten die gleichen
Winkel bilden müssen. Wir fanden vielmehr, daß erstens
auch die Apogeen der Exzenter einen ganz geringen von den
Wendepunkten aus in der Richtung der Zeichen vor sich 15
gehenden Fortschritt bewerkstelligen, welcher wieder gleich-
förmig um den Mittelpunkt der Ekliptik verläuft und für
alle Planeten ungefähr ebensogroß ist, wie er an der Fix-
sternsphäre wahrgenommen worden ist — d. h. in 100 Jahren
vom Betrage eines Grades — , soweit es wenigstens mög- 20
lieh ist, aus dem vorliegenden Material einen Einblick zu
gewinnen. Zweitens fanden wir, daß die Mittelpunkte der
Epizyklen auf Kreisen umlaufen, die zwar .
gleichgroß sind, wie die (ersten) Exzenter,
welche die Anomalie bewirken, aber nicht um
dieselben Zentren beschrieben werden. Viel-
mehr liegen bei den anderen (vier) Planeten
diese Zentren in den Halbierungspunkten (Z)
der Strecke (AE), welche zwischen den Mittel- iz
punkten (A) jener (die Anomalie bewirken- [„ [^
den) Exzenter und dem Mittelpunkt (E) der
Ekliptik liegt. Nur bei dem Merkur läuft dieser (den Epi-
zykel tragende) Kreis um ein Zentrum (H), welches ebenso-
großen Abstand von dem es (H) herumleitenden Mittelpunkt
(Z) hat, wie dieser (Z) von dem Zentrum (A) des die Ano- 35
malie bewirkenden Exzenters nach dem Apogeum zu absteht,
und letzteres Zentrum (A) wieder von dem für das Auge

25
H

30

122

Neuntes Buch. Seclistes Kapitel.

angenommeneu Mittelpunkt (E).*) Denn nur bei diesem

Hei 253 Planeten fanden wir, wie schon bei dem Monde, daß der

Ha 159 (den Epizykel tragende) Exzenter von dem obenbezeichneten

Zentrum (Z) in der dem Epizykellauf entgegengesetzten

5 Richtung, d. i. wieder gegen die Richtung der Zeichen,

eine Umdrehung im Jahre herumgeleitet wird, da auch der

Merkur zweimal bei dem einen Umlauf scheinbar in die

größte Erdnähe gelangt, wie dies bei dem Monde zweimal

in einem Monate geschieht.

Sechstes Kapitel.
Art und Unterschied der Hypothesen.

10 Die aus den vorstehend erklärten Gründen vorgenommene
Kombination der Hypothesen dürfte auf folgendem Wege
dem Verständnis nähergebracht werden.

I. Was zunächst die Hypothese der anderen (vier) Pla-
neten anbelangt, so denke man sich als den (die Anomalie
15 A bewirkenden) Exzenter den Kreis

ABf um das Zentrum A; der
durch A und den Mittelpunkt
der Ekliptik gehende Durch-
messer sei AAP, auf welchem
der Mittelpunkt E der Ekliptik,
d. i. das Auge des Beobachters,
den Punkt A zum Apogeum und
den Punkt f zum Perigeum ma-
chen soll. Nachdem man die
Strecke AE in Punkt Z halbiert
hat, beschreibe man um Z als
Zentrum mit der Strecke AA den Kreis H0K, welcher dem-
Hei 254 nach natürlich dem Kreise ABf gleich ist, und um 0 als
Zentrum den Epizykel AM. Alsdann ziehe man die Ver-
30 bindungslinie A0MA.

a) So daß die drei Strecken HZ, ZA und AE einander gleich
sind. Infolgedessen wird das Zentram H des beweglichen Ex-
zenters bei jedem Umlauf einmal mit dem Zentrum A des die Ano-
malie bewirkenden Exzenters zusammenfallen.

20

25

Unterschied der Hypothesen. 123

Die erste Annahme, welche wir zu machen haben, ist die,
daß die Ebene der Exzenter schiefgestellt sei gegen die
Ebene der Ekliptik, und ebenso die Ebene der Epizyklen
schiefgestellt gegen die Ebene der Exzenter. Das ist
notwendig wegen des Laufs der Planeten in Breite nach 5
den später (Buch XIII) von uns hierüber zu führenden Be- Ha leo
weisen. Was indessen den Lauf in Länge anbelangt, so
können wir uns der Erleichterung halber sämtliche Kreise
in der Ebene der Ekliptik liegend denken, weil bei so kleinen
Neigungswinkeln, wie sie sich bei jedem Planeten durch- 10
gängig herausstellen werden, keine nennenswerte Differenz
(für den Lauf) in Länge eintreten wird.

Weiter legen wir folgende Annahmen zugrunde. Erstens
bewegt sich die ganze Ebene (in der wir sämtliche Kreise
annehmen) gleichförmig in der Richtung der Zeichen um 15
den Mittelpunkt E herum: hierdurch trägt sie die Apogeen
und Perigeen (der Exzenter) in 100 Jahren einen Grad
weiter. Zweitens wird der Epizykeldurchmesser A0M von
dem Zentrum A*^ wieder gleichförmig in der Richtung der
Zeichen, wie es der Wiederkehr des Planeten in Länge Hei 255
entspricht, herumgeleitet: hierdurch führt er die Epizykel- 21
punkte A und M sowie den jederzeit auf dem Exzenter H 0 K
liegenden Mittelpunkt 0 mit herum. Drittens bewegt sich
der Planet selbst wieder gleichförmig auf dem Epizykel A M :
hierdurch vollzieht er seine Wiederkehren mit Bezug auf 25
den jederzeit nach dem Zentrum A gerichteten Durchmesser
(des Epizykels) entsprechend dem mittleren Lauf in Ano-
malie zur Sonne^) und unter der Voraussetzung, daß sein
Fortschritt im Apogeum A in der Richtung der Zeichen vor
sich gehe. 30

IL Die bei dem Merkur sich einstellende Besonderheit der
Hypothese dürften wir auf folgende Weise veranschaulichen.

a) D. h. von einer Leitlinie (radius vector), die von diesem
Zentrum aus durch den Mittelpunkt des Epizykels geht und mit
dem Durchmesser A0M stets zusammenfällt.

b) D. h. den Beträgen entsprechend, wie sie S. 101 f. festgestellt
worden sind.

124

Neuntes Buch. Sechstes Kapitel.

Der Exzenter der Anomalie sei der Kreis ABT um das Zen-
trum A, der durch A und den Ekliptikmittelpunkt E durch
das Apogeum A gehende Durchmesser sei AAEF. Auf
Ha 161 letzterem trage man nach dem Apogeum A zu die Strecke
5 AZ gleich AE ab.

Die übrigen Annahmen bleiben dieselben, d.h. erstens
trägt die ganze Ebene das Apogeum in der Richtung der
Zeichen um den Mittelpunkt E um ebensoviel weiter, wie
bei den anderen Planeten ; zweitens wird der Epizykel gleich-
10 förmig in der Richtung der Zeichen von der Leitlinie AB
um das Zentrum A herumgeleitet; drittens bewegt sich der
Planet auf dem Epizykel ebenso wie die anderen. Dagegen

wird hier das Zentrum (H) des
anderen dem ersten wieder glei-
.0 chen Exzenters, auf welchem je-
derzeit der Mittelpunkt (K) des
Epizykels liegen wird, von der
Leitlinie ZH0 gleichförmig und
gleichschnell wie der Epizykel um
das Zentrum Z herumgeführt wer-
den, aber in der entgegengesetzten
Richtung wie der Epizykel (läuft),
d. h. gegen die Richtung der Zei-
chen. Die Folge davon wird sein,
25 daß die beiden Leitlinien AKB und ZH0 einmal im Jahre
eine Wiederkehr mit Bezug auf die Punkte der Ekliptik
bewerkstelligen (d. h. in die Ausgangslage zurückkehren),
mit Bezug aufeinander aber selbstverständlich zweimal
(auf die Gerade A f zu liegen kommen). Hierbei wird das
30 Zentrum (H) von dem Punkte Z stets die Strecke ZH, die
ihrerseits jeder der beiden Strecken AE und AZ gleich ist.
Abstand haben. Die Folge wird sein, daß erstens der kleine
Kreis, welcher von der gegen die Richtung der Zeichen ver-
laufenden Bewegung dieses Punktes (H) mit dem Abstand
35 ZH um das Zentrum Z beschrieben wird, durchaus auch
durch das Zentrum A des ersten unbeweglichen Exzenters
geht, daß zweitens der bewegliche Exzenter, an der Figur

Hei 256

Unterschied der Hypothesen. 125

0K, in jedem gegebenen Fall um das Zentrum H mit dem
Abstand H0, der gleich ist dem Abstand AA, verläuft, und
daß drittens der Epizykel jederzeit seinen Mittelpunkt auf
diesem (beweglichen Exzenter) hat, wie z. B. an der Figur
in Punkt K. 5

Die hier mitgeteilten Annahmen werden dem Verständnis
noch geläufiger werden bei den Nachweisen, die wir weiter- hu i62
hin bezüglich der zahlenmäßigen Beträge, mit denen wir
für jeden einzelnen Planeten zu rechnen haben, noch führen
müssen. Bei dieser Gelegenheit werden auch die Gründe in 10
schärferen Umrissen zutage treten, welche die Aufstellung Hei 257
der Hypothesen veranlaßt haben.

Vorausgeschickt muß noch folgende Bemerkung werden.
Die Wiederkehren des Laufs in Länge sind nicht an die
Punkte der Ekliptik gebunden, in denen die Apogeen oder 15
Perigeen der Exzenter liegen, weil wir die Veränderlichkeit
dieser Punkte (infolge der Präzession) als erwiesen annehmen.
Daher entsprechen die von uns auf dem oben (S. 102, 12)
dargelegten Wege ermittelten Bewegungen in Länge nicht
den theoretisch auf die Apogeen der Exzenter bezogenen 20
Wiederkehren, sondern denjenigen Bewegungen, welche sich
mit Bezug auf die Wende- und Nachtgleichenpunkte inner-
halb der zurzeit feststehenden Jahreslänge vollziehen.*^ Der
erste Beweis, den wir demnach zu führen haben, ist der,
daß auch nach den hier aufgestellten Hypothesen^) folgen- 25
der Satz gilt:

Wenn der mittlere Ort des Planeten in Länge beiderseits
von den Apogeen oder den Perigeen gleichweit entfernt
liegt, so stellt sich in jeder dieser beiden Entfernungen die
gleichgroße Differenz der auf die Ekliptik bezogenen Ano- 30
malie ein und es tritt (somit) auf dem Epizykel nach der-

a) Dieselbe Bemerkung war oben (S. 99, 26) zu den Wieder-
kehren in Anomalie gemacht worden.

b) Gerade wie dies für die Sonne und den Mond nachgewiesen
worden ist. Vgl. 1 163, i5.

126

Neuntes Buch. Sechstes Kapitel.

Hei 258

selben Seite*^ die größtmögliche Elongation (des Pla-
neten) von dem mittleren Ort ein.

I. Beweis für die Hypothesen der vier ersten Planeten.
Es sei der Exzenter, auf dem sich der Mittelpunkt des Epi-
zykels bewegt, der Kreis AB PA um das Zentrum E und den
Durchmesser AEf, auf welchem der Mittelpunkt der Eklip-
tik in Punkt Z angenommen sei. Das Zentrum des die

Anomalie bewirkenden Exzen-
ters, d. i. das Zentrum, um wel-
ches wir den mittleren Lauf
desEpizykels in gleichförmiger
Bewegung vor sich gehen las-
sen, sei H. Man ziehe die (in
Punkt H) sich schneidenden
Sehnen BH0 und AHK, von
denen jede gleichweit von
dem Apogeum A entfernt sei,
so daß die Winkel AHB und
AHA einander gleich seien,
20 und beschreibe um die Punkte B und A gleichgroße Epi-
zyklen. Alsdann ziehe man die Verbindungslinien BZ und
A Z und von Punkt Z, d. i. von dem Auge, nach derselben
Seite^) an die Epizyklen die Tangenten ZA und ZM.
Ich behaupte, daß erstens die Winkel der auf die Eklip-
25 tik bezogenen Anomalie einander gleich seien, d. h. daß
L HBZ= L HAZ, und daß zweitens die Winkel der auf
dem Epizykel eintretenden größten Elongation einander gleich

a) Es kann nur diejenige Seite des Epizykels gemeint sein,
welche von dem Apogeum des Exzenters, mag der Epizykel vor
oder nach demselben stehen, gleichweit entfernt ist. Was die
Elongationen der Venus anbelangt, so zeigt die Figur links des
Apogeums in Punkt A eine größte Elongation als Abendstern,
rechts in Punkt M eine solche als Morgenstern.

b) Auch hier ist inl ta avzci ii^qt} in demselben Sinne wie
oben zu verstehen, obgleich links die Abendseite und rechts die
Morgenseite des Epizykels von der Tangente berührt wird. Diese
Bezeichnung kehrt auch S. 128,19 u. S. 156,5 wieder. Man erwartet
vielmehr inl xa ivccvrlcc wie Buch X, Kap. 3 i. A.

Unterschied der Hypothesen. 127

seien, d.h. daß /.BZA=/.AZM. Ist dies der Fall, so
werden auch die zahlenmäßigen Beträge der aus der Ver-
einigung (mit der Anomaliedifferenz) gewonnenen (schein-
baren) größten Elongationen von dem mittleren Ort gleich-
groß sein. 5

Man fälle von den Punkten B und A auf die Tangenten
ZA und ZM die Lote BA und AM, und von E auf die
Sehnen B0 und AK die Lote EN und EZ. Dann ist (in
den rechtwinkligen Dreiecken HNE und HZE)

/.NHE=/,=HE (als Scheitelwinkel gleicher Winkel), 10
/.HNE = /.HEE als Rechte,

H E = H E als gemeins. Seite der gleichw. Dreiecke,
(mithin AHNE^AHEE) (Eukl. L 26).

Demnach sind einander gleich einerseits die Katheten N H
und EH, anderseits der Katheten EN und EE. Mithin sind Hei 259
die Sehnen B0 und AK (nach Eukl. III. 14) von dem Mittel- 16
punkt E gleichweit entfernt, demnach einander gleich. Folg-
lich sind auch ihre Hälften (nach Eukl. III. 3) gleichgroß,
so daß auch

B H = A H als Differenzen (gleichgroßer Linien), 20
o .-f/ HZ=HZals gemeinsame Seite,

1/.BHZ = /.AHZ von gleich. Seiten eingeschlossen,
(mithin aBHZ^AAHZ) (Eukl. I. 4)
. y i grl BZ = grlAZ,
tolglich |^HBZ = /.HAZ. (Erstes Ziel des Beweises.) 25

Ferner ist! B A = A M als epÄm,
etiler is^ | /. ß A Z = ^ A M Z als Rechte,
(mithin aBAZ^AAMZ) (Eukl. L 26)
folglich /, BZA = ^AZM, was zu beweisen war.

II. Beweis für den Merkur. Der durch die Zentren und Ha i64
das Apogeum der Kreise gehende Durchmesser sei ABT; 31
als Mittelpunkt der Ekliptik sei A angenommen, B als Zen-
trum des die Anomalie bewirkenden Exzenters, und f als
der Punkt, um welchen sich das Zentrum des den Epizykel
tragenden Exzenters bewegt. Man ziehe wieder nach beiden 35
Seiten (des Apogeums von B aus) die Geraden BA und BE

128

Neuntes Buch. Sechstes Kapitel.

als Leitlinien der gleichförmigen in der Richtung der Zei-
chen vor sich gehenden Bewegung des Epizykels und (von
r aus) die Geraden FZ und PH als Leitlinien*) der gleich-
schnell gegen die Richtung der Zeichen verlaufenden Her-
5 umführung des (den Epizykel tragenden) Exzenters, so daß
selbstverständlich (infolge Gleichheit der Bewegung) die bei
r und B gebildeten Winkel gleichgroß sind und (deshalb)
BA parallel zu FZ und BE parallel zu TH verläuft. Nun
Hei 260 bestimme man auf den Geraden FZ und FH die Mittel-
10 punkte der Exzenter^): es seien dies die Punkte 0 und K.

Die um dieselben beschriebe-
nen Exzenter, auf denen die
Epizyklen stehen, sollen durch
die Punkte A und E gehen. ^^
Nachdem man nun wieder um

A und E gleichgroße Epizy-
klen beschrieben hat, ziehe man
die Verbindungslinien AA und
AE, und nach derselben Seite
an die Epizyklen die Tan-
genten AA und AM.
Es soll also der Beweis geführt werden, daß auch in die-
sem Fall erstens die Winkel der auf die Ekliptik bezogenen
Anomaliedifferenz einander gleich sind, d.h. daß ^AAB
25 =^AEB, und daß zweitens ebenfalls einander gleich sind
die Winkel der auf dem Epizykel eintretenden größten Elon-
gationen, d. h. daß /.AAA = /.EAM.

Man ziehe die Verbindungslinien B0, BK und 0A, KE
und fälle von F auf die Geraden BA und BE die Lote FN

a) Insofern als Leitlinien zu bezeichnen, als der auf ihnen lie-
gende Mittelpunkt (einerseits K, anderseits 0) des beweglichen
Exzenters durch sie herumgeleitet wird.

b) D h. die jeweilige Lage des an der Fig. S. 124 mit H be-
zeichneten Mittelpunktes des beweglichen Exzenters.

c) Durch A der um K beschriebene Kreis , durch E der um 0
beschriebene, wie an der von mir beigegebenen Figur deutlicher
ist, als an der in fehlerhaften Verhältnissen gezeichneten Skelett-
figur des Originals.

Unterschied der Hypothesen.

129

und rZ, von den Punkten A und E auf die Geraden fZ
und PH die Lote AZ und EH, endlich auf die Geraden AA
und AM die Lote AA und EM. Dann ist (in den recht-
winkligen Dreiecken FNB und FEB)

(mithin

folglich

Ferner ist

0A
/.0ZA
(mithin /\OZA;
folglich £A0Z

Ferner ist

(mithin

folglich

(Nun war

folglich

(Ferner ist j ^^^^g

(mithin A B 0 A
folglich grl B A

Ferner ist

BA
/.ABA
(mithin A ABA

/_rBN = /.rBZ (nach Annahme),
/LrNB = /.rZB als Rechte,

TB = TB als gemeinsame Seite,
A TNB^ A TEB) (Eukl. L 26)

TN = r = ,

AZ = EH. (im Parallelogramm)

/. K H E als Rechte,

A K H E) (als rechtwinklig)

LEKH.

PK nach Annahme,

TB als gemeinsame Seite,

/.KTB,

AK TB) (Eukl. 1.4)

= Z.rKB.

: /.EKH)

= /l B K E. (als Erg. vorst. W. zu 180*^)

■grlEK] . , ^ . ,

arl BK] ^^ ^^^S^- Dreiecken,)

A BKE) (Eukl. I. 4)
^rZBE.

BA als gemeinsame Seite,

:^EBA,

: A EBA) (Eukl. I. 4)
/_ A E B, (Erstes Ziel des Beweises.)
grlAA = grl A E.

6

Hei 261

10

15

20

25

30

a) Weil die Punkte A und E nach Annahme vom Apogeum
gleichweit entfernt sind, so liegen die Halbmesser KA und 0E
auf einer Geraden; werden beide um das gemeinsame Stück 0K
verkürzt, so erhält man 0 A = K E.

Ptolemäus, übers, v. Manitius. 11. 9

130 Neuntes Buch. Siebentes Kapitel.

AA = EM, (als ephm)

Ferner ist-^ ^^^^ _ ^ ^^^^ ^^^^ Rechte)

(mithin AAAA^AEMA) (als rechtwinklig)
folglich /_AAA = /.EAM, was zu beweisen war.

Siebentes Kapitel.

Nachweis des Apogeums des Merkur und der

Weiterbewegung desselben.

Ha 166 NacÄ Feststellung dieser theoretischen Sätze erledigten
6 wir zunächst die Frage, in welchen Teilen der Ekliptik das
Hei 262 Apogeum des Planeten Merkur liegt, auf folgendem Wege.
Wir suchten Beobachtungen der größten Elongationen, bei
denen die Position (des Planeten) als Morgenstern von dem
10 mittleren Ort der Sonne, welcher zugleich der mittlere Ort
des Planeten ist, gleichweit entfernt war wie die Position
als Abendstern. Ist diese (beiderseitige) Entfernung ge-
funden, so muß nach dem soeben von uns geführten Beweis
das Apogeum des (festbleibenden) Exzenters den zwischen
15 den beiden Positionen in der Mitte liegenden Punkt ein-
nehmen.

Wir fanden nun für diesen Zweck nur wenige Beobach-
tungen geeignet, weil die betreffende Syzygie*) nur selten
mit der erforderlichen Schärfe der Beobachtung zugänglich
20 ist. Indessen können sie wenigstens die vorliegende Auf-
gabe veranschaulichen. Derartige Beobachtungen jüngeren
Datums sind folgende.

Im 16*®^ Jahre Hadrians am 16/17. ägyptischen Pha-

menoth abends (2. Februar 132 n.Chr.) beobachteten wir

25 vermittelst der Einrichtung des Astrolabs den Merkur in

seiner größten Elongation von dem mittleren Orte der Sonne.

. Als er damals mit Bezug auf den glänzenden Stern (Alde-

a) Unter Syzygie sind die paarweise zusammengehörigen
größten Elongationen zu verstehen, in denen der Planet, von
dem mittleren Ort der Sonne auf entgegengesetzten Seiten des
Apogeums gleichweit entfernt, einerseits als Abendstern, ander-
seits als Morgenstern erscheint.

Apogeum des Merkur. 131

baran) der Hjaden anvisiert wurde, ergab sich als sein schein-
barer Ort in Länge )( 1^. Nun war zur genannten Zeit^)
der mittlere Ort der Sonne i:^ 9^45'; folglich betrug die
größte Elongation vom mittleren Ort als Abendstern 21^15'.

Im 18*®° Jahre Hadrians am 18/19. ägyptischen Epiphi iia i67
früh morgens (4. Juni 134 n.Chr.) ergab sich für den Mer- 6
kur in seiner größten Elongation, als er bei recht schwachem Hei 263
Glänze mit Bezug auf den glänzenden Stern (Aldebaran) der
Hyaden anvisiert wurde, als scheinbarer Ort \j 18^45'. Nun
war zu dieser Zeit^) der mittlere Ort der Sonne TT 10®. 10
Folglich betrug auch in diesem Fall die größte Elongation
vom mittleren Ort als Morgenstern 21^15'.

Da also nach der ersten Beobachtung der mittlere Ort
des Planeten crc 9^45', nach der zweiten TT 10'^ war und
der in der Mitte zwischen diesen Positionen liegende Punkt 15
der Ekliptik in T 9^52' 30" fällt, so dürfte für die damalige
Zeit der durch das Apogeum gehende Durchmesser in dieser
Lage anzunehmen sein.

Wiederum beobachteten wir am Astrolab im ersten Jahre
Antonius am 20/21. ägyptischen Epiphi (4. Juni 138 n.Chr.) 20
abends den Merkur in seiner größten Elongation von dem
mittleren Ort der Sonne. Als er damals mit Bezug auf den
Stern (Regulus) im Herzen des Löwen anvisiert wurde, er-
gab sich als sein scheinbarer Ort ^ 7^. Nun war zu der
genannten Zeit''^ der mittlere Ort der Sonne TT 10^30'; 26
folglich betrug die größte Elongation vom mittleren Ort als
Abendstern 26^30'.

Desgleichen ergab sich im 4*^^^ Jahre Antonius am 18/19.
ägyptischen Phamenoth (2. Februar 141 n. Chr.) frühmor-
gens wieder in der größten Elongation unter Anvisierung Hei 264
mit Bezug auf den sog. Antares als sein scheinbarer Ort 31
^ 13^30', während der mittlere Ort der Sonne ^10^ war.^>

a) Für die Zeit 878* 195'^ 7^' berechnet sich nach den Sonnen-
tafeln der mittlere Ort mit -o.* 9» 44' 23".

b) Für die Zeit SSO«' 317<i 17^ ergibt die Nachprüfung TT 9 <'o6'42".

c) Für die Zeit 884^319^81» ergibt die Nachprüfung TT 10<'33'28".

d) Für die Zeit 887* 197^ 18^ ergibt die Nachprüfung «.• 10^0'29".

132 Neuntes Buch, Siebentes Kapitel.

Folglich betrug auch in diesem Fall die größte Elongation
vom mittleren Ort als Morgenstern genau wieder 26^30'.
Da nach der ersten Beobachtung der mittlere Ort des
Planeten TT 10^30', nach der zweiten :==: 10^ war und der
5 in der Mitte dazwischen liegende Punkt der Ekliptik in
d!ri' 10^15' fällt, so dürfte für die damalige Zeit der durch
das Apogeum gehende Durchmesser in dieser Lage anzu-
nehmen sein.

An der Hand dieser Beobachtungen fanden wir demnach,

10 daß das Apogeum ohne wesentlichen Fehler in den 10*®^ Grad
des Widders oder der Scheren fällt, während es nach
den älteren Beobachtungen, die bei den größten Elongationen
angestellt worden sind, im 6*®" Grade der nämlichen Zeichen
lag, wie sich aus den erhaltenen Mitteilungen berechnen läßt.

15 Im 23*^^^ Jahre der Zeitrechnung des Dionysius^\ am Mor-
gen des 21. Hydron^\ stand nämlich „Stilbon" von dem
glänzendsten Stern (^) im Schwänze des Steinbocks (Deneb
Algedi) drei Mondbreiten^^ nach Norden zu ab. Es stand
aber dazumal besagter Fixstern nach unseren Anfangs-

20 punkten, d. h. nach denjenigen, welche von den Wende- und

Nachtgleichenpunkten ab gerechnet werden, in /^ 22^20',^^

und ebenda selbstverständlich*'^ auch der Planet Merkur,

Hei 265 während der mittlere Ort der Sonne gegebenermaßen ^^c 18^10'

war.^^ Denn der Zeitpunkt fiel in das 486*® Jahr seit Na-

25 bonassar auf den 17/18. ägyptischen Choiak frühmorgens
(12. Februar 262 v.Chr.). Folglich betrug die größte Elon-
gation vom mittleren Ort als Morgenstern 25^50'.

a) Der Zahl x-O-' des griechischen Textes habe ich die Lesart
V.CC des Cod. G vorgezogen, die von zweiter Hand auch im Cod. D
über v,d' steht, eine Verbesserung, welche schon Böckh (Sonnenkr.
d. Alten, S. 295) der Übersetzung des Gerhard von Cremona (vi-
gesimo primo die iransacto mensis ydros) entnommen hat.

b) Nach dem Sternkatalog steht d Capricorni in S' 26*^20'
mit 2° südl. Breite, folglich genau 4 Jahrhunderte früher 4*^ rück-
wärts dieses Ortes.

c) Da er 3 Mondbreiten = lYg® nördlich stand, so war sein
Ort in Länge S' 22^20' bei V/ südl. Breite.

d) Für 485^106*20^^ ergibt die Nachprüfung «« 18"8'2".

Apogeum des Merkur. 133

Eine dieser größten Eiongation genau gleichkommende
als Abendstern haben wir unter den auf uns gekommenen
Beobachtungen freilich nicht gefunden, aber mit Hilfe von
zwei am nächsten kommenden Elongationen haben wir die
gleichgroße auf folgendem Wege berechnet. 5

Im nämlichen 23*®^ Jahre der Zeitrechnung des Dionysius Ha ifi9
blieb am Abend des 4. Tauron der Mer- ß^

kur hinter der Verbindungslinie der j\

Hörner (ß ^) des Stiers drei Mondbreiten | \

östlich zurück, während sein Vorüber- j \ <^k 10

gang an dem (mit dem Fuhrmann) ge- I \ !

meinsamen Stern (ß) in einem Abstand I \ 1

von mehr als drei Mondbreiten nach 1 \ 1

Süden zu erwarten stand, so daß sein
Ort (in Länge) wieder nach unseren ^J^
Anfangspunkten (4^ zurück) \i 23^ 40' \ 1

(d. i. gleich der damaligen Länge von ^) \ i

war. Der Zeitpunkt fällt wieder in das i

486^® Jahr seit Nabonassar auf den 30. ^£

ägyptischen Mechir^^zum l.Phamenoth (2 5. April 262 v.Chr.) 20
abends, während der mittlere Ort der Sonne y 29^30' war.^^
Folglich betrug die größte Eiongation von dem mittleren
Ort als Abendstern 24no'.

Im 2 8*®^ Jahre der Zeitrech- p^

nung des Dionysius stand er | ^n,^ ^ 25

am Abend des 7. Didymon un- | ")L^ß

gefähr auf einer Geraden mit
den Köpfen (a|3) der Zwillinge,
war aber von dem südlichen
um ^/g Mondbreite weniger als
den doppelten Abstand der

Köpfe nach Süden entfernt. ^^^^ ^^^ ^^^

Folglich war der Ort des Merkur (in Länge) wieder nach Hei 266

a) Die von Petau und Ideler gegebene Verbesserung JWs;^ip tqlcc-
JcoöT^ stg trjv a ^cciisvmd' erscheint Böckh (a. a. 0. S. 296) gewalt-
sam, aber absolut gewiß. Ich halte die von Halma (Chron. de Ptol.
p. 39) vorgeschlagene Umstellung X' slg ti]v a ^ayLsyrnd" für aus-
reichend, b) Für 485» 179* 7^^ ergibt die NachprüfungY 29^33' 3".

30

134 Neuntes Buch. Siebentes Kapitel.

unseren Anfangspunkten TT 29^20'. Es fällt dieser Zeit-
punkt in das 491*® Jahr seit Nabonassar auf den 5/6. ägyp-
tischen Pharmuthi (28. Mai 257 v. Chr.) abends, zu welcher
Stunde der mittlere Ort der Sonne TT 2^ 50' war.*> Folglich
5 betrug diese Elongation 26^30'.

Es betrug demnach, als der mittlere Ort Y 29^30' war,
die größte Elongation 24^10', aber 26^30', als der mittlere
Ort TT 2^50' war. Da nun die Elongation als Morgenstern,
zu welcher wir die entsprechende gleichgroße als Abend-

10 Stern suchten, 25^50' betrug, so fanden wir den mittleren
Ort, von welchem die Elongation als Abendstern wieder
25^50' betragen wird, aus der Differenz der beiden zur Be-
rechnung herangezogenen Beobachtungen. Es beträgt die
Ha 170 Differenz zwischen den nach diesen beiden Beobachtungen

15 gegebenen mittleren Örtern (von T 29^30' bis TT 2^50')
33^20', die der (beiden) größten Elongationen (als Abend-
stern 26<^30'~-24'^10' ==) 2^20'. Somit entfallen auf 1^40',
was die Differenz von 25^50' und 24^10' (d. i. zwischen
der Elongation als Morgenstern und der nicht genügenden

20 Elongation als Abendstern) ist, ungefähr 24*^.^) Addieren
wir nun letzteren Betrag zu y 29^30', so werden wir als
mittleren Ort, von dem die größte Elongation als Abend-
stern ebenfalls wieder 25^50' wie die als Morgenstern be-
tragen wird, \j 23^30' erhalten. Folglich liegt der in die
Hei267 Mitte zwischen ^ 18^10' (S. 132, 23) und \j 23^30' fallende

26 Punkt (des gesuchten Apogeums) in y 5^50'.

Wieder im 24*®^ Jahre der Zeitrechnung des Dionysius
stand am Abend des 28. Leonton der Merkur nach den Be-
rechnungen Hipparchs ein wenig mehr als 3^ westlich von

30 der Spika, so daß damals nach unseren Anfangspunkten sein
Ort (in Länge 4«-f 3^10' zurück) 11]) 19<^30' war. Der
Zeitpunkt fällt in das 486*® Jahr seit Nabonassar auf den
30. ägyptischen Payni (23. August 262 v. Chr.) abends, zu

a) Für 490''214'i8'' ergibt die Nachprüfung TT 2^52' 25".

b) Die Differenzen der Elongationsstrecken werden sich ver-
halten wie die Differenzen der mittleren Sonnenörter, d. i.
2O20':l»40' = 33«20':24^

Apogeum des Merkur. 135

welcher Stunde*) der mittlere Ort der Sonne Sl 27^50' war.
Folglich betrug die größte Elongation von dem mittleren Ort
als Abendstern 21^40', wozu wir wieder die genau ent-
sprechende gleichgroße als Morgenstern mit Hilfe von zwei
zu Gebote stehenden Beobachtungen berechnet haben. 5

Im 75*®^ Jahre der chaldäischen Zeitrechnung stand am
Morgen des 14. Dios der Merkur „eine halbe Elle"^^ ober-
halb der südlichen Wage (cc Zuben-el-dschenubi), so daß für
die damalige Zeit nach unseren Anfangspunkten (3^50' zu-
rück) sein Ort ^ 14'^ 10' war. Der Zeitpunkt fällt in das 10
512*® Jahr seit Nabonassar auf den 9/10. ägyptischen Thoth
(30. Oktober 236 v. Chr.) frühmorgens, zu welcher Stunde^>
der mittlere Ort der Sonne 111 5^10' war. Folglich betrug die
größte Elongation als Morgenstern 21^.

Im 67*®^ Jahre der chaldäischen Zeitrechnung stand amjjje* ggg
Morgen des 5. Apellaios der Merkur „eine halbe Elle" ober- 16
halb des nördlichen Sterns (ß) in der Stirn des Skorpions, so daß
für die damalige Zeit nach unserer Zählung (4^ zurück) sein
Ort irt 2^20' war. Es fällt dieser Zeitpunkt in das 504*® Jahr
seit Nabonassar auf den 27/28. Thoth (19. November 244 v. 20
Chr.) frühmorgens, zu welcher Stunde ®) der mittlere Ort der
Sonne il\ 24^50' war. Folglich betrug diese (größte) Elon-
gation 22^30'.

Bei diesen beiden Beobachtungen beträgt nun wieder die
Differenz der mittleren Örter (von 111 5^10' bis Hl 24^50') 26
19040',diedergrößtenElongationen(22030' — 21^=)1«30'.
Somit entfallen auf 40', was die Differenz zwischen der zur
Untersuchung herangezogenen Elongation von 21^40' und
der kleineren (der beiden letztbesprochenen) im Betrage
von 21*' ist, ungefähr 9*'.'^) Addieren wir diese 9<^zu iri5°10', 30
so werden wir als mittleren Ort, bei welchem die größte
Elongation als Morgenstern den 21^40' der größten als
Abendstern genau gleichkommt, 111 14*10' erhalten. Es

a) Für 485*299*8»^ ergibt die Nachprüfung Q 27^52' 5".

b) Für 511*8^18^1 ergibt die Nachprüfung 7T],5^8'16".

c) Für 503»26*18'i ergibt die Nachprüfung ir|. 24<>49'28".

d) Nach dem Verhältnis der Differenzen 1«30' : 40' = ldHO':d^.

136 l^euntes Buch. Achtes Kapitel.

liegt also wieder der in der Mitte zwischen <^ 2 7^ 50' (S. 1 3 5, l)
Hei 269 und 1T\ 14^10' fallende Punkt (des gesuchten Apogeums)
gerade in ^6^.

Aus diesen Beobachtungen und aus der genauen Anpassung
5 des Verlaufs der Erscheinungen bei den übrigen Planeten
fanden wir schließlich das übereinstimmende Ergebnis, daß
erstens die durch die Apogeen und die Perigeen gehenden
Durchmesser bei den fünf Wandelsternen einen Fortschritt
um den Mittelpunkt der Ekliptik in derEichtung der Zeichen

10 bewerkstelligen, und daß zweitens zeitlich dieser Fortschritt
gleichgroß ist wie der der Fixsternsphäre. Denn wie letztere
Ha 172 nach den von uns geführten Beweisen in 100 Jahren un-
gefähr einen Grad weiterschreitet, so läßt sich auch hier
seit der durch die alten Beobachtungen gewährleisteten Zeit,

lf> zu welcher das Apogeum des Merkur in den sechsten Graden
(von Widder und Scheren) lag, bis zu der Zeit der unser-
seits angestellten Beobachtungen, zu welcher seine Weiter-
bewegung, weil es in den zehnten Graden (derselben Zeichen)
liegt, ungefähr 4 Grade beträgt, eine Zwischenzeit von un-

20 gefähr 400 Jahren feststellen.

Achtes Kapitel.
Nachweis, daß der Merkur während eines Kreis-
laufs zweimal in die größte Erdnähe gelangt.

Im weiteren Anschluß an diese Ergebnisse suchten wir

die Beträge der größten Elongationen festzustellen, welche

eintreten, wenn der mittlere Ort der Sonne im Apogeum

selbst liegt, und dann wieder, wenn er sich an der diame-

Hei 270 tral gegenübergelegenen Stelle befindet. Hierzu geeignetes

26 Material fanden wir unter den alten Beobachtungen nicht
vor; es wurde lediglich aus den von uns selbst am Astrolab
angestellten Beobachtungen gewonnen. Für diesen Zweck
dürfte sich nämlich ganz besonders der praktische Wert der

30 mit diesem Instrument möglichen Anvisierung zu erkennen
geben. Auch wenn keine von den Fixsternen, deren Posi-

Zwei Erdnähen des Merkur.

137

tionen nach vorausgegangener Bestimmung bekannt sind,
in der unmittelbaren Nähe der zu beobachtenden Planeten
sichtbar sind, was, wenn es sich um den Merkur handelt,
meistens der Fall ist, weil der größte Teil der Fixsterne
nur selten in dem gleichen Abstände von der Sonne wie der 5
Merkur sichtbar sein kann, so ist doch durch die Anvisierung
auch weitabstehender Sterne die Möglichkeit geboten, die
Positionen der in Frage kommenden Planeten in Länge und
Breite genau zu bestimmen.

Im 19*^^ Jahre Hadrians stand am Morgendes 14/1 5. ägyp- 10
tischen Athyr (S.Oktober 134 n. Chr.) der Merkur in seiner Ha i73
größten Elongation bei Anvisierung mit Bezug auf den Stern
(Regulus) im Herzen des Löwen in dem scheinbaren Ort
ITp 20<* 12', während der mittlere Ort der Sonne ri!^ 9^ 15' war * ,
so daß die größte Elongation 19^3' betrug. 15

In demselben Jahre, am Abend des 19. Pachon (5. April
135 n. Chr.), als er wieder in der größten Elongation stand
und mit Bezug auf den glänzenden Stern (Aldebaran) der
Hyaden anvisiert wurde, ergab sich als sein scheinbarer Ort
tf 4^20', während der mittlere Ort der Sonne y 11^5' war^\ 20
so daß hier die größte Elongation 23^15' betrug, woraus ohne Hei27i
weiteres klar hervorging, daß das Apogeum des
Exzenters in den Scheren lag, nicht im
Widder.«)

Diese Punkte sollen gegeben sein. Der durch
das Apogeum gehende Durchmesser sei ABT; als
Mittelpunkt der Ekliptik, wo sich das Auge be-
findet, sei B angenommen, A als der Punkt unter
^ 10^, r als der Punkt unter Y 10«. Um A und ^k
r beschreibe man gleichgroße Epizyklen; auf dem \ 30
einen soll A (d. i. der Punkt der größten Elon- /^^\i
gation als Morgenstern) liegen, auf dem anderen E ( r^p
(d. i. der Punkt der größten Elongation als Abend- \J_^

a) Für 881*73*18'» ergibt die Nachprüfung ^tl 9^14' 64".

b) Für 881»258d6yg'» ergibt die Nachprüfung T 11** 7' 5".

c) Das Apogeum liegt dort, wo die größte Elongation unter
dem kleineren Winkel erscheint.

138 Neuntes Bucli. Achtes Kapitel.

stern). Alsdann ziehe man von B aus an diese Epizyklen
die Tangenten B A und B E und fälle von den Mittelpunkten
aus auf die Berührungspunkte die Lote AA und FE.
Da also in den Scheren die größte Elongation vom mitt-
5 leren Ort als Morgenstern mit 19*^3' beobachtet wurde, so
ist (als Zentriwinkel am Mittelpunkt der Ekliptik)
i A;BA = 190 3' wie 4E=360^
= 38° 6' wie 5i^ = 360^
Ha 174 mithin fc AA = 38H' wie © AAB = 360^

Hei 273 also sAA = 39P9' wie /»AB = 120^.

11 Da ferner im Widder die größte Elongation vom mittleren
Ort als Abendstern mit 23^15' beobachtet wurde, so ist

/, rBE = 23'>15' wie 4J? = 360^
= 46'» 30' wie 5 22 = 360*,
15 mithin 6rE = 46«30' wie © rEB = 360«,

also s FE = 47^22' wie /^B^ = 120P.

Weil nun A A und FE als Halbmesser des Epizykels einan-
der gleich sind, so ist auch FE = 39^9' wie AB = 120^,
und in demselben Maße (nach dem Verhältnis 39^9' : 47^ 22'

20 =x:120P) BF = 99P9', mithin die Strecke AF als Summe
(AB + BF =) 219^9'. Halbiert man nun diese Strecke in
Punkt Z, so wird in demselben Maße AZ(=ZF) gleich
109^34' sein, und die Verbindungslinie zwischen den Punkten
B und Z (als AB — AZ) gleich 10^25'.

25 Hieraus wird zunächst zweierlei klar: Punkt Z ist ent-
weder das Zentrum des Exzenters, auf welchem jederzeit der
Mittelpunkt des Epizykels liegt, oder es ist der Punkt, um
welchen sich das Zentrum des besagten Exzenters bewegt^^;
denn einzig und allein unter einer dieser beiden Voraussetzun-

30 gen kann der Mittelpunkt des Epizykels in jeder der beiden
gegebenen diametral gegenübergelegenen Stellungen (A und
F) gleichweit, wie (mit AZ = 7.^^ bewiesen wurde, von
Punkt Z entfernt sein.

a) In der Epizykelstellung A würde das bewegliche Zentrum
ebensoweit oberhalb Z liegen, wie es bei der Epizykelstellung f
unterhalb Z zu liepfen kommen würde.

Zwei Erdnähen des Merkur. ]39

Allein wenn Z direkt das Zentrum des Exzenters wäre, auf
welchemjederzeit der Mittelpunkt des Epizykels liegt, so wäre Ha 175
erstens dieser Exzenter ein festbleibender, und zweitens
würde von allen Stellungen (des Epizykels auf einem fest-
bleibenden Exzenter) die im Widder (d. i. in f) die erd- Hei 273
nächste sein, weil von allen Linien, welche sich von B (dem 6
Auge) aus nach dem um Z beschriebenen Kreis ziehen lassen,
die Gerade Bf (nach Eukl. III. 7) die kürzeste ist. Nun
wird aber die Stellung im Widder nicht ausschließlich als
die erdnächste gefunden, sondern noch näher als diese und 10
einander nahezu gleich sind die Erdnähen in den Zwil-
lingen und im Wassermann. Hieraus geht klar hervor,
daß sich das Zentrum des besagten (den Epizykel tragenden)
Exzenters um den Punkt Z in einer der Herumleitung des
Epizykels entgegengesetzten Richtung, d. i. gegen die 15
Richtung derZeichen, während eines (Epizykel-)Umlaufs gleich-
falls einmal herumbewegt. Auf diese Weise wird nämlich
während dieses Umlaufs der Mittelpunkt des Epizykels zwei-
mal in die größte Erdnähe gelangen.

Daß aber in den Zwillingen und im Wassermann der Epi- 20
zykel in größere Erdnähe gelangt als bei der Stellung im
Widder, geht ohne weiteres aus den oben mitgeteilten Beob-
achtungen klar hervor. Bei der Beobachtung im 1 6*®° Jahre
Hadrians am 16. Phamenoth (2. Februar 132 n.Chr.) betrug
nämlich die größte Elongation vom mittleren Ort als Abend- 25
Stern (S. 131,4) 21^^15', bei der im 4*«^ Jahre Antonius am
18. Phamenoth (2. Februar 141 n. Chr.) die größte Elonga-
tion vom mittleren Ort als Morgenstern (S. 132,2) 26^30',
während bei beiden Beobachtungen der mittlere Ort der
Sonne ^ 10^ war. 30

Ferner betrug bei der Beobachtung im 1 8*®^ Jahre Hadrians
am 19. Epiphi (4. Juni 134 n. Chr.) die größte Elongation
vom mittleren Ort als Morgenstern (S. 131,12) 21^15', bei
der im ersten Jahre Antonius am 20. Epiphi (4. Juni 138 Hei 274
n. Chr.) die größte Elongation vom mittleren Ort als Abend- 35
Stern (S. 131,2?) 26^30', während bei diesen beiden Beob-
achtungen der mittlere Ort der Sonne TT 10*^ war. Ha i76

140 Neuntes Buch. Neuntes Kapitel.

Folglich beträgt sowohl im Wassermann wie in den Zwil-
lingen die Summe der nach entgegengesetzter Richtung ein-
getretenen größten Elongationen (21<*15' + 26^ 30'=) 47^45',
während die Summe der beiden Elongationen im Widder
5 nur (2 x 23^15' =) 46^30' ausmacht; denn die Elongation
(im Widder) als Abendstern, welche (nach dem S. 127,30 ge-
führten Beweis) gleich ist der Elongation als Morgenstern,
ist (S. 137,21) mit nur 23^15' beobachtet worden.

Neuntes Kapitel.
Das Verhältnis der Exzentrizität und die zahlen-
mäßige Größe des Epizykels des Merkur."")

Nachdem diese einleitenden Erörterungen erledigt sind,

10 bleibt noch der Nachweis zu führen, erstens, um welchen
Punkt der Strecke AB die jährliche Wiederkehr des Epi-
zykels in gleichförmiger Bewegung in der Richtung der
Zeichen vor sich geht, und zweitens, welchen Abstand von
Punkt Z das Zentrum des (beweglichen) Exzenters hat,

15 welcher die (mit dem Epizjkelumlauf) gleichzeitige Wieder-
kehr gegen die Richtung der Zeichen bewerkstelligt.

Zur Feststellung dieser beiden Punkte haben wir wieder
zwei Beobachtungen von größten Elongationen als Morgen-
stern und als Abendstern zur Benutzung mit herangezogen ;

20 allein bei beiden war der mittlere Ort vom Apogeum beider-
Hei275 seits gleichweit 90^ entfernt, was die Stelle ist, in welcher
das Maximum der Differenz der auf die Ekliptik bezogenen
Anomalie eintritt (I 155, ll).

Im 14*®^ Jahre Hadrians hatte der Merkur am Abend

26 des 18. ägyptischen Mesore (4. Juli 130 n. Chr.), wie wir
in den von Theon entnommenen Beobachtungen gefunden
haben, nach Theons Angabe seine größte Elongation von
der Sonne, während er hinter dem Stern (Regulus) im Her-

a) Die Kapitelüberschrift des Originals: IIsqI tov Xoyov yial
Tfjg TCriXiTiotriros r&v xov tov 'Eq^iov ccvco^ccXlcöv steht weder im
Einklang mit dem Inhalt dieses Kapitels noch mit den ent-
sprechenden Kapitelüberschriften bei den anderen Planeten.

Exzentrizität nnd Epizykel des Merkur.

141

zen des Löwen 3^50' östlich zurückblieb. Folglich stand
er nach unseren Anfangspunkten ohne wesentlichen Fehler
in (Sl 2^30' -f 3<^50' =) ^ 6^20', während der mittlere
Ort der Sonne damals*) 6} 10^5' (d. i. 90^ von T 10^ ent-
fernt) war, so daß die größte Elongation als Abendstern Ha m
26^15' betrug. 6

Jm 2*^° Jahre Antonins fanden wir in der Morgendämmerung
zum 24. ägyptischen Mesore (8. Juli 139 n. Chr.), als wir
am Astrolab die größte Elongation des Merkur beobachteten
und ihn mit Bezug auf den glänzenden Stern (Aldebaran) 10
der Hjaden anvisierten, als (scheinbaren) Ort TT 20^5',
während der mittlere Ort der Sonne wieder 69 10^20' war^)
so daß die größte Elongation als Morgenstern 20^15' betrug.

Diese Punkte sollen gegeben sein. Es sei AZBF
wieder der durch ^10*^ und Y 10^ gehende Durchmesser 15
(des festbleibenden Exzenters). Angenommen sei, wie an
der vorigen Figur, A als der Punkt, in welchem sich der
Mittelpunkt des Epizykels befindet, wenn er unter ^ 10^
steht, und f als der Punkt, in welchem
er sich befindet, wenn er unter Y 10°
steht. Der Mittelpunkt der Ekliptik sei
B und Z der Punkt, um welchen das
Zentrum des(be weglichen)Exzenters seinen ■'^..-_
Fortschritt gegen die Eich tung der Zeichen
bewerkstelligt."^

I. Zunächst sei die Aufgabe gestellt,
den Abstand zu finden, welchen von Punkt
B das Zentrum (H) (des festbleibenden
Exzenters) hat, um welches wir die gleich-
förmige Bewegung des Epizykels in der
Richtung der Zeichen vor sich gehen lassen

ff

Hei 276

a) Für 876*347*8^ ergibt die Nachprüfung Q10^T2".

b) Für 885»352'il6^ ergibt die Nachprüfung Q 13*^11' 9".

c) Zum Verständnis der Lage des Epizykels auf der Peripherie
A0 des beweglichen Exzenters ist das derzeitige Zentrum M
dieses Exzenters angedeutet. Vgl. die nächste Figur,

142 Neuntes Buch. Neuntes Kapitel.

A. Es sei also dieses Zentrum der Punkt H. Man ziehe

durch H unter rechtem Winkel zu AT eine Leitlinie, damit

sie (in ihrem Endpunkt) vom Apogeum (d!;^ 10^ bis Q 10^)

einen Abstand von 90^ habe, und nehme auf ihr den nach

5 den vorgelegten Beobachtungen (der Lage nach) gegebenen

Epizykelmittelpunkt in 0 an, weil nach ihnen auch der

Ha 178 mittlere Ort der Sonne in ^ 10" von dem Apogeum (^ 10^)

90^ entfernt ist. Nachdem man um 0 den Epizykel KA

beschrieben, ziehe man an ihn von B aus die Tangenten BK

10 und B A und hierauf noch die Verbindungslinien 0 Ä und 0 K.

Da bei dem gegebenen mittleren Ort die größte Elon-

gation von demselben als Morgenstern mit 20^15', und die

größte als Abendstern mit 26^15' vorliegt, so ist

Hei 277 /. KB A = 46^30' wie 412 = 360^

15 mithin /, K B 0 = 46« 30' wie 2B = 360«, weil halbsogroß'"' ;

folglich 6 0K = 46«3O' wie ©BK0 = 36O«,

also s0K = 47^22' wie ÄB0 = 12O^.

Setzt man ephmGK = SQ^ 9' wie 82-10^25', (s.S. 138,18.24)
so wird B0 = 99P 9'.

20 Nun beträgt die Differenz der vorgelegten größten Elon-
gationen (26*^15'— 20^15' =) 6^ d i. (in der vorliegenden
Entfernung vom Apogeum) das Doppelte von der Differenz
der auf die Ekliptik bezogenen Anomalie.'^ Gemessen wird
diese Differenz von dem /. B 0 H, wofür der Beweis von uns

25 oben (S. 128,22) erbracht worden ist. Demnach ist

l, B0H= 30 wie 4B = 360«,

= 6° wie 2B = SQ0\

folglich 6BH= 6« wie©BH0 = 360«,

Ha 179 also sBH= 6^17' wie äB0 = 12OP.

30 Setzt man 60 = 99^ 9' wie 82 = 10^25',

so wird BH= 5^12' in diesem Maße.

a) Die beiden in Punkt B gebildeten Winkel sind einander
gleich, also Hälften des ganzen /, K B A, weil sie in kongruenten
rechtwinkligen Dreiecken liegen.

Exzentrizität und Epizykel des Merkur.

143

Folglich ist B H ohne wesentlichen Fehler halbsogroß wie
BZ, mithin jede der beiden Strecken BH und HZ gleich Hei 278
5^12' in dem Maße, in welchem der Halbmesser des Epizy-
kels 39P9' beträgt.

B. Weiter ziehe man an derselben Figur durch Z nach ö
der der Geraden H 0 entgegengesetzten Richtung rechtwinklig
zu Ar die Gerade ZMN, auf welcher zu dem damaligen
Zeitpunkt selbstverständlich das Zentrum (M) des Exzenters
liegen muß, auf dem sich

der Epizykelmittelpunkt y" . "\ 10

0 befindet, weil die ent-
gegengesetzt verlaufende
Bewegung der Leitlinien
H0 und ZN gleichzeitig ^r
zu dem gemeinsamen Aus-
gangspunkt (A) zurück-
kehrt. Man trage der
Strecke Zf*^ gleich die
Strecke ZN ab, so daß
ZN ebensogut wie ZT
gleich sei der Summe des
Halbmessers (H f) des Exzenters und der Verbindungslinie
(HZ) zwischen den (wechselnden) Zentren des (beweglichen)
Exzenters und Punkt Z. Nun setze man auf ZN das Zen-
trum des (beweglichen) Exzenters fest — dasselbe sei der Punkt Hei 279
M — und ziehe die Verbindungslinie Z0. 26

Da /-MZH (nach Konstruktion) ein Rechter und auch
/.0ZH ohne wesentlichen Fehler^) gleich einem Rechten
anzunehmen ist, so daß die Strecke NZ0 von einer Geraden
ganz unwesentlich abweicht, da ferner (S. 13 8, 23 U.S. 142,19) 30
nachgewiesen ist, daß

a) Der griechische Text bietet ZA hier und nochmals weiter
unten, was unmöglich richtig ist, weil ZA nicht die Summe
(HT-f HZ), sondern die Differenz (HA -HZ) der in Betracht
kommenden Strecken ist.

b) Wegen der verhältnismäßigen Kleinheit der Kathete HZ
des rechtwinkligen A Z H 0.

15

20

X44 Neuntes Buch. Neuntes Kapitel.

ZN^Zr=109P34') .^ ,p,,

Z0 = B0= 99P 9'J ^ ^

SO ist NZ0 = 208^43' als Summe,

mithin 1/3 N0 = 104^22'.

5 Die Hälfte von N0 ist aber der Exzenterhalbmesser
MN (= MZ0), so daß für die Strecke ZM (= MZ0-Z0)
zwischen den Zentren als Best (104^22'- 99^9'=) 5^12'
verbleibt.

In demselben Maße war (S. 143,2) auch BH und HZ
Ha 180 gleich 5p 1 2' nachgewiesen worden. Folglich sind wir zu
11 dem Ergebnis gelangt, daß in dem Maße^ in welchem der
Halbmesser des Exzenters 104^22' beträgt, jede Verbin-
dungslinie zwischen den Zentren gleich 5^12' und der Halb-
messer des Epizykels gleich 39^9' ist.
15 Setzt man schließlich den Exzenterhalbmesser gleich 60^,
so wird in diesem Maße jede Verbindungslinie zwischen den
Zentren 3^ und der Epizykelhalbmesser 22^30' betragen,
was nachzuweisen war.

IL Wenn wir diese Größen als gegeben annehmen, so

20 müssen auch die in den (beiden) größten Erdnähen ein-
tretenden größten Elongationen mit den durch die Beob-
achtung (S. 140, 3) festgestellten Beträgen übereinstimmen,
d. h. wenn der mittlere Ort in ^ 10^ oder TT 10^ liegt und
Hei 280 somit die Entfernung von dem Apogeum die Seite des (um-

25 schriebenen) Dreiecks (d. i. 1 20") beträgt, muß der Winkel
am Auge, welcher den Epizykel unterspannt, ohne wesent-
lichen Fehler 47^45' betragen. Daß diese Übereinstimmung
vorhanden ist, dürften wir auf folgendem Wege in Erfahrung
bringen.

30 Es sei ABFAE der durch das Apogeum gehende Durch-
messer, auf welchem A als der am Apogeum liegende Punkt
angenommen sei, B als der Punkt, um welchen das Zentrum
des (beweglichen) Exzenters den Fortschritt gegen die Rich-
tung der Zeichen vollzieht, T als der Punkt, um welchen der

35 Mittelpunkt des Epizykels den Fortschritt in der Richtung

Exzentrizität und Epizjkel des Merkur.

145

Hei 281

der Zeichen vollzieht, endlich A als der Mittelpunkt der
Ekliptik. Es sollen beide Bewegungen um die ihnen eigenen
Zentren gleichförmig und gleichzeitig
von dem Apogeum aus nach entgegen-
gesetzter Richtung die Seite des (um-
schriebenen) Dreiecks (d. h. einen Zentri-
winkel von 120°) zurückgelegt haben;
VZ sei die Leitlinie des Epizykels, BH
die Leitlinie des Zentrums des (beweg-
lichen) Exzenters, H sei das Zentrum
des letzteren, Z der Mittelpunkt des
Epizykels. Nachdem man um Z den
Epizykel beschrieben, ziehe man an den
letzteren die Tangenten A0 und AK^
hierauf die Verbindungslinien PH und
AZ, Z0 und ZK, und fälle von A auf TZ das Lot AA.
Es soll bewiesen werden, daß

Z. 0AK = 47^45' wie 4i?=360^

1. Da jeder der beiden Winkel ABH und ATA die Seite
des (umschriebenen) Dreiecks unterspannt, so ist 20

^ABH = MrA = 120o| ^i,^^^i8o»,
/,rBH = /. ArA= 60M
mithin ^BHr-f-/,BrH = 120<^ als Ergänzung zu 180^»)

Nun ist /_ B H r = /, B TH , weil B T = B H nach Annahme,
demnach /. B H T = /. B TH = 60« wie 2B = 180^ 25

folglich A B r H gleichwinklig und gleichseitig.

2. Da ferner (weil auch == 60«) Z-ATA^iLBTH, so
liegen die Punkte H, Fund Z auf einer Geraden (HZ).

Nun ist 6a;ÄmHZ = 60P wie vblTH u. rA = 3P, (S. 144,15)
mithin TZ = H Z - f H = 67P in demselben Maße. 30

a) D. i. zur Erfüllung der Gradsumme der drei Winkel des
Dreiecks BPH.

PtolemäuB, übers, v. Manitiua. II.

10

146 Neuntes Buch. Zehntes Kapitel.

3. Es ist weiter (s. S. 145,22)

/,ArA= 60® wie 4JR = 360^
Hei 282 =120® wie 5JK = 360<';

, f sAA = 103^65'! . .p. ,«„p

Ha 182 Setzt man rA= 3^ wierZ = 67P,

so wird AA= 2^36' und rA= 1^30';

10 mithin AZ = TZ -TA = 55^30' in demselben Maße.

Nun ist AZ*4-AA= = AZ*,

folglich Ä A Z = 55P 34' wie ephm Z 0 u. Z K = 22^ 30\

(S. 144, 17)
Setzt man hAZ = 120^,

so wird sZ0u.sZK= 48^35' in diesem Maße,

(i

folglich /. 0AK= 47®46' wie 4E = 360° als Summe,
was zu beweisen war.

^^ mithin^) I f 7^?} = ^^'^6' ^i« ^-B = 360»

Zehntes Kapitel.
Korrektion der periodischen Bewegungen des Merkur.

Hei 283 Im Anschluß an diese Beweisführungen handelt es sich
20 weiter darum, die periodischen Bewegungen des Merkur und
seine Epochen (Kap. 11) festzustellen. Was die Bewegungen
in Länge anbelangt, d. s. diejenigen, welche den Epizjkel
gleichförmig um das Zentrum f herumtragen, so sind die-
selben ohne weiteres als mit denen der Sonne identisch ge-
25 geben. Dahingegen haben wir die Bewegungen in Anomalie,
d. s. diejenigen, welche den Planeten auf dem Epizykel um
den Mittelpunkt desselben herumtragen, aus zwei durchaus

a) Mit Überspringung der den Sehnentafeln zu entnehmenden
Bogen, von denen die Winkel als Peripheriewinkel der um die
rechtwinkligen Dreiecke gezogenen Kreise überspannt werden.

Korrektion der Bewegungen des Merkur. 147

sicheren Beobachtungen gewonnen. Die eine ist den zu unserer Ha iss
Zeit aufgezeichneten entnommen, die andere aus der Zahl
der alten ausgewählt.

I. Im 2*®" Jahre Antonius, welches in das 886*® Jahr seit
Nabonassar fiel, haben wir am 2/3. ägyptischen Epiphi 6
(17. Mai 139 n. Chr) den Merkur am Astrolab beobachtet,
als er noch nicht zur größten Elongation als Abendstem
gelangt war. Bei der Anvisierung mit Bezug auf den Stern
(Regulus) im Herzen des Löwen ergab sich als sein eigener
scheinbarer Ort TT 17^30'; zu gleicher Zeit blieb er hinter 10
dem Zentrum des Mondes 1^10' östlich zurück. Der Zeit-
punkt fällt für Alexandria AV^ Äquinoktialstunden vor der
Mitternacht auf den dritten (d. i. 7^30"^ abends), da am
Astrolab iTp 0^5' kulminierte, während die Sonne in \j 23^
stand. Für diese Stunde*^ war nach den von uns bewiesenen Hei 284
Unterlagen (d. i. nach den Sonnen- und Mondtafeln) 16

der mittlere Ort der Sonne ^ 22^34'

der mittlere Ort des Mondes TT 12^14'

die Entfernung in Anomalie von dem Apogeum

des Epizykels 281^20' 20

somit der genaue Ort des Mondzentrums^) m7^10'

der scheinbare Ort ^) „ „ m6^20'.

Folglich war der Ort des Merkur auch hiernach, weil er
1® 10' hinter dem Mondzentrum östlich zurückblieb, TTl 7^ 30'.

Dieses Ergebnis sei zugrunde gelegt. Der durch das 25
Apogeum und das Perigeum gehende Durchmesser sei ABFAE;
auf demselben sei A als der am Apogeum liegende Punkt
angenommen, B als der Punkt, um welchen das Zentrum
des (beweglichen) Exzenters den Fortschritt gegen die Rich-
tung der Zeichen vollzieht, f als der Punkt, um welchen 30
der Mittelpunkt des Epizykels den Fortschritt in der Rieh- Ha i84
tung der Zeichen vollzieht, endlich A als der Mittelpunkt

a) Für 885*301^71/2^ ergibt die Nachprüfung: « 22*34' 9",
ni2<'26'2l", 281<>32'48". Die Differenz hinsichtlich der Mond-
örter in Länge und Anomalie entzieht sich einer Erklärung.

b) Durch die Längenparallaxe vermindert, weil der Mond
westlich des Meridians stand.

10*

148

Neuntes Buch. Zehntes Kapitel.

Hei 285

10

15

Ha 185
Hei 286

der Ekliptik. Der Mittelpunkt Z des Epizykels soll unter
der Leitlinie TZ um den Punkt f den (überstumpfen) LfKVZ

zurückgelegt haben, das Zen-
trum H des (beweglichen)
Exzenters unter der Leitlinie
BH um den Punkt B den
(überstumpfen) /. A B H , der
natürlich infolge der in gleich-
langer Zeit vor sich gehen-
den Bewegungen stets dem
Z. A rZ gleich ist. Nachdem
man um Z den Epizykel 0KA
beschrieben, sei der Planet in
Punkt A angenommen. Nun
ziehe man die Verbindungs-
linien FH, HZ, AZ, ZA, AA und fälle von den Punkten H
und A aus auf die Verlängerung der Geraden FZ 0 die Lote
H M und AN, und auf die Gerade AA von Z aus das Lot ZZ.
Es sei die Aufgabe gestellt, den Epizykelbogen zu finden,
20 welcher sich von dem Apogeum 0 bis zu dem Planeten in
Punkt A erstreckt.

1. Da der mittlere Ort der Sonne damals \j21^Z4! war
und das Perigeum des Planeten nahezu in Y 10*^ liegt, so
daß sein mittlerer Ort in Länge von dem Perigeum selbst
25 42*^34' entfernt war, so ist (ebenso wie der /.APN)
/.rBH = 42°W wie 4_R = 360^
= 85« 8' wie ^E-360^
Nun ist /,BHr = /. BPH, weil jederzeit Br = BH:
folglich /. BHr=137<'26'
6rH= 85<> 8'
&Br = 137®26'
srH= 81^10'
sBr = lllP49'

30

«[

mithin

also

wie 5E = 360V)
wie (g)rBH = 360^

wie c?w = 120P.

a) Da ^ PBH an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks
mit 42°34' wie 4i? = 360^ gegeben ist, so eutfällt auf jeden der
beiden Winkel an der Grundlinie % (180^-420 34') = 68M3'
oder 137° 26' wie ^ii = 360".

Korrektion der Bewegungen des Merknr. 149

Setzt man B T = 3^ (wie exhm H Z = 60^),

so wird rH = 2Pll' in demselben Maße.

2. Es ist weiter (weil dem L BHV gleich)

/_BrH = 137"26' wie ^72 = 3600,
ferner /_BrM= So*» 8' wie ^E = 360",*^ 5

folglich /_HrM= 52 •'IS' als Differenz,

( 5HM= 52M8'\ _. ^PMW Qßno
^^t^^M ,6rM = 127042'r^'®'^" = ''''

also! ^"^= ^2'^^'lwie'^rH = 120P.

^^^^1 ,srM = 107P43') 10

Setzt man Ä r H = 2^ 11' wie exhm H Z = 60^, (s. Z. 2)
so wird HM= 0^58' nndrM = lP58'.

(Nun ist HZ2-HM2 = MZ2)
mithin MZ = 60P, weil unbeträchtlich <ÄHZ,
folglich rZ = MZ-rM = 58P2'. 15

3. Ferner ist (als mittlere Entfernung vom Perigeum
S. 148, 25 gegeben)

/_ArN = 85<' 8' wie^J^ = 360^
5AN = 85o 8'1 .^ ^^^^
,&rN = 94°52'J ^ ^ ' 20

mithin
also

SAN = 81P10'1 .^^rA = 120P.
l'J

,s TN = 88^23'

Setzt man TA = 3^ wie TZ = 58^ 2',^^

so wird AN= 2^ 2' und TN = 2^13',

folglich ZN = rZ- TN = 55^49'. Hei 287

(Nun ist ZN2-f AN2 = AZ2) 26

mithin hAZ= 55^51' wie ep7im = 22^30'. Ha 186

Setzt man ;iAZ = 120P,

so wird s A N = 4^ 22' in diesem Maße,

a) Weil als Scheitelwinkel gleich L ATN. S. S. 148,25.

b) Daß rA = 3P wie der Halbmesser HZ des den Epizykel
tragenden Exzenters = 60p, in dessen Maße FZ = 58? 2', ist
S. 144, 15 nachgewiesen worden.

150

Neuntes Buch. Zehntes Kapitel.

mithin 6AN= 4» 11' wie ©ANZ = 360",

also /_AZN= 4<>11' wie<8i2 = 360^

(Nun war /, ArN = 85» 8' wie 5i5 = 360'>)

folglich /, EAZ = 89°19' als Summe. (Eukl. I. 32)

5 4. Weil damals die scheinbare Entfernung des Planeten
vom Perigeum (T 10<> bis TT 17^ 30') 67^ 30' (wie 4R= 360<^)
betrug, so ist

/,EAA = 135« wie ^i2 = 360°.

(Nun war /,EAZ= 89° 19' wie <2i^ = 360°)
10 folglich /.ZA A= 45° 41' als Differenz,

mithin 6ZE= 46°41' wie ©ZEA^SÖO",
also sZ=.= 46^35' wie äAZ = 120P.

Setzt man hAZ= 55^51'
so wird sZ== 21^41'

wie cpÄw ZA = 22^30',
in demselben Maße.

16

Hei 288

Setzt man

so wird

mithin

ÄZA = 120P,
sZH = 115^39'
&Z£ = 149° 2'

also /.ZAHi=149° 2'
Nun war /,ZAA= 45041'

in diesem Maße,
wie ©Z = A = 3600,
wie 2B = 3600.

wie 5JB = 360°

20

Ha 187

(mithin /. AZK = 1940 43' als Summe.) (Eukl. I. 32)

Ferner war /, 0ZK= 4<^11' wie ^E = 360V^

folglich /.0ZA = 198O54' als Summe,

= 99° 27' wie 4i^ = 3600.

Mithin betrug auch der Epizykelbogen 0KA, welchen
25 der Merkur nach der Beobachtung von dem Apogeum 0 ent-
fernt stand, 99^27', was nachzuweisen war.

II. Im 21*®^ Jahre der Zeitrechnung des Dionysius, wel-
ches in das 484*® Jahr seit Nabonassar fiel, stand am Mor-
gen des 22. Skorpion, d. i. des 18/19. ägyptischen Thoth
30 (15. November 264 v.Chr.), „Stilbon" von der Geraden durch
den nördlichen Stern (|3) in der Stirn des Skorpions und

a) Weil als Scheitelwinkel gleich dem Winkel AZN, dessen
Größe oben Z. 2 nachgewiesen wurde.

Konfektion der Bewegangen des Merkur.

151

^?

ß^

'^1'

<r*

den mittelsten (ß) eine Mondbreite östlich und hatte zwei
Mondbreiten Abstand nach Norden von dem nördlichen (|S)
in der Stirn. Nun stand der mittelste (6) von den Sternen
in der Stirn des Skorpions nach un-
seren Anfangspunkten damals (4® zu-
rück) in lt\ 1°40', und zwar um den
gleichen Betrag südlich der Ekliptik,
während der nördlichste (ß) in 1T\ 2° 20'
stand, und zwar 1^20' nördlich der
Ekliptik. Folglich stand der Merkur
ohne wesentlichen Fehler in IT^ 3^ 20'.*)
Daß er noch nicht zu der größten Elon-
gation als Morgenstern gelangt war,
wird aus einer Aufzeichnung ersichtlich, nach welcher er vier
Tage später, am 26. Skorpion, von der nämlichen Geraden in 16
der Richtung der Zeichen (also immer noch östlich) lYg Mond-
breiten entfernt war: die Elongation ist größer geworden, weil
die Sonne sich (in vier Tagen) ungefähr 4® (nach Osten) und der
Planet eine halbe Mondbreite (nach Westen) weiterbewegt hat.

Der mittlere Ort der Sonne war nach unseren Tafeln^) 20
am 19. Thoth (6^) in der Morgendämmerung 11X 20*^ 50', wäh-
rend das Apogeum des Pla-
neten in ^ 6® lag, weil die
400 Jahre, die rund zwischen
den Beobachtungen liegen,
einen Fortschritt des Apo-
geums im Betrage von etwa
4° bewirken.

Diese beiden Punkte sollen
gegeben sein. Es sei wieder
die ähnliche Figur vorgelegt
wie oben. Indessen seien we-
gen der Unähnlichkeit der
Laufstrecken die Winkel

a) Somit entfällt auf die zwei Mondbreiten, die der Merkur
weiter östlich stand, rund 1^. S. Anm. 2.

b) Für 483*17*18^ ergibt die Nachprüfung rn, 20^*48' 57".

10
Hei 289

152 Neuntes Buch. Zehntes Kapitel.

(ATZ und ABH) am Apogeum A als spitze gezeichnet, die
nach dem Planeten gezogenen Verbindungslinien (ZA und
AA) seien nach den weiter vorwärts gelegenen Teilen des
Epizykels gezogen, und das Lot ZE komme (von A aus ge-
6 sehen) oberhalb des Epizykelhalbmessers ZA zu liegen.**
1. Da die Entfernung des mittleren Ortes des Planeten
von dem Apogeum (^ 6^ bis IT^ 20^50') 44^50' betrug,
so ist (ebenso wie der LATZ)

/,ABH= 4405O' wie 412 = 360»,
10 = 89U0' wie5JR = 360»,

. , . f /. r B H = 270*' 20' als Supplementwinkel,
'^^^^^''\l_ BrH= 44«50' wie ^i2 = 360°,^>

Hei 290 , I srH= 84^36'^^

also

15 Setzt man Br= 3^ (wie ea;Äw HZ = 60^),

so wird rH= 5^33' in demselben Maße.

2. Ferner ist durch die Annahme (Z. 8) gegeben

/.ArZ= 89<>40' wie5i2 = 360^
Nun war /_ BrH= 44<'50' wie 5jB = 360",
20 folglich ^ZrH = 134°30' als Summe;

.,a ■'•4 Im-.ZZ] "-"^x-"--

25 Setzt man rH= 5^33' wie e^r/im H Z = 60^,

so wird HM= 5^ 7' und TM = 2^10'

a) Außerdem ist zu bemerken, daß die Buchstaben 0 und K
vertauscht sind : K liegt hier auf der Geraden fZ, 0 auf der Ge-
raden AZ.

b) In dem gleichschenkligen A TBH entfällt auf jeden der
beiden Winkel an der Grundlinie die Hälfte des Außenwinkels
ABH. Von den beiden gleichen Seiten Br = BH habe ich, ab-
weichend vom Original, nur eine in Rechnung gezogen.

Korrektion der Bewegungen de^ Merkur. 153

(Nun ist H Z2 - H M2 = M Z2)
mithin MZ = 59^47' in demselben Maße,
folglich rZ = MZ-f TM = 61^57'.

3. Ferner ist (als Scheitelwinkel des /.ATZ)

/.ArN = 89U0' wie 2B = S60\ (S. 152, s) 6

Setzt man rA= 3^ wie rZ = 6lP57',*) 10

so wird AN= 2^7' und TN = 2^8',
folglich ZN = rZ + rN = 64P5'.

(Nun ist ZN2-|-AN2 = AZ2)
mithin hAZ= 64^ T in demselben Maße.

Setzt man 7iAZ = 120P, 15

so wird sAN= 3^58' in diesem' Maße,

mithin 6AN= 3U8' wie BANZ = 360«,

also /_AZN= 3U8' wie 2E = Zeo''.

(Nun war [_kVZ= 89U0' wie5J? = 360")

folglich LA AZ= 850 52' als Differenz. (Eukl. 1. 32) 20

4. Weil der Planet nach der Beobachtung von dem Apo-
gäum (^6^ bis irt3«20') 27^20' (wie 472 = 360^) ent-
fernt war, so ist

/.AAA= 54U0' wie5i2 = 360^

(Nun war /_AAZ= 85*52' wie <2i2 = 360<^) 25

folglich /.ZAA== 31^12' als Differenz,

mithin &ZE= 3lU2' wie;© Z£A = 360^ Hei 292

also sZE= 32^16' wie ÄAZ = 120P. Ha 190

Setzt man AZ= 64^ 7' wie ep/im'ZA = 22^30',

so wird ZE= 17^15' in demselben Maße. 30

a) rZ ist in dem Maße des Exzenterhalbmessers nach Z. 3
gleich 61^57'; daß in demselben Maße rA = 3P, ist S. 144, 15
nachgewiesen.

154 Neuntes Buch. Zehntes Kapitel.

Setzt man hZA = 120^,

so wird sZE= 92^ in diesem Maße,

mithin feZH = 100<> 8

also /.ZA= = 100« 8'

Nun war /_ZAA= 3m2

(mithin /, AZA = 6S^b6

Ferner war /. 0ZK= 3** 48

folglich L KZA= öö^' 8

= 32<*34

wie ©Z = A = 360^

wie <2i? = 360<'.

wie ^J? = 3600,

als Differenz.) (Eukl. I. 32)

wie ^i2 = 360^ (S. 153, 18)

als Differenz,

wie 4E = 360^

10 Mithin war nach dieser Beobachtung der Planet von
dem Perigeum K des Epizykels 32^34' entfernt, von dem
Apogeum uatürlich 212*^34'. Es war aber die Entfernung
zur Zeit unserer Beobachtung gleichfalls von dem Apo-
geum des Epizykels mit 99^27' nachgewiesen worden.

Hei 293 Die zwischcu den beiden Beobachtungen (vom 19.Thoth

16 6^ früh 484 Nab. bis zum 2. Epiphi 7^ 30"^ abends 886
Nah.) verflossene Zeit beträgt 402 ägyptische Jahre, (12 +
270 4-1 =) 283 Tage und 13V2 Stunden ohne wesentlichen
Fehler. Dieser Zeitraum umfaßt 1268 ganze Wiederkehren

20 der Anomalie des Planeten; denn da 20 ägyptische Jahre
ohne merklichen Fehler 63 Umläufe ausmachen^®^ so bringen
400 Jahre 1260 und die übrigen 2 Jahre mit Einschluß
Ha 191 der überschießenden Tage weitere 8 ganze Umläufe. Dem-
nach haben wir das klare Ergebnis gewonnen, daß in 402

25 ägyptischen Jahren, 283 Tagen und I3V2 Stunden der Mer-
kur nach ganzen Wiederkehren der Anomalie 246^53' dar-
über zurückgelegt hat: um so viel Grade war ja der zu
unserer Zeit festgestellte Ort (99^^27') dem früheren (212^34')
voraus.*) Ebensoviel Grade des Überschusses ergibt die

30 Rechnung^) nach den von uns oben (S. 116— 18) vorgelegten
Tafeln, weil wir direkt unter Benutzung des vorliegend be-

^ handelten Materials die Korrektion der periodischen Bewe-

a) Zu einer ganzen Wiederkehr fehlten dem früheren Orte
360°- 212»34' = 147<^26', wozu noch 99'^27' der späteren Beob-
achtung hinzukommen.

b) Die Nachprüfung ergibt für obige Zeit 246® 53' 36".

Nenntes Buch. Elftes Kapitel. 155

gongen des Merkur vorgenommen haben, indem wir die
obengenannte Zeit in Tage verwandelten und die (1268)
Kreise der Anomalie unter Hinzufügung des Überschusses
in Grade. Dividiert man nämlich mit der Anzahl der Tage
in die Zahl der Grade, so ergibt sich die tägliche mittlere 5
Bewegung in Anomalie, wie sie von uns für den Merkur
oben (S. 101, 13) mitgeteilt worden ist.

Elftes Kapitel.
Epoche der periodischen Bewegungen des Merkur.

Um nun auch für die fünf Wandelsterne, wie dies für
die Sonne und den Mond geschehen ist, die Epochen an den
Mittag des 1 . ägyptischen Thoth des ersten Jahres der Re- Hei 294
gierung Nabonassars zu knüpfen, haben wir wieder die 11
Zwischenzeit festgestellt, welche zwischen diesem Datum und
dem Zeitpunkt der älteren Beobachtung (am 19. Thoth 6^
früh 484 Nah.) verflossen ist. Sie beträgt 483 ägyptische
Jahre, 17 Tage und 18 Stunden. Für diese Zeit ergibt die 15
Rechnung (nach den Tafeln S. 116 ff.) einen Überschuß der
mittleren Bewegung in Anomalie von 190® 39'.^^ Wenn wir
diesen Betrag von den 212^34' abziehen, welche nach der Ha 192
(älteren) Beobachtung über das Apogeum zurückgelegt waren,
so werden wir für den Mittag des 1. ägyptischen Thoth des 20
ersten Jahres Nabonassars als Epoche erhalten:

1. vom Apogeum des Epizykels in Anomalie 21^55',

2. in Länge dieselbe wie die der Sonne, d.i. )( 0^45',

3. für das Apogeum der Exzentrizität ^ I^IO'.
Für letzteres macht nämlich Vioo^ (Präzession) in den vor- 25

liegenden (483) Jahren 4^50' aus, was genau die Differenz
zwischen d!~^ 1^10' und ^ 6® ist, wo zur Zeit der (zugrunde
gelegten) Beobachtung (S. 151,23) das Apogeum festgestellt
wurde.

a) Die Nachprüfung ergibt 190*^39' 4". Hieraus geht hervor,
daß die Stundenangabe trj 7' ^yytöra des griechischen Texte»
fehlerhaft ist. Diese 20°^ würden einen Zuschlag von 2' 35" aus-
machen. Folglich ist / zu streichen oder y' iyyiGta. zu schreiben.

156 Zehntes Buch. Erstes Kapitel.

Zehntes Buch.

Erstes Kapitel.
Nachweis des Apogeums der Venus.

Hei 2961 ^^® Hypothesen des Planeten Merkur und der zahlen-
mäßige Betrag seiner Anomalien, ferner der Betrag seiner
periodischen Bewegungen und ihre Epochen sind vorstehend
endgültig von uns festgestellt worden. Für die Venus suchten
6 wir zunächst wieder mit Hilfe der gleichgroßen nach der-
selben Seite eintretenden größten Elongationen zu ermitteln,
in welchen Teilen der Ekliptik das Apogeum und das Peri-
geum der Exzentrizität liegt. Für diesen Zweck haben uns
alte paarweise genau sich entsprechende Beobachtungen
10 nicht zur Verfügung gestanden; dagegen haben wir nach den
zu unserer Zeit angestellten Beobachtungen die Sache fol-
gendermaßen in Angriff genommen.

Unter den von dem Mathematiker Theon uns überlassenen
Ha 194 Aufzeichnungen fanden wir eine Beobachtung, die im IG*®"*
15 Jahre Hadrians am 21/22. ägyptischen Pharmuthi (T.März
132 n. Chr. 7^ abends) angestellt war. Nach dieser hatte
die Venus als Abendstern die größte Elongation von der
Sonne, indem sie nach seiner Angabe der Mitte der Pleias
um die Länge der Pleias westlich voranging, während ihr Vor-
20 Übergang an derselben etwas südlicher zu erwarten stand.
Da nun die Mitte der Pleias damals nach unseren Anfangs-
punkten in \j 3'^ stand, während ihre Länge ungefähr 1^30'
Hei 297 beträgt, so stand die Venus damals natürlich in \j 1^30'.
Folglich betrug, da der mittlere Ort der Sonne zurzeit
25 )C14^15' war*^, die größte Elongation von dem mittleren
Ort als Abendstern 47° 15'.

Wir selbst beobachteten im 4*®^ Jahre Antonins^^^ am
11/12. ägyptischen Thoth (30. Juli 140 n. Chr. V^ö^ früh),
die Venus in der größten Elongation als Morgenstern. Sie

a) Für 878^230*7'» ergibt die Nachprüfung X 14<^14'13".

Apogeum der Venus. 157

stand von dem mittelsten Knie (^) der Zwillinge eine halbe
Vollmondbreite*^ nordöstlich entfernt. Der Ort des Fixsterns
war zurzeit nach unseren Anfangspunkten TT 18° 15', so daß
die Venus ohne wesentlichen Fehler in TT 18^^30' stand,
während der mittlere Ort der Sonne cQ^5°45' war. Folg- 5
lieh betrug die größte Elongation als Morgenstern ebenfalls
wieder 47^5'.

Da nach der früheren Beobachtung der mittlere Ort
)(14°15' und nach der zweiten <Q,5°45' war, somit der in
der Mitte dazwischengelegene Punkt der Ekliptik einerseits 10
in \j 25**, anderseits in )}\ 25° fällt, so dürfte in diesen
Graden der durch Apogeum und Perigeum gehende Durch-
messer (des Exzenters) liegen.

Desgleichen fanden wir unter den von Theon überlassenen Ha 195
Beobachtungen, daß im 12*®^ Jahre Hadrians am 21/22. 15
ägyptischen Athyr (11. Oktober 127 n. Chr. ^/^l^ früh) die
Venus als Morgenstern in der größten Elongation von der
Sonne stand, indem sie die Länge der Pleias (d. i. 1° 30') Hei 298
oder höchstens um ihre eigene Größe (d. i. 5') weniger (also
1^25') hinter dem Stern {ß) an dem Ende des linken Flügels 20
der Jungfrau östlich zurückblieb, während ihr Vorübergang
an dem Stern eine Mondbreite weiter nördlich zu erwarten
stand. Da nun der Ort des Fixsterns nach unseren Anfangs-
punkten damals in fl 28° 55' lag^>, so daß die Venus (l°25'
östlich) ohne wesentlichen Fehler in iTpO°20' stand, wäh- 25
rend der mittlere Ort der Sonne ^ 17° 52' war*'^, so betrug
die größte Elongation vom mittleren Ort als Morgenstern
47° 32'.

a) UsXi^vri dixo^irivog ist hier und S. 158, 4 mit „Vollmond"
übersetzt, weil ja nach dem griechischen Kalender diese Phase
stets zur „Monatsmitte" eintrat. Für die Mitte der Monate des
ägyptischen Wandeljahres stimmt diese Bezeichnung des Mondes
natürlich nicht.

b) Der zeitliche Unterschied zwischen den beiden Beobach-
tungen beträgt rund 887 — 874 = 13 Jahre, auf welche genau ge-
nommen 0^7' 30" Präzession entfallen. Der Sternkatalog gibt
die Länge von ß Virg. nur 5' weiter östlich mit Q 29*^ an.

^ ergibt die Nachprüfung <sl 17*^52' 12".

158 Zehntes Buch. Zweites Kapitel.

Wir selbst beobachteten im 21*®^ Jahre Hadrians am
9/10. ägyptischen Mechir (25. Dezember 136 n. Chr. ^j^l^
abends) die Venus in der größten Elongation von der Sonne.
Sie stand etwa ^s von der Breite des Vollmondes (d. i. 7s
5 von 36') westlich von dem nördlichsten {cp) der vier ein
Viereck^) bildenden Sterne {(p%'*\>^'^^) hinter dem nachfol-
genden (A), welcher mit (den zwei Sternen i, und G in) der
Schamgegend des Wassermanns auf einer Geraden steht,
und schien den Fixstern (9) zu überstrahlen. Da der Ort

10 des Fixsterns (cp) zurzeit nach unseren Anfangspunkten in
sc 20® lag und deshalb die Venus (24' westlich) in — 19^36'
stand, während der mittlere Ort der Sonne /? 2^4' war^\
so betrug auch hier wieder die größte Elongation als Abend-
stern 47^32'.

15 Die Punkte der Ekliptik, welche zwischen den nach der

Hei 299 ersten Beobachtung in :~~ 17^52' und nach der zweiten in

/^ 2® 4' festgestellten Örtern in der Mitte liegen, fallen ohne

wesentlichen Fehler wieder einerseits in \j 25®, anderseits

in irt 25".

Zweites Kapitel.
Zahlenmäßige Größe des Epizykels der Venus.

Ha 196 Daß ZU unseren Zeiten das Apogeum des Exzenters in
21 \i 25® und das Perigeum in 1T\ 25® liegt, ist von uns hier-
mit festgestellt worden. Im weiteren Verfolg suchten wir
wieder (wie S. 136, 21) die größten Elongationen zu den
Zeiten, wo der mittlere Ort der Sonne in \j 25® und 1T\ 25®
25 lag.

Unter den von Theon uns überlassenen Beobachtungen
fanden wir, daß im 13*®^ Jahre Hadrians am 2/3. ägyp-
tischen Epiphi (20. Mai 129 n. Chr. 5^ früh) die Venus als
Morgenstern die größte Elongation von der Sonne hatte, in-

a) Ein Viereck bilden diese 4 Sterne des Wassermanns heut-
zutage nicht mehr, da sie nahezu auf einer Geraden unterein-
ander stehen. Neben tIj^ einem trennbaren Doppelstern, steht
übrigens noch ein fünfter Stern ip^.

b) Für 883*158*61/,^ ergibt die Nachprüfung S' 2° 3' 54".

Epizykel der Venus.

159

dem sie der Geraden durch den vorangehenden (y) von den

drei Sternen (aßy) im Kopfe des Widders und den Stern (38)

im Hinterbein 1°24' westlich

voranging, wobei sie von dem

vorangehenden Stern (y) im Kopf

ungefähr den doppelten Abstand

hatte wie von dem Stern (38)

im Hinterbein. Nun stand nach

unseren Anfangspunkten der

vorangehende (y) von den drei

Sternen im Kopfe des Widders

damals^) (4' zurück) in T 6^36'

mit 7® 20' nördlicher Breite, und

der Stern (38) im Hinterbein des Widders (5' zurück!) in Hei 300

Y14^55' mit 5^15' südlicher Breite. Folglich stand die 16

Venus in T10°36' mit 1^30' südlicher Breite. Da der

mittlere Ort der Sonne damals ^ 25^ 24' war^^, so beträgt Ha iö7

die größte Elongation vom mittleren Ort 44^48'.

Wir selbst beobachteten im 21*®^ Jahre Hadrians am
2/3. ägyptischen Tybi (18. November 136 n. Chr. 5^) abends 20
die Venus in der größten Elongation von der Sonne. Bei
Anvisierung mit Bezug auf die Sterne (ccvß) in den Hörnern
des Steinbocks ergab sich als ihr scheinbarer Ort ^ 12^50',
während der mittlere Ort der Sonne 1T\ 25^ 30' war''), so daß
hier die größte Elongation vom mittleren Ort 47^ 20' betrug. 26

Daraus (daß letzterer Winkel der größere ist) geht deut-
lich hervor, daß in ^25*^ das Apogeum und in il\ 25® das
Perigeum liegt. Ferner ist uns ersichtlich geworden, daß
der Exzenter, welcher den Epizykel der Venus trägt, ein
festbleibender ist, weil an keiner Stelle der Ekliptik die 30
Summe der beiderseits eintretenden größten Elongationen Hei 30i
vom mittleren Ort weder kleiner gefunden wird als die

a) Bei der Zwischenzeit von 7 Jahren beträgt die Präzession
0^4' 12", rund 4' oder 5'. Hiernach ist im griechischen Text iä
r^'d"zu schreiben, weil der Sternkatalog dieLängemitY 1 5 ^^ angibt.

b) Für STö"^ 301^17'' ergibt die Nachprüfung }5 25*^23' 27".

c) Für 883^121<i5i^ ergibt die Nachprüfung n 25<>32'19".

160

Zehntes Buch. Zweites Kapitel.

Summe (2 x 44^48' = 89^36') der beiden Elongationen (vom
mittleren Ort) im Stier, noch größer als die Summe (2 x
47^20' = 94^40') der beiden (Elongationen vom mittleren
Ort) im Skorpion.

Die vorstehend festgestellten Punkte sollen gegeben sein.
Der Exzenter, auf welchem sich jederzeit der Epizykel der

Venus bewegt, sei der Kreis ABf
um den Durchmesser AT, aui
welchem als Zentrum des Ex-
zenters A angenommen sei, E als
der Mittelpunkt der Ekliptik:
A sei der unter \]f 25'^ und f der
unter il\ 25^ gelegene Punkt.^^
Um die Punkte A und f be-
schreibe man gleichgroße Epi-
zyklen , auf denen die Punkte 2
und H liegen. Hierauf ziehe man
die Tangenten EZ, EH und die
Verbindungslinien AZ, PH.
20 \ y 1. Da /.AEZ als Zentriwin-

Ha 198 — kel der Ekliptik die im Apo-

gäum eintretende größte Elongation des Planeten unter-
spannt, welche mit 44^48' gegeben ist, so ist

10

15

25

Hei 302

/.AEZ = 44^8'

= 89*' 36'

mithin 6AZ = 89<*36'

also sAZ = 84^33'

wie 4i2 = 360^
wie ^i? = 360°,
wie ©AZE = 360",
wie/iAE = 120P.

2. Da desgleichen /.FEH die im Perigeum eintretende
größte Elongation unterspannt, welche mit 47^20' ebenfalls
30 gegeben ist, so ist

^rEH = 47°20' wie 4R = d60\

= 94U0' wie 2R = S60\

mithin hrH = UHO' wie © THE = 360",

also srH;= 88^13' wieÄrE = 120P.

a) Die Bezeichnung der Lage des Punktes P, welche im grie-
chischen Text fehlt, ist nach Cod. G ergänzt worden.

Zehntes Buch. Drittes Kapitel. 161

3. Setzt man, da die Epizykelhalbmesser PH und AZ ein-
ander gleich sind, auch

rH= 84^33' wie AE = 120P, (S. 160,27)
SO wird rE = 115P 1' in demselben Maße,

( Ar= AE-j-TE =235P 1', 5

mithin A A = TA = % Af = 117^ 30',
( AE= TA-TE = 2^29'.

Setzt man A A = 60^ als exhm,

so wird! AZ = 43^10'^)} ^"^ <^®°^s®^^®^ ^*^®- 10

Somit ist die Verbindungslinie AE zwischen den Mittel-
punkten (der Ekliptik und des Exzenters) mit 1^15', und
ier Halbmesser AZ des Epizjkels mit 43^10' gefunden.

Drittes Kapitel.
Das Verhältnis der Exzentrizität der Venus.

Da es noch unbewiesen ist, ob die gleichförmige Bewe- Ha 199
yung des Epizykels um den Punkt A vor sich geht, so 15
{teilten wir auch hier zwei größte Elongationen nach den Hei 303
mtgegengesetzten Seiten (d. i. eine westliche und eine öst-
iche) fest, während der mittlere Ort der Sonne bei jeder
dieser Elongationen)'^' 90^ von dem Apogeum entfernt lag.

Die erste dieser Beobachtungen stellten wir im 1 8*®^ Jahre 20
ladrians am 2/3. ägyptischen Pharmuthi (18. Februar 134
i. Chr. früh 6^) an, nach welcher die Venus als Morgenstern
lie größte Elongation von der Sonne hatte und bei der An-
isierung mit Bezug auf den sog. Antares in ^ 11^55' stand,

a) Nach dem Verhältnis (AE) 2^ 29' : (AA) 117^ 30' = 1^ 15' : 60^.

b) Das nach Z. 3 bestehende Verhältnis (AZ)84P33':(AE)120P
st in dem Maße von AA = 60P gleich dem Verhältnis {AZ)43P10'
(AA -j- AE) 6IP 15'.

c) Statt icp' sKatSQcc ist die Lesart des Cod. D icp' syiatigag
orgezogen worden. Mit inl tcc iravtia werden hier auf das
eutlichste die beiden Seiten des Epizykels, die Morgen- und
ie Abendseite, bezeichnet. Vgl. S. 126 Anm. b).

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II. H

162

Zelintes Buch. Drittes Kapitel.

während der mittlere Ort der Sonne damals ^^ 25^30' war.*^^
Folglich betrug die größte Elongation vom mittleren Ort
als Morgenstern 43^35'.

Die zweite Beobachtung stellten wir im 3*®^ Jahre An-
5 tonins am 4/5. ägyptischen Pharmuthi (18. Februar 140
n. Chr. Va^^) abends an, nach welcher die Venus die größte
Elongation von der Sonne hatte und bei der Anvisierung
mit Bezug auf den glänzenden Stern (Aldebaran) der Hyaden
in Y 13^50' stand, während der mittlere Ort der Sonne
10 wieder sc 25^^30' war.^^^ Folglich betrug in diesem Falle
die größte Elongation vom mittleren Ort als Abendstern
48<>20'.

Diese Punkte sollen gegeben sein. Der durch das Apo-

geum und das Perigeum des Exzenters gehende Durchmesser

15 sei ABT; A sei angenommen als der unter \^26^ liegende

Punkt, und B als der Mittelpunkt der Ekliptik.

Ha 200 Es sei die Aufgabe gestellt, das Zentrum zu finden, um

welches wir die gleichförmige Bewegung des Epizykels vor

sich gehen lassen.

Hei 304 Angenommen, Punkt A sei dieses Zentrum. Man ziehe

21 durch dasselbe unter rechten Winkeln zu AT die Gerade

AE, damit der mittlere
Ort des Epizykels den Be-
obachtungen entsprechend
90^ von dem Apogeum
entfernt sei, und setze auf
ihr den nach den vorge-
legten Beobachtungen (als
mittleren Sonnenort) ge-
gebenen Mittelpunkt des
Epizykels in E an. Nach-
dem man um letzteren den
Epizykel Z H beschrieben,
ziehe man an denselben von B aus die Tangenten BZ

25

30

a) Für 880» 211^ 18^ ergibt die Nachprüfung <S4 25^30' 34".

b) Für 886*213*572^ ergibt die Nachprüfung «s* 25*^29' 30".

Exzentrizität der Venus. Iß3

und BH und schließlich die Verbindungslinien BE, EZ,
EH.^)

1. Da nach dem gegebenen mittleren Ort (in «r 25°) die
größte Elongation von demselben als Morgenstern mit 43^35'
und die größte als Abendstern mit 48^20' gegeben ist, so 5
ist folglich als Summe beider Winkel

Z.ZBH = 91«55' wie 4i?=360«,
demnach /.ZBE=91°65' wie ^JS = 360^ weil halbsogroß;
mithin 6EZ = 9l055' wie©EZB = 360^ Hei 305

also sEZ = 86^16' wie /iBE = 120P. 10

Setztman EZ = 43^10' als ephm,
so wird B E = 60^ 3' in diesem Maße.

2. Da die Differenz der vorgelegten größten Elongationen
im Betrage von (48^20' — 43^35'=) 4^45' das Doppelte
der derzeitigen Differenz der auf die Ekliptik bezogenen Ano- 15
malie ist, welche von dem /- BEA gemessen wird'^), so ist

LBEA= 2022'30" wie4jß=360^ Ha 20i

= 4U5' wie ^JB=360°,

mithin 6BA= 4*>45' wie©BAE = 360^

also sBA= 4^59' wie 7iBE = 120P. 20

Setztman BE = 60P 3' wie epy^m = 43^10',

so wird BA= 2^30' in demselben Maße.

3. Nun wurde die Verbindungslinie zwischen dem Mittel-
punkt B der Ekliptik und dem Zentrum (0) des Exzenters,
luf welchem jederzeit der Mittelpunkt des Epizykels liegt, 25
n demselben Maße (S. 161, 9) gleich 1^15' nachgewiesen;
'olglich ist sie halbsogroß wie BA. Wenn wir also BA in
Punkt 0 halbieren, so werden wir den Beweis geliefert
laben, daß in dem Maße, in welchem der Halbmesser 0A

les den Epizykel tragenden Exzenters gleich 60^ ist, jede Hei sog
ier beiden zwischen den Z*entren liegenden Strecken B0 31
md 0A 1^15' und der Halbmesser des Epizykels 43^10'
)eträgt, was nachzuweisen war.

a) Die Figur des Originals ist durch Zeichnung der beiden
Exzenter ergänzt worden; nur so kann 0A (Zeile 29) als Halb-
aesser des den Epizykel tragenden Exzenters erkannt werden.

11*

164

Zehntes Bucli. Viertes Kapitel.

Viertes Kapitel.
Korrektion der periodischen Bewegungen der Venus.

Die Art der Hypothese und die Verhältnisse der Ano-
malien sind von uns vorstehend endgültig festgestellt worden.
Zur Ermittelung der periodischen Bewegungen des Planeten
und ihrer Epochen wählten wir nun wieder zwei durchaus
5 sichere Beobachtungen, die eine aus den zu unserer Zeit
angestellten, die andere aus der Zahl der alten.

I. Wir selbst beobachteten im 2*®^ Jahre Antonius am
29/30. ägyptischen Tybi (16. Dezember 138 n. Chr. 7^5'^
Ha 202 früh) am Astrolab die Venus nach der größten Elongation
10 \\ als Morgenstern mit Bezug auf die Spika, wobei

^ sich als ihr scheinbarer Ort n\ 6'^ 30' ergab. Sie
stand damals mitteninne auf einer Geraden zwi-
schen dem nördlichsten (/3) von den Sternen (% 8 ß)
in der Stirn des Skorpions und dem scheinbaren
15 9i Zentrum des Mondes, und zwar so inmitten,

daß sie dem Zentrum des Mondes das Andert-
halbfache derjenigen Strecke westlich voran-
ging, um welche sie östlich hinter dem nörd-
lichsten (j3) von den Sternen in der Stirn zurück-

20 Uli blieb. Nun stand der Fixstern (ß) damals nach

'^^'' unseren Anfangspunkten in 11\ 6^ 20' mit 1^ 20'

nördlicher Breite, und der Zeitpunkt (der Beobachtung) war

Hei 307 4^^ Aquinoktialstundeu nach Mitternacht, da am Astrolab,

während die Sonne in .j^ 23^ stand, iTp 2^ kulminierte. Zu

25 diesem Zeitpunkt war^^

der mittlere Ort der Sonne t 22*^ 9'

der mittlere Ort des Mondes n\ 11^24'

seine Entfernung vom Apogeum in Anomalie 87^30'

„ „ vom nördl. Grenzpunkt in Breite 12^22'

mithin der genaue Ort des Mondzentrums ir\ 5*^45'

a) Die Nachprüfung ergibt für 885» 148"^16Y4h als mittleren
Ort der Sonne / 22"8'49", als mittleren des Mondes ni 11031'53".

Korrektion der Bewegungen der Venus.

165

seine (wahre) nördliche Breite

der scheinbare Ort in Länge für Alexandria*^

die scheinbare nördl. Breite „ „

n

5« 0'
4H0'.

Ha 203

Folglich ergab sich auch auf Grund dieser Zahlen als
(scheinbarer) Ort der Venus U\ 6" 30' und ihre nördliche 5
Breite mit 2H0'.

Diese Punkte sollen gegeben sein. Der durch das Apo-
geum gehende Durchmesser sei ABFAE; der Punkt A sei
in Xj 25^ angenommen, B sei der Punkt, um welchen der
Epizykel (von der Leitlinie BZ) gleichförmig herumbewegt 10
wird, r das Zentrum des Ex-
zenters, auf welchem der Mittel-
punkt des Epizykels umläuft,
endlich A der Mittelpunkt der
Ekliptik. Da der mittlere Ort
der Sonne bei der Beobachtung
.jf'22°9' war, so daß auch der
mittlere Ort des Epizykels in der
Richtung der Zeichen vom Peri-
geum E(von iT\^5^bis^22<'9')
27^9' entfernt lag, so mag sein
Mittelpunkt in Z angenommen

sein. Nachdem man um Z den ^

Epizykel H 0K beschrieben, ziehe man die Verbindungslinien Hei sos
AZH, rZ, BZ0 und fälle von T und A auf die Gerade 25
BZ die Lote TA, A M. Den Planeten nehme man in Punkt K
an und ziehe die Verbindungslinien AK, ZK; endlich fälle
man (auf die Gerade AK) das Lot ZN.

Es sei die Aufgabe gestellt, den Bogen 0K zu finden,
welchen der Planet von dem Apogeum 0 des Epizykels^ ^ 30
entfernt war.

a) Da der Mond östlich des Meridians stand, so wirkte die
Längenparallaxe in der Richtung der Zeichen.

b) Es ist das sog. mittlere, auf der Leitlinie BZ liegende
Apogeum, von welchem aus die Bewegung des Planeten auf
dem Epizykel in Anomalie gezählt wird.

166 Zehntes Buch. Viertes Kapitel.

1. Es ist (als Entfernung des Epizykels vom Perigeum)

LEBZ= 27« 9' wie 4JB = 360°,
= 54° 18' wie 2R = SeO\

also

.rA= 54^46'! ^.^^^B^.^OP.
,sBA = 106^47'

Setzt man rB= 1^15' wie ex/^m TZ = 60^,

Hei 309 so wird rA= 0^34' und BA = 1P7'.

10 Nun ist rZ«-rA« = ZA2,

mithin ZA = rund 60^ in demselben Maße.

Ha 204 2. Weil Br= TA (S. 163, 3l), so ist ferner

mithin ( ZM = ZA - M A = 68^63' 1 (^j^ .^ = 60^).
mimmi AM(=2rA) = l" 8' I ^ ^

15

rmt.hTn <

AM(=2rA)

(Nun ist Z M2 + A M2 = Z A^)

mithin hZA= 58^54' in demselben Maße.

Setzt man hZA = 120^,

20 so wird sAM= 2^18' in diesem Maße,

mithin 6AM= 2«12' wie 0 AMZ = 360",

also/,BZA= 2«12' wie^i^ = 360'.

(Nun war /, EBZ= 54° 18' wie5i2 = 360«) %

folglich /, EAZ= 560 30' als Summe. (Eukl. I. 32)

25 3. Es ist ferner, weil der Planet nach der Beobachtung
(von 1T\6'^30' bis irt.25®) 18^30' vor dem Perigeum E,
d. i. vor ir\ 25^ stand,

/,EAK= 18°30' wie 4i? = 3600,

= 37° wie 5E = 3600.

30 (Nun war ^EAZ= 56° 30' wie5jB=360°)

folglich /,KAZ= 93°30' als Summe,

Hei 310 mithin 6ZN== 93° 30' wie ©ZNA = 3600,

also sZN= 87^25' wieZA = 120P.

Korrektion der Bewegungen der Venus. 167

Setzt man Z A = 58^ 64' wie ephm Z K = 43^ 10',
so wird Z N = 42^ 54' in diesem Maße.

Setzt man ;iZK=120P,

so wird sZN = 119^18' in diesem Maße,

mithin &ZN = 1670 38' wie ©ZNK = 360o, 5

also /.ZKA = 167°38' wie ^i2 = 3600.

Nunwar/,KAZ= 93«30' wie -2JR = 360«,
folglich /, KZ H = 261^ 8' als Summe. (Eukl. I. 32) Ha 205

Es war /,BZA= 2M2' wie 5J? = 360^
ebenso /,HZ0= 2^12', (als Scheitelwinkel) 10

folglich /, KZ 0 = 2580 56' als Differenz,
= 129"^ 28' wie 4JR=3600.
Mithin war die Venus zu dem gegebenen Zeitpunkt von
dem Apogeum 0 des Epizykels gegen die Richtung der
Zeichen vorstehende 129*^28' entfernt, und in der Richtung 15
der Zeichen, d. i. in der nach der Hypothese (auf dem Epi-
zjkel) angenommenen Bewegung(srichtung), die am ganzen
Kreis fehlenden 230^32', was gefunden werden sollte.

II. Von den alten Beobachtungen haben wir eine gewählt,
über welche Timocharis folgende Aufzeichnung macht. Im 20
13*^^ Jahre des Philadelphus*) am 17/18. ägyptischen Me-
sore in der 12*«^ (Nacht-) Stunde (12. Oktober 272 v.Chr.
6^ früh), stand der scheinbare Ort der Venus in genauer
Konjunktion mit dem der Vindemiatrix ( e Virg.) gegenüber-
stehenden Stern (t^Virg.). Es ist der Stern, welcher nach 25
unseren Anfangspunkten hinter dem Stern (ß) am Ende des Hei 311
südlichen Flügels der Jungfrau steht; sein Ort war im ersten
Jahre Antonius np8"l5'. Da das Jahr der Beobachtung
seit Nabonassar das 476*® und das bis zum Regierungs-
antritt Antonius verflossene Jahr^^ das 884*® ist, mithin auf 30
die 408 Jahre betragende Zwischenzeit etwa 4^5' Bewegung
der Fixsterne und der Apogeen entfallen, so ist ersichtlich,

a) Ptolemäus Philadelphus regierte von 285 — 247 v. Chr.

b) Es ist das letzte Jahr Hadrians gemeint. Vgl. I Anh.
Anm. 30 a. E.

168

Zehntes Buch. Viertes Kapitel.

daß der Ort der Venus iip 4*10' war und das Perigeum des
Exzenters in ITp 20^55' lag.

Auch hier hatte die Venus die größte Elongation als

Morgenstern hinter sich; denn vier Tage nach der vorge-

5 legten Beobachtung, am 21/22. Mesore, stand sie nach den

Ha 206 Angaben des Timocharis nach unseren Anfängen in llp 8^50'

(d. i. 4*40' weiter östlich). Nach der ersten Beobachtung

war der mittlere Ort der Sonne ^n^S\^^ und nach der

(vier Tage) späteren ^20*59'. Demnach hatte die Elon-

10 gation bei der ersten Beobachtung (von n\) 4* 1 0' bis t^iii 1 7* 3']

42*53' betragen, während sie bei der späteren (von 1T[)8*50'

bis ^20*59') nur noch 42*9' betrug.

Diese Punkte sollen ge-
geben sein. Es sei wieder
die ähnliche Figur vorgelegt.
Indessen muß sie den Epi-
zykel auf der vor dem Peri-
geum liegenden Seite zeigen,
weil der mittlere Ort des Epi-
zykels in ^ 17*3', das Peri-
geum aber (weiter vorwärts)
in 11X20*55' liegt.

1. Es ist demnach (von
^17*3' bis 11120*55')

30

L

EBZ= 33° 52' wie 4i? = 360°,

= 67044' wie 5i2 = 360^

mithin !

,&BA = 112016'] ^

also j

srA= 66P52'1 .^,,g^^,,p^
,sBA= 99^38']

Setzt man

rB= 1^15' wie exhmrZ^GÖ^f

so wird

rA= 0^42' und BA = lP2'.

Nun ist

rZ2-rA2 = ZA2,

mithin

ZA = rund 60^ in demselben Maße.

a) Für 475*346^18^ ergibt die Nachprüfung Sh 17<'2'5"; vier
Tage später ist der mittlere Ort sl 20^58' 38".

Korrektion der Bewegungen der Venus.

169

mithin

(Nun ist

mithin

Setzt man

so wird

mithin

(wie rZ = 60P).

Hei 318

Ha 207
5

2. Es ist ferner wieder (weil B r= TA)

AM = 2rAl (E^kl. VI. 2. 4)
ZM = ZA -MA = 58^58'
AM(=2rA) = 1^24'

ZM2-fAM2 = ZA2)
hZL= 58^59' in demselben Maße.
/iZA = 120P,

sAM= 2^51' in diesem Maße,
6AM= 2<>44' wie©AMZ = 360^
also/,BZA= 2<^44' wie -2JR = 360«.

(Nun war /,EBZ= 67044' wie5E = 360<')

folglich /, EAZ= 70<'28' als Summe. (Eukl. I. 32)

3. Es beträgt ferner 1 E A K , welchen der Planet gegen
die Richtung der Zeichen vor dem Perigeum stand, (von 15
11p 4^10' bis 11120<^55') 76H5'. Demnach ist

/.EAK= 760 45' wie4i2 = 3600,

10

= 153° 30'
(Nun war /, EAZ= 70» 28'

folglich /.KAZ= 83° 2' als DiflFerenz, 20

mithin 6 Z N = 83« 2'
also sZN= 79P33'
Setzt man ZA= 58^59'
so wird ZN= 39^ 7'
Setzt man /^ZK==120P,
so wird sZN = 108^45'
mithin 6ZN = 130*
also /,ZKA = 1300
Nun war /. KAZ= 83» 2' wie ^jB = 360®,
folglich /, KZ 0 = 213° 2' als Summe. (Eukl. I. 32) 30

Eswar/_BZA= 2044' wie^i2 = 3600,
ebenso /,HZ0= 2° 44' (als Scheitelwinkel),
folglich /_ KZ H = 215046' als Summe,

= 107° 53' wie 4i? = 3600.

wie 5i? = 360°.
wie 5iB = 360°)
als DiflFerenz,
wie ©ZNA = 360o,
wie /^ZA = 120P.

wie e^^'^m ZK = 43^10',
in demselben Maße.

in diesem Maße,
wie ©ZNK = 360°,
wie 5i2 = 360o.

25

Hei 314

170 Zelmtes Buch. Viertes Kapitel.

Mithin war die Venus zu dem gegebenen Zeitpunkt von

Ha 208 dem Apogeum H des Epizykels in der Richtung der Zeichen

(d. i. von H über das Perigeum bis K) die am ganzen Kreis

fehlenden 252^7' entfernt, was nachgewiesen werden sollte.

5 Nun war zum Zeitpunkt unserer Beobachtung die Venus
ebenfalls von dem Apogeum des Epizykels 230^32' entfernt.
Die zwischen den beiden Beobachtungen (vom 17/18. Me-
sore 6^ früh 476 Nab. bis zum 29/30. Tjbi 7^5^ früh 886
Nab.) verflossene Zeit beträgt 409 ägyptische Jahre und

10 (13 + 5 + 129=) 167 Tage ohne wesentlichen Fehler und
umfaßt 255 ganze Wiederkehren der Anomalie; denn da
8 ägyptische Jahre ohne merklichen Fehler 5 Umläufe aus-
machenio), so bringen (8x51=) 408 Jahre (5x51 =) 255
Umläufe, während das übrige Jahr mit Einschluß der über-

15 schießenden (167) Tage die Zeit einer weiteren Wiederkehr
nicht erfüllt.*^ Hieraus ist uns ersichtlich geworden, daß
die Venus in 409 ägyptischen Jahren und 167 Tagen nach
255 ganzen Wiederkehren der Anomalie auf dem Epizykel
einen Überschuß von 338^25' gewinnt: um so viel Grade
Hei 315 war ja der zu unserer Zeit festgestellte Ort (230^32') dem

21 früheren (252^7') voraus.^) Ebensoviel Grade des Über-
schusses ergibt die Rechnung^ ^ nach den von uns oben (S.l 1 3ff.)
vorgelegten Tafeln der mittleren Bewegungen, weil die Kor-
rektion der Bewegungen auf Grund des (vorliegend) gefun-

25 denen Überschusses des Laufs in der Weise vorgenommen
worden ist, daß die Zeit in Tage und die Wiederkehren mit
Einschluß des Überschusses in Grade verwandelt wurden.
Dividiert man nämlich mit der Anzahl der Tage in die Zahl

a) Weil (nach der Anomalietabelle S. 114f.) in 1» 167d nur 328°
zurückgelegt werden.

b) Zu einer ganzen Wiederkehr fehlten dem früheren Ort
die oben (S. 169,34) gefundenen 107*^53'; hierzu kommen die 230°32'
Überschuß über ganze Wiederkehren, welche S. 167, i8 aus der
späteren Beobachtung abgeleitet wurden.

c) Für 409* 167* ergibt die Nachprüfung 338°27'46".

Zehntes Buch. Fünftes Kapitel. 171

der Grade, so ergibt sich die tägliche mittlere Bewegung in
I Anomalie, wie sie von uns für die Venus oben (S. 101, 12)

; mitgeteilt worden ist.

I Fünftes Kapitel.

{ Epoche der periodischen Bewegungen der Venus.

' Da auch hier die Aufgabe übrig bleibt, die Epochen der Ha 209
aperiodischen Bewegungen an den Mittag des 1. ägyptischen
Thoth des ersten Jahres der Regierung Nabonassars zu
knüpfen, so stellten wir wieder die Zwischenzeit zwischen
diesem Zeitpunkt und dem der älteren Beobachtung (am 5
17/18. Mesore 6^ früh 476 Nah.) fest. Sie beträgt 475
ägyptische Jahre, 346% Tage. Für diesen Zeitraum ergibt
die Rechnung nach den Spalten der Anomalie (S. 1 1 3 ff.) einen
Überschuß der mittleren Bewegung von rund 181^^) Wenn
wir diesen Betrag von den (S. 1 70, 4) nach der Beobach- Hei 316
tung festgestellten 252° 7' abziehen, so werden wir für den 11
Mittag des 1. ägyptischen Thoth des ersten Jahres Nabo-
nassars als Epoche erhalten:

1. vom Apogeum des Epizykels in Anomalie 71° 7'

2. in mittlerer Länge dieselbe wie die der 15
Sonne, d.i. )( 0H5'

3. für das Apogeum (der Exzentrizität) t^l6°10'.

Daß letzteres zu dem angenommenen Zeitpunkt der Epoche
iort liegen muß, ist klar, weil es nach der (zugrunde ge-
hegten) Beobachtung (vgl. S. 168,2) in \j 20^ ö5' lag, wäh- 20
:-end auf die Zwischenzeit von rund 476 Jahren 4°45' (Prä-
Session) entfallen.

a) Für 475»346<il8^ ergibt die Nachprüfung 180« 58' 31"

172 Zehntes Buch. Sechstes Kapitel.

Sechstes Kapitel.

Vorbemerkungen zu den Nachweisen

für die übrigen Planeten.

Ha 210 Bei diesen beiden Planeten, dem Merkur und der Venus
konnten wir auf dem vorstehend erörterten Wege zur Auf
Stellung der Hypothesen und zum Nachweis der Anomalie!
gelangen. Was aber die drei übrigen, den Mars, den Jupite]
5 und den Saturn anbelangt, so finden wir, daß nur die Bc'
wegungshjpothese ein und dieselbe ist, wie sie für die Venui
angenommen wurde, insofern der Exzenter, auf welchem siel
jederzeit der Mittelpunkt des Epizykels bewegt, um ein Zeu'
trum beschrieben wird, welches in dem Halbierungspunkt(
Hei 317 der Verbindungslinie der Mittelpunkte der Ekliptik und de;

11 Exzenters liegt, der die gleichförmige Herumleitung des Epi
zykels bewirkt. Denn auch bei diesen Planeten wird (wi(
bei der Venus) die Exzentrizität (Z E), welche aus der größter
Differenz der auf die Ekliptik bezogenen Anomalie erschlossei

15 wird, im allgemeinen doppeltsogroß befunden als die Exzen
trizität (ZA), welche sich aus dem zahlenmäßigen Betrag
der Rückläufigkeitsstrecken*^ in den größten und den kleinster
Entfernungen des Epizykels ergibt.

Dagegen können die Nachweise, durch welche wir dit

20 zahlenmäßigen Beträge einer jeden der beiden Anomaliei
und die Apogeen feststellen, bei diesen Planeten nicht meb
nach derselben Methode wie bei jenen beiden geführt werden
weil diese (drei Planeten) in Opposition zur Sonne gelangen
und weil aus Beobachtungen nicht, wie bei den größter
Ha 211 Elongationen des Merkur und der Venus, ersichtlich wird

26 wann der Planet in den Berührungspunkt der Tangente
tritt, welche von unserem Auge an den Epizykel gezoger
wird. Da also ein dementsprechendes Verfahren nicht mii
Erfolg anwendbar ist, so haben wir die der Beobachtung

30 zugänglichen diametralen Stellungen dieser Planeten zu den:
mittleren Ort der Sonne zur Benutzung herangezogen. Ae

a) Insofern diese in Erdnähe kürzer sind als in Erdferne.

Vorbemerkungen.

173

Hei 318

10

15

der Hand derartiger Beobachtungen weisen wir zunächst die
Verhältnisse der Exzentrizität und die Apogeen nach.
Denn einzig und allein in den von diesem theoretischen
Gesichtspunkt aus betrachteten Positionen finden wir die
auf die Ekliptik bezogene Anomalie für sich getrennt, weil 5
alsdann keinerlei Differenz infolge der im Verhältnis zur
Sonne eintretenden Anomalie sich geltend macht.

Der Exzenter des Planeten,
auf welchem sich der' Mittel-
punkt des Epizykels bewegt,
sei der Kreis ABT um das
Zentrum A, AT der durch
das Apogeum gehende Durch-
messer; auf diesem sei E der
Mittelpunkt der Ekliptik und
Z das Zentrum des Exzenters,
auf welchen der mittlere Lauf
des Epizykels in Länge theo-
retisch bezogen wird. Nachdem man um B den Epizykel
H 0 K A beschrieben, ziehe man die Verbindungslinien Z A B 0 20
andHBKEM.

Ich behaupte zunächst, daß, wenn der scheinbare Ort des
Planeten auf der durch den Epizykelmittelpunkt B gehen-
den Geraden EH liegt, jederzeit auch der mittlere Ort der
Sonne auf derselben Geraden liegen wird: in Punkt H an- 25
gelangt, steht der Planet mit dem mittleren Ort der Sonne,
welcher gleichfalls bei H der Theorie nach anzusetzen ist, in
Konjunktion, während er in K dem mittleren Ort (der
Sonne), welcher alsdann der Theorie nach bei M liegt, dia-
metral gegenüber (d. i. in Opposition) stehen wird. 30

Bei jedem dieser Planeten bilden die mittleren Entfer- Ha 212
üungen von den Apogeen (A und 0) in Länge (/.AZB)
und in Anomalie (/. 0BH) zusammen*^ den von demselben

a) Unter Zusatz der zahlenmäßigen Winkelgrößen der vor-
liegenden Figur lauten die beiden Gleichungen:

/.AZB (90^) + Z. 0 B H (360<> - 30") = ^ A E H (360° -j- 60°),
L, AZB(90°)- /, AEH (60»)= /. 0BH(3O°).

174 Zehntes Buch. Sechstes Kapitel.

Anfangspunkt (A) aus gerechneten mittleren Ort der Sonne
(^AEH), während die Differenz zwischen dem Winkel
Hei3i9(AZB) am Zentrum Z, welcher die gleichförmige Bewe-
gung des Planeten in Länge mißt, und dem Winkel
5 (AEH) bei E, welcher die scheinbare Bewegung mißt,
jederzeit gleich ist dem Winkel (ABK = 0BH) bei B,
welcher den gleichförmigen Lauf des Planeten auf dem Epi-
zykel mißt. Es ist demnach klar, daß, wenn der Planet in
H (vor dem Apogeum) steht, an der Wiederkehr zum Apo-

10 geum der Z.0BH fehlen wird, welcher (wie oben gesagt)
zusammen mit /.AZB, d.h. (im vorliegenden Fall) vor
ihm abgezogen*^ den von dem mittleren Sonnen ort (H^
bedingten L A E H gibt, der dem scheinbaren Orte des Plane-
ten entspricht.

15 Steht aber der Planet in K (nach dem Apogeum), sc
wird er wieder auf dem Epizykel (von dem mittleren Apo-
geum 0 ab) den /^ 0 B K zurückgelegt haben , welcher zusammen
(d. i. in diesem Fall zu ihm addiert) mit dem /.AZB den
von dem Apogeum A aus gerechneten mittleren Ort (M) dei

20 Sonne geben wird^\ der einen Halbkreis (ABT) und darüber

die Differenz von /.AZB — /.ABK = /.rEM beträgt und

dem scheinbaren Ort des Planeten diametral gegenüberliegt,

Deshalb fallen auch in den besprochenen Stellungen (bei

Konjunktion und Opposition) die beiden Geraden, deren eine

25 von dem Epizykelmittelpunkt B nach dem Planeten, die
andere von E, d. i. von dem Punkte, in welchem sich unser
Auge befindet, nach dem mittleren Ort der Sonne gezogen
wird, auf ein und dieselbe Gerade zusammen.''^

a) Insofern der spitze Winkel 0 B H , welcher den die Bewegung
in Anomalie messenden überstumpfen Winkel 0BH zu 360® er-
gänzt, in Betracht kommt, so daß die erste obige Gleichung lautet:

/.AZB (900)- /. 0BH (30°)= /. AEH (60«).

b) Die Gleichung wird in diesem Falle wieder lauten:
LAZB(9O°)4-/.0BK(18O"-3O°)=/. ArM(180*>4-60«).

c) Weil es sich um Addition und Subtraktion von Winkeln
handelt, wobei Voraussetzung ist, daß die betreffenden Winkel
in derselben Ebene liegen.

Vorbemerkungen

175

Bei allen anderen Elongationen halten dagegen diese Ver- Hei 320
bindungslinien verschiedene Richtungen ein, die jedoch jeder- Ha 218
zeit parallel zueinander verlaufen.

Beweis. Wenn wir in irgend-
einer beliebigen Stellung (des
Epizykels zur mittleren Sonne)
in der vorliegenden Figur von
3 nach dem Planeten eine
jrerade ziehen, z. B. BN, und
dne ebensolche von E nach
iem Ort der mittleren Sonne,
B. EE, so ist nach den oben
)esprochenen Sätzen

10

15

/. AEE=/, AZ0-h^NB0 (nach S. 173,3i)
/.AZe=t AEH-|-/.HBe (Eukl. 1.15. 32)

(/.AEE=/. AEH-f /.HB0-f-/.NB0)
/,AEE-/.AEH = /,HB0-|-/,NB0

i HEE=/.HBN

EE II BN. (Eukl. 1.28)

Wir finden demnach in den besprochenen Stellungen, d. i. 20
owohl bei den Konjunktionen als auch bei den Oppositionen*), Hei 321
welche beide theoretisch auf den mittleren Ort der Sonne
ezogen werden, den Planeten in einer Lage, in welcher er
heoretisch durch den Mittelpunkt des Epizykels erschaut
mrd, als ob er sich überhaupt gar nicht auf einem Epizjkel 26
ewegte, sondern für sein Teil die Lage auf dem Kreis ABT
inhaltend von der Leitlinie ZB gleichförmig auf dieselbe
Veise wie der Epizykelmittelpunkt (auf diesem Kreise)
erumgeleitet würde. Folglich ist klar, daß es möglich
nn wird, mit Hilfe derartig gewählter Örter die infolge der 30
Exzentrizität eintretenden Verhältnisse der auf die Ekliptik
ezogenenen Anomalie (d. i. den Betrag des /.ZBE) für

a) U^riiiatLaiiol a-KQovvKTOLj d. s. von Beginn bis Ende der
acht über dem Horizont sichtbare Planeten Stellungen, habe ich
urchgehends mit „Oppositionen" wiedergegeben.

176 Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

sich^^ nachzuweisen. Da jedoch die Konjunktionen nicht
sichtbar sind, so bleibt nur übrig, den methodischen Gang
der Beweisführung an die Oppositionen anzuknüpfen.

Siebentes Kapitel.
Nachweis der Exzentrizität des Mars und seines Apogeums.

Ha 214 Ähnlich wie wir bei dem Monde (Buch IV, Kap. 6) die
6 Örter und Zeiten dreier Mondfinsternisse festgelegt und
daraus auf dem Wege geometrischer Konstruktion das Ver-
hältnis seiner Anomalie und die Stelle des Apogeums nach-
gewiesen haben, so beobachteten wir auf dieselbe Weise auch
hier an den astrolabischen Instrumenten mit möglichster
10 Genauigkeit für jeden der drei Planeten je drei dem mittleren
Ort der Sonne diametral gegenüber eintretende Oppositionen
und berechneten nach den zur Stunde der Beobachtung ge-
fundenen mittleren Örtern der Sonne bis auf die Minuten
Hei 322 genau Zwischenzeit und Ort, um an der Hand des so gewon-
15 neuen Materials das Verhältnis der Exzentrizität und das
Apogeum nachzuweisen.

So stellten wir denn zuerst für den Mars drei Oppositionen
fest. Wir beobachteten

die erste im 15*®^ Jahre Hadrians am 26/27. ägyptischen
20 Tybi eine Äquinoktialstunde nach Mitternacht (15. Dezem-
ber 130 n. Chr. 1^ nachts) in TT 21°;

die zweite im 19*®^ Jahre Hadrians am 6/7. ägyptischen
Pharmuthi drei Äquinoktialstunden vor Mitternacht (21. Fe-
bruar 135 n. Chr. 9^ abends) in ^ 28*^50';
25 die dritte im 2^^^ Jahre Antonius am 12/13. ägyptischen
Epiphi zwei Äquinoktialstunden vor Mitternacht (27. Mai
139 n. Chr. 10^ abends) In ^ 2<>34'.^)

a) D. i. getrennt von der in Bezug auf die Sonne eintreten-
den Anomalie, welche durch den Laaf des Planeten auf dem
Epizykel zum Ausdruck gelangt.

b) Die Nachprüfung ergibt als mittleren Ort der Sonne füi
577a i45d 13h . ^ 20<»58'52", für 881«^ 215«^ 9^ : ^ 28<'50'19", füi
885»311dl0J^:n2»31'43".

Exzentrizität und Apogeum des Mars.

177

Die Zwischenzeiten betragen

zwischen erster und zweiter: 4*69*^20^; Ha 215

zwischen zweiter und dritter : 4*96'^ 1^.

Nach Abzug ganzer Kreise ergibt die Rechnung (nach den
»palten der Länge des Mars S. Ulf.) 5

ür die erste Zwischenzeit: Bewegung in Länge 81^44',
ür die zweite Zwischenzeit: „ „ „ 9 5° 2 8'.*^

Wenn wir die mittleren Bewegungen nach den nur an-
.ähernd angesetzten periodischen Wiederkehren in Rechnung Hei sas
iehen^\ so wird dies bei der verhältnismäßig kurzen Zeit, 10
ie in Frage kommt, keinen beträchtlichen Unterschied aus-
lachen.

, Endlich ist klar, daß nach Abzug ganzer Kreise der schein-
I are Planet sich bewegt hat in der
rsten Zwischenzeit (von 17 21® bis Sl 28^50') 67^50', 16

weiten Zwischenzeit (von ^28^bO' bis ^ 2^34') 93^44'.
Es seien also in der Ebene der ^

Ekliptik drei gleichgroße Kreise

eschrieben. Derjenige,welcher den
; [ittelpunkt des Epizykels des Mars

'ägt, sei der Kreis ABT um das

entrumA,der Exzenter der gleich-
, )rmigen Bewegung sei der Kreis
1 ZH um das Zentrum 0, der mit

er Ekliptik konzentrische Kreis

ii KAM um den Mittelpunkt N,

.OTTP der durch alle drei Zen-

en gehende Durchmesser. A sei

Is der Punkt angenommen, in

elchem der Mittelpunkt des Epi-

ykels bei der ersten Opposition

and, B als der Punkt, in welchem er bei der zweiten stand,
als der Punkt, in welchem er bei der dritten stand. Man

20

25

30

a) Die Nachprüfung ergibt 81° 43' 24" und 95^27' 29".

b) D.h. ohne die Zahlen bis auf die Sexten genau anzugeben.
gl. I 221, 6.

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II.

12

178 Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

ziehe die Verbindungslinien GAE, 0BZ, OHT und NKA,
NAB, NTM; dann ist
Hei 324 6x1) EZ = 81^44' des ersten periodischen Intervalls,
„ ZH = 95^28' „ zweiten „ „ ,

Ha 216 eklh K/\ = 67^50' des ersten scheinbaren Intervalls,
6 „ AM = 93U4' „ zweiten „ „

Wenn die Exzenterbogen EZ und ZH von den Ekliptik -
bogen K A und A M unterspannt würden, so bedürfte es zum
Nachweis der Exzentrizität keiner weiteren Untersuchung. *)

10 Da aber letztere ihrerseits die Bogen AB und Bf des mitt-
leren Exzenters (auf welchem der Epizykel umläuft) unter-
spannen, welche nicht gegeben sind^), da ferner, wenn wir
die Verbindungslinien NZE, NTZ, NHY ziehen, die Ex-
zenterbogen EZ und ZH wieder von den Ekliptikbogen ZT

15 und TY unterspannt werden, die natürlich gleichfalls nicht
gegeben sind, so werden erst die Differenzbogen KZ, AT, M Y
gegeben sein müssen''^, damit aus den (in der Ekliptik) sich
deckenden Bogen EZH und XTY das Verhältnis der Exzen-
trizität mit absoluter Grenauigkeit nachgewiesen werde. Nun

20 können aber auch diese (Differenz-) Bogen unmöglich genau
bestimmt werden, ohne daß man vorher das Verhältnis der
Exzentrizität (des Exzenters um das Zentrum 0) und das
Apogeum feststellt. Indessen werden sie sich (zunächst)
wenigstens annähernd bestimmen lassen, auch ohne daß diese

25 Punkte mit voller Genauigkeit vorher gegeben sind, weil die
Differenzen jener Bogen nicht groß ausfallen können. So

a) Dann wären die Winkel 0EN,0ZN, 0HN der Anomalie-
differenz und mit ihnen die Exzentrizität 0N ohne weiteres ge-
geben.

b) D. h. nicht gegeben in Graden des mittleren Exzenters, son-
dern nur als in der Ekliptik gemessene Bogen der scheinbaren
Intervalle.

c) Es sind die in der vierten Spalte der Anomalietabelle (Heib.
S. 440) angesetzten Differenzen der Prosthaphäresis der Länge,
welche zu den Beträgen der dritten Spalte auf dem erdfernen
Halbkreis des Exzenters EEZ der gleichförmigen Bewegun«
zu addieren, auf dem erdnahen von ihnen zu subtrahieren sind
Vgl. Anm. 12.

Exzentrizität und Apogeum des Mars. 179

werden wir denn die Berechnung vorläufig unter der An-
nahnie durchführen, daß die Differenz (zwischen den Bogen
EZH und KAM) nicht wesentlich größer sei als die Differenz
zwischen den Bogen KAM und XTY.

I. Vorläufiger Nachweis der Exzentrizität und des Apogeums.

Der Exzenter des gleichförmigen Laufes*^ des Mars sei 6
der Kreis ABT; A sei angenommen als der Punkt der ersten Hei 325
Opposition, B als der Punkt der
zweiten, f als der Punkt der dritten.

Innerhalb des Kreises sei als der / \ ~~i~Q^^==%£ 10

Mittelpunkt der Ekliptik, in wel- / \ / y^ \ Ha 217

chem sich unser Auge befin-
det, A angenommen. Nun ziehe
man durchweg von den drei Punk-
ten der Oppositionen Verbindungs- ^ / y" 15
linien nach dem Punkte des Auges

— im vorliegenden Fall die Geraden AA, BA, FA. Dann
verlängere man ausschließlich eine dieser drei Verbindungs-
linien bis an die gegenüberliegende Peripherie des Exzenters

— hier TA bis E. Zwischen den übrigen zwei Punkten 20
der Oppositionen ziehe man eine Verbindungslinie — in diesem
Fall AB. Alsdann ziehe man von dem Schnittpunkte, in
welchem der Exzenter von der verlängerten Geraden ge-
schnitten wird — hier von E — Verbindungslinien nach den
übrigen zwei Punkten der Oppositionen — hier EA und 25
EB — und fälle auf die von den genannten zwei Punkten
nach dem Mittelpunkt der Ekliptik gezogenen Verbindungs-
linien Lote — hier auf AA das Lot EZ, und auf BA das Hei 326
Lot EH. Endlich fälle man noch von dem einen der ge-
nannten zwei Punkte ein Lot auf die Verbindungslinie, welche 30
von dem andern dieser Punkte nach dem auf dem Exzenter

a) Es ist zu beachten, daß dieser Exzenter an der vorigen
Figur mit EZH und der Mittelpunkt der Ekliptik mit N be-
seichnet wurde. Es entsprechen daher die Punkte A, B, f den
Punkten E, Z, H der vorigen Figur.

12'

180 Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

liegenden überzähligen Punkt gezogen worden war — hier
von A aus auf BE das Lot A0.

Wenn wir an der Figur dieser Art die gegebenen Vor-
schriften immer einhalten, so werden wir finden, wir mögen
5 sie auf diese oder jene Weise erfüllen, daß bei Einsetzung
der Zahlen dieselben Verhältnisse herauskommen. Der weitere
Gang des Beweises wird sich, von den für den Mars als be-
kannt vorausgesetzten Bogen ausgehend, folgendermaßen ge-
stalten.

10 A. 1. Da der Exzenterbogen Bf der (vorläufigen) An-
na 218 nähme nach (S. 178,6) 93^44' der Ekliptik unterspannt,
so ist als Zentriwinkel der Ekliptik

/. BAr= 93°44' wie 4J2 = 360«,
= 187** 28' wie 2R = S60\
15 folglich /, EAH = 172^32' als Nebenwinkel,

mithin ft E H = 172° 32' wie © E H A = 360^
also s EH = 119^46' wie äAE = 120P.

Da ferner der (Exzenter-) Bogen Bf (an sich S. 178,4)
95*^28' beträgt, so ist als Peripherie winkel

20 /,BEr= 95°28' wie 2B = 360''.

Nun war /, BAE = 172°32' wie 2B = 360\ (s. Z. 15)
folglich ^EBH= 92» als Erg. zu 360'' (im Dreieck),
Hei 327 mithin &EH= 92*' wie©BHE = 360^

also sEH= 96^19' wie 7j BE = 120P.
25 Setzt man EH = 119^45' wie hAE = 120^,

so wird BE = 166^ 29' in demselben Maße.

2. Da der ganze Exzenterbogen ABT der Annahme nach
(S. 178,6.6) 161^34' der Ekliptik, d. i. die Summe der beider
(scheinbaren) Intervalle unterspannt, so ist (als Zentriwinkel
30 der Ekliptik)

/, A Ar = 161*^34' wie 4J? = 360«,
folglich /,AAE= 18°26' als Nebenwinkel,
= 36<>52' wie ^E = 360^
mithin 6EZ= 36<>52' wie ©AZE = 360^
35 also sEZ= 37^57' wie /iAE = 120^

Exzentrizität und Apogeum des Mars.

181

Da ferner der Exzenterbogen ABT (an sich S. 178, 3. 4)
in Summa 177^12' beträgt, so ist (als Peripheriewinkel) Ha 219

^ AEr = 177''12'

Nun war /.AAE= 36052'

folglich /. A A E = 1450 56'

mithin 6EZ = 145<>56'

also sEZ = 114^44'

wie 2B = Z60\

wie <2i2 = 360°,

als Erg. zu S60^ (im Dreieck), 5

wie ©EZA = 360<>,

wie hAE — 120^.

Setzt man
so wird

EZ =

AE =

37P57'

wie ;iAE = 120P,
in demselben Maße.

Hol 828

3. Da der Exzenterbogen AB (an sich S. 178,3) 81*^44' 10
beträgt, so ist (als Peripheriewinkel)

mithin

also

Setzt man

so wird

Nun war

folglich

Ferner ist
folglich

mithin

/, AEB= 81U4' wie 2E

6A0= 81H4'(

,&E0= 980 16')

sA0= 78^31'

,sE0= 90^45'

AE= 39P42'

A0= 25^58'
BE = 166^29'

360^
wie ©A0E = 36O°,

wie /iAE = 120P.

16

wie ÄAE = 120P,
und £0 = 30^2'.
in demselben Maße,

0B = BE-E0 = 136P27' wie A0 = 25P58'. 20

0B2 = 18615P'l6' und A0*= 674^^16',
ABä = 19289P'32' als Summe,

AE = 120P

AE= 39^42'. Hei 329

AB = 138^53' wie

4. Setzt man nun als Sehne, die den Bogen von 81^44' Ha 220

unterspannt,
so wird

wie exdni = 120^,
in demselben Maße,

sAB = 78P31'
( AE = 67P50'
1 AE = 22^44'
also e;c&AE = 21^41' (wie Q ABT = 360 ^'X
mithin 5 AE + 6 ABr = 198"53', (s. Z. 1)
folglich 6rE = 161" 7' als Supplementbogen,
also s r E = 118^22' wie exdm = 120^.

26

30

182

Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

B. Wäre die Sehne FE gleichgroß wie der Durchmesser
des Exzenters gefunden worden, so ist klar, daß auf ihr das
Zentrum des Exzenters liegen müßte,
und daß sich ohne weiteres das Ver-
hältnis der Exzentrizität heraus-
stellen würde. Da FE aber nicht
gleichgroß ausgefallen ist, sondern
das Segment EABF größer als einen
Halbkreis gemacht hat, so wird
offenbar das Zentrum des Exzenters
innerhalb*^ dieses Segments zu lie-
gen kommen.

Es sei demnach als dieses Zen-
trum der Punkt K angenommen.
15 Man ziehe durch K und A den durch beide Zentren gehen-
den Durchmesser AK AM und fälle von K auf FE das Lot
KNZ. Nach dem eben geführten Beweis war

Hei 330

20

mithin

srE = 118P22'
AE= 67^50'
rA= 50^32'

wie cZwAM = 120P;
als Differenz.

Nun ist (nach Eukl. III. 35) das aus den Geraden AE
und FA gebildete Rechteck gleich dem Rechteck, welches
aus den Geraden AA und AM gebildet wird, also

AErA=AAAM,
25 mithin AA •AM = 3427P'51'.

Es ist ferner (nach Eukl. II. 5) die Summe des aus AA
und AM gebildeten Rechtecks und des Quadrats von AK
Ha 221 gleich dem Quadrat des halben Durchmessers, d. i. gleich
dem Quadrat von AK (d. i. =3600^'), also
30 AA-AM + AK2 = AK».

Nun ist AK2 = 3600^'' - 3427^' 51' = 172^' 9',
folglich AK = 13P7' wie exhm AK = 60^.

a) Hier habe ich die Lesart des Cod. D wiedergegeben. Vgl.
Heib. S. 365, 5.

Exzentrizität und Apogeum des Mars. 133

Hiermit ist die Verbindungslinie zwischen den Zentren
(der Ekliptik und des Exzenters) gefunden.

C. Es war nachgewiesen worden, daß (FE gleich 118^22',
also) die Hälfte von TE, d. i. (nach Eukl. IH. 5)

•■N^ ö9^1i;|wie^mAM = 120P, '

rA= 50^32'] Hei 331

folglich AN = TN - TA = 8^ 39' wie AK = 13^ 7'.

Setzt man 7^ AK = 120^,

so wird s AN = 79^ 8' in diesem Maße,

also ÖAN= 82*^30' wie ©ANK = 360^ 10

mithin /.AK N= 82*30' wie5i? = 360^

= 41° 15' wie 4B=Z60\

folglich &ME= 41*^15', weil AKN Zentriwinkel.

Nun ist 6rM£= 80'>34' als '/^ & TEE, (S. 181,32)
folglich feriV\= 39^9' als Differenz. 15

Hiermit ist zunächst der (Exzenter-) Bogen gefunden,
welcher

a) die Entfernung des Ortes der dritten Opposition
V^2^34') bis zu dem Perigeum (M) mißt. Weiter- ergibt
jich 20

b) die Entfernung des Ortes der zweiten Opposition
.^128'^ 50') bis zu dem Apogeum (A). Da (S. 178, 4) der
Vnnahme nach

&Br=* 95'^28' (und 5 TM = 39° 19'),
so ist &BA = 180°-[&Br-}-5rM], 25

= 45°13'.

c) die Entfernung des Ortes der ersten Opposition (1721°)
'is zu dem Apogeum. Da (S. 178, 3) der Annahme nach

& A B = 81U4' (und & B A = 45°13'),
SO ist &AA = 6AB-&BA, 30

= 36°31'.

184

Zelintes Buch. Siebentes Kapitel.

II. Nachweis der Differenzbogen.

Die vorstehend gefundenen Bo-
gen sollen gegeben sein. Die aus
ihnen sich ergebenden Differenzen
mit den für jede Opposition ge-
suchten Ekliptikbogen wollen wir
nun auf folgendem Wege zu er-
mitteln suchen.

A. Es sei aus der oben vorge-
legten Figur der drei Oppositionen
die Zeichnung der ersten Oppo-
sition für sich allein herausgeho-
ben. Nachdem man noch die Ver-
bindungslinie AA gezogen, fälle
16 man von den Punkten A und N auf die Verlängerung von
A0 die Lote A0 und NX.

1. 6EE= 36«31', (s. S. 183,31 &AA)

folglich /.E0== 36031' wie 4^ = 360^

= 73<> 2'

20 folglich auch /.A 00= 73" 2'

&A0= 73« 2'

,& 00 = 106° 58'

sAct)= 71^25'

,s00= 96^27'

mithin

Hei 333

26

also^
Setzt man

so wird

Nun ist
mithin

wie ^J^ = 360^
als Scheitelwinkel,

wie © Act) 0 = 360 ^
wie ÄA0 = 12O^.

A0= 6^33' 30" wie erc/^w AA = 60^,

(als Va-ÖN, vgl. S. 182,32)

Act)= 3P54' und 00 = 5^16'.

AA2-A02 = A(t)2,
A0= 59^52' in demselben Maße.

30

2. Es ist ferner (weil 0A = AN)

0X = 00 1

NX=2A0j

(Eukl. VI. 2. 4)

mithin j AX = A0 -F OX = 65P 8' i ^^.^ ^^ ^ ,,p).
, l NX(=2A0) = 7P48'J ^

Exzentrizität nnd Apogenm des Mars.

185

(Nun ist

ax« + nx2=anO

mithin

hkn= 65^36' in demselben Maße.

Setzt man

;jAN = 120P,

so wird

sNX= 14^16' in diesem Maße,

also

6NX= 13H0' wie eNXA = 360°,

folglich l_

NAX= 13« 40' wie <2i2 = 360».

irdj

so wird

(Nun ist
mithin

in diesem Maße.

ÄNE = 120P,
sNX= 13^10'
6NX= 12«36'
12*36'

in diesem Maße,
wie ©NXE = 360»,
wie 5J? = 360^

10

3. Setzt man nun, wie oben (in dem Maße von AA = 0E) Ha 22s
nachgewiesen,

N X = 7P 48' wie exhm 0 E = 60^,
X0 = 2<i)0 =10^32'!
XE = X0 + 0E = 7OP32']

XE2-}-NX2 = NE')
ÄNE= 71^ in demselben Maße.

Setzt man

so wird

mithin

also ^NEX

Nun war /,NAX= 13«40' wie 5i^ = 360^
folglich /.ANE= 1» 4' als Differenz, (Eukl. I.
= 0°32' wie 4B = Zm\
So groß ist also auch der Ekliptikbogen KZ.

B. Es sei die ähnliche Figur
mit der Zeichnung der zweiten
Opposition vorgelegt.

1. 6ZZ = 45n3',

(8. S. 183,26 6BA)
mithin /_Z0Z = 45"13'

wie 4JR = 360°,
= 90<»26'

wie 5.B = 360»;
Folglich /_ A00 = 9O''26'

mithin

als Scheitelwinkel,
6Acl> = 90°26'
,6 00=89<>34'

wie ©A00 = 36O°,

15

Hei 334

20

186 Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

^^^\ ,5 00 = 84^32'/

Hei 835 Sotzt man A0= 6^ 33' 30" wie exhm AB = 60^ ^
Ha 224 so wird A0 = 4^39' und cj) 0 = 4^38'.

6 Nun ist AB'-Act>2 = Ba)2,

mithin 60 = 59^49' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil 0A = AN)

(t)X = (t>0 1

NX = 2Ac|>} (Enkl.Vl.2.4)

10

mithin! BX = BO + <1>X = 64P27'j ^^.^ ^b = 60P).
'"( NX(=2AcD) = 9^18') ^ ^

(Nun ist BX2-j-NX«==BN')
mithin hBN= 69^ 6' in demselben Maße.

Setzt man ä B N = 120^

15 so wird sNX= 17^ 9' in diesem Maße,

mithin 6NX= 16» 26' wie © NXB = 360«,

folglich /,NBX= 16^26' wie5i? = 360«.

3. Setzt man, wie oben (in dem Maße von AB = 0Zj
nachgewiesen,

20 NX = 9^18' wie exhm QZ^QO"^,

so wird! XÖ = 2CJ)0 = 9P16'1 .^ ^.^^^^ ^^ß^

1 XZ = X0 4- 02 = 69^16')

(Nun ist XZHNX' = NZ2)

mithin /jNZ= 69^52' in demselben Maße.

25 Setzt man 7^NZ = 120P,

so wird sNX= 16^ in diesem Maße,

mithin 6NX= 15»20' wie © NXZ = 360°,

also /,NZX= 15<>20' wie ^i? = 360^

Hei336 Nun war /,NBX= 16°26' wie5J^ = 360^

30 folglich /, BNZ= 1''6' als Differenz, (Eukl. I. 32 )

= 0''33' wie 4B = S60\
So groß ist also auch der Ekliptikbogen AT.

Exzentrizität und Apogeum des Mars.

187

mithin

also

mithin

ct>X = 54P47'| (^ieAr=60P).
= 8^18'] ^ ^

10

Bei der ersten Opposition hatten wir den Bogen KZ mit
0^32' gefunden. Es ist demnach klar, daß das theoretisch Ha 225
auf den Exzenter bezogene erste Intervall (EZ) um die
beiden Bogenstücke (KZ + AT), d. i. um 1^5', größer sein
muß als das scheinbare (KA = 67^50') und somit 68^55' 5
betragen wird.*^

C. Es sei nun auch die Figur der
dritten Opposition vorgelegt.

1. 6nH= 39»19',

(s. S. 183, 15 b TM)
folglich /_n0H= 390 19'

wie 4i? = 3600,
= 78« 38'

wie 5J2 = 360^

6Act)= 78*^38' ^
,6cD0==lOl<'22'i

wie ©A0 0 = 360°,

j sA0= 76P 2'i
\ ,s00= 92^50')

wie /iA0 = 12OP.

Setzt man vbl A0 = 6^ 33' 30" wie exhm A r= 60^,
so wird A<|) = 4P9' und 00 = 5^4'.

Nun ist Ar2-A<t)*=r0*,
mithin r0-= 59^51' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil 0A = AN)

<t)X = cD0 )

NX = 2Act>} (Enkl.VI.2.4)

rx = rcD-

N X = 2A0

15

Hei 337

20

a) Der Exzenterbogen EZ des mittleren Laufs (s. Fig. S.177),
JT'elcher in der Ekliptik gemessen unter dem /.ZNT erscheint,
'auß um die beiderseitigen Differenzbogen KZ und AT größer

rscheinen als das unter dem L K N A erscheinende erste Inter-

all AB.

188 Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

(Nun ist rXHNX2= TN^)

mithin hrN= 55^25' in demselben Maße.

Setzt man 7i r N = 120^,

so wird 5NX= 17^59' in diesem Maße,

also 6NX= 17« 14' wie ©NXr=360«,

folglich /.NrX= 17° 14' wie 2B = 360".

1

Ha 226 3. Setzt man, wie oben (in dem Maße von Ar=0H)

nachgewiesen,

N X = 8P 18' wie exhm 0 H = 60^,

10 .^f X0 = 200 =10^8']. ,. ,r o

so wird^ „ m diesem Maße.

1 XH = 0H-X0 = 49P52')

(Nun ist XH^ + NX2 = NH2)

Hei 338 mithin /iNH= 50^33' in demselben Maße.

Setzt man Ä N H = 120^,

15 so wird sNX= 19^42' in diesem Maße,

also feNX= 18" 54' wie ©NXH = 360»,

mithin /_NHX= 18»54' wie5ü; = 360*.

Nun war /.NrX= 17''14' wie^i<: = 360^

folglich /, TN H= lUO' als Differenz, (Eukl. I. 32)

20 = 0«50' wie 4iü = 360<>.

So groß ist also auch der Ekliptikbogen MY.

Bei der zweiten Opposition hatten wir den Bogen AI
mit 0^ 33' gefunden. Es ist demnach klar, daß das theo-
retisch auf den Exzenter bezogene zweite Intervall (Z.H]
25 um die beiden Bogenstücke (AT-f- MY), d. i. um 1*^23'
kleiner sein muß als das scheinbare (AM = 93^44') unc
somit 92"2l' betragen wird.*)

III. Wiederaufnahme des Beweisverfahrens.
A. Unter Einsetzung der für die beiden (scheinbaren'
30 Intervalle gewonnenen Ekliptikbogen (XT und TY) und dei

a) Der Exzenterbogen des mittleren Laufs ZH (s. Fig. S. 177)
in der Ekliptik von dem /_ TNY gemessen, muß um die beider
seitigen Differenzbogen AT und MY kleiner erscheinen als das
unter dem ^ANM erscheinende zweite Intervall Bf.

Exzentrizität und Apogeum des Mars. 189

auf dem Exzenter (für die beiden periodischen Intervalle)
natürlich wieder von vornherein gegebenen Bogen (EZ und
ZH) nahmen wir das oben (S. 179) erklärte Verfahren (I),
mit welchem wir das Apogeum und das Verhältnis der Ex-
zentrizität nachweisen, wieder auf und fanden folgende End- 5
ergebnisse, auf deren Mitteilung wir uns beschränken, um
nicht durch Wiederholung derselben Beweisgänge den Kom-
mentar zu stark zu belasten. Wir erhielten

1. Die Verbindungslinie zwischen den Zentren Hei 339
AK = 11^50' wie exhm = 60^ (statt 13^7' S. 182,32); 10

2. die Entfernung von dem Orte der dritten Opposition
bis zum Perigeum, d. i.

exbrN\ = A6^S3' (statt 39°19' S. 183,15).
Hieraus ergibt sich weiter Ha 227

3. e:c&BA = 38<>59' (statt 45^3' S. 183,26), 15

4. exbAA = 4:2H6' (statt 36<^31' S. 183,3i).

B. Dadurch, daß wir nun wieder diese Werte bei den
Nachweisen (II ABC) für jede Opposition einsetzten, fan-
den wir schließlich die genauen Größenbeträge eines jeden
der gesuchten (Differenz-) Bogen, und zwar 20

1. &KZ = 0«28' (statt 0°32' S. 185, 20),

2. 6AT=0«28' (statt 0^33' S. 186,3i),

3. &MY = OHO' (statt 0«50' S. 188,2o).

Nun addierten wir die Beträge für die erste und die zweite
Opposition und fügten die erhaltene Summe 0^56' zu den 25
67^50' des Ekliptikbogen s (KA) des ersten (scheinbaren)
Intervalls. Somit erhielten wir das theoretisch auf den Ex-
zenter bezogene Intervall (EZ) genau mit 68^46' (statt
68^^55' S. 187,5).

Ebenso addierten wir die Beträge für die zweite und die 30
dritte Opposition und zogen den erhaltenen Betrag 1^8' ab
von den scheinbaren 93^44' des Ekliptikbogens (AM) des
zweiten Intervalls. Somit fanden wir wieder das theoretisch
auf den Exzenter bezogene Intervall (ZH) genau mit 92^36'
(statt 92^21' S. 188,27). 35

190

Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

C. Von diesen Werten ausgehend, schritten wir schließ-
lich unter nochmaliger Anwendung desselben Beweisver-
fahrens (I) zu der endgültig genauen Bestimmung des Ver-
hältnisses der Exzentrizität und des Apogeums und fanden

Hei 340 1. vblAK = 12^ wie exhm AK = &0^ (statt 11^50' S. 189, lo),

6 2. exbrN\ = W21' (statt 46<'33' S. 189,13),

3. exbBA = AOm' (statt 38«59' S. 189,15), (s. Fig. S. 182)

4. ea;6AA = 41<>33' (statt 42«45' S. 189,16).

IV, Probe der Endergebnisse.

Auf demselben Wege werden
wir schließlich klarlegen, daß die
durch die Beobachtung gewonne-
nen scheinbaren Intervalle
mit den vorstehend ermittelten
zahlenmäßigen Beträgen in Ein-
klang gefunden werden.

A. Es sei die Figur der ersten
Opposition vorgelegt, beschränkt
auf den Exzenter EZ, auf wel-
chem sich jederzeit der Mittel-
punkt des Epizykels bewegt.*^

1. Es ist (s. oben Z. 8 &AA)

/.A0E = 41^33' wie 4R = S60\
= 83« 6' wie 5i2 = 360^
25 folglich auch /_A00 = 83° 6' als Scheitelwinkel,

mithin

also

30 Setzt man
Hei 341 so wird

&A<I) = 83° 6'j

,2,cD0 = 96«54'i

sAcD = 79^35'

,5 00 = 89^50'
A0= 6^ wie Ä7wAA = 60P, (s. Z. 5)
Act)= 3^58' 30'' und 00 = 4^30'.

wie ^AcD0 = 36O°,

wie /iA0 = 12OP.

a) Der hier mit EZ bezeichnete Exzenter ist an der Haupt-
figur S. 177 der mittelste Kreis, an dem die scheinbaren örter
der drei Oppositionen mit A, B und f bezeichnet sind.

Exzentrizität und Apogeum des Mars.

191

Nun ist AA2-Aa)2=. A02,
mithin A0 = 59^50' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil 0A = AN)

NX = 2Act>l (Enkl. VI. 2. 4) ,

mithin! AX = Aa> + 0X = 64P2O;| (^^^ ^^^,,p).
mixnin| NX(=2Act)) = 7^57'] ^ ^

(Nun ist AX2 + N X2 = N A^)
mithin hNh= 62^52' in demselben Maße.

Setzt man hH^ = 120^ ^ ^

so wird sNX= 14^44' in diesem Maße,

mithin 6NX= 14« 6' wie © NXA = 360^^

also ^NAX= 14" 6' wie<2jB = 360^

= 7° 3' wie 4jB = 3600.

Nun war /,A0E= 41°33' wie4J2 = 360^ 15

folglich /,ANE= 3403O' als Differenz. Ha 229

Das ist der Winkel des schein-
baren Ortes, um welchen der
Planet bei der ersten Opposition
vor dem Apogeum stand. 20

B. Es sei die entsprechende Hei 342
Figur der zweiten Opposition
vorgelegt.

1. Es ist (s.S. 190, 7 öBA)
der Winkel des mittleren Laufs 25
des Epizykels*^

/.B0E = 4OO11' wie4jB = 360»,
= 80^22' wie 3B = ^60\
'olglich auch /.N0X = 80^22' als Scheitelwinkel,

a) Insofern der Epizykelmittelpunkt von der Leitlinie 0B
luf dem die Anomalie bewirkenden Exzenter gleichförmig her-
I imgeführt wird.

192

Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

Hei 343
11

15

mithin

also

Setzt man
so wird

Nun ist
mithin

6 AO = 80''22'

,6 00 = 99° 38'

sA<t> = 71^26'

,5 00 = 91^41'

wie © AO0= 360",
wie hAQ = 120^.

A0= 6^ wie hm AB = 60^\

A0= 3^52' nnd 0-0 = 4^35'.

AB*-A(t)* = B02,
80 = 59^53' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil 0A = AN)

NX = 2A0} (ß-kl. VI. 2. 4)

BX =B0 + 0X
NX(=2A0)

BXHNX2 = NB2)
7i N B = 64^56' in demselben Maße.

mithin

(Nun ist
mithin

-'^y\ (wieAB = 6O^0.
= 7^44'] ^ ^

Setzt man /i N B = 120^,

so wird sNX= 14^19'

mithin &NX= 13H2'

also /_NBX= 13042'

20 == 6*51'

Ha 230 Nun war /.B0E= 40» 11'

folglich /, B N E = 33° 20'

in diesem Maße,
wie © NXB = 3600,
wie ^E = 360o,
wie 4B = U0\

wie 4i? = 3600,
als DiflFerenz.

Das ist der Winkel des scheinbaren Ortes. Demnach lag
der scheinbare Ort des Planeten bei der zweiten Opposition

25 ebensoviel Grade hinter dem Apogeum. Nun war (S. 191,16)
nachgewiesen, daß der Planet bei der ersten Opposition
34^30' vor dem Apogeum stand. Folglich beläuft sich das
Intervall von der ersten Opposition bis zur zweiten in Über-
einstimmung mit den durch die Beobachtung (S. 177,15)

30 festgestellten Graden in Summa auf 67^50'.

C. Es sei nun ebenso die Figur der dritten Opposition
vorgelegt.

Exzentrizität und Apogenm des Mars.

193

1. Hier ist (s. S. 190,6 fo TM) der
Winkel des gleichförmigen Laufs des
Epizykels*' E\

wie 4E = 360",
= 88*42'

wie 4J? = 360^

f 6A0 = 88U2'
[ ,6 00 = 91*18'

wie © AcJ)0 = 36O
j sA0 = 83i'53'
1 «00 = 85^49'

mithin

also

Hei 344

wie /<A0 = 12OP.

Setzt man
so wird

Nun ist
mithin

A0= 6^ wie ex/iwAr=60^

A0= 4P 11' 30" und 00 = 4^17'.

Ar«

rcD

A0ä=^cD^

59P5I' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil 0A = AN)

(t)0 = (|)X 1

NX = 2AC1>} (E-l^l.VI.2.4)

rX = rct)-0X = 55^34'
NX(=2A0) = 8^23'

rx2 + NX2 = rN2)

/irN= 56^12' in demselben Maße.

mithin '

(Nun ist
mithin

^'1 (wie Ar=:60P).
l'l ^ /

10

15

Ha 231

20

Setzt man /i r N = 120^,

so wird sNX= 17^65' in diesem Maße,

mithin &NX= 17^10' wie © NXr=360*,

also /,0rN= 17« 10' wie ^E = 360*,

= 8*35' wie 4J? = 360".

Nun war /, r0Z= 44*21' wie iE = 360*,

folglich ^rNZ= 52*56' als Summe.

So viel Grade lag demnach der scheinbare Ort des Pla-
sten bei der dritten Opposition vor dem Perigäum. Nun

I.) D. i. der Zentriwinkel des die Anomalie bewirkenden Ex-
»»nters um das Zentrum 0.

Hei 345

25

PtolemäuB, übers, t. Manitius. II.

13

194

Zehntes Buch. Siebentes Kapitel.

war (S. 192, 22) nachgewiesen, daß er bei der zweiten Op-
position das Apogeum 33^20' hinter sich hatte. Folglich
wurde die hieraus sich ergebende Differenz von (l80^ —
[52^56' 4- 33^20'] =) 93H4', d. i. der Betrag, welcher auf
5 das Intervall von der zweiten Opposition bis zur dritten
entfällt, mit den für das zweite Intervall durch die Beob-
achtung (S. 177, 16) festgestellten Graden wieder in Ein-
klang gefunden.

V. Lage des Apogeums.

10 Der Planet hatte, der Theorie nach auf der Geraden NT
stehend, bei der dritten Opposition den durch die Beob-
achtung (S. 176, 27) festgestellten Ort ^ 2^34' inne. Nun
wurde als Zentriwinkel der Ekliptik /.rNZ = 52^56' wie
4J? = 360^ nachgewiesen; folglich ist klar*\ daß das Peri-

15 geum der Exzentrizität, Punkt Z, in /§ 25^30' lag und das
Apogeum diametral gegenüber in 69 25^30'.

20

Ha 232

VI. Feststellung der mittleren Länge und der Anomalie.

Wenn wir um den Mittel-
punkt r den Epizykel KAM
des Mars beschreiben und die
Gerade QT (bis M) verlän-
gern, so ergibt sich zur Zeit
der dritten Opposition

l.die Entfernung des mitt-
leren Ortes des Epizykels von
dem Apogeum des Exzenters
(um 0)mit (1800-44^21'=)
135 '39', weil LfeZ, wel-
cher (bis zum Perigeum) die Ergänzung zu 180^ bildet,
30 (S. 190, 6) mit 44^21' nachgewiesen worden ist;

2. die Entfernung des mittleren Ortes des Planeten von
dem Apogeum M des Epizykels, d. i. der Bogen MK, mit
(180^— 8035'=) 171<^25',weil(S. 193,25) L ©TN = 8^35'

25

a) Weil 52<'56'-27<'26' des Schützen = S' 25<^30'.

Zehntes Buch. Achtes Kapitel. 195

wie 47? = 360^ nachgewiesen worden ist. Da dies ein Zentri-
winkel des Epizykels ist, so muß auch der Bogen KA, d. i.
der Bogen von dem Planeten in K bis zu dem Perigäum A,
gleich 8^35' in demselben Maße werden; folglich beträgt
der Bogen von dem Apogeum M bis zu dem Planeten als 5
Ergänzung zu 180^, wie oben gesagt, 171^25'.

So ist uns denn einschließlich der anderen Ergebnisse klar
geworden, daß zur Zeit der dritten Opposition, d. i. im
iweiten Jahre Antonius am 1 2/1 3. ägyptischen Epiphi 2 Äqui-
aoktialstunden vor Mitternacht (27. Mai 139 n. Chr. 10^ 10
ibends), der Planet Mars in sog. mittlerer Länge von Hei 347
lern Apogeum (59 25^30') des Exzenters 135^39' entfernt
tand*\ während er in Anomalie von dem Apogeum des
Spizykels 171" 25' entfernt war, was nachzuweisen war.

Achtes Kapitel.

Nachweis der zahlenmäßigen Größe des Epizykels

des Mars.

Da es unsere nächste Aufgabe ist, das zahlenmäßige Größen- Ha 233
Verhältnis des Epizykels nachzuweisen, so wählten wir für 16
•lesen Zweck eine Beobachtung, welche wir ungefähr drei
Oage nach der dritten Opposition, d. i. im zweiten Jahre
lüitonins am 15/16. ägyptischen Epiphi 3 Äquinoktial-
tunden vor Mitternacht (30. Mai 139 n. Chr. 9^ abends) 20
m Diopter angestellt haben: nach Maßgabe des Astrolabs
lüminierte ^ 20°, während der mittlere Ort der Sonne da-
lals^^ TT 5^27' war. Als der Stern in der Kornähre (Spika)
lit Bezug auf seinen eigenen Ort (np 26^40') anvisiert
Tirde, ergab sich als der scheinbare Ort des Mars .;M°36'. 25
leichzeitig hatte der Planet von dem Zentrum des Mondes
der Richtung der Zeichen einen scheinbaren (östlichen)

a) Der mittlere Ort war demnach der scheinbare Ort (S. 176
) /2O34' + /.0rN, d.i. / 11»9'.

b) Für 885*314^9^ ergibt die Nachprüfung 77 5027' 31", d.i.
1 Apogeum, wo die Anomaliedifferenz = 0.

13*

196 Zehntes Buch. Achtes Kapitel.

Abstand von ebenfalls 1*^36'. Es war damals*^ (nach den
Mondtafeln berechnet)
der mittlere Ort des Mondes t 4*^20'

Hei 348 seine Entfernung in Anomalie vom Apogeum

5 des Epizykels 92« O'

demnach der genaue Ort n\ 29^20'

- der scheinbare Ort^^ ^ 0« 0'.

Mithin stand auch von dieser (rechnerischen) Seite be-
trachtet damals der Mars im Einklang mit der durch die
10 Anvisierung gefundenen Stelle in / 1^36', so daß natürlich
seine Entfernung von dem Perigeum gegen die Richtung
der Zeichen (von ^ 25®30' bis ^ 1^36') bS^o^' betrug.

Nun beträgt in der Zwischenzeit (von 2^23^) zwischen
der dritten Opposition (27. Mai 10^ abends) und dieser Be-
15 obachtung seine Bewegung in Länge l'^32', in Anomalie
Ha 234 etwa 1^21'.*') Wenn wir diese Beträge zu den Ortern, welche
wir für die zugrunde gelegte Opposition (S. 194, 28.33)
nachgewiesen hatten, addieren, so werden wir zur Zeit dieser
(späteren) Beobachtung die Entfernung des Mars von dem
20 Apogeum des Exzenters in Länge mit (135^39' + 1^32'=)
137^11' und die Entfernung von dem Apogeum des Epi-
zykels in Anomalie mit (171<^25' -f 1« 21' ==) 172<>46' er-
halten.

Diese Zahlen sollen gegeben sein. Der den Mittelpunkt
25 des Epizykels tragende Exzenter sei der Kreis ABT um das
Zentrum A und den Durchmesser AAP, auf welchem als
der Mittelpunkt der Ekliptik der Punkt E und als das Zen-
trum der größeren Exzentrizität der Punkt Z angenommen

a) Die Nachprüfung ergibt als den mittleren Ort in Länge
/ 4^33' 21", in Anomalie 92^2' 30" (vgl. S. 147 Anm. »)). Der
Mondstand beidermittlerenElongationvonl78°55' kurz vor der
Phase des Vollmondes. Da die Differenz der einfachen Ano-
malie bei 92" Entfernung vom Apogeum ihrem negativen
Maximum nahekommt, so ist sie mit rund — 5" angenommen.

b) Da der Mond östlich des Meridians stand, so wirkte die
Längenparallaxe in der Richtung der Zeichen.

c) Die Nachprüfung ergibt für 2^23'' in Länge 1033'1", iu
Anomalie 1"21'55".

Epizykel des Mars.

197

sei. Nachdem man um B den Epizykel H0K beschrieben,

ziehe man die Geraden ZKBH, E0B, AB und fälle auf

die Gerade ZB die

Lote EA, AM. Der

Planet soll in Punkt

N des Epizykels

angenommen sein.

Nun ziehe man noch

iie Verbindungs-

inien E N, B N und

"alle auf die Ver-

ängerung von EN

ron B aus das Lot

1. Da die (mitt- ^,
ere)Entfernung des
*laneten von dem,Apogeum des Exzenters 137^11' beträgt,
0 ist als die Ergänzung zu 180^

/L BZr = 42'>49' wie 4i? = 360^

Hei 349
5

10

15

mithin

= 85° 38'
6AM = 85''38'
,6MZ = 94°22'

, ( s AM = 81^34']
^^^^1 ,.MZ = 88i^ l'l

wie ^jB = 360";

20

wie ©AMZ = 360«,

wie 7iAZ = 120P.

Ha 235

wie exhm A B = 60^,

Hei 350

und MZ = 4i'24'.

26

Setzt man vhlLT.— 6^
so wird AM = 4^5'

Nun ist AB^-AM2=BM2,
mithin BM = 59^52' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil ZA=AE)

BA = BM-MA = 55^
EA(=2AM) = 8^:
BA2-f-EA2 = BE0
7iBE= 56P 4' in demselben Maße.

ithin j

mithin

(Nun ist
mithin

;'^^;j (wieAB = 60P).

30

35

198

Zehntes Buch. Achtes Kapitel.

Setzt man ;iBE=120P,

so wird sEA= 17^28' in diesem Maße,

also 5EA= 16''44' wie©EAB = 360^

folglich /,ZBE= 16^44' wie5JR=260^

5 3. Es beträgt der Annahme (S. 196, 12) nach als der
Winkel, um welchen der scheinbare Ort des Mars vor dem
Perigeum f lag,

/.rE== 53<'54' wie 412 = 360 ^
= 1070 48' wie 2B = 3G0\

10

Hei 351
15

Nun war /,ZBE= 16'44'

ferner /. BZr= 85° 38'

mithin /, TE B = 102° 22'

folglich /, BEE= 5° 26'

mithin &BE= 5° 26'

also sBZ= 5P41'

wie 2R = S60\

wie 2R = 360°nachAnnahme,

als Summe,

als Differenz, (/, TEE -/^TEB)

wie © BEE = 360°,

wie /iBE = 120P.

Setzt man
so wird

BE= 56^ 4' wie exhm = 60^ j (s. S. 197, 35)
BZ= 2^39' in diesem Maße.

Ha 236 4. Da der Punkt N von dem Apogeum H des Epizykels
172^46', mithin von dem Perigeum K 7^14' entfernt lag,
20 so ist

/,KBN= 7°14' wie 4i2 = 360°,
= 14° 28' wie 3B = S60\

Nun war /^KB0 = 16°44' wie 5E = 360°; (s. Z. 10)
mithin /.NB0= 2° 16' als Differenz.

25 (Es war ferner /,BEZ= 5° 26' wie 2B = S60'^)

folglich ^HNB= 7° 42' als Summe,

mithin fcB = = 7°42' wie © BEN = 860°,

also sBE= 8^ 3' wie /iBN = 120P.

30

Setzt man
so wird

BE= 2P39'
BN = 39^30'

wie exJim
als ephm.

601',

Folglich beträgt das Verhältnis des Exzenterhalbmessers
zu dem Epizykelhalbmesser 60p: 39^30', was zu finden al?
Aufgabe gestellt war.

Zehntes Buch. Neuntes Kapitel. 199

Neuntes Kapitel.
Korrektion der periodischen Bewegungen des Mars.

Zum Zweck der Korrektion der mittleren periodischen Hei 352
Bewegungen wählten wir aus der Zahl der alten Beobach-
tungen eine, nach welcher zuverlässig versichert wird, daß
im 13*^" Jahre der Zeitrechnung des Dionysius, am 26. Ägon*^
früh, der Mars den nördlichen Stern (ß) in der Stirn des 5
Skorpions scheinbar bedeckte.

Die Zeit der Beobachtung fällt in das 52*® Jahr seit dem
Tode Alexanders, d. i. in das 476*® Jahr seit Nabonassar, Ha 237
auf den 20/21. ägyptischen Athyr frühmorgens (18. Januar
272 V. Chr. 6^ früh). Zu diesem Zeitpunkt^) finden wir die 10
Sonne nach mittlerem Lauf in /t 23^54', während der Ort
des nördlichen Sterns (ß) in der Stirn des Skorpions nach
unseren Anfangspunkten in IT) 6^20' durch die Beobachtung
festgestellt worden ist. Da die 409 Jahre von der Beob-
achtung bis zum Regierungsantritt Antonius (476 bis 885 15
Nab.) einen Fortschritt der Fixsternsphäre von ungefähr 4'^ 5'
bedingen, so mußte zur Zeit der mitgeteilten Beobachtung
der (bezeichnete) Fixstern ((3), und somit natürlich auch der
Mars, in 111 2^15' (d.i. 4^5' zurück) stehen. Da ferner zu
unserer Zeit, d.i. bei dem Regierungsantritt Antonius, das Hei 353
Apogeum des Mars in 6^25^30' lag, so mußte es zur Zeit 21
der Beobachtung in 6921^25' liegen. Somit ist klar, daß
der scheinbare Planet damals von dem Apogeum eine Ent-
fernung (6> 21^25' bis m 2^15') von 100'^ 50' hatte, wäh-
rend die mittlere Sonne von demselben Apogeum (6921^25' 25
bis ^ 23^54') 182*29', mithin von dem Perigeum natürlich
2^29' entfernt war.

Diese Zahlen sollen gegeben sein. Der den Mittelpunkt
des Epizykels tragende Exzenter sei der Kreis ABT um das

a) So mit Böckh statt 25. Ägon; s. Anm. 6.

b) Für 475^ 7 9d 18h ergibt die Nachprüfung nur ^^ 23''52'13".
Aber die Stunde 6^ früh wird nicht nur S. 202,32 durch die
Zwischenzeit bis zur dritten Opposition bedingt, sondern auch
S. 203, 12 durch die seit der Epoche verflossene Zeit.

200

Zehntes Buch. Neuntes Kapitel.

10

15

Zentrum A und den Durchmesser AAP, auf welchem als
der Mittelpunkt der Ekliptik der Punkt E und als das Zen-
trum der größeren
Exzentrizität der
Punkt Z angenom-
men sei. Nachdem
man um B den Epi-
zykel H 0 beschrie-
ben, ziehe man die
Verbindungslinien
ZBH, AB und
fälle von Z auf AB
das Lot ZK. Der
Planet soll in dem
Punkt 0 des Epi-
zykels angenommen sein. Nun ziehe man die Verbindungs-
Hei 354linie B0 und parallel zu ihr von E aus die Gerade EA,
Ha 238 auf welcher natürlich nach den früher (S. 175, l) gegebenen
Erläuterungen der Theorie nach der mittlere Ort der Sonne
20 liegen wird. Nachdem man noch die Verbindungslinie E0
gezogen, fälle man auf dieselbe (bzw. auf ihre Verlängerung)
von A und B aus die Lote A M und B N , sowie endlich von
A aus auf B N das Lot A Z , so daß die Figur A M N E ein
rechtwinkliges Parallelogramm wird.*)

25 1. Als der Winkel des scheinbaren Ortes des Planeten von
dem Apogeum aus, sowie (Zeile 29) als der Winkel des
mittleren Ortes der Sonne ist (s. S. 199, 24. 27)

/. AE0 = 100^50' wie 4i? = 360^
l rEA= 2^29' wie 4i2 = 360»;
30 mithin /,0EA= 81«39' wie 4i? = 3600,b)

= 163« 18' wie 5i^ = 360<',

a) Damit bei M ein rechter Winkel möglich werde, muß der
Epizykel an der Figur das gegebene Maß überschreiten. Die
Figur des Originals zeigt, daß dies bei einem kleineren Epizykel
nicht möglich ist Zur Fig. s. Anm. 9.

b) ^0EA = (18O«-/, AE0)+^ TEA, d. i. 790lO' + 2"29'.

Korrektion der Bewegungen des Mars. 201

folglich auch /, B0 E = 163« 18', (Eukl. I. 29)

mithin 6 BN = leS'^lS' wie © BN0 = 360^
also s BN = 118^43' wie 7^60 = 120^.9)

Setzt man ephm B 0 = 39^30' wie vblAE = 6^,

so wird B N = 39^ 3' in demselben Maße. 5

2. Es ist ferner (wie oben)

/. AE0 = 1OO^5O' wie 4jB = 360«,
= 201U0' wie 5i? = 360°;

folglich /, A EM = 158^20' als Nebenwinkel, Hei 355

mithin 5 AM = 158<'20' wie © AME = 360®, 10

also s AM = 117^52' wie hAE = 120^.

Setzt man AE= 6^' wie BN = 39i'3', (s. Z. 6) Ha 289

so wird AM= 5^54' in demselben Maße.

Nun ist AM = NE, (Eukl. I. 34)
• mithin B E = B N - N E = 33^ 9' wie exhm A B = 60^. 15

Setzt man hAB = 120^,

so wird sBE= 66^18' in diesem Maße,

mithin 6BE= 67<> 4' wie ©BEA = 360",

also /.BAE= 67'' 4' wie 2R = S60\

(Nun ist /.E AM = 180« wie^i? = 360») 20

mithin /.BAM = 247« 4' als Summe.

Nun war /, AEM = 158«20' wie 2E = SQ0\

mithin /,MAE= 21« 40' als Komplementwinkel,

demnach /, B A E = 225« 24' als Differenz, (/, BAM - /. MAE)

folglich /, BAA = 134«36' als Nebenwinkel, 25

Setzt man AZ= 6^ wie exhin AB = 60"^^ 30

so wird ZK= 5^32' und AK = 2^19';

mithin KB = AB - AK= 57^41'.

202 Zehntes Buch. Neuntes Kapitel.

(Nun ist KB2-f-ZKä = ZB2)
mithin 7^ZB= 57^57' in demselben Maße.

Setzt man hZB = 120^,

so wird sZK= 11^28' in diesem Maße,

6 also 6ZK= 10°58' wie eZKB = 360^

mithin /,ZBA= 10<^58' wie ^i? = 360<'..

Ha 240 Nun war /, BAA = 134<>36' wie ^J? = 360",
mithin /, BZ A = 145"34' als Summe,

= 72« 47' wie 4E = 860^

10 Folglich war zur Zeit der mitgeteilten Beobachtung dei
mittlere Ort des Planeten in Länge, d. i. der Mittelpunkt E
des Epizykels, von dem Apogeum (^ 21° 25') 72H7' ent-
fernt und befand sich somit in ^ 4^12'.

Nun ist in demselben Maße der Annahme nach (S. 199, 27'
15 mit 2*^29' der L FEA gegeben, welcher zusammen mit der
2B des Plalbkreises ABT (als mittlerer Ort der Sonne nacl
S. 174,15) gleich wird der Summe des /. BZA der mitt-
leren Länge und des /. H B 0 der Anomalie, d. i. der Bewe-
gung des Planeten auf dem Epizykel. Wir erhalten

20 {6ABr-f t rEA = /.BZA+^ HB0

180H 2«29'= 72»47'4- t HB0)
Hei 367 somit /, H B0 = 109^42' als Differenz.

Folglich war zu derselben Zeit der Beobachtung der Planel

in Anomalie vorstehende 109^42' von dem Apogeum des

25 Epizykels entfernt, was zu finden als Aufgabe gestellt war

Nun war von uns (S. 194,33) der Nachweis geführl
worden, daß zur Zeit der dritten Opposition der Planet in
Anomalie von dem Apogeum des Epizykels 171^25' ent-
fernt war. Er hat demnach in der zwischen den beiden Be-
30 obachtungen (vom 20/21. Athyr 476 Nah. 6^ früh bis zum
12/13. Epiphi 886 Nah. 10^ abends) verflossenen Zeit, welche
410 ägyptische Jahre und (10*+ 210*^ -|- 11*^ + 16^==)
23173 '^^g^ oliiie merklichen Fehler beträgt, nach Abzug

Zehntes Buch. Zehntes Kapitel. 203

ganzer Kreise 6 1^43' zugesetzt.^^ Das ist rund^^ der Überschuß,
welchen wir in den von uns bearbeiteten Tafeln der mittleren
Bewegungen des Mars finden, weil der tägliche Betrag der Bewe-
gung auf Grund des vorliegenden Materials von uns dadurch
festgestellt worden ist, daß mit der Anzahl der aus der Zwischen- 5
zeit gewonnenen Tage dividiert wurde in die aus der Zahl
der Kreise und dem Überschuß gewonnenen Grade.

Z ehntes Kapitel.
Epoche der periodischen Bewegungen des Mars.

Es beträgt wieder die seit dem Mittag des 1. ägyptischen Ha 24i
Thoth des ersten Jahres Nabonassars bis zu der (S. 199, 7) Hei 358
mitgeteilten Beobachtung (20/21. Athyr 476 Nah. 6^ früh) 10
verflossene Zeit ohne merklichen Fehler 475 ägyptische Jahre
und (60'i+ 19^4- 18^=) 79^4 Tage. Diese Zeit umfaßt
an Überschuß 180U0' in Länge und 1#2'*29' in Anomalie.«)
Wenn wir diese Beträge von den beiden Ortern, welche nach
der Beobachtung (S 202, 13. 24) festgestellt worden sind, 15
d. i. von der Länge ::^ 4^12' und von den 109^42' in Ano-
malie zugehöriger Weise abziehen, so werden wir für den
Mittag des 1. ägyptischen Thoth des ersten Jahres Nabo-
nassars als Epoche der periodischen Bewegungen des Mars
erhalten: 20

1. in Länge (180^40' rückwärts von ^ 4^12') J ^"32'

2. von dem Apogeum des Epizykels in Anomalie '^^ 327^13'

3. für das Apogeum (der Exzentrizität) Ö 16° 40'.

a) Zum ganzen Kreis fehlten dem früheren Ort Seo** — 109 H2'
= 250*^18'; kommen hierzu 171"25', so ist von der Summe 421^43'
wieder ein ganzer Kreis abzuziehen, was 61^43' gibt.

b) Für 410'*231dl6'»ergibt die Nachprüfung in Länge 61 °42'6".
Zur Stunde 6^ früh der ersten Beobachtung vgl. S. 199, Anm. t)-

c) Für 475^ 79* 18»^ ergibt die Nachprüfung inLänge 180^38'43"
und in AnomaUe 142^28' 27", für 19^ in Länge genau 180*40',
in Anomalie 142*29' 36".

d) Addiert man zu der späteren Anomaliezahl 109^42' einen
ganzen Umlauf, um von der Summe 469*42' die von der Epoche bis
zur Beobachtung zurückgelegten 142*29' abziehen, d. i. rück-
wärts zählen zu können, so erhält mau 327*13'.

204 Elftes Buch. Erstes Kapitel.

An dieser Stelle wird letzteres natürlich liegen, weil der
Fortschritt der Apogeen in 475 Jahren 4^45' beträgt, und
weil (S. 199,22) das Apogeum des Mars der (zugrunde ge-
legten) Beobachtung gemäß in 6^ 21^25' lag.

Elftes Buch.

Erstes Kapitel.
Nachweis der Exzentrizität und des Apogeums des Jupiter.

He*i 360 } Nachdem die periodischen Bewegungen und Anomalien
6 des Planeten Mars und ihre Epochen nachgewiesen sind,
werden wir der Reihe nach für den Planeten Jupiter auf
die nämliche Weise dieselben Aufgaben in Angriff nehmen.
Zuerst stellten wir wieder zum Nachweis des Apogeums und
10 der Exzentrizität drei dem mittleren Ort der Sonne dia-
metral gegenüber eingetretene Oppositionen fest. Wir be-
obachteten an den astrolabischen Instrumenten

die erste im 17*®^ Jahre Hadrians am 1/2. ägyptischen
Epiphi 1 Stunde vor Mitternacht (17. Mai 133 n. Chr.
15 11^ abends) in ir^ 23^11'*);

die zweite im 21*®^ Jahre am 13/14. Phaophi 2 Stunden

vor Mitternacht (31. August 136 n. Chr. 10^ abends) in

)C 7^54'^);

Ha 244 die dritte im V^"^ Jahre Antonius am 20/21. Athyr 5 Stun-

20 den nach Mitternacht (8. Oktober 137 n. Chr. 5^ früh) in

y 14^23'«).

Die Zwischenzeiten betragen
zwischen erster und zweiter: 3*106*^23^;
zwischen zweiter und dritter: 1^ 37^^ 7^.

a) Für 879* SOO-^ 11^' ergibt die Nachprüfung als mittleren Ort
der Sonne H 23'' 12' 11".

b) Für 883'^42'^10'' ergibt die Nachprüfung als mittleren Ort
der Sonne i^' 7 ^52 '43".

c) Für 884*79*17^' ergibt die Nachprüfung als mittleren Ort
der Sonne ^tl 14<^23'30".

Exzentrizität und Apogeum des Jupiter. 205

Der scheinbare Lauf des Planeten beträgt in der
ersten Zwischenzeit (von m [23<* ll'bis)( 7^^ 54') 104^43';
zweiten Zwischenzeit (von )( 7^ö4'bisr 14ö23')36«29'.
Endlich beträgt der mittlere Lauf in Länge Hei sei

für die erste Zwischenzeit^) 99^55'; 5

für die zweite Zwischenzeit^) 33^26'.

Von diesen Intervallen ausgehend, haben wir nach der
far den Mars von uns entwickelten Methode zuerst den Nach-
weis der Verhältnisse geliefert, welche zu finden als Aufgabe
vorliegt, (zunächst) wieder unter der Annahme, als ob es sich nur 10
um den einen Exzenter (des gleichförmigen Laufs) handelte.

L Vorläufiger Nachweis der Exzentrizität und des Apogeums.

Der Exzenter sei der Kreis ABT;
A sei als der Punkt angenommen,

in welchem der Mittelpunkt des //f\^\\ \ 15

Epizykels bei der ersten Opposition
stand, B als der Punkt der zweiten
und r als der Punkt der dritten
Opposition. Nachdem man inner-
halb des Exzenters ABT den Mittel- \\( / \ y^ 20
punkt A der Ekliptik angesetzt,
ziehe man die Verbindungslinien
^A, BA, FA. Nach Verlängerung von TA bis E ziehe man
iie Verbindungslinien AE, EB, BA und fälle von E aus
iuf AA und BA (bzw. die Verlängerung) die Lote EZ und 25
^H, von A aus auf EB das Lot A0. Heises

A. 1. Da der Exzenterbogen Bf der* (vorläufigen) An-
aahme nach (oben Z. 3) 36^29' der Ekliptik unterspannt, Ha 245
so ist als Zentriwinkel der Ekliptik

/.BAT = 36» 29' wie 2E = SQ0\ 30
=72^58' wie 4J? = 360«,

a) Für 3*106*23'' ergibt die Nachprüfung 99°54'32".

b) Für 1* 31^ 1^ ergibt die Nachprüfung 330 26' 20".

206 Elftes Buch. Erstes Kapitel.

folglich auch /, EAH = 72<>58' (als Scheitelwinkel),
mithin 5 E H = 72« 58' wie © E H A = 360«,
also s EH = 71^21' wie hAE = 120^.

Da ferner der (Exzenter-) Bogen BT (S. 205,6) 33026'
6 beträgt, so ist als Peripheriewinkel

/.BEr= 33«26' wie -2E = 360«.
(Nun war ^ BAr= 72«58' wie 2B = U0'')
folglich /,EBH= 39« 32' als Differenz,
mithin 6EH= 39«32' wie ©EHB = 360«,
10 also sEH= 40P35' wie ÄBE = 120^

Setzt man EH= 71^21' wie 7iAE = 120P, (Z. 3)
so wird BE = 210^58' in demselben Maße.

2. Da der ganze Exzenterbogen ABT (S. 205, 2. 3) der
Annahme nach 141^12' der Ekliptik unterspannt, d.i. die

15 Summe der beiden (scheinbaren) Intervalle, so ist als Zen-
triwinkel der Ekliptik

/.A Ar =141« 12' wie 4i? = 360«,
Hei 363 =282« 24' wie 522 = 360«,

folglich /.AAE= 77« 36' als Nebenwinkel,
20 mithin 6EZ= 77«36' wie © EZA = 360«,

also sEZ= 75P12' wie äAE = 120P.

Da ferner der Exzenterbogen AB f (S. 205, 5. 6) in Summa
133^21' beträgt, so ist als Peripheriewinkel
Ha246 /, AEr = 133«21' wie ^^i? = 360«.

25 Nun war ^AAE= 77«36' wie 5E = 360«,

folglich /,EAZ = 149« 3' alsErgänzung zu 360«(im Dreieck),
mithin 6EZ = 149« 3' wie ©EZA = 360«,
also 5 EZ = 115^39' wie äAE=120P.
Setzt man EZ= 75^12' wie hAE=120^, (Z. 21)
30 so wird AE= 78^ 2' in demselben Maße.

3. Da der Exzenterbogen AB (S. 205,6) 99^55' beträgt,
so ist als Peripherie winkel

/AEB = 99«55' wie 5i2 = 360«,

35

mithin ! &A0 = 99«55'| ^.^ eA0E = 36O«,
i,6E0 = 8O« 5') ^

Exzentrizität und Apogeum des Jupiter.

207

also

Setzt man

so wird

Nun war

folglich

Ferner ist
folglich

mithin

f sA0= 91^52'

l,sE0= 77^12'

AE= 78P 2'

A0= 58^44'

BE = 210^58'

wie äAE = 120P.

Hei 364

wie /^AE = 120I^ (S. 206, so)
und E0 = 50^12'.
in demselben Maße,
0B = BE - E0 = 160^46' wie A0 = 59^44'
082 = 25845^' 55' und A02 = 3568P'4',
AB2 = 29413P'59' als Summe,

= 120P
78^2'

AB= 17lP 30' wie

|AE =
\ AE =

10

4. Setzt man als Sehne, die den Bogen (AB) von 99^55'
imterspannt,

s A B = 91^52' wie exdm = 120^, Ha 247

so wird I A F = 41^47' I ^^ demselben Maße, ^^

; also ex6AE = 40U5' (wie QkBr=360\

\ mithin & AE-f 6 ABr = 174«6', (s. S. 206, 22) Heises

also s rE= 119^ bO' wie exdm = 120"^.

B. Da das Segment EABf
deiner als ein Halbkreis ist
md deshalb das Zentrum des
Exzenters außerhalb dieses
jegments liegen muß, so sei
i*unkt K als dieses Zentrum
angenommen. Durch K und
\ ziehe man den durch die
>eiden Zentren gehenden
)urchmesser AK AM, fälle
^on K aus auf die Sehne f E
las Lot KN und verlängere
'S bis E. Nach dem eben-
fefiihrten Beweise war

5rE = 119P60'l
AE= 64^17']
mithin rA= 55^33' als Differenz

wie (^mAM = 120^

20

25

30

35

208 Elftes Buch. Erstes Kapitel.

Nun ist (nach Eukl. III. 35) das aus den Geraden AE
und TA gebildete Rechteck gleich dem Rechteck, welches
aus den Geraden AA und AM gebildet wird, also

AE.rA = AA- AM,
5 mithin A A • A M = 3570^' 66' wie dmAN\ = 120*'.

Hei 866 Es ist ferner (nach Eukl. 11.5) die Summe des aus AA
und AM gebildeten Rechtecks und des Quadrats von AK
gleich dem Quadrat des halben Durchmessers, d. i gleich
dem Quadrat von AK (d. i. = 3600^'), also
10 AAAM + AK2 = AK2.

Ha 248 Nun ist A K* = 3600P' - 3570^' 56' = 29^' 4',

folglich AK = 5^23' wie exhm AK = 60"^.

Hiermit ist die Verbindungslinie zwischen den Zentren
(der Ekliptik und des Exzenters) gefunden.

15 C. Es war nachgewiesen worden, daß (FE gleich 119^50',
also) die Hälfte von TE, d. i. (nach Eukl. III. 5)

TN = 59^65'

, wie dm AM = 120^,
TA = 55^33'

folglich AN = rN-rA = 4*'22' wie AK = 5P23'.

20 Setzt man hAK== 120^,

so wird sAN= 97^20' in diesem Maße,

also 6AN = 108»24' wie ©ANK = 360'',

mithin /. AKN = 108''24' wie ^i^ = 360^

= 54<>12' wie 4 i^ = 360^

Hei 867 folglich 6ME= 54" 12', weil AK N Zentriwinkel.

26 Nun ist &rME= 87« 3' als %6rEE, (S. 207, n)

folglich 6rM= 32** 51' als Differenz.

Hiermitist zunächst der ( Exzenter-) Bogen gefunden, welcher

a) die Entfernung von dem Perigeum bis zu dem Ort der
30 dritten Opposition (V 14^23') mißt. Weiter ergibt sich

b) die Entfernung des Ortes der zweiten Opposition ()( 7^54' i
bis zu dem Perigeum. Da (S. 205, 6) der Annahme nach
das Intervall

Exzentrizität nnd Apogenm des Jupiter.

209

fc B r = 33026' (und Z> TM = 32*51'),
so ist 6BM = 6Br-ferM,
= 0''35';

c) die Entfernung von dem Apogeum bis zu dem. Ort der
srsten Opposition (n\ 23*^ ll'). Da (S. 205,5) der Annahme 5
nach das Intervall

feAB= 99»65' (und 5BM = 0035'),
so ist 6AA==1800-[6AB-f-6BM],
= TQ^SO'.

IL Nachweis der Differenzbogen.
Wenn der Mittelpunkt des Epizykels sich auf diesem 11
Exzenter bewegte, so würde es ausreichend sein, die gefun-
ienen zahlenmäßigen Beträge als zweifellos richtige Werte
zur weiteren Berechnung) zu benutzen. Da er sich aber
ier Hypothese gemäß auf einem anderen Kreise bewegt, Ha 249
i.h. auf demjenigen, welcher um den Halbierungspunkt der 16
'Strecke AK als Zentrum mit dem Abstand KA beschrieben
vird, so wird es, wie bei dem Mars, zuerst wieder nötig
;ein, die sich ergebenden Differenzen der scheinbaren Inter-
valle zu berechnen, d. h. nachzuweisen, was der zahlenmäßige 20
Betrag dieser Intervalle sein würde, wenn man die bisher
gefundenen Verhältnisse der Exzentrizität (vorläufig) als
•hne wesentlichen Fehler richtig

nnimmt, wenn sich der Mittel-
iunkt des Epizykels nicht auf

era zweiten Exzenter, sondern

uf dem ersten, d. i. auf dem um

*unkt K beschriebenen bewegte,

clcher die auf die Ekliptik be-

o^^ene Anomalie bewirkt.

Es sei demnach der den Mittel-
unkt des Epizykels tragende Ex-

^nter der Kreis A M um das Zen-

nim A und der Exzenter der

leichförmigen Bewegung (des

Hei 368

Ptolemäus, übers, v. Manitius. IL

14

210

Elftes Buch. Erstes Kapitel.

10

Hei 369

Ha 250

17

Epizykelmittelpunktes) der mit AM gleichgroße Kreis NE
um das Zentrum Z. Nachdem man den durch die Zentren
gehenden Durchmesser NAE gezogen*', sei auf demselben
E als der Mittelpunkt der Ekliptik angesetzt.

A. Zuerst sei bei der ersten Opposition der Mittelpunkt
des Epizykels in Punkt A angenommen. Man ziehe die Ver-
bindungslinien AA, EA, ZAZ, EE und fälle von den
Punkten A und E aus auf die Verlängerung von AZ die
Lote AH und E0.

1. Nachgewiesen wurde (s. S. 209, 9 h AA) als der Winke]
des gleichförmigen Laufs in Länge

/,NZE= 12n0' wie 4 Ä- 360°;
folglich auch /,AZH= 19'^ 30' als Scheitelwinkel,
= 159<>
6AH = 159<>
,&ZH= 21^
5AH = 117^59'
,sZH= 21^52'

AZ= 2^42'

mithin

also
Setzt man

wie ^J? = 36üO;
wie ©AHZ = 360^

wie ÄAZ = 120P.

20

wie exhmAPi = 60^ als Yg EZ

(vgl. %AK S. 208,12)
und ZH = 0P30'.

so wird AH= 2^39'
Nun ist AA^-AH« = AHS
mithin AH = 59^56' in demselben Maße.

25

2. Es ist ferner (weil ZA
H0 = ZH

mithin

= AE)
2AH. (Eu^l-^I-2-4)

(wie AA = 60P).

(Nun ist
mithin

E0

A0 = AH 4- HO = 60^26

E0(=2A;H) = 5^18

A0«-fE0* = AE2)

/iAE= 60''40' in demselben Maße

a) Der Durchmesser war mit NAE statt wie im Original mii
NAM zu bezeichnen, weil nach dem Beispiel der herausgeho-
benen Zeichnung der Marsfiguren S. 184 ff. auch hier und wei-
terhin die Zeichnung der Exzenter auf die herausgehobene Op-
position beschränkt worden ist, so daß Punkt M wegfällt.

Exzentrizität und Apogeum des Jupiter.

211

Setzt mao hAE = 120^,

so wird sE0= 10^29'

also 6E0= 10® 1'

folglich /. EA0= 10*^ 1'

3. Setzt man (wie oben in dem Maße von AA = ZZHei370
achgewiesen) 6

E0 = 5Pl8' wie exhmZE = 60^y

in diesem Maße,
wie © E0A = 36O^
wie 2E = 360«.

so wird

Z0(=2ZH)

1^1 .

'« ] in diesem Maße.
= 0 =ZE 4- 20 = 61^1 "'*'"*'"'

(Nun ist

E024.E02 = Z

E»)

mithin

7iZE= 61^14'

in demselben Maße

Setzt man

/i = E = 120P,

so wird

sE0= 10^23'

in diesem Maße,

mithin

&E0= 9«55'

wie ©E0E = 36O»,

also

/.EE0= 9055'

wie 522 = 3600.

Nun war

/.EA0= 100 1^

wie 2B = S&0\

folglich

/.AEZ= 0» 6'

als Diiferenz,

= 0« 3'

wie 4i2 = 3600.

10

15

Ha 251

Das ist der Winkel der gesuchten Differenz. Nun hatte
er Planet bei der ersten Opposition, der Theorie nach auf 20
jer Geraden EA stehend, als scheinbaren Ort 1T\ 23^11'
ine. Hieraus ergibt sich folgendes. Wenn der Mittelpunkt
es Epizykels sich nicht auf dem Exzenter AM, sondern
uf dem Exzenter N Z bewegte, so würde
f sich in Punkt Z des letzteren befin-
en, mithin würde der scheinbare Ort
es Planeten (nicht in iT\23°ll', son-
9m) mit dem Unterschied von 0^3' auf
3r Geraden EZ (weiter vorwärts) in \
123«14' liegen. \

B. Femer sei an der (sonst) gleichen
igur auch die Zeichnung der zweiten
pposition vorgelegt, und zwar soll sie
)gen die Richtung der Zeichen ein we-
g vor dem Perigeum eingezeichnet sein.

■tA*

Hei 371

35

212

Elftes Buch. Erstes Kapitel.

wieÄAZ = 120P.

10

Ha 252

Hei 372

16

20

25

30

35

1. Nachgewiesen wurde (s. S. 209, 3 5BM) der BogeD
des Exzenters (des gleichförmigen Laufs)

5EN= 0'>35',
folglich /.EZN= 0»35' wie4i^ = 360^
= 1»10' wie <8E = 360",

' ^^H= ino'l ^ie@AHZ = 3600,
,6ZH = 178°50'J
sAH= 1^13'
,sZH=rund 120^
AZ= 2^42' wie exhni AB = QO^j
AH= QP 2' und ZH = 2P42',
B H = 60^, weil unbetr. versch. von h AB.

2. Es ist ferner (weil ZA = AE)

EoI^Ah} (EuM.yi.2.4)

B0 = BH-H0 = 57P18'} (^ieAB^eO^),
E0(==2AH) = OP 4'J ^
Ä B E = 57P 18' (weil unbetr, > B 0).
/iBE = 120P,
sE0= OP 8'
5E0= 0"^ 8'
folglich /.EB0= 0*^ 8'

3. Setzt man, wie oben (in dem Maße von AB = Z£
nachgewiesen,

E0 = OP4' wie cx7imZE = 60P,
' Z0(=2ZH) = oP24'| i, diesem Maße.
H0 =ZZ-Z0 = 54P36'i
hE.E= 54P36' (weil unbetr. >E0).
/iEE = 120P,

OPlO'
0°10'

ono'

0<^ 8'
O*' 2'
Qo 1'

mithin

also

Setzt man

so wird

mithin auch

mithin

folglich auch

Setzt man

so wird

also

in diesem Maße,
wie eE0B = 36O°,
wie ^JB = 3600.

so wird

mithin auch
Setzt man

so wird sE0 =

mithin 6E0 =

also /. EZ0 =

(Nun war /, E B 0 =

folglich /, BEZ =

in diesem Maße,
wie eE0H = 36O",
wie 5^ = 360*».
wie 5E = 360°)
als Differenz,
wie 4JR = 360^

Exzentrizität und Apogeum des Jupiter.

213

Der scheinbare Planet hatte bei der zweiten Opposition
auf der Geraden EB in )( 7^54' gestanden. Wenn sein schein- Hei 373
barer Ort wieder auf der Geraden EH läge, so ist auch hier
klar, daß der Planet (OH' zurück) in )C 7*^53' stehen würde.

C. Es sei nun auch die Zeichnung
der dritten Opposition vorgelegt, und
zwar in der Richtung der Zeichen
jenseits des Perigeums eingezeichnet.

1. Der Annahme nach (s. S. 208, 27
h TM) ist der Bogen des Exzenters
(des gleichförmigen Laufs)

&ZN= 32»51',

folglich /,EZN= 32<>61'

wie 4B = S&0\

= 65<>42'

wie<2jR = 360'',

-^^^^'•l^zHin::") -«©—-•

also 1

Setzt man
so wird

Nun ist
mithin

sAH

120P.

„ . wie hAZ
ZH = 100^49')

wie exhm A r= 60^,
und ZH = 2Pl6'.

AZ= 2P42'

AH= 1^28'

AP-AH2 = rH2,
TH = 59P59' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil ZA = AE)

H0 = ZH
E0 = 2AH

re =rH- HO = 57^43

E0(=2AH)

r0*4-E0' = rE2)

7irE= 57P47' in demselben Maße

h VE =120^,

sE0= 6^ 5' in diesem Maße,

mithin

(Nun ist
mithin

Setzt man
so wird

(Eukl. VI. 2. 4)

'y\ (wieAr=60P).

10

Ha 253

15

Hei 374
21

25

30

214

Elftes Buch. Erstes Kapitel.

mithin 6 EG

folglich /. Ere

5» 48'
5^8'

wie eEer=36o°,

wie ^Jü = 360".

3. Setzt man (wie oben in dem Maße von Ar= 7.=. nach-
gewiesen)
6 E0==2P56' wie e2;ÄmZE = 60P,

Z0(=2ZH) = 4P32'] . ,. „ o

-^ __ _^ T> . Mn diesem Maße.

:z0-Z- -20 = 55^28'

SO wird

(Nun ist = 02 -f- E 0 2 = =E*)

mithin äEE= öö'^SS' in demselben Maße.

10 Setzt man 7^ E E = 120^,

Ha 254 so wird s E0 = 6^20' in diesem Maße,

also 6E0= 6*^ 2' wie ©E0H = 36O'»,

mithin /,eE0= 6° 2' wie^E = 360'>.

(Nun war /.Er0= 5U8' wie 52^ = 360°)

15 folglich /,rEE=» 0«14' als Differenz,

Hei 375 = 0«^ 7' wie 4^ = 3600.

Bei der dritten Opposition hatte der Planet, der Theorie

nach auf der Geraden ET stehend, als (scheinbaren) Ort

T 14° 23' inne. Wenn er also wieder (scheinbar) auf der Ge-

20 raden EE stünde, so ist klar, daß sein Ort (0^7' weiter

vorwärts) in T 14® 30' liegen müßte.

Es war bewiesen worden, daß der Jupiter (theoretisch
auf die Gerade EZ bezogen) bei der ersten Opposition in
11X23^14' und bei der zweiten in )f 7^53' gestanden hat.
^5 Wenn also die scheinbaren Intervalle des Planeten theore-
tisch nicht auf den Exzenter bezogen werden, welcher den
Mittelpunkt des Epizykels trägt, sondern auf denjenigen,
welcher die gleichförmige Bewegung des Epizykelmittel-
punktes bewirkt, so betragen sie
30 1. von der ersten bis zur zweiten Opposition
(von 11X23014' bis )( 7^53')

1040 39' (statt 104^43' S. 205,2),
2. von der zweiten bis zur dritten Opposition
(von K7<^53' bis T 14^30')
35 36*^37' (statt 36<^29' S. 205,3).

Exzentrizit'ät und Apogeum des Jupiter. 215

III. Wiederaufnahme des Beweisverfahrens.

Unter Einsetzung dieser Beträge fanden wir bei (noch-
maliger) Durchführung des oben (S. 205 ff.) angewendeten
Beweisverfahrens (I)

1. die Verbindungslinie zwischen den Zentren der Eklip- 5
tik und des Exzenters, welcher die gleichförmige Bewegung
des Epizykels bewirkt,

(AK) = 5P 30' wie exdm = 120^ (statt 5^ 23' S. 208, 12);

2 die Exzenterbogen

a) von dem Apogeum bis zu dem Orte der ersten Op- 10
Position

(&AA) = 770 15' (statt 79^30' S. 209,9);

b) von dem Orte der zweiten Opposition bis zum Peri-
geum

(&BM) = 2°50' (statt 0°35' S. 209,3); 15

c) von dem Perigeum bis zum Orte der dritten Op- Ha 255
Position

(& TM) = 30*^ 36' (statt 32<>51' S. 208, 27).

IV. Probe der Endergebnisse.

Daß diese zahlenmäßigen Beträge zufällig gleich als die 20
genau richtigen auf dem eingeschlagenen Wege ermittelt
sind, geht schon daraus hervor, daß mit ihrer Hilfe nahezu
die nämlichen Differenzen der (scheinbaren) Intervalle wie Hei 376
vorher (S. 214, 32. 36) errechnet werden.*) Nun werden
aber auch die scheinbaren Intervalle des Planeten auf Grund 25
der gefundenen Verhältnisse als dieselben befunden, wie sie
(S 205, 2. 3) durch die Beobachtung festgestellt worden
sind. Dies wird uns auf folgendem Wege klar werden.

a) Daher fehlen hier bei dem Jupiter die Abschnitte B und
C des Absatzes III S. 189 f. Die Unterschiede in den Entfer-
nungen der drei Oppositionen vom Apogeum oder Peri-
geum gegen die vorher gefundenen betragen nur je 2** 15',
während sie bei dem Mars (S. 189,18 — 16) je 6^14' ausmachten.

216

10

Hei 377
16

20

25

Ha 256

mithin

Elftes Buch. Erstes Kapitel.

A A. Es sei wieder die Zeichnung

der ersten Opposition vorgelegt,
jedoch mit der Beschränkung auf
den Exzenter^^ welcher den Mittel-
punkt des Epizykels trägt.

1. Es wurde nachgewiesen (s.S.
215, 12 5AA), daß

/.AZA= 77«15' wie4i^=360^
= 154<'30' wie ^E = 360«;
folglich auch /_ AZH = 154° 30' als

Scheitelwinkel;

6AH = 154<»30'
6ZH= 25° 30'

wie eAHZ = 360°,

also! ^^H = 117P 2'] .^^^2 = 120P.

1

Setzt man AZ = 2^45' wie exhtnAA = 60^, (s.S. 215,

so wird AH= 2^41' und ZH = 0^36'.

(Nun ist AA2-AH2 = AH^
mithin A H = 59^ 56' in demselben Maße.

AE)

(Eukl. VI. 2. 4)

2. Es ist zunächst (weil ZA

(H0 = ZH)
E0 = 2AH

A0 = AH + H0 = 6OP32'
E0(=2AH) = 5^22'

A02 + E0' = AE«)
/iAE= 60^46' in demselben Maße

mithin

(Nun ist
mithin

(wie AA = 60^).

Setzt man hAE = 120^,

so wird sE0= 10^36' iu diesem Maße,

also 6E0= 10° 8' wie eE0A = 36O°,

mithin /,EA0= 10° 8' wie <2i? = 360°.

a) Es ist an den drei voranstehenden Figuren der Exzenter
um A, auf dem die scheinbaren örter der drei Oppositionen
ebenfalls mit A, B und f bezeichnet wurden.

Exzentrizität und Apogeum des Jupiter.

217

(Nun war /. AZA = 154°30' wie 2B = Z60^)
folglich /. AEA = 144<'22' als Differenz,
= 72° 11' wie4i2 = 360*'.

So viel Grade stand demnacli der Planet bei der ersten
Opposition von dem Apogeum in der Ekliptik entfernt.

B. Es sei nun auch die Figur der
zweiten Opposition vorgelegt.

1. Es ist der Annahme nach (s. S.
215, 15Z)BM) ^,

/. BZM = 2«50'

wie 412 = 360*,

wie^JB = 360^

^^^^^1 ,6ZH = 174020')

wie ^AHZ = 360"

also

.AH= ^y\^iehAZ = 120^.
,sZH = 119^51'!

2^45' wie exhm AB = Q0^,

Setzt man AZ

so wird AH= 0^8' und ZH = 2^45',

mithin auch BH= rund 60? (weil unbetr. <ÄAB).

2, Es ist (zunächst wieder, weil ZA = AE,

H0 = ZH I Eukl. VI. 2. 4)
E0 = 2AH' ^

B0 = BH-H0 = Ö7P15'
E0(=2AH) = 0^16'
hBE= 57P 15' (weil unbetr. > B0).

/iBE = 120P,

sE0= 0^33' in diesem Maße,

6E0= 0°32' wie ©E0B = 36O°,

mithin /,EB0= 0<'32' wie^JR = 360*.

(Nun war /, BZM= 5'»40' wie <2i^ = 360°)

folglich /,BEM= 6*^12' als Summe,

= 3« 6' wie 422 = 360°.

mithin |
biglich auch

Setzt man

so wird

also

*'| (wie AB = 60P),

Hei 378

15

20

25

Ha 257

30

218

Elftes Buch. Erstes Kapitel.

Hei 379 Demnach stand der Planet bei der zweiten Opposition
gegen die Richtung der Zeichen 3^6' vor dem Perigeum,
Nun war (S. 217, 3) nachgewiesen, daß er bei der ersten
Opposition in der Richtung der Zeichen 72^11' von dem
Apogeum entfernt war. Folglich be-
läuft sich in Übereinstimmung mit dem
A (S. 205, 2) aus den Beobachtungen
gewonnenen Intervall das scheinbare
Intervall von der ersten bis zur zwei-
ten Opposition auf
180^ - [72ni' + 3^6'] = 104043'.

C. Es sei nun auch die Figur der
dritten Opposition vorgelegt.

1. Es war nachgewiesen worden,
(s. S. 215, 18 &rM), daß
wie 4i^ = 36Ö^
wie^JR = 360^

10

15

20

25

Hei 380
31

Ha 258

/.rZM= 30« 36'
= 61*12'

mithin

also

Setzt man

so wird

(Nun ist

mithin

I 6AH= 61'>12'

wie eAHZ = 360^
wie/iAZ = 120P.

1 ,6ZH = 118U8'
sAH= 6IP 6'
,sZH = 103^17'

AZ= 2P45'
AH= 1^24'
Ar2-AH2 = rH2)
PH = 59^59' in demselben Maße

wie exhm A r= 60^,
und ZH = 2P22'.

2. Es ist (zunächst wieder, weil ZA = AE,

H0==ZH I E^ki yi. 2. 4)
E0 = 2AHi ^

mithin! rO = m - HO = 57P37| 1 ^^.^ ^,^ ^.p).
mibnin| e0(=2AH) 2^48') ^

(Nun ist r02 -I- E 0 2 = TE^)
mithin hrE= 57^41' in demselben Maße.
Setzt man hrE = 120^,

so wird sE0= 5^50' in diesem Maße,

Exzentrizität und Apogeum des Jupiter. 219

also

6E0= 5» 34'

wie ©E0r=36O°,

mithin

/.Er0= 5*34'

wie 512 = 360«.

(Nun war

/.rZM= 61« 12'

wie 5i2 = 360'^)

folglich

/.rEM= 66°46'

als Summe,

= 33" 23'

wie 4Ä = 360«.

So viel Grade stand demnach der Planet bei der dritten
Opposition in der Richtung der Zeichen von dem Perigeum
entfernt. Nun war nachgewiesen, daß er bei der zweiten
Opposition gegen die Richtung der Zeichen 3^6' vor dem-
selben Perigeum stand. Folglich beläuft sich wieder in Über- 10
einstimmung mit den (S. 205, s) durch die Beobachtung
festgestellten Graden das scheinbare Intervall von der zwei-
ten bis zur dritten Opposition in Summa auf 36^29'.

V. Lage des Apogeums.
Der Planet hatte bei der dritten Opposition, wie oben 15
[7i. 5) nachgewiesen, in dem durch die Beobachtung (S. 204, 2l)
festgestellten Orte T 14^23' in der Richtung der Zeichen
33^23' von dem Perigeum entfernt gestanden. Folglich Hei ssi
ist ohne weiteres klar*\ daß damals das Perigeum der
Exzentrizität in ){ 11® lag und das Apogeum diametral gegen- 20
,iiber in lip 11®.

VI. Nachweis der mittleren Länge und der Anomalie.
Wenn wir um den Mittelpunkt V den Epizykel H 0 K be-
ichreiben, werden wir ohne weiteres erhalten:

1. von dem Apogeum A des Exzenters^^ ab den mittleren 25
3rt in Länge mit (180® -f 30^^36' =) 210^^36', weil (oben

3. 215, 18) nachgewiesen worden ist, daß Z. fZM = 30^ 36'
vie 4J2=360<^;

2. den Epizykelbogen 0 K von dem Perigeum 0 bis zu Ha 259
lern Planeten in K mit 2^47', weil (oben Z. 2) nachgewiesen 30

a) Weil 14<>23' des Widders 4-19® der Fische = SS** 23'.

b) Es ist der Exzenter des gleichförmigen Laufs um das Zen-
nim Z, dessen Apogeum natürlich auf der Verlängerung des
lalbmessers AA liegt.

220

Elftes Buch. Zweites Kapitel.

worden ist, daß /. ETZ = 5^34'
uie ^72 = 360^ oder =2^47'
wie 4i2 = 360<^.

Zur Zeit der dritten Oppo-
sition, d. i. im ersten Jahre An-
tonius am 20/21. ägyptischen
Athyr 5 Stunden nach Mitter-
nacht (8. Oktober 137 n. Chr.
5^ früh), stand demnach der
10 X f W /A Planet Jupiter, theoretisch auf

die mittleren Örter bezogen, in
Hei 382 \ \ / Länge von dem Apogeum

(np 11^) des Exzenters 210^36'
entfernt, d. h. sein mittlerer Ort^^
15 war (y14°23' — /.Erz =)T 11*^36', während er in Ano-
malie von dem Apogeum H des Epizykels 182^47' entfernt
war.

Zweites Kapitel.

Nachweis der zahlenmäßigen Größe des Epizykels

des Jupiter.

Zum Nachweis der zahlenmäßigen Größe des Epizykels
wählten wir weiterhin wieder eine Beobachtung, welche wir

20 mit dem Diopter im 2*®^ Jahre Antonius am 26/27. ägyp-
tischen Mesore vor Sonnenaufgang anstellten, d. i. ungefähr
5 Äquinoktialstunden nach Mitternacht (11. Juli 139 n.Chr.
5^ früh), als der mittlere Ort der Sonne 6916^11' war^)
und am Astrolab y 2^ kulminierte. Mit Bezug auf den

25 glänzenden Stern (Aldebaran) der Hyaden anvisiert, hatte

der Jupiter damals als scheinbaren Ort TT 15^45' inne und

die gleiche scheinbare Länge wie das Zentrum des südlicher

Ha 260 stehenden Mondes. Für jene Stunde''^ fanden wir auf Grund

der früher dargelegten Berechnungen

a) D. i. der auf der Leitlinie ZT liegende Ort.

b) Für 885'^355'il7h ergibt die Nachprüfung G 16° 11' 2".

c) Für dieselbe Zeit ergibt die Nachprüfung nach den Mond-
tafeln: n9*^10'47" in Länge, 272<'13'39" in Anomalie und

Epizykel des Jupiter.

221

den mittleren Ort des Mondes in Länge
die Entfernung vom Apogeum des Epizykels

in Anomalie
den genauen Ort des Mondes^^
den scheinbaren Ort für Alexandria^^

n 90 0'

272^ 5' Hei383

n 14^50'
n 15H5'. 5

Da ferner die Zeit von der dritten Opposition bis zur
vorliegenden Beobachtung (vom 20/21. Athyr 5^ früh 885
Nab bis 26/27. Mesore 5^ früh 886 Nab.) 1 ägyptisches
Jahr und (10 + 240 -f 26) 276 Tage beträgt, so bringt sie
(für den Jupiter) — es wird keinen merkbaren Unterschied 10
machen, wenn hierbei mit etwas abgerundeten Zahlen ge-
rechnet wird^) — in Länge 53^17' und in Anomalie 218^31'.
Wenn wir diese Beträge zu den für die dritte Opposition
(S. 220, 13. le) nachgewiesenen Örtern addieren, so werden
wir zur Zeit dieser (zweiten) Beobachtung in Länge von 15
nahezu demselben Apogeum (lip 11") (210^»36' + 53^17'=)
263^53' erhalten, in Anomalie von dem Apogeum des Epi-
zykels (182^47' + 218^31'
-360<^=) 41^18'.

Diese Zahlen sollen ge-
geben sein. Es sei wieder
die ähnliche Figur vorgelegt
wie (S. 197) bei der Beweis-
führung für den Mars, nur
daß sie den hier vorliegenden
mittleren Örtern in Länge
und in Anomalie entsprechend
die Lage des Epizykels nach
Passierung desPerigeums des

231®8'44" in Breite, woraus sich die wahre südliche Breite mit
etwa 2^40' ergibt. Die Mondörter in Länge und in Anoraalie
zeigen wieder dieselben autfallenden Differenzen wie S.147 Anm. a).

a) Da der Mond östlich des Meridians stand, so wirkt die
Längenparallaxe in der Richtung der Zeichen.

b) Für 1*276'^ ergibt die Nachprüfung in Länge 53^16' 62",
in Anomalie 218^30' 37".

222

Elftes Buch. Zweites Kapitel.

Exzenters und die Stellung des Planeten nach Passierung
des Apogeums des Epizykels zeigen muß.

1. Da die Entfernung des mittleren Ortes in Länge von
Hei 384 <ieiJi Apogeum des Exzenters 2 6 3" 5 3 beträgt, so ist (als
5 die um 180° gekürzte Entfernung von dem Perigeum)

/.BZr= 83^53' wie 4i2 = 360°,
= 167''46'

,6ZM= 12n4'
5AM = 119Pl9'
,sZM= 12^47'

10

15

mithin

also

wie <2i2 = 360<^;

AMZ = 360°,

wie

Setzt man
so wird

Nun ist
mithin

AZ= 2^45'
AM= 2^44'

wie 7iAZ = 120P.

wie exhm A B = 60^,
und ZM = 0Pl8'.

AB*-AM»=BM*,
BM = 59^66' in demselben Maße.

ii385
20

mithin

(Nun ist
mithin

Setzt man

so wird

26

also

(Eukl. VI. 2. 4)

^'1 (wie AB = 60P).

2. Es ist ferner (weil ZA = AE)'

ZM = MA
EA = 2AM

f BA = BM-MA = 59P38'
1 EA(=2AM) = 6^28'

BA2 + EA* = EB«)

hEB= 59^52' in demselben Maße.
/iEB = 120P,
sEA= 10^58'
6EA= 10'30'
mithin /,EBZ= 10<'30' wie^jR = 360°.
Nun war /. BZr = 167*'46' wie 2B = S60\
folglich /. B E r = 178«' 1 6' als Summe.

3. Da das Perigeum f in )C11° liegt und der Planet
30 (S. 220, 26) seinen scheinbareü Ort auf der Geraden EK in

TT 15U5' hatte, so ist (von X 11<^ bis TT 15^5')
Ha 262 /.KEr= 94H5' wie4J^ = 360^

= 189<'30' wie ^E = 360°.

in diesem Maße,
wie ©EAB = 360^

Elftes Buch. Drittes Kapitel. 223

(Nun war /. BEr = 178°16' wie 2 B = 360'^)

folglich /. B E K = WW als Differenz ;

mithin 6BN= 11*>14' wie ©BNE = 360^

also sBN= 11^44' wie ;iEB = 120P.

Setzt man EB= 59^52' wie exhm = 60^^ (s.S. 222,22) 5

so wird B N = 5^ 50' in diesem Maße.

4. Ferner ist (nach Annahme S. 221, 19 gegeben)
6HK = 41«18',
mithin HBK==41<'18' wie 4E = S&0\

= 82*36' wie 5J? = 360<'. Hei 386

Nun war /, EBZ = 10''30' wie -212 = 360«, 11

lolglich auch /, H B 0 = 10<> 30' als Scheitelwinkel,
mithin /.0BK = 72« 6' als Differenz.

Nun war /. KE0 = 11*^14' wie 5i2 = 360^ (s. oben Z. 2)

folglich /. B K N = 60« 52' als Differenz, 16

mithin 6BN = 60<>52' wie©BNK = 360^

also s BN = 60^47' wie/iBK = 120P.

Setzt man BN= 5^50' Mvieexhm^ 60^,

so wird BK = 11^30' als ephm, was zu finden war.

Drittes Kapitel.
l Korrektion der periodischen Bewegungen des Jupiter.

Weiter wählten wir wieder zum Zweck (der Korrektion) Ha 263
ler periodischen Bewegungen aus der Zahl der mit zweiiel- 21
oser Sicherheit aufgezeichneten alten Beobachtungen eine,
lach welcher mit Bestimmtheit angegeben wird, daß im
^5*®" Jahre*) der Zeitrechnung des Dionysius am 10. Par-
fhenon früh der Jupiter den südlichen Esel (ö Cancri) be- 26
leckte. Der Zeitpunkt fällt in das 83*® Jahr nach dem
["ode Alexanders (507 Nab.) auf den 17/18. Epiphi in der

a) Daß dieses mit dem 26. Juni 241 v. Chr. beginnende Jahr
a das Jahr 507 Nab. fällt, geht aus der Nachprüfung des mitt-
Bren Sonnenortes hervor, welcher sich für 606*316*18^ mit
T 9» 55' 32" ergibt.

224

Elftes Buch. Drittes Kapitel.

Morgendämmerung (4. September 241 v. Chr. 6^ früh). Füi
diese Stunde fanden wir die Sonne nach mittlerem Lauf ic
Hei 387 11^9^56'. Nun stand von den Sternen (jörid') um den Ne-
belfleck (die Krippe) im Krebs der sog. südliche Esel (d]
5 zur Zeit unserer Beobachtung (im ersten Jahre Antoninj
885 Nah. S. 199, 15) in 69 11"20', zur Zeit der herangezo-
genen Beobachtung natürlich (3^47' weiter zurück) in 6^ 7° 33'
weil auf die (507 bis 885 Nah.) 378 Jahre, welche zwischer
den Beobachtungen liegen, 3^47' Zunahme entfallen. Folg-
10 lieh stand damals auch der Jupiter, weil er diesen Fixsterr
bedeckte, in ^9 7^33'. Demnach mußte auch das Apogeum,
da es zu unserer Zeit in \)\} 11° lag, zur Zeit der (alten^
Beobachtung in ilp7°13', liegen. Somit ist klar, daß dei
scheinbare Planet von dem damaligen Apogeum des Exzen-
15 ters 300^20' entfernt stand, während der mittlere Ort dei
Sonne von demselben Apogeum 2^43' entfernt war.

Diese Zahlen sollen gegeben
sein. Vorgelegt sei wieder die
ähnliche Figur wie (S. 200)
bei der Beweisführung für
den Mars. Nur muß sie die
hier nach der Beobachtung
gegebenen Örter zeigen, d. i
erstens die Lage des Epi-
zykels in B vor dem Apo-
geum A, zweitens die Lage
des mittleren Ortes der Sonne
in A kurz nach demselben
Apogeum, und deshalb drittens die Stellung des Planeten
30 in 0 nach dem Apogeum H des Epizykels. Man ziehe jeden-
falls in ähnlicher Weise die Verbindungslinien ZBH, AB,
Hei 388 B0, 0E und fälle auf AB das Lot ZK, auf 0E die Lote
AM, BN, endlich das Lot AE auf die hier nötige Ver-
längerung von BN, welche das rechtwinklige Parallelo-
35 gramm AM NE fertig macht.

1. Als Erfüllung eines Kreislaufs in der Ekliptik zu
300^20' ist

Korrektion der Bewegungen des Jupiter.

225

/.AE0= 59«40' wie 4B = S60\

ferner /, A E A = 2°43' wie 4B = 360«, (s. S. 224, le)

mithin ^AE0= 62" 23' als Summe,

folglich auch /,B0E= 62° 23', (Eukl. I, 29)

= 124«46' wie 2B = S60\

mithin 6 BN = 124*' 46' wie © BN0 = 360<', 5

also s B N = 106^ 20' wie /^ B 0 = 120^. Hei

Setzt ma.nephmBQ= 11^30',

so wird BN= 10^12' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (als derselbe wie Z.AE0)

/.AEM= 59H0' wie 4JB = 360»

= 119^20'

folglich /. MAE= 60« 40'

mithin 5AM = 119«20'

s AM = 103^34'

AE= 2^45'

AM= 2^23'

also

Setzt man

so wird

(Nun ist

mithin

Setzt man

so wird

mithin

wie <2E = 360«,
als Komplementwinkel,
wie ©AME = 360«,
wie ÄAE = 120P.
wie exhm AB = 60^,
in demselben Maße.
AM = N=) (Eukl. I. 34)
B E = B N + N E = 12^ 35' in demselben Maße.

10

Ha 265

15

also

mithin
also

in diesem Maße,
wie © BEA = 360«,
wie 2B = S60\
als Komplementwinkel.

h AB = 120^,
sBE= 25^10'
6BE= 24« 14'
/.BAH= 24« 14'
/.BAM=155«46'
(Nun war /, MAE= 60" 40' wie ^i2 = 360«)
folglich /, BAE = 216«26' als Summe,
endlich ^ B AZ = 143« 34'
6 ZK = 143« 34'
&AK= 36«26'
sZK = 113P59'
,sAK= 37P31'
AZ= 2^45'
ZK= 2P37'

20

25

als Nebenwinkel,
wie ©ZKA = 360«,

wie ÄAZ = 120P.

Hei 390
31

Setzt man

so wird

mithin

wie exhm AB = 60^,
und AK = 0^52',

KB = AB -AK = 59^8'.

Ptolemäus, übers, v. Manitius. IL

15

226 Elftes Buch. Drittes Kapitel.

(Nun ist KB2-f ZK2 = ZB*)
mithin ÄZB= 59^12' in demselben Maße.

Setzt man hZB = 120^,

so wird sZK= 5^18' in diesem Maße,

Ha 266 also 6ZK= 5° 4' wie©ZKB = 360^

6 mithin /,ZBA= 5^4' wie<2J2 = 360^

(Nun war /. BAZ = 143«34' wie 5E = 360°)
folglich /. A Z B = 1480 38' als Summe,

= 74M9' wie 4i2 = 360".

10 Hiermit ist der Winkel der gleichförmigen Länge (welcher
an einem Umlauf fehlt) gefunden.

Nun bildet (s. S. 173, 3l) der /.HB0 (der Anomalie) zu-
sammen mit dem Winkel von 180^-i-Z.BZr (der Länge
vom Apogeum ab) — d. h. hier unter Abzug des Z.AZB*^

15 — den /.AEA der Sonne, welcher mit 2^43' (S. 224,16)
gegeben ist. Wir erhalten

(LHB0-LAZB = LAEA
LHB0- 74019' =2»43')
demnach /_HB0=77O 2' wie4_B = 360^

20 Damit ist der Winkel gefunden, welcher den Lauf des
Planeten von dem Apogeum des Epizjkels ab mißt.
Hei 391 Es ist demnach von uns der Beweis erbracht worden, daß
zur Zeit der vorgelegten Beobachtung der Jupiter, theore-
tisch nach dem mittleren Lauf betrachtet, in Länge von dem

25 Apogeum (H]) 7^13') des Exzenters (360<^ — 74U9' =)
285^41' entfernt stand, d.h. daß sein mittlerer OrtTT22«54'
war, während er von dem Apogeum des Epizykels in Ano-
malie 77^2' entfernt war.

Nun war aber von uns (S. 220, 16) der Nachweis geführt

30 worden, daß er zu der Zeit der dritten Opposition von dem
Apogeum des Epizykels 182^47' entfernt war; er hat also
in der zwischen den beiden Beobachtungen (vom 17/18. Epi-
phi 6^^ früh 507 Nah. bis 20/21. Athyr 5^ früh 885 Nah )

a) D. i. unter Abzug der Länge bis zum Apogeum.

Elftes Buch. Viertes Kapitel. 227

verflossenen Zeit, welche 377 ägyptische Jahre und (12 +
5 + 90 + 21 ==) 128 Tage weniger eine Stunde beträgt, nach
Abzug von 345 ganzen Kreisen in Anomalie einen Über-
schuß von (182^47' — 77^2' =) 105^^45' gewonnen. Das ist
rund ^^ wieder der Überschuß an Graden der Anomalie, wel- 5
eher aus den von uns bearbeiteten (Tafeln der) mittleren
Bewegungen gewonnen wird, weil wir direkt aus dem hier
vorliegenden Material die Feststellung des täglichen Betrags
der Bewegung dadurch erzielt haben, daß mit der Anzahl
der aus der Zwischenzeit gewonnenen Tage dividiert wurde Ha 267
in die aus der Zahl der Kreise und dem Überschuß gewon- 11
nenen Grade.

Viertes Kapitel.
Epoche der periodischen Bewegungen des Jupiter.

Die seit dem Mittag des 1. ägyptischen Thoth des ersten
Jahres Nabonassars bis zu der (S. 223,27) vorgelegten alten
Beobachtung (am 17/18. Epiphi 6^ früh 507 Nab.) verflos- 16
Jene Zeit beträgt ohne wesentlichen Fehler 506 ägyptische
Fahre und (300^+16^+18^=) 31 6^^ Tage. Diese Zeit
imfaßt an Überschuß 258^13' in Länge und 290*^58' in
Anomalie.^) Daher werden wir auch hier wieder, wenn wir
iliese Grade von den nach der Beobachtung (S. 226,26. 28) 20
estgestellten Örtern (2 85" 41' in Länge und 77^2' in Ano-
aalie) zugehörigerweise abziehen, für dieselbe Zeit der Hei 392
Epoche wie bei den anderen Planeten als mittleren Ort für
len Planeten Jupiter erhalten

. in Länge (258^13' rückwärts von TT 22^54') Ai 4^41' 25
I. von dem Apogeum des Epizykels in Anomalie^) 1 46° 4'
'. für das Apogeum der Exzentrizität np 2^9'.

An dieser Stelle wird letzteres aus demselben Grund e^^
5^4' rückwärts von np7°13') gelegen sein.

a) Die Nachprüfung ergibt für 377*127^23^ in Anomalie
06''45'46".

b) Die Nachprüfung ergibt für 506*316^18^ in Länge 258"
2' 40", in Anomalie 290^' 58' 0".

c) 360« -|-77"2'- 290058' = 146«4'.

d) Aus dem bei dem Mars S. 204, 1 angegebenen Grunde.

15*

228 Elftes Buch. Fünftes Kapitel.

Fünftes Kapitel.
Nachweis der Exzentrizität und des Apogeums des Saturn

Da fär die vorliegende Aufgabe noch übrig bleibt, aucl
die an dem Planeten Saturn theoretisch betrachteten Anomaliei
und ihre Epochen nachzuweisen, so wählten wir, zunächs
wieder zur Feststellung des Apogeums und der Exzentrizität
Ha 268 wie bei den anderen Planeten, drei dem mittleren Orte dei
6 Sonne diametral gegenüber eingetretene Oppositionen. Ai
den astrolabischen Instrumenten beobachteten wir

die erste im 11*®° Jahre Hadrians am 7/8. ägyptischer

Pachon abends (26. März 127 n. Chr. 6^^ abends) indür; 1<^13';''

10 die zweite im 17*®" Jahre Hadrians am 18. ägyptischer

Epiphi; hier berechneten wir Zeit und Ort der genauer

Hei 393 Opposition mit Hilfe der vor und nach derselben angestellter

Beobachtungen auf 4 Stunden nach dem Mittag des 18. Epiph

(3. Juni 133 n. Chr. 4^ nachmittags) in ^9H0';^)

16 die dritte im 20*®" Jahre Hadrians am 24. ägyptischer

Mesore; auch hier berechneten wir wieder die Zeit de]

gen auen Opposition: sie hatte gen au am Mittag des 24 Meson

(8. Juli 136 n. Chr. 12^ mittags) stattgefunden, ihr Ort wai

^14^14'.®)

20 Die beiden Zwischenzeiten betragen

zwischen erster und zweiter: 6^70*^22^;
zwischen zweiter und dritter: 3*35*^20^.

Der scheinbare Lauf des Planeten beträgt in der
'ersten Zwischenzeit (von :£=: 1^13' bis ^ dHO') 68^27'
25 zweiten Zwischenzeit (von t 9^40' bis .6 14^14') 34^34'

a) Für 873*246'i6^ ergibt die Nachprüfung als mittleren Or
der Sonne T lM2'54".

b) Für 879* 317* 4h ergibt die Nachprüfung als mittleren Or
der Sonne H 9*^39' 16".

c) Für 882* 353* 0^ ergibt die Nachprüfung als mittleren Or
der Sonne O 14" 14' 38".

Exzentrizität und Apogeum des Saturn. 229

Endlich beträgt der mittlere Lauf in Länge (auf Minuten)

abgerundet

für die erste Zwischenzeit*) 75^43',

für die zweite Zwischenzeit^) 37^52'.

Unter Zugrundelegung dieser Intervalle weisen wir wieder 5
die in Frage stehenden Verhältnisse vermittelst desselben
Beweis Verfahrens, als ob es sich zunächst nur um einen
Exzenter handelte, auf folgende Weise nach.

L Vorläufiger Nachweis der Exzentrizität und des Apogeums.

Um unnötige Wiederholungen B^ -^..^^ 10

zu vermeiden, sei (ohne weiteres)

die demselben Beweisgang ent- / Y\ ^?^ { Hei 894

sprechende Figur vorgelegt.

A. 1. Da der Exzenterbogen Bf
^S. 228, 25) nach der Annahme \ ^2^~^C^ ( / ^^

34^34' in der Ekliptik unterspannt,
30 ist als Zentriwinkel der Ekliptik

/, BAT = 34^34' wie 422 = 360%
= 69« 8' wie ^i2 = 360*,
folglich auch /.EAH = 69<' 8' (als Scheitelwinkel), 20

mithin 6 EH = 69° 8' wie © EH A = 360®,
also s E H = 68^ 5' wie Ä A E = 120^.

Da femer der Bogen BT (oben Z. 4) 37^52' beträgt, so
5t als Peripheriewinkel

^BEr= 37«52' wie ^i2 = 3600. 25

(Nun war /,BAr= 69» 8' wie ^iJ = 360<*)
folglich /,EBH= 31<^16' als Differenz,
mithin 6EH= 31« 16' wie ©EHB = 360«,
also sEH= 32^20' wie ÄBE = 120P.
Setzt man EH= 68^ 5' wie 7iAE = 120P, 30

so wird BE = 252^41' in demselben Maße. Hei 395

a) Für 6*70^221^ ergibt die Nachprüfung 75*'42'51".

b) Für 3«» 35* 20^ ergibt die Nachprüfung 37°52'19".

230 Elftes Buch. Fünftes Kapitel.

2. Da der ganze (Exzenter-) Bogen ABT (S. 228,24.25)
103^ 1' in der Ekliptik unterspannt, d i. die Summe der beiden
Intervalle, so ist als Zentriwinkel der Ekliptik

/.A Ar = 103*^ 1' wie 4J? = 360«,
5 folglich /,AAE= 76" 59' als Nebenwinkel,

= 153<>58' wie 2B = S60'>,
Ha 270 mithin 6 EZ = 153<>58' wie © EZA = 360«,

also sEZ = 116^'55' wie hAE = 120^.

Da ferner der Exzenterbogen ABf (S. 229, 3. 4) in Summa
10 113^35' beträgt, so ist als Peripherie winkel

LAEr = 113«35' wie 5i? = 360<^.
Nun war /. AAE = 153°58' wie ^E = 360^
folglicli /,EAZ= 92^ 27' als Ergänzung zu 360<>(im Dreieck),
mithin 6EZ= 92«27' wie © EZA = 360^
15 also sEZ= 86^39' wie /iAE = 120P.

Setzt man EZ = 116^55' wie /iAE = 120P,
so wird AE = 161^55' in demselben Maße.

3. Da der Exzenterbogen (AB) (S.229,3) 75<^43' beträgt,
so ist als Peripheriewinkel

Hei 396 ^AEB= 75*' 43' wie 5^ = 360»,

" n.itMn(;-:-:::|-©AO. = 3eO»,

also (;-:~) wie. AE = X.O.

25 Setzt man AE = 161^55' wie /iAE = 120P,
so wird A0= 99^43' und E0 = 127^51'.
Nun war BE = 252^41' in demselben Maße,

Ha 271 folglich 0B = BE-E0 = 124^50' wie A0 = 99^43'.

Ferner ist 0 B^ = 15583^' 22' und A 0« = 9877^' 3',

30 folglich AB2=25460P'25' als Summe,

mithin AB= 159Pa4'wie j^|:2^^,

4. Setzt man nun als Sehne, die den Bogen AB von 75^43
unterspannt.

Exzentrizität und Apogeum des Saturn.

231

so wird

in demselben Maße,

s AB = 73^39' wie exdm = 120^,
\ AE = 55^23'
\ AE = 74P43'
also ea?6AE = 77« 1' (wie OABr = 360'>),
1 6 A E 4- 6 A B r = 190036', (s. S. 230, 9)
^^ ^^ 1 6 rE = 169^24' als Ergänzung zu SÖO*,
folglich 5 rE = 119^28' wie exdm = 12Qr^.

Hei 897

B- Es sei demnach das Zen-
trum des Exzenters innerhalb
des Segments EAP angesetzt,
weil letzteres größer als ein Halb-
kreis ist. Dieses Zentrum sei
der Punkt K. Durch K und A
ziehe man den durch beide Zen-
tren gehenden Durchmesser
^KAM des Exzenters, fälle von
K auf r E das Lot K N und ver-
längere es bis Z. Nach dem
äbengefübrten Beweise war

srE = 119P28'| ^.^ rfr«AM = 120P,
AE= 55P23'J '

mithin rA= 64^5' als Differenz.

Nun ist (nach Eukl. III. 35) das aus den Geraden AE und
"A gebildete Eechteck gleich dem Rechteck, welches aus
\A und AM gebildet wird, also

AE.rA = AA-AM,
mithin AA • AM = 3549P'9' wie d5/wAM = 120P.

10

15

20

Hei 398

26

Ha 272

Es ist ferner (nach Eukl. II. 5) die Summe des aus AA
md AM gebildeten Rechtecks und des Quadrats von AK
gleich dem Quadrat des halben Durchmessers, d. i. gleich 30
lern Quadrat von AK (d. i. = 3600^'), also

AAAM + AK* = AKl
Nun ist AK2 = 3600P'-3549pV = 50P'51S
folglich AK = 7^8' wie exdm = 120^.

232 Elftes Buch. Fünftes Kapitel.

Hiermit ist die Verbindungslinie zwischen den Zentren
(der Ekliptik und des Exzenters) gefunden.

C. Es ist ferner nachgewiesenermaßen (da FE gleich
119^28') die Hälfte von TE, d. i. (nach Eukl. III. 5)

6 l'^^'^y] wie^mAM = 120P,

AE = 55P23'J

folglich AN = EN-AE = 4P21' wie AK = 7^8'.

Setzt man hAK = 120^,

so wird sAN= 73^11' in diesem Maße,

10 also 6AN= 75M0' wie e ANK = 360*,

mithin /,AKN= 75*» 10' wie <2i2 = 360«.

= 37*35' wie 4jB = 360,

folglich 6M== 37*35', weil AKN Zentriwinkel.

Hei 399 Nun ist 6 TE = 84*42' als Va^TEE, (S. 231,6)

15 folglich & TA = 180* -[6 ME + 6 FE],

= 57*43'.

Hiermit ist zunächst der Bogen gefunden, welcher
a) die Entfernung von dem Apogeum bis zu dem Ort der
dritten Opposition (/^ 14^14') mißt. Weiter ergibt sich
20 b) die Entfernung von dem Apogeum bis zu dem Ort der
zweiten Opposition (v^ 9^40'). Da (S. 229,4) der Annahme nach

6 BT = 37*52' (und 6 TM = 57*43'),
so ist 6BA = &rA-6Br,
= 19*51';

Ha 273 c) die Entfernung des Ortes der ersten Opposition (^ 1^1 3')
26 bis zu dem Apogeum. Da (S. 229,3) der Annahme nach
6 AB = 75*43' (und &BA = 19*51'),
so ist 6AA = 6AB-6BA,
= 55*52'.

II. Nachweis der Differenzbogen.
31 Da nun wieder der Mittelpunkt des Epizykels sich nicht
auf diese mExzenter bewegt, sondern auf demjenigen, welcher
mit dem Abstand KA um den Halbierungspunkt der Strecke

Exzentrizität und Apogeum des Saturn.

233

A K als Zentrum beschrieben wird, so haben wir im weiteren
Verfolg, wie schon bei den anderen Planeten, die Differenzen,
welche sich für die in der Ekliptik gemessenen scheinbaren
Intervalle ergeben, unter der (vorläufigen) Annahme be-
rechnet, daß die gefundenen Verhältnisse annähernd die 6
»richtigen seien, wenn man den Lauf des Epizykels auf den
(bisher) zugrunde gelegten Exzen- Nr

ter überträgt, welcher die Anomalie
zur Ekliptik bewirkt. ^

A. Es sei die Figur für den ähn-
lichen Beweisgang bei der ersten
Opposition vorgelegt, und zwar soll
5ie die Stellung vor Passierung des
A.pogeums A zeigen. g)

1. Nachgewiesen wurde (s.
"5.232,29 &AA) der Winkel des
gleichförmigen Laufs in Länge

/. NZZ= 55° 52' wie 4B
^olglich auch /,AZH= 55<'52' (als Scheitelwinkel),

= 111°44' wie ^jB = 360^ 20

6AH = 111H4'] . ^ ...^ „.«« Hei400

,&ZH =
sAH =

67^20 .

3P34' wie exhmAA = 60"^, (S. 231,84) 25
2^57' und ZH = 2P0'.
AH* = AH^ Ha 274

mithin

also

1,1

,sZH =

Setzt man vbl A Z =

so wird A H =

Nun ist AA*-

es'^ie'j

^'1 wie 7iAZ = 120P.
)'J

mithin

A H = 59^ 56' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil ZA = AE)
ZH = H0

E0 = -2AH

(Eukl. VI. 2. 4)

mithin {AO = AH + H0 = 61P56'| (^ieAA = 60P).
mitnm i ^^ (= ^ AH) = 5^54'} ^ ^

30

234 Elftes Buch. Fünftes Kapitel.

(Nun ist A0« + E0* = AE2)
mithin hAE= 62^13' in demselben Maße.
Setzt man hAE = 120^,

so wird sE0= 11^21' in diesem Maße,
5 also 6E0= 10°51' wie © E0A = 36O°,

folglich /,EA0= 10^51' wie 2B = S60\

Hei 401 3. Setzt man nun (wie oben in dem Maße von AA = ZE
nachgewiesen)

E0 = 5P54' wie exhmZE.=^QO^,

'' so wird (||j=^|^>,:,J) in diese:. Maße.

(Nun ist E02 + E02 = EE=*)
mithin h=.E= 64^16' in demselben Maße.
Setzt man h=.E = 120^,
15 so wird sE0= 11^ 2' in diesem Maße,

also 6E0= 10° 33' wie 0E0E = 36O',
mithin /,EE0= 10°33' wie .22^ = 360^
Nun war /.EA0= 10*^51' wie ^J2 = 360^
folglich /,AEE= ons' als Differenz,
20 = 0° 9' wie 4B = S60^.

Das ist der Winkel der gesuchten Differenz. Nun hatte
der Planet bei der ersten Opposition auf der Geraden EA
als scheinbaren Ort ^ 1^13' inne. Hieraus ergibt sich fol-
gendes. Wenn sich der Mittelpunkt des Epizykels nicht auf
Ha 275 dem Exzenter AA, sondern auf dem Exzenter NE bewegte,

26 so würde er sich in dem Punkt Z des letzteren befinden,
und der scheinbare Ort des Planeten würde auf der Geraden
EE (nicht in =±^ 1^13', sondern) um 0^9' gegen die Richtung
der Zeichen weiter rückwärts der Stellung in Punkt A in

30 ^ iH' liegen.

B« Es sei wieder auch die Figur der zweiten Opposition
für denselben Beweisgang vorgelegt, und zwar soll sie die
Stellung nach Passierung des Apogeums zeigen.
Hei 4Ö2 1. Nachgewiesen wurde (s. S. 232,24 hBA) als Bogen des
35 Exzenters (des gleichförmigen Laufs)

Exzentrizität und Apogeum des Saturn.

6EN= 19«51',
mithin /.EZN= 19° 51'

wie 4i? = 360^
folglich auch /,AZH= 19*>5l'

als Scheitelwinkel,
= 39U2'
wie ^i2 = 360°,

I 6AH= 39U2'
1,6ZH = 140018'
wie © AHZ = 360^

sAH= 40^45']
,sZH = 112P52'j
wie /iAZ = 120P.

235

mithin

also

Setzt man AZ= 3^34' wie exhni AB ==> 60^,

so wird AH= 1^13' und ZH = 3^21'.

Nun ist AB2-AH* = BH*,

mithin BH= 59^59' in demselben Maße.

10

2. Es ist ferner (weil ZA = AE)

ZH = H0

E0-^AH

B0 = BH + H0 = 63P2O

E0(= ^AH) = 2^26
B0« + E0' = BE2)
ÄBE= 63^23' in demselben Maße,
7iBE = 120P,

sE0= 4^36' in diesem Maße,
&E0= 4°24' wie 0 E0B = 36a",

mithin

(Nun ist

mithin

Setzt man

so wird

also

(Eukl. VI. 2. 4)

'I (wie AB = 60P).

15

Hei 403
20
Ha 276

folglich ^ EB0= 4^24' wie 2E = S60^

3. Setzt man, wie oben (in dem Maße von AB = ZZ)
lachorewiesen, 25

E0 = 2^26' wie €xhmZE==GO^,

in diesem Maße.

. , ,Z0(= 5ZH) = 6^'42'l
so wird ^H0 = ZH + Z0 = 66^^42'J

(Nun ist Z02-f E0''' = EE2)
mithin /iEE = 66^45' in demselben Maße.

30

236

Elftes Buch. Fünftes Kapitel.

Setzt man

hEE =

120P,

so wird

sE0 =

4P 23'

in diesem Maße,

also

6E0 =

4012'

wie ©E0Z = 36O«,

mithin

LEEQ^

4«12'

wie ^i2 = 360».

Nun war

Z.EB0 =

4° 24'

wie 3M = 360»,

folglich

iBEE =

0^2'

als Differenz,

=

0» 6'

wie 4JR = 360".

Der Planet hatte bei der zweiten Opposition auf der Ge-
raden EB als scheinbaren Ort f 9^4:0' inne. Wenn sein
10 scheinbarer Ort wieder auf der Geraden EZ läge, so ist
Hei4C4 auch hier klar, daß er (weiter vorwärts) in .;^ 9^46' stehen
würde.

Nun war (S. 234, so) nachgewiesen, daß der Planet bei

der ersten Opposition unter der gleichen Voraussetzung in

15 ^1®4' gestanden haben würde. Hieraus geht hervor, daß

das scheinbare Intervall von der
ersten bis zur zweiten Opposition,
wenn es theoretisch auf den Ex-
zenter NE bezogen würde, in der
Ekliptik (von ^ 1«4' bis ^9^46')
68^42' (statt 68^27') betragen
müßte.

C. Ebenso sei auch die Figur der
dritten Opposition in derselben Stel-
lung, wie sie für die zweite Oppo-
sition (d.h. nach Passierung des
Apogeums) angesetzt war, vorgelegt.

1. Es wurde nachgewiesen (s. S.
232, 16 b TA), daß

6N== 57^3',

mithin /.EZN= 57° 43' wie 4E = 360^

folglich auch /.AZH= 57 H3' (als Scheitelwinkel),

= 1150 26' wie5E = 360°,

30

35

mithin

^^1 ,6ZH

= 115°26'[
= 64^34'!

wie ©AHZ = 360«,

Exzentrizität und Apogeum des Saturn.

237

also

Setzt man
so wird

Nun ist
mithin

sAH = 101^27'
,sZH= 64P 6'

AZ= 3P34'
AH= -SP 1'

wie ÄAZ = 120P.

wie exhm A r= 60^,
und ZH = lP54'.

Hei 405

Ar«-AH«=rH2,

PH = 59^56' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil ZA = AE)

ZH = H0

E0 = 2AH

r0 = rH + HO = 61^50'
E0(=2AH) = 6P 2'

r0HE0* = rE*)
Ä TE = 62P 8' in demselben Maße.

mithin

(Nun ist
mithin

(Eukl. VI. 2. 4)

(wie Ar=

6OP).

Setzt man h FE = 120"^^

so wird sE0= ll'^SQ' in diesem Maße,

also 6E0= 11« 9' wie©E0r=36O^

folglich /,Er0= 11° 9' wie 5J2 = 360^

2. Setzt man (wie oben in dem Maße von Ar=ZZ nach-
gewiesen)

E0 = 6^2' wie ea:/iw Z E = 60^,

' Z0(=2ZH) = ^y\ in diesem U.&e.
E0 = ZE + Z0 = 63^48'!

so

wird

10

15

20
Ha 278

(Nun ist

E0HE0'=^

E2)

mithin

hEE= 64P 5'

in demselben Maße.

Setzt man

7iEE = 120P,

Hei 406

so wird

sE0= 11^18'

in diesem Maße,

26

also

&EQ= 10H9'

wie ©E0E = 36O^

mithin

/.E£0= 10U9'

wie 5E = 360^

Nun war

/.Er0= 11<> 9'

wie 5i^ = 360^

folglich

Z.rE5= 0°20'

als Differenz,

30

= 0°10'

wie 4E=360^

Da der scheinbare Ort des Planeten bei der dritten Op-
position (S. 228, 19) auf der Geraden ET in /g 14^14' lag,

238 Elftes Bucli. Fünftes Kapitel.

so geht hieraus hervor, daß er, wenn er sich auf der Ge-
raden EZ befände, (0°10' weiter vorwärts) in /g 14^24'
liegen müßte. Es betrug somit wieder, theoretisch auf den
Exzenter N E bezogen, das scheinbare Intervall von der zwei-
5 ten bis zur dritten Opposition (d. i. von ^ 9^46' bis ^ 14^24')
34038' (statt 34034').

m. Wiederaufnahme des Beweisverfahrens.
Unter Einsetzung der (S. 231 f. und) vorstehend für
diese Intervalle gewonnenen Werte fanden wir bei (noch-
10 maliger) Durchführung desselben Beweisverfahrens (1)

1 . die Verbindungslinie zwischen den Zentren der Eklip-
tik und des Exzenters, welcher die gleichförmige Bewegung
des Epizykels bewirkt, d. i. die EZ gleiche Strecke*^
(AK) = 6^50' wie ca:-c?m = 120^ (statt 7^8' S. 231,34);

15 2. die Bogen desselben Exzenters

a) von dem Ort der ersten Opposition bis zum Apo-

geum

(6AA) = 57'»5' (statt 56" 52' S. 232,29);

b) von dem Apogeum bis zu dem Ort der zweiten Op-

90 Position

(5BA) = 18''38' (statt 19°51' S. 232,24);

c) von dem Apogeum bis zu dem Ort der dritten Op-
position

(& TA) = 56^30' (statt 57H3' S. 232,16).

25 IV. Probe der Endergebnisse.

Hei 407) Auf diesem Wege sind die vorstehenden zahlenmäßigen
Beträge wieder genau ermittelt.^^ Denn erstens ergeben

a) EZ bezieht sich auf die bisherige Figur S. 236, die fol-
genden in Parenthese beigefügten Buchstaben auf die Figur
S 231.

b) Daher fehlen auch bei dem Saturn die Abschnitte B und
C des Absatzes III S. 189 f. Die Unterschiede in den Entfer-
nungen der drei Oppositionen vom Apogeum gegen die vorher
ermittelten betragen nur je 1°13'.

Exze^trizität und Apogeum des Saturn.

239

{ sich vermittelst dieser Beträge die Differenzen der Ekliptik-
j bogen ohne wesentlichen Fehler als dieselben wie die vor-
1 her (S 236,21; 238,6) gewonnenen, zweitens lassen sich
' ans ihnen die scheinbaren Intervalle des Planeten be-
rechnen und werden in Überein- a
Stimmung gefunden mit den (S.
228, 24. 25) durch die Beobachtung
festgestellten. Dies wird uns auf
, dem ähnlichen Wege klar werden.

A. Vorgelegt sei die Figur der "
ersten Opposition mit der Beschrän-
kung auf den Exzenter, welcher den
Mittelpunkt des Epizykels trägt.

J. Als Zentriwinkel des Exzen-
ters (des gleichförmigen Laufs) ist

^AZA= 57° 5' wie 4i^ = 360^
= 114^0' wie 5E = 360^
folglich auch /. AZH = 114«10' als Scheitelwinkel,

mithin! ^ ^^ = ^^^'^^' 1 wie ©AHZ = 3600,

mitnm| ^^^H^ 65050') ^

, ( SAH = 100^44'] _. ,
al<5o { ^ { wie n

^^^1 ,sZH= 65^13'/

s AH = 100^44
ZH= 65^13

Setzt man vUAZ= 3^25
so wird AH= 2^52

Nun ist AA2-AH« = AH2,
mithin AH = 59^56' in demselben Maße,

AZ = 120P.

wie exJim A A = 60^,
und ZH = lP51'.

10

15

20

Hei 408

25

2. Es ist ferner (weil Z A = A E)

ZH = H0

E0 = 2AH

A0 = AH + H0 = 6lP57'

E0(=2AH)

A02 + E02 = AE^

h t\E= 62^ 3' in demselben Maße

mithin •

(Nun ist
mithin

(Eukl. VI. 2. 4)

„ , , (wie AA
= 5P44' ^

60^).

30

Ha 280

240 Elftes Buch. Fünftes Kapitel.

Setzt man 7jAE = 120P,

so wird sE0= 11^ 5' in diesem Maße,

also 6E0= 10<>36' wie©E0A = 36O^

mithin LEAZ= 10^36' wie ;2i2 = 360°.

Nun war /_ AZA = 114'^10' wie 5E = 360^
folglich /.AEA = 103*^34' als Diiferenz,

= 51°47' wie 4i? = 360".

So viel Grade stand demnach der Planet bei der ersten
Opposition vor dem Apogeum.

10 ^^^-^ B. Es sei ferner entsprechender-

weise die Figur der zweiten Oppo-
sition vorgelegt.

1. Es wurde nachgewiesen (s. S.
238,21 6BA), daß

15 / \\l/\ /.BZA = 18<>38' wie 4i? = 360«,

= 37^6' wie 2B = 3eO'';
folglich auch

Hei 409 E ^AZH = 37n6' als Scheitelwinkel,

mithin! ^^^^ ^^°^®'|wie ©AHZ = 360»,
20 mitmuß ^5ZH = 142°44'J

alsof '^^^ '^y.]wiehAZ = 120^.

\ ,sZH = 113^43'

Setzt man AZ= 3^25' wie eo-T^w A B = 60^,
so wird AH= 1^ 5' und ZH = 3P14'.

Ha28i Nun ist AB«-AH2 = BH^

26 mithin BH = 59^69' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil ZA = AE)
ZH = H0

30

(Eukl. VI. 2. 4)
E0 = 2AHJ

mithin! B0 = BH4-H0 = 63P13'} .^ ab = 60P).
mithmj E0(=2AH) = 2^10') ^

Exzentrizität und Apogeum des Saturn.

241

(Nun ist B0=' + E0' = BE2)
mithin hBE= 63^15' in demselben Maße.

Setzt man

hBE =

120P,

so wird

sE0 =

4P r

in diesem Maße,

also

6E0 =

3<>56'

wie eE0B = 36O»,

mithin

/.EB0 =

3» 56'

wie 2B = 360^

Nun war

/.BZA =

37°16'

wie ^i^ = 360^

folglich

L BEA =

33« 20'

als Differenz,

=

16U0'

wie 4i^=360o.

Hoi 410
5

Bei der zweiten Opposition lag demnach der scheinbare 10
Ort des Planeten 16^40' hinter dem Apogeum. Nun war
(S. 240, 7) nachgewiesen, daß bei der ersten Opposition
der Planet 51^47' vor demselben Apogeum gestanden hatte.
Folglich beläuft sich in Übereinstimmung mit den (S. 228,24)
aus den Beobachtungen gewonnenen Graden das scheinbare 15
Intervall von der ersten Opposition bis zur zweiten in Summa
auf 68^27'.

C. Es sei nun auch die Figur
der dritten Opposition vorgelegt.

1. Es war nachgewiesen (s. S.
238, 24 h TA), daß

/, rZA= 56*' 30'

wie 4jB = 360«,
= 1130
wie ^J2 = 360^
folglich auch /,AZH = 1130

als Scheitelwinkel,
6AH = 113»
,bZH= eT'^

20

mithin

wie eAHZ = 360«,

also

Setzt man
so wird

Nun ist
mithin

sAH = 100P 4'

,sZH= 66^14'

AZ= 3P25'

AH= 2^51'

25

Ha 28i
Hei 411

wie 7iAZ = 120P.

wie exhm A r= 60^,
und ZH = lP53'.
AP-AH'=^H^
rH= 59^56' in demselben Maße.

30

Ptolemäus, übera. v. ManitiuB. II.

16

242

Elftes Buch. Fünftes Kapitel.

10

Hei 412

2. Es ist ferner (weil ZA =

= AE)

ZH=H0 1

E0 = 2Ah} (Eukl.VL2.4)

mithin |

r0 = rH-f H0

E0(=2AH)

:-:-;j(wieAr=eo,,

(Nun ist

r0HEö' = rE')

mithin

hrE= 62P 5'

in demselben Maße.

Setzt man

ÄrE=120P,

so wird

sE0= 11^10'

in diesem Maße,

also

6E0= 100 32'

wie eE0r = 36OO,

mithin

/.Er0= 10°32'

wie 2B = Z&0\

Nun war

i rZA = 113"

wie ^12 = 3600,

folglich

/.rEA = 102^28'

als Differenz,

= 5m4'

wie 4i^ = 360^

15 So viel Grade lag demnach bei der dritten Opposition der
scheinbare Ort des Planeten hinter dem Apogeum. Nun
war nachgewiesen, daß er auch bei der zweiten Opposition
dasselbe Apogeum 16^40' hinter sich hatte. Folglich be-
läuft sich, wieder in Übereinstimmung mit den (S. 228, 25)

20 aus den Beobachtungen gewonnenen Geraden, das scheinbare
Intervall von der zweiten bis zur dritten Opposition als Dif-
ferenz (von 5m4'-16H0') auf 34034'.

V. Lage des Apogeums.

Ha 283 Der Planet hatte bei der dritten Opposition in ^14^14'
26 das Apogeum, wie feben) nachgewiesen wurde, 51^14' hin-
ter sich. Folglich ist ohne weiteres klar, daß damals das
Apogeum der Exzentrizität (51^14' rückwärts) in 11) 23^
lag und das Perigeum diametral gegenüber in \j 23°.

VI. Nachweis der mittleren Länge und der Anomalie.

30 Wenn wir um den Mittelpunkt T den Epizykel HK be-
schreiben, werden wir ohne weiteres erhalten

Elftes Buch. Sechstes Kapitel.

243

1. von dem Apogeum des Exzenters ab den mittleren Ort
des Epizykels in Länge mit den (S. 238, 23) nachgewiesenen

56^30';

2. den Epizykelbogen 0K (von
dem Perigeum K bis zu dem Pla-
neten in 0) mit 5'' 16' (wie eps
= 360«), weil (S. 242, ll) nach-
gewiesen worden ist, daß L EfZ
= 10^32' wie ^22 = 360^ Es
bleibt somit für den Bogen H 0
von dem Apogeum des Epizykels
bis zu dem Planeten (180^ —
5^16' =) 174^44' übrig.

Zur Zeit der dritten Opposi-
tion, d. i. im 20*®^ Jahre Hadrians am 24. ägyptischen Me-
sore mittags (8. Juli 136 n. Chr. 12^ mittags), stand dem-
nach der Planet Saturn, theoretisch auf die mittleren Örter
bezogen, in Länge von dem Apogeum (iT\ 23^) des Ex-
zenters 56^30' entfernt, d.h. sein mittlerer Ort*) war (^ 14^14'
-f /. Erz =) ^ 19° 30', während er in Anomalie von dem
Apogeum des Epizykels 174^44' entfernt war. Dies zu fin-
den war als Aufgabe gestellt.

15

20

Sechstes Kapitel.

Nachweis der zahlenmäßigen Größe des Epizykels

des Saturn.

Weiter wählten wir wieder, um die zahlenmäßige Größej^ei ^ä
des Epizykels nachzuweisen, eine Beobachtung, welche wir
im 2*®^ Jahre Antonius am 6/7. ägyptischen Mechir 4 Aqui- 25
noktialstunden vor Mitternacht (22. Dezember 138 n. Chr.
8^ abends) angestellt hatten. Am Astrolab kulminierte T 30^,
während die mittlere Sonne in f 28*^41' stand.^) Damals
hatte der Planet Saturn, mit Bezug auf den glänzenden Stern

a) D. i. der auf der Leitlinie Z f liegende Ort.

b) Für 885*155^8^ ergibt die Nachprüfung / 28Ul'14".

16^

244 Elftes Buch. Sechstes Kapitel.

(Aldebaran) der Hyaden anvisiert, als scheinbaren Ort :^ 9^4'
inne und blieb hinter dem Zentrum des Mondes ungefähr
einen halben Grad (östlich) zurück; denn so weit stand er
von dem nördlichen Hörn des Mondes*^ entfernt. Nun war
5 für jene Stunde^^ (nach den Mondtafeln berechnet)

der mittlere Ort des Mondes :rc 8^55'

die Entfernung von dem Apogeum des Epizykels

in Anomalie , 174^15'

daher der genaue Ort^^ =^ 9^40'

Hei 415 der scheinbare Ort für Alexandria^^ ^c 8° 34'.

11 So mußte also der Planet Saturn, da er ungefähr einen
halben Grad hinter dem Zentrum des Mondes (östlich) zu-
rückblieb , in cc 9^ 4' stehen , war demnach von demselben
Apogeum des Exzenters (d. i. von 1T\ 23°), weil dieses auf

15 eine so kurze Zeit keinen nennenswerten Fortschritt in Be-
wegung zeigt, 76^4' entfernt.

Da ferner die von der dritten Opposition bis zu dieser

Beobachtung (vom 24. Mesore mittags 883 Nab. bis zum

Ha 285 6.Mechir 8^ abends 886 Nab.) verflossene Zeit 2 ägyptische

20 Jahre, (7 + 5 + 1 50 + 5=) 167 Tage und 8 Stunden be-
trägt, und da sich der Saturn in dieser Zeit rund*^^ 30^3'
in Länge und 134^24' in Anomalie bewegt, so werden wir,
wenn wir diese Grade zu den für die dritte Opposition (S. 243,
19. 2l) festgestellten Örtern addieren, zur Zeit der vorliegen-

25 den Beobachtung in Länge von dem Apogeum des Exzen-
ters (56^30' + 30^3'=) 86<^33' erhalten, in Anomalie
von dem Apogeum des Epizykels (174^44' + 134^24' ==)
309*8'.

a) Der Mond stand in Sichelform etwa 5*^ vor dem ersten
Oktanten und hatte 1^36' südliche Breite. S. Anm. 22. i.

b) Die Nachprüfung ergibt t^v* 8"57'43" und 174n9'53" in
Anomalie. Da der Mond 40'' mittlere Elongation hatte, so machte
sich die zweite Anomalie geltend. Hierzu s. Anm. 8.

c) Da der Mond westlich des Meridians stand, so wirkte die
Längenparallaxe gegen die Richtung der Zeichen.

d) Die Nachprüfung ergibt 30<^2'59" in Länge und 134» 23' 33"
in Anomalie.

Epizykel des Saturn.

245

Es sei wieder die Fi-

Diese Zahlen sollen gegeben sein.
gur(S. 22l)fürden
ähnlichen Beweis
vorgelegt. Nur muß
sie (hier) den zu-
grunde gelegten Ör-
tern entsprechend
die Lage des Epi-
zykels nach Passie-
rung des Apo-
geums des Exzen-
ters und den Pla-
neten in derStellung
vor Passierung des
Apogeums des Epizykels zeigen.

1. Als gegeben ist zugrunde gelegt

/_AZB= 86*» 33' wie 4J2 = 360°,
= 1730 6' ^ie 2B = SeO\
folglich auch /.AZM-1730 6' (als Scheitelwinkel),

f 6 AM = 173« 6') .^ ^^2 = 3600,
,6ZM= 6«54'| ^

sAM = 119P47'

mithin

also ]

Setzt man
so wird

Nun ist
mithin

ZM

7^13

:|

vhl AZ= 3^25'
AM= 3^25'

wie /iAZ = 120P.

wie exhmAB = 60^,
und ZM = 0Pl2'.

AB2-AM- = BM*,
BM = 59^54' in demselben Maße.

2. Es ist ferner (weil ZA = AE)

EA = 2AmI (E^^kl-

BA = BM-|-MA = 60i^ 6'

EA(=2AM) = 6^50'.

BAHEA2 = EB*)
hEB= 60^29' in demselben Maße

mithin

(Nun ist
mithin

VI. 2. 4)

(wie AB

10

16

30

GQP).

*^

246

Elftes Buch. Sechstes Kapitel.

jetzt man

/^EB = 120P,

so wird

sEA= 13P33'

in diesem Maße,

also

feEA= 12»58'

wie ©EAB = 360^

mithin

/_EBZ= 12»58'

wie 2B = SQ0\

Nun war

/.AZB=173° 6'

wie ^E = 360»,

folglich

/ AEB = 160« 8'

als Differenz.

3. Nach Annahme (S. 244, 16) war gegeben als der Win-
kel, welcher die scheinbare Entfernung des Planeten vom
Apogeum mißt,

10 /,AEK= 76'' 4' wie 4B = U0\

= 152'' 8' wie 512 = 360».

(Nun war /,AEB = 160« 8' wie 2R = SQ0'^)

folglich /1KEB= 8° als Differenz,

mithin 6 B N = 8*^ wie © B N E = 360«,

also sBN= 8^22' wieÄEB = 120P.

Hei 418
16

Setzt man EB= 60^29' wie «a;Äm = 60^, (S. 245,34)

so wird BN= 4^' 13' in diesem Maße.

4. Da die Entfernung des Planeten von dem Apogeum
des Epizykels (S. 244,28) 309^8' betrug, so ist als Supple-
20 mentbogen

5HK= 50^52',
Ha 287 mithin /_HBK= 50<>52' wie ^E = 360«,

= 101« 44' wie 5JR = 360«.

25

30

Nun war

Z.EBZ =

12«58'

wie 2B = S60\

mithin auch

/ HB0 =

12« 58'

(als Scheitelwinkel),

folglich /.0BK =

88« 46'

als Differenz.

Nun war

/ KEB =

8«

wie ^i2 = 360«,

folglich /, BKN =

80« 46'

als Differenz,

mithin

6BN =

80 «46'

wie eBNK = 360«,

also

sBN =

79P45'

wie /iBK=120P.

Setzt man

BN =

4^13'

wie exhm = 60^,

so wird

BK =

6^30'

als ephm.

Elftes Buch. Siebentes Kapitel. 247

Somit sind wir zu dem Ergebnis gelangt, daß erstens
(S. 242, 27) zur Zeit des Eegierungsantrittes Antonius das
Apogeum des Saturn in 1T\ 23*^ lag, daß zweitens (S. 238,14) Hei 4i9
die Verbindungslinie zwischen den Zentren der Ekliptik und
des Exzenters, welcher die gleichförmige Bewegung bewirkt, 5
6^50' in dem Maße beträgt, in welchem der Halbmesser
des den Epizykel tragenden Exzenters gleich 60^ ist, daß
endlich in demselben Maße der Halbmesser des Epizykels
6^30' beträgt, was zu finden als Aufgabe gestellt war.

Siebentes Kapitel.
Korrektion der periodischen Bewegungen des Saturn.

Da noch die Korrektion der periodischen Bewegungen 10
nachzuweisen bleibt, so wählten wir auch für diesen Zweck
wieder eine von den mit zweifelloser Sicherheit aufgezeich- Ha 288
neten alten Beobachtungen, nach welcher mit Bestimmtheit
angegeben wird, daß im 82*®^ Jahre der Zeitrechnung der
Chaldäer am 5. Xanthikos abends der Planet Saturn zwei 16
Zoll unterhalb der südlichen Schulter (y) der Jungfrau ge-
standen habe.

Der Zeitpunkt fällt in das 519*® Jahr seit Nabonassar auf
den 14. ägyptischen Tybi abends (1. März 229 v. Chr. 6^
abends). Für diese Stunde^^ fanden wir die mittlere Sonne 20
in )(6^10'. Nun stand der Fixstern (y) an der südlichen
Schulter der Jungfrau^^ zur Zeit uns er er Beobachtung*'^ (885 Hei 420
Nah.) in 11]) 13*^10', zur Zeit der vorgelegten Beobachtung,
weil auf die Zwischenzeit von 366 Jahren ohne wesentlichen
Fehler 3^40' Bewegung der Fixsterne entfallen, natürlich 26
in iTp 9^30', wo auch der Planet Saturn stehen mußte, weil

a) Für 518*133*6^ ergibt die Nachprüfung X 6<'8'50", ge-
nauer für 7^* X 6° 11' 17". Vgl. jedoch S. 251, 10

b) Im Sternkatalog wird dieser Stern (Nr. 7) bezeichnet als
„von den vier Sternen im linken Flügel der dem vorangehen-
den (tj) nachfolgende".

c) Gemeint ist das Jahr 137 n. Chr. des Regierungsantrittes
Antonius, wie aus der Zwischenzeit von 366 Jahren (519 bis
885 Nah.) hervorgeht. Vgl. S. 15,5; 167,30; 199, 15.20.

1

248

Elftes Buch. Siebentes Kapitel.

er ja zwei Zoll südlicher als der Fixstern stand. Aus dem-
selben Grunde mußte sein Apogeum, da es zu unserer Zeit
(S. 242, 27) in 1T\ 23^ nachgewiesen wurde, zur Zeit der vor-
gelegten Beobachtung in 1T\ 19^20' liegen. Hieraus ergibt
sich, daß zu dem vorliegenden Zeitpunkt der scheinbare Pla-
net von dem damaligen Apogeum (von 1T\ 1 9^ 20' bis 11]) 9^30')
in der Ekliptik 290^10' entfernt stand, während die mittlere
Sonne von demselben Apogeum (von n\ 19*^20' bis )(6*10')

106^50' entfernt war.
DieseZahlen sollen
gegeben sein. Vorge-
legt sei wieder die
(S. 224, 18) bei dem
ähnlichen Nachweis
angewendete Figur.
Sie zeigt hier den Epi-
zykel (gleichfalls) in
der Lage vor Passie-
rung des Apogeums,
aber den Ort der Son-
ne vor Passierung des
Perigeums. Parallel zu letzterem (d.h. zu EA) ziehe man
Ha 289 die Gerade (B0) von dem Mittelpunkte des Epizykels zum
Planeten.
25 1. Da der scheinbare Ort des Saturn die (zu 290^10')
an einem Kreise fehlenden 69^50' vor dem Apogeum stand,
so ist als Zentriwinkel der Ekliptik

Hei42i /.AE0- eg^öO' wie 4B = 3G0\

= 139*40' wie <2i? = 360*'.

30 Ferner ist /. AEA = lOeHO' wie 4JÜ = 360« als Abstand

der Sonne,
= 213» 40' wie 2It = S60^,
mithin ^ AEG = 353*20' als Summe.

Nun ist /. AE0 = /. B0E, weil B0||EA, (Eukl. I. 29)
folglicb auch /, B0 E = 353^ 20' wie 2R = 360»,
35 sowie /.B0N= 6 HO' als Nebenwinkel,

10

15

20

Korrektion der Bewegungen des Saturn.

249

mithin 6 B N =
also s B N =

Setzt m2inephmBQ =
so wird B N =

6» 40' wie ©BN0 = 36O^

6^58' wie 7iB0 = 12OP.

6^30',

0^'23' in demselben Maße,

2. Es ist ferner (wie oben)

^ AEG^lSgUO' wie 5E = 360<>,

folglich /,MAE= 40*20' als Komplementwinkel,

mithin & AM = 139^0' wie ©AME = 360o,

also sAM = 112P39' wie 7? AE = 120^.

Setzt man vfeZAE
so wird A M

3^25' wie exhm AB = 60^,
3^^ 12' in demselben Maße.

Setzt man

so wird

mithin

also

Nun ist A M = £ N , (Eukl. I. 34)
mithin BE = BN + EN = 3^35' wie hAB = 60^.

/?AB = 120P,

sBE= 7^10' in diesem Maße,

6B== 6»52' wie ©BEA = 360«,

/,BAE= 60 52' wie ^i? = 360^

/.BAM == 173" 8' als Komplementwinkel.

(Nun war /,MAE= 40" 20' wie -8^ = 3600,
folglich /,BAE = 213 "28' als Summe,
endlich /. B A A = 146" 32' als Nebenwinkel,
5ZK = 146"32'
,6AK= 33" 28'
sZK= 114^55'
,sAK= 3

Setzt man vblAZ= 3^' 25' wie exhm A B = 60^,
so wird ZK= 3^17' und AK = 0^59',

KB = AB-AK = 59Pl' wie ZK = 3P17'

mithin
also

wie

,| wi

ZKA = 360",
wie /iAZ = 120P.

mithin

(Nun ist
mithin

Setzt man
so wird

KB' + ZK2 = ZB*)
hZB= 59P 6' in demselben Maße.

/iZB = 120P,
sZK= 6^40' in diesem Maße,

10

20

30

250 Elftes Buch. Siebentes Kapitel.

also 6ZK= 6022' wie © ZKB = 360",
mithin LZBK= 6'>22' wie^i2 = 360".

Nun war /_BAA = 146^32' wie 2B = B60\
folglich LAZB = 152<'54' als Summe,
ß = 76<>27' wie 4^ = 3600.

Hiermit ist der Winkel gefunden, welcher den (an einem

Umlauf fehlenden) gleichförmigen Lauf in Länge mißt.

Es stand demnach der Saturn zur Zeit der vorgelegten

Ha 291 Beobachtung in mittlerem Lauf in Länge (360°— 76^27' =)

10 283033' von dem Apogeum (iTl 19*^20') entfernt, d.h. sein

(mittlerer) Ort war 11p 2^53'. Da aber auch der mittlere

Ort der Sonne mit 106^50' gegeben ist, so werden wir, wenn

wir die 360'' eines Kreises dazu addieren und von der er-

Hei 424 haltenen Summe 466^50' die 283^33' der Länge abziehen,

15 auch die Anomalie (d.i. den /.HB0) von dem Apogeum

des Epizykels ab mit 183^17' erhalten.*)

Es ist also nachgewiesen, daß der Planet zur Zeit der
vorgelegten Beobachtung, welche in das 519*® Jahr seit Na-
bonassar auf den 14. Tybi abends (6^) fällt, von dem Apo-
20 geum des Epizykels 183^17' entfernt war; es ist ferner
(S. 243, 21) nachgewiesen, daß diese Entfernung zur Zeit der
dritten Opposition, welche in das 883*® Jahr seit Nabonas-
sar auf den 24.Mesore mittags fällt, 174" 44' betrug. Hier-
aus geht hervor, daß sich der Planet Saturn in der zwischen
26 den Beobachtungen verflossenen Zeit, welche 364 ägyptische
Jahre und (16** + 180^ + 23'^ + 18^=) 219^4 Tage um-
faßt, nach Abzug von 351 ganzen Kreisen^^) 351^27' in Ano-
malie^) bewegt hat. Das ist wieder rund*^) der Überschuß
an Graden (der Anomalie), welcher aus den von uns be-

a) Weil Länge -f Anomalie des Planeten = mittlerer Sonne.
Vgl. S. 173, 31. Die Anomalie berechnet sich also nach der For-
mel: o; + 283^33' = 360« -f 106^50' mit x - 466«50' - U83°33' =
183n7'.

b) Zum ganzen Kreise fehlen dem früheren Orte 360° —
183n7' = 176<>43'; hierzu kommen 174^44'.

c) Die Nachprüfung ergibt für 364*219*18'' in Anomalie
351«26'57".

Elftes Buch. Achtes Kapitel. 251

arbeiteten (Tafeln der) mittleren Bewegungen gewonnen wird,
weil die Feststellung des mittleren täglichen Laufs direkt
auf Grund des hier vorliegenden Materials dadurch erzielt
worden ist, daß in die aus der Zahl der Kreise und dem
Überschuß gewonnenen Grade dividiert wurde mit der An- Hei 425
zahl der aus der Zeit gewonnenen Tage. 6.

Achtes Kapitel.
Epoche der periodischen Bewegungen des Saturn.

Die seit dem Mittag des 1. ägyptischen Thoth des ersten iia 292
Jahres Nabonassars bis zu der vorgelegten alten Beobach-
tung (14. Tybi 6^ abends 519 Nah») verflossene Zeit beträgt
518 ägyptische Jahre und (120^ + IS^^^ 6^=) 133V4Tage. 10
Diese Zeit umfaßt an Überschuß 216^9' in Länge und
149^15' in Anomalie.^^ Daher werden wir, wenn wir diese
Grade von den nach der Beobachtung (S. 250, 10. 16) fest-
gestellten Örtern (283^33' in Länge und 183^17' in Ano-
malie) abziehen, wieder für dieselbe Zeit der Epoche als 15
mittleren Ort für den Saturn erhalten

1. in Länge (216^9' rückwärts von n])2®53') /^ 26^44'^

2. von dem Apogeum des Epizykels in Anomalie 34^ 2'

3. für das Apogeum der Exzentrizität 111 14° 10'.

An dieser Stelle wird letzteres aus demselben Grunde ^^ 20
(5^10' rückwärts von ^\\ 19^'20'j gelegen sein. Dies zu fin-
den war als Aufgabe gestellt.

a) Die Nachprüfung ergibt für 518*133^6^ in Länge 216"
8' 25", in AnomaHe 149« 15' 24".

b) Aus dem bei dem Mars S. 204, 1 angegebenen Grunde.

252

Elftes Buch. Neuntes Kapitel.

10

15

25

30

Neuntes Kapitel.

Gewinnung der genauen Örter aus den periodischen

Bewegungen auf dem Wege geometrischer Konstruktion.

Daß umgekehrt auch die scheinbaren Örter der Pla-
neten sich auf dem Wege geometrischer Konstruktion be-
quem gewinnen lassen, wenn die periodischen Bogen des die
gleichförmige Bewegung bewirkenden Exzenters und des
Epizykeis^' gegeben sind, wird uns auf Grund derselben Vor-
aussetzungen klar werden.

Wenn wir an der einfachen
Figur von Exzenter und Epi-
zykel die Verbindungslinien
ZB0 und EBH ziehen, so
wird, wenn der mittlere
Ort in Länge, d. i. /.AZB
en ist, nach beiden
Hypothesen auf Grund der
früher (I 173f. und 175f.)
geführten Beweise erstens
/.AEB und /.EBZ sich be-
stimmen lassen,
und somit auch
/LHB0, zweitens
das Verhältnis
der Geraden E B
zu dem Halb-
messer (BH) des
Epizykels.^)

Weiter sei
auch der Planet
beispielshalber
in Punkt K des
Epizykels ange-

a) D. h. die Zahlen der mittleren Länge und der mittleren
Anomalie. b) S. folgende Seite.

Elftes Buch. Zehntes Kapitel. 253

nommen. Man ziehe die Verbindungslinien EK und BK;
der Bogen 0 K (d. i. der mittlere Ort in Anomalie) soll ge-
geben sein. Nun werden wir nicht mehr, wie (Fig. S. 245)
bei dem umgekehrten Beweisgange, von dem Mittelpunkt B
des Epizykels auf die Gerade EK ein Lot fällen, sondern 5
von dem Planeten in K auf die Gerade EB, wie hier das
Lot KA. Alsdann wird der ganze Z.HBK (als Summe von
/,0BK4-Z.HB0) gegeben sein, deshalb auch das Verhält-
nis von (den Katheten) KA und AB zu (der Hypotenuse)
B K (nach Eukl. Data 40) und natürlich (nach Eukl. Data 8) 10
auch zu EB; demzufolge auch das Verhältnis der ganzen
Strecke EA(=EB + BA) zu AK (nach Eukl. Data 6.8).
Folglich erhalten wir, nachdem (nach Eukl. Data 41) auch
Z. AEK gegeben ist, auch den ganzen /.AEK (=/-AEB4-
/. AEK), welcher die scheinbare Entfernung des Planeten 15
von dem (derzeitigen) Apogeum mißt.

Zehntes Kapitel.

Praktische Anleitung zur Aufstellung von Tabellen

der Anomalien.

Um nicht jedesmal auf dem Wege geometrischer Kon-
struktion die scheinbaren Örter berechnen zu müssen —
dieses Verfahren ist zwar einzig und allein maßgebend für Ha 294
die absolut genaue Lösung der gestellten Aufgabe, aber doch Hei 428
etwas zu kompliziert zur raschen Erledigung der Ortsbestim- 21
mungen — so haben wir so praktisch wie möglich und zu-
gleich mit größter Annäherung an die absolute Genauigkeit
für jeden der fünf Planeten eine Tabelle bearbeitet, welche
ihre von Fall zu Fall in Rechnung zu ziehenden Anomalien 25
enthält, damit wir, wenn die periodischen Bewegungen von
den betreffenden Apogeen aus gegeben sind, vermittelst dieser
Anomalien ohne weitere Mühe jedesmal auch die schein-
baren Örter berechnen können.

b) Wie dieses Verhältnis sich bestimmen läßt, wenn /, AZB
gegeben ist, wurde für jeden Planeten gehörigen Ortes (z. B.
Buch X. Kap 2 u. Kap. 8) nachgewiesen.

254 Elftes Buch. Zehntes Kapitel.

Jede Tabelle ist wieder aus Rücksicht auf die Symme-
trie der Anordnung zu je 45 Zeilen angelegt und enthält
8 Spalten.

Die ersten beiden Spalten werden, wie bei der Sonne und
5 dem Monde, die Argumentzahlen des mittleren Laufs ent-
halten. Und zwar stehen in der ersten Spalte von oben nach
unten die 180 Grade von dem Apogeum ab, in der zweiten
von unten nach oben die übrigen 180 Grade des Halbkrei-
ses, so daß die Argumentzahl 180" in beiden Spalten in der
10 letzten Zeile steht. Die Zunahme der Grade geht in den
ersten 15 Zeilen von oben nach unten von 6 zu 6 Grad vor
sich, in den übrigen 30 darunter befindlichen Zeilen dagegen
von 3 zu 3 Grad, weil die Unterschiede der Anomalie-
abschnitte zu beiden Seiten der Apogeen auf eine größere
Hei 429 Strecke hin ganz unwesentlich voneinander abweichen, wäh-
16 rend sie zu beiden Seiten der Perigeen einem rascheren
Wechsel unterliegen.

Von den folgenden zwei Spalten wird die dritte die Prosth-

aphäresisbeträge enthalten, welche sich zu den in den zu-

20 gehörigen Zeilen stehenden Argumentzahlen des mittleren

Laufs infolge der größeren Exzentrizität ergeben; indessen

Ha 295 sind sie schlechthin gewonnen, als ob sich der Mittelpunkt

des Epizykels direkt auf dem Exzenter bewegte, welcher die

gleichförmige Bewegung bewirkt.

25 Die vierte Spalte enthält die Differenzen der Prosthaphä-

resisbeträge , welche sich infolge des Umstandes ergeben

müssen, daß sich der Mittelpunkt des Epizykels nicht auf dem

vorbenannten Kreise, sondern auf einem anderen bewegt. ^^^

Die Methode, nach welcher jede Art dieser beiden Be-

30 träge, sowohl zusammen als auch getrennt für sich, auf dem

Wege geometrischer Konstruktion gewonnen wird, ist durch

zahlreiche, vorher von uns ausführlich mitgeteilte Beweis-

gs,üge dem Verständnis zugänglich gemacht worden.*^ Hier

a) 1). h. sowohl in den Berechnungen, denen die Figur mit
beiden Exzentern beigegeben war (wie z. B. S. 209 — 214), als
auch in denjenigen mit der Figur, welche nur den ein|en Ex-
zenter zeigt, auf dem sich der Epizykel bewegt (S. 216—219).

Erklärung der Tabellen. 255

nun war es, wie es sich für ein Lehrbuch gehört, geboten,
dieses wichtige Berechnungsmaterial der auf die Ekliptik
bezogenen Anomalie vor Augen zu stellen und deshalb in
zwei Spalten anzuordnen. Für die Praxis selbst wird je-
doch eine Spalte genügen, welche aus der Prosthaphäresis 5
dieser beiden Spalten kombiniert sein würde.

Jede der drei nächsten Spalten wird die Prosthaphäresis-
beträge enthalten, welche sich infolge der Bewegung auf
dem Epizykel ergeben, wieder schlechthin gewonnen, als ob
die Apogeen und Perigeen der Epizyklen theoretisch nach 10
der Entfernung von unserem Auge betrachtet würden.*^
Außerdem setzen wir voraus, daß die Methode dieser Art Hei 430
des Nachweises durch die früher (1 175 f. und 179 f.) aus-
führlich mitgeteilten Beweisgänge dem Verständnis zugäng-
lich gemacht worden ist. 15

Die mittelste von diesen drei Spalten, die sechste von der ,
ersten ab, wird die Prosthaphäresisbe träge enthalten, w^elche
sich nach den Verhältnissen der mittleren Entfernungen
ergeben, die fünfte die Differenzen, welche sich \für diesel-
ben Gradabschnitte zwischen den Prosthaphäresisbeträgen 20
bei größter und den Beträgen bei mittlerer Entfernung er-
geben, die siebente die Differenzen, welche sich zwi-chen
den Prosthaphäresisbeträgen bei kleinster und den Be-
trägen bei mittlerer Entfernung ergeben. Nach den von uns
geführten Beweisen beträgt nämlich 25

1. die mittlere Entfernung (vgl. Fig. S. 252), d. i. die
theoretisch nach dem Halbmesser (AA) des den Epizykel Ha 296
tragenden Exzenters bemessene, bei allen Planeten 60^ in
dem Maße, in welchem bei jedem Planeten — es empfiehlt
sich mit den obersten anzufangen — 30

bei dem Saturn der Halbmesser des Epizykels = 6^30'
bei dem Jupiter „ „ „ „ =11^30'

bei dem Mars „ „ „ „ =39^30'

a) D. h. der Lauf auf dem Epizykel wird nicht von dem
mittleren, sondern von dem genauen Apogeum aus gerech-
net. S. Anm. 13.2.

256 Elftes Buch. Zehntes Kapitel.

bei der Venus der Halbmesser des Epizykels =43^10'
bei dem Merkur „ „ „ „ =22^30'.

2. Die größte Entfernung, d.i. die auf den Mittelpunkt
der Ekliptik bezogene (AA + AE), beträgt dagegen

6 bei dem Saturn (60^ + 3^' 25' =) 63^26'

bei dem Jupiter (60^ + 2^45' =) 62i'45'

bei dem Mars (60^ + 6^ 0' =) 66^ 0'

Hei 431 bei der Venus (60^ + 1^ 15' =) 61^ 15'

bei dem Merkur (60^-}- 3x3^=) 69^ 0';

10 3. die kleinste in demselben Sinne (AA — AE)

bei dem Saturn (60^- 3^25' =) 56^35'

bei dem Jupiter (60^ - 2^45' =) 57^15'

bei dem Mars (60^ - 6^ 0' =) 64^ 0'

bei der Venus (60^- 1^15' =) 58i'45'

16 bei dem Merkur (60^-4^26' =) 55^34'.»)

Die achte und letzte Spalte ist von uns aufgestellt wor-
den zur Gewinnung der Bruchteile der angesetzten Diffe-
renzen, welche fällig werden, wenn die Epizyklen der Pla-
neten nicht direkt in der mittleren, größten oder kleinsten

20 Entfernung stehen, sondern in den zwischenliegenden
Örtem. Die Berechnung der diesfalls erforderlichen Kor-
rektion ist von uns ausschließlich mit Rücksicht auf die-
jenigen Maxim a der Prosthaphäresisbeträge angestellt wor-
den, welche in jeder Zwischenentfernung an den (Berüh-

25 rungspunkten der) Tangenten eintreten, die von unserem
Auge (d. i. von f) aus an den Epizykel gezogen werden,
wobei wir von der Annahme ausgehen, daß für die Einzel-
abschnitte des Epizykels der Zuschlag der Differenzen
von den Zuschlägen, die für die Maxima der Prosthaphä-

30 resisbeträge gelten, nur ganz unwesentlich verschieden ist.^^

a) Diese Entfernungsstrecke ist S. 146,12 für die beiden Erd-
nähen des Merkur nachgewiesen worden.

b) Die angedeutete Erleichterung der Berechnung ist nach
dem vorliegenden Wortlaut nicht recht verständlich.

Erklärung der Tabellen.

257

Hei 432

Damit das Gesagte deutlicher werde und zugleich der Ha 297
methodische Weg; auf dem wir die Zuschläge gewinnen, sich
erkennen lasse, sei AB TA als
die Gerade vorgelegt, welche
durch die beiden Zentren der
Ekliptik und des die gleichför-
mige Bewegung des Epizjkels
bewirkenden Exzenters geht. Als
der Mittelpunkt der Ekliptik sei
r angenommen, als Zentrum der
gleichförmigen Bewegung des
Epizykels B. Nachdem man die
Verbindungslinie B E Z gezogen,

beschreibe man um den Mittelpunkt E den Epizykel ZH,
ziehe von f aus an denselben die Tangente PH, verbinde f 15
mit E und ziehe endlich die (zu PH nach Eukl. III. 18) senk-
rechte Verbindungslinie EH.*^

Beispielshalber sei angenommen, daß bei jedem der fünf
Planeten der Mittelpunkt des Epizykels von dem Apogeum
der Exzentrizität in gleichförmiger Bewegung 30^ entfernt 20
sei. Durch Wiederholung derselben Beweisgänge würde die
Berechnung einen zu großen Eaum beanspruchen; wir be-
schränken uns daher auf die Mitteilung der Ergebnisse. In
den vorangehenden Kapiteln ist sowohl bei der Hypothese
des Merkur (S. 143 f.) als auch bei der Hypothese der übrigen 25
Planeten (Buch X, Kap. 2 u. 8; Buch XI, Kap. 2 u. 6) ausführ-
lich bewiesen worden , daß, wenn der ^ A B E gegeben ist,
auch das Verhältnis von FE zu dem Halbmesser des Epi-
zykels, d. i. zu H E, sich bestimmen läßt. Die für jeden Pla-
neten einzeln angestellte Berechnung führt bei Annahme des 30
/.ABE = 30^ wie 4R = 360^ zu folgenden Ergebnissen.
Es verhält sich

a) Nach welcher Seite des Epizykels die Tangente gezogen
wird, bleibt sich für die Größe des bei f gebildeten Winkels
gleich, da die rechtwinkligen Dreiecke THE und POE kongru-
ent sind.

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II.

17

258

Elftes Buch.

Zehntes Kapitel.

bei dem Saturn

TE

:HE = 63P 2'

: 6^30'

bei dem Jupiter

11

„ =62^26'

: llP 30'

bei dem Mars

11

„ =65P24'

: 39P 30'

bei der Venus *>

„ =6lP 6'

: 43P 10'

bei dem Merkur

11

„ =66^35'

: 22P 30'.

Hei 433

Demnach werden wir auch den (der Kathete H E gegen-

Ha 298 überliegenden) Z. EPH erhalten ^^, welcher in der vorliegenden

Entfernung (FE) das Maximum der infolge der Bewegung

auf dem Epizykel eintretenden Prosthaphäresis mißt. Es

10 beträgt

bei dem Saturn LETH = 5°55'30" wie 4i? = 360"

bei dem Jupiter „ =10<'36'30" „

bei dem Mars „ =37<' 9' 0"

bei der Venus „ =44"56'30"

15 bei dem Merkur „ = 19^45' 0" „ „ .

Es betragen ferner die Maxima der Prosthaphäresisbeträge
(wenn der Planet im Berührungspunkte der Tangente an den
Epizykel steht) unter den kurz vorher (S. 255 f.) mitgeteil-
ten (drei Entfernungs-) Verhältnissen '^^ — wir behalten die
20 bisher angesetzte Reihenfolge bei, um die Namen der Plane-
ten nicht immer wiederholen zu müssen — in den

mittleren Entfern. 6^3' ll'^ 3'
größten „ 5°53' 10" 34'

kleinsten „ 6*'36' 11<^35'

4m0' 1 46» 0' I 22<' 2'
36*45' i 44*^48' I IQ'' 2'
470 l'UTn?' 23<^53'.

25 Hieraus ergeben sich folgende Differenzen der Prosth-
aphäresisbeträge :

a) Da die Entfernungen abnehmen, so kann 61^26' (vgl.
S. 256,8) unmöglich richtig sein; ich habe daher die Lesart des
Cod. D 61^6' wiedergegeben.

b) Setzt man z. B. für den Saturn ;irE=120P statt 63^2',
so wird ep/im HE = 12^23' in diesem Maße. Zu dieser Sehne
geben die Sehnentafeln den Bogen mit 11"51', wovon auf L EPH
als Hälfte 5°55'30" entfallen.

c) Z. B. für den Saturn bei dem Verhältnis 60^:6^30' in
etwa 93** Entfernung von dem Apogeum des Exzenters 6*^13', bei
63^25' : 6^30' im Apogeum des Exzenters 5"53', bei 56^35' : 6^30'
im Perigeum des Exzenters 6° 36'.

Erklärung der Tabellen. 259

a) in den mittleren und den größten Entfernungen Hei 434

0^20' 0<>29' 4<'25' l'^12' 3^0';

b) in den mittleren und den kleinsten Entfernungen

0'>23' 0»32' 5«51' I^IT' 1^51'.

Nun sind die (S. 258, 11—15 festgesetzten) Prosthaphäresis- »
betrage in den in Frage stehenden Entfernungen (bei 30^
mittlerer Länge) kleiner als die (ebenda Z. 22 mitgeteilten)
in den mittleren Entfernungen, und ibre Differenzen (mit
den letzteren) betragen **)

0*^17'30" 0^26'30" 4<^1' 1<>3'30" 2^17'. 10

Diese Differenzen lassen sieb im Verhältnis zu den (oben
Z. 2) angesetzten ganzen Differenzen zwischen den (Beträgen
der) mittleren und größten Entfernungen als Bruchteile in
Sechzigsteln ausdrücken und betragen^)

bei dem Saturn (1050" : 1200" =) 52' 30" 15

bei dem Jupiter (1590" : 1740" =) 54' 50"

bei dem Mars ( 241' : 265' =) 54' 34" Ha 299

beider Venus (3810" : 4320" =) 52' 55"

bei dem Merkur ( 137' : 180' =) 45' 40".

Diese Sechzigstel haben wir in jeder Tabelle in der ach- 20
ten Spalte in die Zeile gesetzt, welche die Argumentzahl 30^
der periodischen Länge enthält.'')

a) Für den Saturn 6^3' - 5 "55' 30" = 0^7' 30", für den Jupiter
11"3'-10"36'30" = 0<'26'30" usw,

b) Die in Parenthese beigefügten Verhältnisse von Sekunden
ergeben sich bei dem Saturn aus 0"17'30" : 0<'20', bei dem
Jupiter aus 0026'30" : 0°29' usw.

c) Diese Sechzigstel der ganzen Differenz (der 5. Spalte),
welche bei den Längengraden des er d fernen Halbkreises stehen,
sind demnach von den Beträgen für die mittlere Entfernung
(der 6. Spalte) abzuziehen und werden deshalb im Original in
der Überschrift der 8. Spalte aller Tabellen als Sechzigstel des
Ab zugs bezeichnet, während die Sechzigstel der ganzen Differenz
(der 7. Spalte), welche zu den Längengraden des erdnahen
Halbkreises gesetzt sind, zu den Beträgen der 6. Spalte zu ad-
dieren sind und deshalb als Sechzigstel des Zusatzes be-
zeichnet werden. In der Übersetzung ist aus räumlichen Rück-
sichten dieser Unterschied durch die Zeichen — und -f angedeutet.

260 Elftes Buch. Elftes und zwölftes Kapitel.

Hei 435 Desgleichen haben wir bei den Entfernungen, welche ge-
gen die Prosthaphäresisbeträge der mittleren Entfernungen
(S. 258,22) die größeren Beträge zeigen, die sich ergebenden
Differenzen wieder in Sechzigstel verwandelt, jedoch im
5 Verhältnis zu den (S. 259, 4 angesetzten) ganzen Differenzen
der Beträge in den kleinsten, nicht der Beträge in den
größten Entfernungen.

Auf dieselbe Weise (wie vorstehend zu der mittleren
Länge von 30^) haben wir auch zu den anderen Örtern von

10 6 zu 6 Grad den Betrag der Sechzigstel der ganzen Differen-
zen berechnet und zu den betreffenden Argumentzahlen ge-
setzt. Für die sinnliche Wahrnehmung bleibt, wie (S. 256,27)
gesagt, der Zuschlag der Differenzen derselbe, auch wenn die
Örter der Planeten nicht direkt an den Stellen des Epizykels

15 mit dem Maximum der Prosthaphäresis liegen, sondern auch
in anderen Teilen desselben.*^

Elftes Kapitel.

Die Tabellen zur Berechnung

der genauen Länge der fünf Planeten

Hei S gestalten sich folgendermaßen (s. S. 261—265).

Zwölftes Kapitel.

Berechnung der Länge der fünf Planeten

nach den Tabellen.

^^ ^A?.l Wenn wir mit Hilfe des vorstehenden Tabellenmaterials

Hei 446) , T • A

aus den periodischen Bewegungen m Länge und m Ano-
20 malie zur Kenntnis der scheinbaren Orter eines jeden der
Planeten gelangen wollen, so werden wir die Berechnung
nach den Tabellen, welche für die fünf Planeten ein und
dieselbe ist, folgendermaßen anstellen.

a) Mit der Annäherung an die kleinste Entfernung vergrößert
sich der von den Tangenten am Auge gebildete Winkel und
die Berührungspunkte fallen an andere ^Stellen des Epizykels,
ohne daß diese Verschiebung den Zuschlag der Differenzen
wesentlich beeinflußt.

Anomalietabellen. I. Saturn.

261

Apogeum IIX 14° IC

'.

1 2
Gemeinsame
Argument-
zahlen

3

Prosth-
aphäresis
der Länge

4

Differenz
der Prosth-
aphäresis

5
Differenz
der Ab-
nahme

6

Prosth-
aphäresis
derAnomalie

1 '^
Differenz

der

Zunahme

8
Sechzigstel

6<»
12

18

354
348
342

0037'
1 13
1 49

+ 0° 2'
+ 0 4
+ 0 6

00 2'
0 4
0 5

0°36'
1 11
1 45

00 2'
0 4

0 7

— 60' 0"

— 58 30

— 57 0

24
30
36

336
330
324

2 23

2 57

3 29

+ 0 8
+ 0 9
+ 0 10

0 7
0 8
0 10

2 18

2 50

3 20

0 9
0 11
0 13

— 55 30
-52 30

— 49 30

42

48
54

318
312
306

3 59

4 28
4 55

+ 0 11
+ 0 11
+ 0 10

0 11
0 12
0 14

3 49

4 17
4 42

0 15
0 17
0 19

— 46 30

— 43 30

— 39 0

60
66

72

300

294

288

5 20

5 42

6 0

+ 0 9
+ 0 8
+ 0 7

0 15
0 17
0 18

5 4
5 25
5 42

0 20
0 20
0 21

— 34 30

— 30 0

— 24 0

78
84
90

282
276
270

6 14
6 24
6 30

+ 0 5
+ 0 3
+ 0 1

0 18
0 19
0 19

5 55

6 5
6 12

0 21
0 22
0 22

— 18 0

— 12 0

— 4 30

93
96
99

267
264
261

6 31
6 32
6 31

0 0
— 0 2
-0 3

O2O

0 20

0 20

6 12
6 13
6 12

0 23
0 23
0 24

- 0 45
+ 2 32
+ 5 51

102
105
108

258
255
252

6 30
6 27
6 23

— 0 4

— 0 5
-0 6

0 21
0 21
0 20

6 12
6 9
6 5

0 24
0 24
0 25

+ 98
+ 11 45
+ 14 21

111
114
117

249
246
243

6 19
6 14

6 7

— 0 7

— 0 8

— 0 9

0 20
0 20
0 19

6 0
5 55

5 48

0 25
0 24
0 24

+ 16 58
+ 19 31
+ 22 11

120
123
126

240
237
234

5 59
5 50
5 39

— 0 10
-0 10

— 011

0 19
0 19

0 18

5 40
5 31
5 21

0 23
0 23
0 22

+ 24 47
+ 27 24
+ 30 0

129
132
135

231

228
225

5 27
5 14
5 0

— 0 11

— 0 12

— 0 12

0 18
0 17
0 17

5 10
4 58
4 45

0 22
0 21
0 20

+ 32 37
+ 35 13
+ 37 50

138
141
144

222
219
216

4 45
4 29
4 12

— 0 12

— 0 12

— 0 12

0 16
0 15
0 14

4 31
4 16
4 0

0 19
0 18
0 17

+ 40 26
+ 43 3
+ 45 39

+ 47 37
+ 49 34
+ 51 32

147
150
153

213
210
207

3 54
3 35
3 16

— 0 12

— 0 11

— 0 11

0 14
0 12
0 11

3 43
3 25

3 7

0 15
0 14
0 13

156
159
162

204
201
198

2 56
2 36
2 15

— 0 10

— 0 9

— 0 8

0 10
0 9

0 7

2 48
2 29
2 9

0 12
0 11
0 10

+ 53 29
+ 54 49
+ 56 6

165
168
171

195
192
189

1 53
1 31
1 9

— 0 7
-0 6

— 0 5

0 6
0 5
0 5

1 48
1 27
1 6

0 8
0 7
0 5

+ 57 24
+ 58 42
+ 59 21

174

177
180

186
183
180

0 47
0 24
0 0

-0 3

— 0 2

0 0

0 4
0 2
0 0

0 45
0 23
0 0

0 4
0 2
0 0

+ 60 0
+ 60 0
+ 60 0

262

Anomalietabellen. II. Jupiter.

Apogeum H)) 2° 9'

1 2 13
Gemeinsame Prosth-
Argument- ' aphäreais
zahlen der Länge

4

1 'ifferenz
der Prosth-
aphäresis

5 i 6
Differenz Prosth-
der Ab- aphäresis
nähme (ieiinomalie

7
Differenz

der
Zunahme

'''' '8 1

1

Sechzigstel

6»
12

18

354°
348
342

0°30
1 0
1 30

+ 0° 1'
+ 0 2
+ 0 3

Oo 2'
0 5

0 7

0°58'

1 56

2 52

0° 2'
0 5

0 7

— 60' 0"

— 58 58

— 57 56

24
30
36

336
330
324

1 58

2 26

2 52

4-0 4
+ 0 5
+ 0 6

0 9
0 11
0 13

3 48

4 42

5 34

0 9
0 11
0 13

— 56 54
-54 50

— 51 43

42

48
54

318
312
306

3 17

3 40

4 1

+ 0 7
+ 0 7
+ 0 7

0 15
0 17
0 19

6 25

7 12
7 57

0 15
0 18
0 20

— 47 35

— 43 27

— 39 19

60
66

. 72

300

294

288

4 20
4 37
4 51

+ 0 6
+ 0 5
+ 0 4

0 21
0 23
0 24

8 37

9 14
9 46

0 22
0 24
0 26

— 35 8

— 28 58

— 22 45

78
84
90

282
276
270

5 2
5 9
5 14

+ 0 3
+ 0 2
+ 0 1

0 25
0 26
0 26

10 13
10 35
10 51

0 28
0 30
0 31

— 17 35

— 11 23

— 4 40

93
96
99

267
264
261

5 15
5 16
5 15

0 0
-0 1
- 0 1

0 27
0 27
0 27

10 57

11 0
11 2

0 31
0 32
0 32

— 1 8
+ 1 52
+ 5 9

102
105
108

258
255
252

5 14
5 12
5 9

— 0 2

— 0 2
-0 3

0 28

0 28

' 0 29

11 3
11 1
10 59

0 32
0 33
0 33

+ 8 26
+ 11 43
+ 15 0

111
114
117

249
246
243

5 5
5 0
4 54

— 0 4

— 0 5

— 0 5

0 29
0 30
0 30

10 53
10 45
10 35

0 33
0 34
0 34

+ 17 49
+ 20 37
+ 23 26

120
123
126

240
237
234

4 47
4 39
4 30

— 0 6

— 0 6

— 0 7

0 30
0 29
0 29

10 24

10 10

9 54

0 34
0 33
0 33

+ 26 15
+ 29 4
+ 31 52

129
132
135

231
228
225

4 20
4 9

3 58

-0 7
— 0 8
~0 8

0 28
0 28
0 27

9 36
9 16
8 54

0 32
0 32
0 31

+ 34 41
+ 37 30
+ 40 19

138
141
144

222
219
216

3 46
3 33
3 20

— 0 8
-0 8

— 0 7

0 26
0 25
0 23

8 30.
8 4
7 36

0 30

0 28
0 26

+ 43 7
+ 45 28

+ 47 49

147
150
153

213
210
207

3 6
2 51
2 36

— 0 7

— 0 6
-0 6

0 22
0 21
0 19

7 6
6 34
6 0

0 25
0 23
0 21

+ 49 42
+ 51 31

+ 52 58

156
159
162

204
201
198

2 20
2 4
1 47

— 0 5

— 0 5

— 0 4

0 17
0 15
0 13

5 24
4 47
4 9

0 19
0 17
0 15

+ 54 22
+ 55 47
+ 57 11

165
168
171

195
192
189

1 30
1 13
0 55

— 0 3

— 0 2
—0 2

0 11
0 9

0 7

3 29

2 49
2 7

0 13
0 10
0 8

+ 57 40
+ 58 13
+ 58 40

174

177
180

186
183
180

0 37
0 18
0 0

-0 1

— 0 1

0 0

0 5
0 3
0 0

1 25
0 43
0 0

0 5
0 3
0 0

+ 59 4
+ 59 32
+ 60 0

Anomalietabellen. III. Mars.

263

Apogeum Q 16° 40

1 2
GemeinBame
Argument-
zahlen

3

Prosth-
aphäresis
der Länge

4

Differenz

der ProBth-

aphäresis

5
Differenz
der Ab-
nahme

6 j 7 1
Prosth- Differenz
aphäresis 1 der
derlnomaliel Zunahme

8
Sechzigste!

6°
12

18

3540
348
342

1° 0
2 0
2 58

+ 0° 5'
+ 0 10
+ 0 15

Qo 8'
0 16
0 24

20 24'
4 46

7 8

0° 9'
0 18
0 28

— 59' 53"

— 58 59

— 57 51

24
30
3«

336
330
324

3 56

4 52

5 46

+ 0 20
+ 0 24
+ 0 27

0 33
0 42
0 51

9 30
11 51
14 11

0 37
0 46
0 56

-56 36

— 54 34

— 52 11

42

48
54

318
312
306

6 39

7 28

8 14

+ 0 28
+ 0 29
+ 0 28

1 0

1 9
1 18

16 29
18 46
21 0

1 6
1 16

1 28

—49 28

— 46 17

— 42 38

60
66

72

300
294

288

8 57

9 36
10 9

+ 0 27
+ 0 24
+ 0 20

1 27
1 37
1 49

23 13

25 22
27 29

1 40

1 53

2 6

— 38 8

— 33 26

— 28 20

78
84
90

282
276
270

10 38

11 2
11 19

+ 0 15
+ 0 10
+ 0 4

2 1
2 14

2 28

29 32
31 30
33 22

2 19
2 33

2 45

— 22 47

— 16 33

— 10 5

93
96
99

267
264
261

11 25
11 29
11 32

0 0

— 0 4

— 0 8

2 35
2 42
2 49

34 15

35 6
35 56

2 57

3 6
3 15

— 6 34

— 3 3
+ 05

102
105
108

258
255
252

11 32
11 31
11 28

-0 12

— 0 16

— 0 19

2 56

3 4
3 13

36 43

37 27

38 9

3 25
3 36
3 47

+ 3 13
+ 61
+ 8 49

111
114
117

249
246
243

11 22
11 14
11 5

— 0 22

— 0 25

-0 28

3 22
3 32
3 43

38 48

39 24
39 56

3 58

4 9
4 21

+ 11 44
+ 14 38
+ 17 33

120
123

126

240
237
234

10 53
10 39
10 23

— 0 31
-0 33

— 0 35

3 54

4 4
4 14

40 23
40 44
40 59

4 35

4 50

5 5

+ 20 27
+ 23 35
+ 26 42

129
132
135

231
228
225

10 4
9 44
9 21

— 0 37
-0 39

— 0 40

4 24
4 35
4 45

41 7
41 9
41 2

5 21
5 37
5 55

+ 29 31
+ 32 20
+ 35 9

138
141
144

222
219
216

8 55

8 27
7 59

— 0 41
-0 41 ■
-0 41

4 56

5 7
5 18

40 45
40 16
39 37

6 14
6 34
6 53

+ 37 58
+ 40 35
+ 43 12

147
150
153

213
210
207

7 27
6 54
6 19

— 0 41

— 0 38

— 0 36

5 28
5 34
5 38

38 40
37 25
35 52

7 12
7 30
7 45

+ 45 26
+ 47 39
+ 49 50

156
159
162

204
201
198

5 41
5 3
4 22

— 0 33

— 0 30

— 0 27

5 38
5 34
5 18

33 53
31 30
28 35

7 58

8 3
7 58

+ 52 1
+ 53 47
+ 55 32

165
168
171

195
192

189

3 41

2 58
2 14

— 0 23

— 0 19

— 0 15

4 52
4 18
3 32

25 3
21 0
16 25

7 47
7 6
5 59

+ 56 44
+ 57 55
+ 58 49

174
177
180

186
183
180

1 30
0 45
0 0

— 0 10

— 0 5
0 0

2 27
1 16
0 0

11 19
5 45
0 0

4 26
2 20
0 0

+ 59 43
+ 59 52
+ 60 0

264

Anomalietab eilen. IV. Venus.

Apogeum ^ 16° 10'.

1 2
Gemeinsame
Argument-
zahlen

3

Prosth-

aphäresis

der Länge

4

Differenz

der Prosth-

aphäresis

5
Differenz
der Ab-
nahme

6 7
Prosth- Differenz
apharesis der Zu-
derinomalie nähme

8
Sechzigstel

60
12

18

354"
348
342

0O14'
0 28
0 42

+ 0°1'
+ 0 1
+ 0 1

0» 1'
0 3
0 5

2» 31'
5 1
7 31

0" 2'
0 4
0 6

— 59' 10"

— 57 55

— 56 40

24
30
36

336
330
324

0 56

1 9
1 21

+ 0 2
-1-0 2
+ 0 2

0 7
0 9
0 11

10 1
12 30
14 58

0 8
0 10
0 12

-55 0

— 52 55

— 49 35

42
48
54

318
312
306

1 32
1 43
1 53

+ 0 3
+ 0 3
-1-0 3

0 13
0 15
0 18

17 25
19 51
22 15

0 14
0 16
0 18

— 45 50
-42 5

— 37 5

60
66

72

300

294

288

2 1
2 8
2 14

+ 0 2
+ 0 2
+ 0 2

0 20
0 22
0 24

24 38
26 37
29 14

0 20
0 23
0 25

— 31 40

— 26 15

— 20 25

78 282
84 276
90 270

2 18
2 21
2 23

+ 0 1
+ 0 1
+ 0 1

0 27
0 29
0 31

31 27
33 38
35 44

0 28
0 30
0 33

— 14 35

— 8 20

— 1 40

93
96

99

267
264
261

2 23
2 23
2 22

0 0
—0 1
— 0 1

0 33
0 35
0 38

36 40

37 43

38 40

0 36
0 38
0 40

+ 1 31
+ 4 42
+ 7 39

102
105

108

258
255
252

2 21
2 20
2 18

— 0 1
-0 1

— 0 1

0 40
0 42
0 45

39 35

40 29

41 20

0 43
0 45

0 47

+ 10 35
+ 13 32

+ 16 28

111
114
117

249
246
243

2 16
2 13
2 10

-0 1
— 0 2
-0 2

0 47
0 49
0 52

42 9

42 54

43 35

0 50
0 52
0 55

+ 19 25

+ 22 21
+ 25 18

120
123
126

240
237
234

2 6
2 2
1 58

-0 2

— 0 2

— 0 2

0 54

0 57

1 0

44 12

44 45

45 14

0 58

1 1
1 4

+ 28 14
+ 31 0
+ 33 44

129
132
135

231
228
225

1 54
1 49
1 44

— 0 2
-0 3

— 0 3

1 3
1 6
1 10

45 36
45 51
45 55

1 8
1 11
1 14

+ 36 18
+ 38 50
+ 41 11

188
141
144

222
219
216

1 39
1 33

1 27

— 0 3

— 0 3

— 0 2

1 14
1 19
1 24

45 57
45 45
45 20

1 18
1 22
1 27

+ 43 32
+ 45 42
+ 47 51

147
150
153

213
210

207

1 21
1 14

1 7

— 0 2

— 0 2

— 0 2

1 29
1 33
1 37

44 40
43 39
42 18

1 32
1 38
1 43

+ 49 37
+ 51 23
+ 52 46

156
159
162

204
201
198

1 0
0 53
0 46

— 0 2

— 0 2

— 0 1

1 39 .
1 41
1 42

40 28
38 7
35 7

1 48
1 51
1 52

+ 54 8
+ 55 18
+ 56 26

165
168
171

195
192

189

0 39
0 32
0 24

-0 1

— 0 1

— 0 1

1 38
1 31
1 19

31 24
26 46
21 15

1 50
1 43
127

+ 57 28
+ 58 26
+ 59 1

174

177
180

186
183
180

0 16 1—0 1
0 8 —Ol
0 0 0 0

0 58
0 31
0 0

17 47
7 38
0 0

1 5 1
0 35
0 0

+ 59 36
+ 59 58
+ 60 0

Anomalietabellen, V. Merkur.

265

Apogeum ^ 1" 10'

1 2
Gemeinsame
Argument-
zahlen

3

Prosth-
aphäresis
der Länge

4

Differenz

der Prosth-

aphäresis

5
Differenz
der Ab-
nahme

6

Prosih-

aphäresis

derAnomalie

7
Differenz
der Zu-
nahme

8
Sechzigstel

6°
12
18

354°
348
S42

0O18'
0 34
0 51

-Oo 1'

— 0 2

— 0 4

0°10'
0 20
0 24

1°38'

3 16

4 53

OO 5'
0 11
0 17

-59' 20"
— 57 20
-54 40

24
30
36

336
330
324

1 7
1 22
1 37

— 0 5

— 0 5

— 0 4

0 39
0 49
0 59

6 29

8 4

9 36

0 23
0 28
0 34

— 50 40

— 45 40

— 39 40

42

48
54

318
312
306

1 51

2 4
2 15

— 0 4
-0 3
-0 1

1 8
1 18

1 28

11 6

12 33

13 58

0 40
0 45
0 50

-33 0

— 25 40

— 18 0

60
66

72

300
294

288

2 25
2 34
2 41

0 0
+ 0 2
+ 0 4

1 39
1 49
1 59

15 18

16 33

17 43

0 56

1 4
1 11

— 10 20

— 2 20
+ 9 14

78
84
90

282
276
270

2 46
2 50
2 52

+ 0 6
+ 0 7
+ 0 9

2 9
2 19
2 29

18 47

19 44

20 33

1 17
1 23
1 29

+ 20 0
+ 29 44
+ 39 28

93
96
99

267
264
261

2 52
2 52
2 51

-1-0 10
+ 0 10
-i- 0 11

2 34
2 39
2 44

20 54

21 14
21 29

1 32
1 35
1 38

+ 43 31
+ 47 34
+ 50 0

102
105
108

258
255
252

2 50
2 48
2 46

+ 0 10
+ 0 10
+ 0 10

2 48
2 53
2 58

21 42
21 52
21 59

1 41
1 44
1 46

+ 52 26
+ 54 52

+ 57 18

111
114
117

249
246
243

2 44

2 41
2 37

+ 0 9
+ 0 9
+ 0 9

3 2
3 4
3 6

22 2
22 1
21 56

1 49
1 52
1 55

+ 58 23
+ 59 28
+ 59 44

120
123
126

240
237
234

2 33

2 28
2 23

+ 0 8
+ 0 7

+ 0 7

3 8
3 9
3 10

21 47
21 33
21 15

1 57

1 59

2 0

+ 60 0
+ 59 44
+ 59 23

129
132
135

231
228
225

2 18
2 12
2 6

+ 0 6
+ 0 6
+ 0 5

3 12
3 12
3 9

20 53
20 25
19 50

2 0
2 1
2 1

+ 58 39
+ 57 50
+ 56 46

138
141
144

222
219
216

2 0
1 53
1 46

+ 0 4
+ 0 4
+ 0 3

3 6
3 2

2 57

19 10
18 24
17 32

2 0
2 0
1 58

+ 55 41
+ 54 3
+ 52 26 1

147
150
153

213
210
207

1 38
1 30

1 22

+ 0 3
+ 0 2
+ 0 2

2 51
2 42
2 32

16 35
15 31
14 20

1 53
1 47
1 41

+ 50 48
+ 49 11
+ 47 34

156
159
162

204
201
198

1 13
1 5
0 56

+ 0 2
+ 0 1
+ 0 1

2 21
2 9
1 55

13 3
11 41
10 13

1 34
1 26

1 17

+ 45 57
+ 44 36
+ 43 15

165
168
171

195
192
189

0 46
0 38
0 28

+ 0 1
0 0
0 0

1 38
1 19
1 1

8 40
7 1
5 19

1 7
0 56
0 43

+ 42 26
+ 41 37
+ 40 48

174
177
180

186
183
180

0 19
0 9
0 0

0 0
0 0
0 0

0 42
0 21
0 0

3 35

1 48
0 0

0 28
0 14
0 0

+ 40 0
+ 39 44
+ 39 28

266 Elftes Buch. Zwölftes Kapitel.

Aus den Tafeln der mittleren Bewegung (S. 104 ff.) ge-
winnen wir zunächst für den in Frage stehenden Zeitpunkt
durch Summierung (der einzelnen Posten) nach Abzug ganzer
Kreise die gleichförmigen Orter in Länge und Anomalie
5 und zählen die Grade (des Überschusses der Länge) von
dem derzeitigen Apogeum des Exzenters bis zu dem mitt-
leren Ort in Länge ab.

1. Mit diesen Graden (der gleichförmigen Länge) gehen
wir in die Anomalietabelle des betreffenden Planeten ein

10 und entnehmen den bei der Argumentzahl in der dritten
Spalte für die genaue Berechnung der Länge angesetzten
Betrag unter Anrechnung^) der aus Minuten bestehenden
Prosthaphäresis der vierten Spalte. Den erhaltenen Betrag
werden wir, wenn die festgestellte Argumentzahl der (gleich-

15 förmigen) Länge in der ersten Spalte steht, von den Graden
der Länge abziehen undzuden Graden der Anomalie a d d i e -
Hei 447 ren, steht die Argumentzahl aber in der zweiten Spalte, um-
gekehrt zu den Graden der Länge a^ddieren und von den
Graden der Anomalie abziehen^^^, um beide Örter in ge-

20 nauer Berechnung zu erhalten.

2. Hierauf gehen wir mit der von dem (genauen) Apo-
geum (des Epizykels) genauberechneten Zahl der Anomalie
wieder in die beiden ersten Spalten ein und notieren uns

Ha 311 die bei ihr in der sechsten Spalte angesetzte Prosthaphäresis
25 (der Anomalie) der mittleren Entfernung. Desgleichen
gehen wir mit der Zahl der gleichförmigen Länge, mit wel-
cher gleich von vornherein schon eingegangen worden war,
in dieselben Argumentzahlen ein. Steht sie in den ersten
Zeilen, welche dem Apogeum (des Exzenters) näher liegen,
30 d. i. über der Zeile für die mittlere Entfernung, was aus
den in der achten Spalte stehenden Sechzigsteln klar hervor-
geht^', so nehmen wir die bei ihr in ebendieser achten

a) D. h. unter Abzug oder Zusatz, je nachdem diese Prosth-
aphäresis als negativ oder positiv bezeichnet ist.

b) Insofern diese Sechzigstel von oben nach unten abnehmen,
in der Zeile der mittleren Entfernung gleich Null werden und
dann wieder zunehmen.

Zwölftes Buch. Erstes Kapitel. 267

Spalte stehenden Sechzigstel, so viel dort angegeben sind, von
der Differenz, welche in der fünften Spalte der größten
Entfernung in der Zeile der notierten mittleren Prosth-
aphäresis (der Anomalie) steht, und subtrahieren das
Ergebnis von diesem notierten Betrage. Steht aber die Zahl 5
der besagten Länge in den tieferen Zeilen, welche dem Peri-
gäum (des Exzeuters) näher liegen, d. i. unter der Zeile für
die mittlere Entfernung, so nehmen wir gleicherweise die
in der achten Spalte bei ihr stehenden Sechzigstel, so viel
dort angegeben sind, von der Differenz, welche in der sieben- 10
ten Spalte der kleinsten Entfernung neben der notierten
mittleren Prosthaphäresis steht, und addieren das Ergebnis Hei ms
zu dem notierten Betrage. •'^^^

3. H at die genauberechnete Zahl der Anomalie in der ersten
Spalte gestanden, so werden wir den hiermit erhaltenen 15
Gradbetrag der genauberechneten Prosthaphäresis (der Ano-
malie) zu den Graden der genauberechneten Länge addie-
ren, hat sie in der zweiten Spalte gestanden, davon ab-
ziehen.^^^ Zählen wir dann die als Ergebnis erhaltene Zahl
von dem derzeitigen Apogeum des Planeten aus ab, so werden 20
wir auf seinen scheinbaren Ort stoßen.-*^)

Zwölftes Buch.

Erstes Kapitel.
Vorbemerkungen zur Rückläuügkeit.

Nach Erledigung vorstehender Beweisführungen dürftej^ei 450
es die nächstliegende Aufgabe sein, unser Augenmerk auf
die bei jedem der fünf Wandelsterne eintretenden kleinsten
und größten Rück lauf igkeits strecken zu richten und 25
nachzuweisen, daß auch die zahlenmäßigen Beträge dieser
Bewegungen sich aus den erklärten Hypothesen in denkbar
bester Übereinstimmung mit den Beobachtungsergebnissen
ableiten lassen.

Ehe sie an die Untersuchung dieser Erscheinung heran- 30
treten, schicken sowohl die anderen Mathematiker als auch

268 Zwölftes Buch. Erstes Kapitel.

Apollonius von Perga einen Lehrsatz voraus, welcher
verschieden lautet, je nachdem die Anomalie zur Sonne, die
hierbei allein für maßgebend gehalten wird*\ nach der epi-
zyklischen oder nach der exzentrischen Hypothese zum Aus-
5 druck gelangt.

A. Nach der epizyklischen Hypothese.
Der Epizykel bewerkstelligt den Lauf in Länge auf dem
mit der Ekliptik konzentrischen Kreise in der Richtung der
Zeichen, während der Planet auf dem Epizykel um dessen
Ha 313 Mittelpunkt den Lauf in Anomalie auf dem erdfernen Bogen
10 in der Richtung der Zeichen vollzieht.^) Unter dieser Voraus-
setzung lautet (vgl. S. 271,8) der

Lehrsatz. Wenn von unserem Auge aus eine Gerade (ZA)

gezogen wird, die den Epizykel so schneidet, daß die Hälfte

(0 0) ihres innerhalb des Epizykels liegenden Teiles sich zu

15 der Geraden (Z0) von unserem Auge bis zu dem am Peri-

Hei 451 geum des Epizykels liegenden Schnittpunkt (0) verhält wie

die Geschwindigkeit des Epizykels zu der Geschwindigkeit des

Planeten, so bezeichnet der von der also gezogenen Geraden

auf dem erdnahen Bogen des Epizykels erzeugte Punkt (0)

20 die Grenze zwischen Rechtläufigkeit und Rückläufigkeit, d. h.

der Planet wird, in diesem Punkte angelangt, den Eindruck

eines scheinbaren Stillstandes machen.

B. Nach der exzentrischen Hypothese.
Dieselbe kann mit Erfolg nur bei den drei Planeten an-
gewendet werden^ welche in Opposition zur Sonne gelangen.
25 Das Zentrum des Exzenters bewegt sich um den Mittelpunkt
der Ekliptik in der Richtung der Zeichen mit der gleichen

a) Insofern auf die Anomalie infolge der Bewegung auf einem
Exzenter keine Rücksicht genommen wird, weil die Erdentfernung
während der Rückläufigkeitsperiode sich nicht wesentlich ändert.
Daher wird einerseits (A) die einfache epizyklische Hypothese
zugrunde gelegt, wie bei dem Mond in den Syzygien, ander-
seits (B) ein Exzenter, dessen Zentrum sich um den Mittel-
punkt der Ekliptik bewegt, wodurch die Folge der Exzentri-
zität für den Lauf des Planeten aufgehoben wird.

b) In Übereinstimmung mit der bisherigen Annahme S. 123,18.

Vorbemerkungen zur Rückläufigkeit.

269

Geschwindigkeit wie die Sonne, während sich der Planet
auf dem Exzenter um dessen Zentrum gegen die Richtung
der Zeichen mit der dem Lauf in Anomalie entsprechenden
Geschwindigkeit bewegt. Unter dieser Voraussetzung lau-
tet (vgl. S. 271,6) derselbe 5

Lehrsatz. Wenn mau in dem exzentrischen Kreise durch
den Mittelpunkt (K) der Ekliptik, d. i. durch das Auge, eine
Gerade (B0) zieht, die so verläuft, daß die Hälfte (TT0) der
ganzen Geraden sich zu (K0) dem kleineren der am Auge
gebildeten Abschnitte verhält wie die Geschwindigkeit des 10
Exzenters zur Geschwindigkeit des Planeten, so «wird der
Planet, in dem Punkte (0) angelangt, in welchem die Gerade
den erdnahen Bogen des Exzenters schneidet, den Eindruck
eines scheinbaren Stillstandes machen.

Auch wir werden trotz aller Kürze nicht minder praktisch^ ^* ^^*

die vorliegende Aufgabe lösen, wenn
wir nach beiden Hypothesen einen ge-
meinsamen, d. i. gemischten Beweis
führen, um auch unter diesen Verhält-
nissen die Übereinstimmung und die
Gleichartigkeit beider zu zeigen.

Der Kreis AB TA sei ein Epizykel
um den Mittelpunkt E. Sein Durch-
messer A E r sei verlängert bis zu dem
Mittelpunkt Z der Ekliptik, d. h. bis
zu unserem Auge. Nachdem man
beiderseits des Perigeums f die gleich-
großen Bogen r H und f 0 abgetragen,
ziehe man von Z durch die Punkte
H und 0 die Geraden Z H B und Z 0 A,
sowie die Verbindungslinien AH
und B0, welche einander in dem
Punkte K schneiden, der (nach Eukl.
I. 4; III. 7) selbstverständlich auf
den Durchmesser A f zu liegen kommen wird
ten zunächst, daß

Hei 452
16

20

25

30

Wir behaup- 35

270

Zwölftes Bucli. Erstes Kapitel.

Da

^rAH = /.rA0,

(Eukl. III. 27)

so ist

rA = rM;

(Eukl. 1. 26)

glich ist

AAiTA =AA:rM.

Nun ist {

AA:rM = AZ:Zr
AA:rA =AK:Kr

(Eukl. VI. 2. 4

folglich

AZ:Zr = AK:Kr.

I. AZ:Zr = AK:Kr.
A. Beweis nach der epizyklischen Hypothese.
Man ziehe die Verbindungslinien AA und AT und durch
r parallel zu AA die Gerade ATM, welche (nach Eukl.I. 29)
Hei 453 Selbstverständlich mit A f rechte Winkel bildet, weil (nach
6 Eukl. III. 31) auch /.AAP ein Rechter ist.

10

B. Ableitung für die exzentrische Hypothese.
Ha 315 Wenn wir uns den Epizykel A B f A als den Exzenter selbst
15 denken, so wird der Punkt K der Mittelpunkt der Ekliptik
sein. In diesem Punkte wird der Durchmesser A f in dem-
selben Verhältnis geteilt werden, wie bei der epizyklischen
Hypothese (die Gerade AZ in Punkt f). Denn wir haben
ja (vorstehend nichts anderes) bewiesen, (als) daß bei dem
20 Epizykel die größte Entfernung AZ sich zur klein-
sten Entfernung ZT verhält, wie bei dem Exzenter die
größte Entfernung AK zur kleinsten Entfernung KT.

IL AZ:Z0 = BK:K0.
A. Beweis nach der epizyklischen

Hypothese.
Man ziehe an der ähnlichen Figur
die Verbindungslinie BNA, welche
(nach Eukl. I. 4) selbstverständlich den
Durchmesser Af unter rechten Winkeln
schneidet, und von 0 aus zu ihr paral-
lel die Gerade 0E.
Da BN = NA,

so ist B N : E0 = NA : E0.
Nun ist (NA:H0 = AZ:Z0 j (Eukl.
JNuniSt 1BN:E0 = BK:K0 1VL2.4)
folglich AZ:Z0 = BK:K9.

25

Hei 454
30

35

Jt

4

E 1

^^^^0

V'

z

Vorbemerkungen zur Rückläufigkeit. 271

B. Ableitung für die exzentrische Hypothese.

Man fälle die Lote EO und ETT.
Bei Verbindung ist AZ+ Z0 : Z0 = B K + K0 : K0.

(Eukl. V. 15)
(AZ -f [AZ - 2 AO] : Z0 = B0 : K0, (Eukl. III. 3)
2[AZ- AO]:Z0 = 2n0:K0.) 5

Bei Trennung (demnach) OZ : Z0 = TT0 : K0. (Eukl. V. 17)
Bei nochm. Trennung (OZ - Z0 : Z0 = TT0 - K0 : K0)

00:Z0 = nK:K0. (Eukl. V. 17)

Das heißt: Wenn bei der epizjklischen Hypothese die
Gerade AZ so durchgezogen ist, daß 00 zu Z0 sich ver- 10
hält wie die Geschwindigkeit des Epizykels zur Geschwindig-
keit des Planeten, so wird bei der exzentrischen Hypothese{ijei455
TTK zu K0 in demselben Verhältnis stehen.

Daß aber nicht auch hier (wie bei der epizyklischen Hypo-
these 00 : Z0, d. i. OZ - 20 : Z0) dieses durch Trennung 15
erzielte Verhältnis, d. i. das Verhältnis TT K : K 0 (oder TT 0 —
K0 : K0), mit Bezug auf die Stillstände zur Anwendung gelangt,
sondern das ungetrennte, d i. TT0 : K0 (oder TTK -4- K0 : K0)
hat seinen Grund in folgendem. Die Geschwindigkeit des E p i -
zykels (0 0) steht zu der Geschwindigkeit des Planeten (Z0) 20
in dem (einfachen) Verhältnis wie lediglich der Lauf in Länge
zu dem Lauf in Anomalie, während die Geschwindigkeit des
Exzenters (TTK + KO) zur Geschwindigkeit des Planeten
(K0) in dem (komplizierten) Verhältnis steht wie (S. 173,3l)
der mittlere Lauf der Sonne, d. i. die Summe des mittleren 25
Laufs des Planeten in Länge und in Anomalie, zu dem Lauf
in Anomalie. So steht z. B. bei dem Mars die Geschwindig-
keit des Epizykels (00) zu der Geschwindigkeit des Plane-
ten (Z0) ungefähr in dem Verhältnis 42:37 — das ist
ja ohne wesentlichen Fehler der zahlenmäßige Betrag, wie 30
er von uns (S. 100,14) für das Verhältnis des Laufs in Länge
zu dem Lauf in Anomalie mitgeteilt wurde ^^ — und des-

a) D. h. : 42 Umläufe des Epizykels in Länge auf dem Exzen-
ter, die sich von Wende zu Wende in 79 Jahren vollenden,
fallen mit 37 Umläufen des Planeten auf dem Epizykel in Ano-
malie ohne wesentlichen Fehler zusammen.

272 Zwölftes Buch, Erstes Kapitel.

halb steht auch 00 zu Z0 in diesem Verhältnis (42:37).
Dagegen steht die Geschwindigkeit des Exzenters (TTK + K0)
zu der Geschwindigkeit des Planeten (K0) in dem Verhält-
nis der Summe 79 (d. i. 42 4 37) : 37, mithin in dem durch
5 Verbindung erzielten Verhältnis von TT0 (d. i. TTK-I- K0)
:K0, indem ja das durch Trennung erzielte Verhältnis
TTK (d. i. TT0 - K0) : K0 (S. 271,8) identisch war mit
Hei 456 00 : Z0, d, i. mit 42 : 37 (also für die exzentrische Hypo-
these nicht anwendbar).

10 Diese theoretischen Vorbemerkungen seien von uns bis
zu diesem Punkte geführt. Nun bleibt noch der Beweis
Ha 317 übrig, daß in den Punkten H und 0, mögen die in dem be-
sprochenen Verhältnis geteilten Geraden nach dieser oder
nach jener Hypothese genommen werden, der Eindruck des

15 scheinbaren Stillstandes eintreten wird, d. h. daß der Bogen
H r 0 die Strecke der Rückläufigkeit werden muß, während
der übrige Teil der Peripherie für die Rechtläufigkeit
verbleibt. Ehe Apollonius zum Beweis schreitet, behandelt
er folgenden

20 Hilfssatz. Wenn in dem A ABT, in welchem Br> Af,
die (auf Bf) abgetragene Strecke TA nicht kleiner ist als

^'"'=°^"* rA:AB>LABr:LArB.

Beweis. Man zeichne

— lautet seine Angabe

— das Parallelogramm
AATE fertig und ver-
längere die Seiten BA
und FE, bis sie sich in
Punkt Z schneiden. Da
AE nicht kleiner als Af
ist*\ so wird der um

-^^ das Zentrum A mit dem
Abstand AE beschrie -

a) Weil AE = TA und PA nicht << AT, d. i. mindestens = AT,
wie an vorliegender Figur. Zu diesem Satz ist I 33 f. zu ver-
gleichen.

Vorbemerkungen zur Rückläufigkeit.

273

bene Kreis entweder durch f oder über f hinausgehen,
sei denn der Kreis HEf durch f gezogen.

So

Dann ist

folglich

Nun ist

folglich
Femer ist
(mithin auch

Nun ist

A kEZ>sMAEH,
A A E r < sÄ;^ A E r,
A AEZ: A AEr>s/ttAEH:sÄ'^AEr.
(sMAEH'.sktAEr = i EKZ: i EAT,
1 A AEZ: A AEr = prZZE:</HEr, (Eukl. VI. 1)
ZE: Er>/.EAZ:/.EAr.
ZE: Er= rA:AB,b)
rA:AB>/, EAZ: /, EAP.)
/ EAZ= /ABT I

folglich TA : AB> /, ABT : /, ATB.

II

10

Ha 318

Es ist klar, daß das Verhältnis noch viel größer sein wird, Hei 458
wenn TA = AE nicht gleich AT, sondern größer an- 16
genommen wird.

Dieser Hilfssatz mußte vorausgeschickt werden.

Der Kreis um den Mittel-
punkt E und den Durchmesser
AEf sei ein Epizykel. Man
verlängere diesen Durchmesser
bis zu dem Punkt Z, wo sich
unser Auge befindet, derart,
daß das Verhältnis ET: FZ
größer sei als das Verhältnis
der Geschwindigkeit des Epi-
zykels zu der Geschwindigkeit
des Planeten. Es ist mithin
(nach Eukl. III. 8) möglich, die
Gerade Z H B in der Lage durch
den Epizykel zu ziehen, daß
Vs B H : H Z in dem Verhältnis

20

25

30

a) Letzteres in dem Fall, daß A E >> A f.

b) Zunächst ist ZE:Er = ZA:AB und ZA : AB = TA: AB
nach Eukl. VI. 2.

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II.

18

274 Zwölftes Buch Erstes Kapitel.

stellt wie die Gescliwindigkeit des Epizykels zu der Geschwin-
digkeit des Planeten. Wenn wir nun nach dem oben (S. 272,24)
geführten Beweis einen dem Bogen AB gleichen Bo^en AA
(von A aus) abtragen und die Verbindungslinie A0H ziehen,
5 so wird nach der exzentrischen Hypothese Punkt 0 als
unser Auge anzunehmen sein, und es wird 72^^^'^^ ^^
dem Verhältnis stehen^) wie die Geschwindigkeit des Ex-
zenters zu der Geschwindigkeit des Planeten.
Hei 459 Wir behaupten also, daß der Planet, in Punkt H angelangt,

10 nach beiden Hypothesen den Eindruck eines scheinbaren
Stillstandes machen wird, und daß wir, wenn wir beiderseits
des Punktes H einen beliebig großen Bogen abtragen, den
nach dem Apogeum (d. i. nach K) zu als Bogen der Recht-
läufigkeit und den nach dem Perigeum (d. i. nach f) zu

15 als Bogen der Rückläufigkeit finden werden.

Beweis. A. Nach der epizyklischen Hypothese.
Man trage zunächst nach dem Apogeum zu den beliebig
großen Bogen HK ab und ziehe die durchgehenden Geraden
ZKA, K0M, sowie die Verbindungslinien BK, AK und
Ha 319 EK, EH.

21 Dann ist (nach Eukl. III. 15) in dem A B KZ

BH>BK,

mithin

BH:HZ>/.HZK:/LHBK, (S. 272, 23;

also auch

V,BH:HZ>^HZK:2/_HBK.

Nun ist

/.HEK-27.HBK, (Eukl. III. 20)

mithin

V2BH:HZ>/.HZK:/.HEK.

Es ist aber

'/^BH:HZ =GEp:GPl^\

folglich

/. HZK : /. H EK < GJ^i? : G^PZ.c)

a) Es ist das oben (S. 271,6) mit TT0:K0 bezeichnete Ver-
hältnis. Hierzu vgl. den Lehrsatz S. 269, 6.

b) Die Bezeichnung GEp und GEx, sowie GPl wird von hier
ab in den Beweisgängen für die Geschwindigkeit des Epizykels,
des Exzenters und des Planeten angewendet werden.

c) Das Zeichen <] tritt ein wegen Umstellung der Verhält-
nisse: das Verhältnis der Winkel stand vorher (Z. 26) an zweiter
Stelle.

Vorbemerkungen zur Rückläufigkeit. 275

Mithin muß derjenige Winkel, welcher zu /.HEK das-
selbe Verhältnis hat wie die Geschwindigkeit des EpizykelsHei 460
zu der Geschwindigkeit des Planeten, größer als /.HZK
sein. Dieser Winkel sei also der /.HZN.

In derselben Zeit, in welcher der Planet den Epizykel- 5
bogen K H zurücklegt, hat sich der Mittelpunkt des Epizykels
nach der entgegengesetzten Richtung die Laufstrecke be-
wegt, welche dem Intervall von ZH zu ZN gleich ist. So-
mit ist klar, daß der Epizykelbogen KH den Planeten um
einen kleineren an unserem Auge gebildeten Winkel — es 10
ist der Z. HZK — in der gleichen Zeit gegen die Richtung
der Zeichen weitergetragen hat, als der Winkel beträgt —
es ist der ^ H Z N — welchen der Epizykel selbst den Planeten
in der Richtung der Zeichen weitergeführt hat. Folglich
ist der Planet um den /.KZN zurückgeblieben (d. h. noch 15
rechtläufig) *)

B. Nach der exzentrischen Hypothese.

Es ist BH:HZ>/.HZK : /.HBK. (S. 272,23)

Bei Verbindung (BH + HZ:HZ>/LHZK4-/.HBK:/.HBK)

BZ:HZ>/.BKA : /. HB K.(Eukl.I.32) 20
Nun ist BZ:HZ = A0:0H. (S. 270,23) Ha 320

(mithin auch A0:0H>/.BKA:/.HB K.)

Ferner ist {^hBK^^IhAkI (Eukl. III. 27)

folglich A0:0H>/, AKM: /L HAK. Hei 461

Bei Verbindung (A0-J-0H : 0h'> ^ AKM-j- ^ HAK: /, HAK) 26

AH:0H>^ H0K:/. H AK;(Eukl.I.32)
mithin bei Trennung %AH:0H>/,H0K:2/.HAK,

oder %AH:0H>^H0K:/,H EK.(Eukl.III.20)
Es ist aber % A H : 0 H = GEx : GPl, 30

folglich /.H0K:/.HEK< GEx : GPl.
Mithin muß^ derjenige Winkel, welcher zu /.HEK das-
selbe Verhältnis hat wie die Geschwindigkeit des Exzen-

a) ^TitoXsiTtsöd'ccL bezeichnet das Zurückbleiben in östlicher
Richtung hinter der Bewegung des täglichen Umschwungs, wo-
durch die „Rechtläufigkeit" des Planeten zum Ausdruck kommt.

276

Zwölftes Buch. Erstes Kapitel.

ters zu der Geschwindigkeit des Planeten, größer alsLHGK
sein. Dieser Winkel sei also wieder der Z. H 0 N.

In der gleichen Zeit ist der Planet selbst nach Zurück-
legung des Bogens H K um den /.HEK gegen die Richtung

5 der Zeichen (S. 269, 2) fortgeschritten, während er von der
Bewegung des Exzenters selbst in der Richtung der Zeichen
um den /. HON weitergeführt w^orden ist, welcher größer ist
als der /.H0K. Es ist demnach klar, daß auch so (d.i.
vom Mittelpunkt 0 aus) betrachtet, der Planet um den

10 /. K0N scheinbar zurückgeblieben (d.h. noch rechtläufig) ist.

Hei 452

Ha 321

Es ist leicht einzusehen, daß sich mit denselben Mitteln
auch das Gegenteil beweisen lassen
wird, wenn wir an derselben Figur
annehmen, daß

bzw. V, MK:0K = G^£'a;:G^PZ.

Wir haben uns nunmehr den
Bogen KH von der Geraden AZ
aus nach dem Perigeum (f) zu
abgetragen zu denken. Man ziehe
die Verbindungslinie AH und mache
dadurch das A AZH fertig, in wel-
chem die abgetragene Strecke ZK
(nach Eukl. III. 8) größer ist als die
Seite ZH. Es ist demnach*^

AK:ZK<^HZK:/.HAK,
mithin % AK : ZK<Z HZK : 2 /.HAK.
Nun ist ^ H E K = 2 /. H A K, (Eukl. III. 20)

folglich Vg AK:ZK</, HZK: /. HEK.

30 Hiermit ist also das umgekehrte Ergebnis erzielt worden
wie oben (S. 274,26). Und schließlich wird man auf demselben

16

20

25

a) Weil A K als die kleinere Strecke der größeren Z K voran-
steht, so ist das Größenverhältnis das umgekehrte wie im Hilfs-
satz S. 272, 23.

Vorbemerkungen zur Rückläufigkeit. 277

Wege^^^ zu dem umgekehrten Verhältnis (wie S. 274, 28 u.
275, 3 1) gelangen:

iHEK: i^HZK<iGPl:GEp, Hei 463

i bzw. /. HEK:/, H0K<GPZ:G^Ji'a;.

Hieraus ergibt sich die Schlußfolgerung: V^enn derjenige 5
Winkel, welcher (in beiden Fällen) in demselben Verhältnis
steht (d. i. /-HZK, bzw. /.H0K), größer wird als der
Winkel HEK, dann wird die rückläufige Bewegung größer
als die rechtläufige.

Noch ein Punkt ist zu beachten. In den Entfernungen, 10
in welchen das Verhältnis von ET zu TZ nicht größer (d.i.
mindestens ebensogroß) ist als das Verhältnis, welches die Ge-
schwindigkeit des Epizykels zu der Geschwindigkeit des
Planeten hat, wird es erstens nicht möglich sein, eine andere
Gerade in dem gleichen Verhältnis durch den Epizykel zu 15
ziehen, und zweitens wird der Planet weder scheinbar stationär
noch rückläufig werden. Da nämlich in dem ^ EKZ die
abgetragene Gerade E f nicht kleiner (sondern ebensogroß) Ha 322
als die Seite EK ist, so wird das Verhältnis

/.rzK:^rEK<Er:rz. (S. 272,23) 20

Nun ist Er : rz nicht > GEp : GPl,

folglich /.rZK:^rEK< GEp : GFl

Da von uns (S. 275,15) nachgewiesen worden ist, daß dort,
wo dieses Verhältnis stattfindet, der Planet (östlich) zurück- Hei 464
geblieben (d. i. noch rechtläufig) ist, so werden wir also (in 25
diesem Fall) keinen Bogen des Epizykels und des Exzenters
finden, auf welchem er scheinbar rückläufig werden wird. ^^

a) Deshalb werden bei den übrigen Planeten außer bei dem
Merkur (vgl. S. 311, i5— is) die Rückläufigkeitsstrecken mit der
Annäherung an die Erde immer kürzer und fallen bei dem
Monde, wenn er sich im Apogeum des Epizykels gegen die
Richtung der Zeichen bewegt, ganz weg.

278

Zwölftes Buch. Zweites Kapitel.

10

15

Ha 223

20

25

Zweites Kapitel.
Nachweis der Rückläufigkeitsstrecken des Saturn.

Mit Kücksicht auf diese Verhältnisse werden wir schließ-
lich für jeden Planeten den dargelegten Hypothesen gemäß
die Berechnung der Rückläufigkeitsstrecken auseinandersetzen
und hierbei mit dem Saturn den Anfang auf folgende Weise
machen.

Der Kreis, welcher den Mittelpunkt des Epizjkels trägt,
sei A B um den Durchmesser A rB*\ auf welchem der Mittel-
punkt der Ekliptik, d. h.
unser Auge, in f ange-
nommen sei. Nachdem
man um den Mittelpunkt
A den Epizykel AEZH
beschrieben , ziehe man
durch ihn die Gerade TZE
und fälle auf sie von A
aus das Lot A0. Diese
Gerade soll derartig ge-
zogen sein, daß die Hälfte
derselben, d.i. Z0, zu ZT
in dem Verhältnis stehe,
welches die Geschwindig-
keit des Epizykels zu der
Geschwindigkeit des Pla-
neten hat.
I. Zunächst sei der Epizykel in der mittleren Entfernung
in der Stellung angenommen, daß die periodischen Bewe-
gungen in Länge und in Anomalie nahezu dieselben sind,
wie die theoretisch auf den Mittelpunkt der Ekliptik be-
zogenen.^)

a) Der Buchstabe B fehlt an der Figur, weil die drei Ent-
fernungen zu einer Figur von mir vereinigt worden sind. Die
Gründe, welche zu dieser Veränderung geführt haben, werden
in der Anm. 16 erörtert.

b) Auf der Strecke des mittleren Laufs (d.i. in der Mitte
zwischen Erdferne und Erdnähe) ist der ungleichförmige oder

Rückläufigkeit des Saturn. 279

Bei dem Saturn hatten wir (S. 255, 3l) den Halbmesser
AA des Epizykels zu 6^30' in dem Maße nachgewiesen, in Hei 465
welchem der Halbmesser TA der mittleren Entfernung 60^
beträgt;

mithm ist { rH = rA-AA = 53P30'l - demselben Maße,

demnach TH • TA = 3557^' 45'.

Nun ist PH • TA = E r • TZ, (Eukl. III. 35)

folglich auch Er-rZ = 3557P'45' wie TA = 60^.

Setzt man die Geschwindigkeit des Epizykels, d. i. die 10
Strecke Z0 gleich l'', so ist nach Maßgabe des mittleren
Laufs*^ die Geschwindigkeit des Planeten, d. i. die Strecke
rZ, gleich 28^^25' 46". In diesem Maße ist demnach

ET = 2Z0 + rZ = 30''25'46",

ErrZ = 865^'5'32". 15

Wenn wir nun^^ den oben (für E f • FZ) gewonnenen Wert
durch letztere Zahl dividieren, so ist

3557^' 45' : 865''' 5' 32" = 4P'6'45", Hei 466

)/4P'6'45" = 2Pl'40".
Multiplizieren wir alsdann mit diesem Werte sowohl die 20
Verhältniszahl 1^ der Strecke Z0 als auch die Verhältnis -
zahl 28^^25' 46" der Strecke VZ, so werden wir erhalten

genauberechnete Lauf des Epizykels (in der Ekliptik) unwesent-
üch verschieden von dem periodischen (auf dem Exzenter der
größeren Exzentrizität), weil dort die Anomaliedifferenz nahezu
von derselben Größe bleibt, so daß sie auf den Unterschied des
scheinbaren Laufs des Epizykels von dem mittleren auf dieser
Strecke keinen wesentlichen Einfluß äußert.

a) Das Verhältnis der Wiederkehren in Anomalie zu den Um-
läufen des Epizykels ist (nach S. 99, 24) 57"^ : 2''-f- lU3', d.i.
20 520° : 721»/^« = 28''25'51" : 1^ Genau in demselben Verhält-
nis stehen die jährlichen Beträge in Anomalie und Länge 347^32'
: 12^8' 24" (s. Tafel IIa S. 105).

b) Um die Strecken Z 0 und TZ auf das Maß TA = 60^ zu
reduzieren. Die Division ergibt zunächst das Verhältnis der
beiden Maße mit l'^' : 4P'6'45".

280

Zwölftes Buch. Zweites Kapitel.

wie ErrZ = 3557P'45'.

Ha 324
5

Z0= 2^ 1'40'
rZ = 57^38' 55'

Nun ziehe man die Verbindungslinie AZ. Dann ist

Z0== 2P 1'40" wie AZ = &^SO'.
Setzt man h^Z = 120^,

so wird sZ0= 37^26' 9"

also 6Z0= 36" 21' 15"

mithin /,ZAÖ= 36'^ 21' 15"

= 18M0'38"

in diesem Maße,
wie ©Z0A = 36O°,
wie ^i?=360^
wie 4i? = 360».

r0 = rZ + Z0 = 69P4O'35"

hrA = 120P,

sr0 = 119^21' 10"

6r0 = 168° 5' 39"

/.rA0==168'' 5' 39"

= 84» 2' 50"

iAre= 5» 57' 10"

(Nun war /.ZA0= 18U0'38"
folglich /.ZAH= 66« 52' 12'

10

Ferner ist

Setzt man

so wird

also

mithin

15

ii467

daher

wie h TA = 60^.

in diesem Maße,

wie © r0A = 36O°,

wie 2R = 'i&0\

wie 4R = S60\

als Komplementwinkel.

wie 4B = d60')
als Differenz.

(/.rA0-^ZA0)

Zur Zeit des ersten Stillstandes liegt der scheinbare Ort
20 des l^laneten auf der Geraden FZ, zur Zeit der Opposition
dagegen auf der Geraden FH. Hätte der Mittelpunkt des
Epizykels keine Bewegung in der Richtung der Zeichen,
so ist klar, daß die 65^52'l2" des Epizykelbogens ZH die
5^57' 10" Rückläufigkeit des LAVZ [s. Z.lß L ATO) (dau-
25 ernd) messen würden.*^ Nun entfallen aber bei dem vor-
liegenden Verhältnis (l : 28V12) <^^^ Geschwindigkeit des Epi-
zykels zu der Geschwindigkeit des Planeten auf die oben
festgestellten 65^52' 12" in Anomalie ohne wesentlichen
Fehler 2^19' in Länge^^; mithin werden wir die Rückläufig-

a) D.h. die 65^52' 12" der Anomalie würden in diesem Fall
maßgebend sein zur tabellengemäßen Berechnung der Zeit, in
welcher der Planet die Strecke von 5".'i7'10" zurücklegt.

b) Das Verhältnis 1 : 28%2=^ ^ ß^y^ liefert für x ungefähr 2 y, *',
die (vgl. S. 281,14) für mittlere Länge gelten.

Rücklänfigkeit des Saturn. 281

keit von dem ersten Stillstand bis zur Opposition in dem
Rest (5^57'lO" — 2^9'=) 3<>38'10" erhalten oder mit Ha 325
69 Tagen, in welchen der Planet sich ohne wesentlichen
Fehler die 2^ 1 9' der periodischen Länge weiterbewegt.*^
Folsrlich erhalten wir die ganze Strecke der Rückläufigkeit 5
mitVl6'20" oder 138 Tagen.

IT. Weiter werden wir auf demselben Wege die zahlen-
mäßigen Beträge in der größten Entfernung ermitteln,
d. h. wenn die in der Mitte zwischen den Stillständen ein-
tretende Opposition den Mittelpunkt des Epizykels genau 10
in das Apogeum des Exzenters verlegt, jeden der beiden Still-
stände dagegen selbstverständlich annähernd in denjenigen
Abstand von der Stelle der Opposition , welcher für das Hei 468
mittlere Verhältnis mit 2^19' (mittlerer Länge) nachge-
wiesen worden ist, d. h. (jetzt) in den Abstand der genau- 15
berechneten Länge vom Apogeum. Für diese Stellung
wird die Strecke TA der alsdann stattfindenden Entfernung
als unwesentlich verschieden gewonnen von der Strecke der
größten Entfernung, welche auf dem von uns früher (S. 256,
5) erörterten theoretischen Wege (mit 63^25') festgestellt 20
wurde, während die auf einen Grad in Länge entfallende
Prosthaphäresis ohne wesentlichen Fehler 0^6' 30" beträgt.^)
Mithin steht die genauberechnete Länge (Z0) zu der genau-
berechneten Anomalie (HZ), d. i. die zurzeit (des ersten Still-
standes) vor sich gehende scheinbare Geschwindigkeit des 25
Epizykels zu der scheinbaren Geschwindigkeit des Pla-
neten, in dem Verhältnis von (1^— 6'30''=) 0^53'30" zu
(28^25'46"-f 6'30"==) 28^32'l6".

Es sei dieselbe Figur vorgelegt.^^^ Als unwesentlich ver-
schieden von der größten Entfernung ist 30

a) Die Berechnung nach der Tafel für Saturn (S. 106) lie-
fert für 69'! in Länge 2<'18'38", in Anomalie 65Ul'62".

b) Nach der Anomalietabelle (S. 261) entfällt auf 6° Ent-
fernung vom Apogeum des Exzenters die Prosthaphäresis 0^39',
also auf 1*^ genau 0^6'30". Warum dieser Wert einerseits ab-
zuziehen, anderseits zu addieren ist, wird Anm. 16 erklärt.

282

Zwölftes Buch. Zweites Kapitel.

mithin

Nun ist
6 folglich auch

rA = 63i'25' wie ep/iwi A A = 6^30';

m = TA -AA = 66^55'.

TA TH = E r ■ rZ, (Eukl. III. 35)

ErrZ = 3979P'25'25".

Ha 326

Hei 469

10

Ferner ist

mithin
folglich

Ferner ist
mithin

|Z0= 0''53'30"
1 rZ = 28''32'l6"

als GEp,
als GPl,

Er = 2Z0 + rz « so^'ie'ie",

Er- rZ = 865''' 17' 50".

3979P'25'25" : Söö'"' 17^50" = 4P'35'56"

|/4P'35'56"==2P8'40".

Multiplizieren wir alsdann mit diesem Werte sowohl die
Verhältniszahl O'^öS'SO" der Strecke Z0 als auch die Ver-
hältniszahl 28^*32' 16" der Strecke VZ, so werden wir er-
15 halten

Z0= lP64'44"] . (AZ= 6^30'

( wie {
rZ = 6lPll'52") 1 TA = 63^25',

r0 = 63P 6 '36" als Summe.

20

Hei 470

mithin

Setzt man
so wird

also
mithin

ÄAZ und ÄrA = 120^
«Z0= 35^18' 9" und sr0 = 119P25'll",
Z)Z0= 34« 13' 4" wie ©Z0A = 36O^
6 r0 = 168*' 43' 38' ' wie © r0 A = 360«;
/.ZA0= 34«13' 4" wie^JB = 360«,
/, TA 0 = 168« 43' 38" wie <8iJ! = 360«;

25

(/.ZA0= 17« 6'32" wie 4jB = 360«,
tolglichj ^|-^Q_ 84«21'49" wie4E = 360«.

Endlich ist

^ A r0 = 5 « 38 ' 1 1 " als Komplementwinkel,
/,ZAH= 67« 15' 17" als Differenz.

(Z.rA0-/.ZA0)

Wenn der Epizjkel keine rechtläufige Bewegung hätte, so

30 hätten wir in /. A TG den Winkel der Rückläufigkeit von

dem einen Stillstand bis zur Opposition und in /-ZAH den

Hft 327 Winkel des scheinbaren Laufs (in Anomalie) auf dem Epi-

zykel bei demselben Abstand (von 5*38' ll"). Nun ent-

Rückläufigkeit des Saturn. 283

fallen auf die vorliegenden 6 7^ 15' 17" (der scheinbaren Ano-
malie) nach den in dem Apogenm eintretenden Verhältnissen
(28V2 : 7io) ^^^ Geschwindigkeiten 2^ 6' 6" genauberechneter
Länge; mithin werden wir die Hälfte der ganzen Rück-
läufigkeit in dem Rest (ö^SB'll" - 2<>6'6" =) 3« 32' 5" er- 5
halten oder mit 7073 Tagen; denn in so viel Tagen bewegt
sich der Planet ohne wesentlichen Fehler die 2^21' 25" in
periodischer Länge weiter^^, welche (unter Zusatz der Prosth-
aphäresis 0^1 5' 19") auf die obengenannten 2® 6' 6" der ge-
nauberechneten Länge entfallen. Folglich erhalten wir die 10
ganze Strecke der Rückläufigkeit mit 7^4' 10" oder I4073
Tagen.

HL Auf dem ähnlichen Wege werden wir an derselben
Figur auch die Beträge in der kleinsten Entfernung er-
mitteln, wenn die in der Mitte zwischen den Stillständen 15
eintretende Opposition genau in dem Perigeum des Exzen- Hei 471
ters und jeder der beiden Stillstände in dem (für die mitt-
lere Entfernung mit 2^19') vorliegenden Abstand in Länge
von dem Ort der Opposition, d. i. von dem Perigeum, statt-
findet. Für diese Stellung wird die Strecke TA der alsdann 20
eintretenden Entfernung als unwesentlich verschieden von
der Strecke (56^35' S. 256, ll) der kleinsten Entfernung ge-
wonnen, während die auf einen Grad in Länge entfallende
Prosthaphäresis ohne wesentlichen Fehler 0^7' 20" beträgt.^)
Mithin steht in diesem Fall die scheinbare Geschwindigkeit 25
des Epizykels zu der scheinbaren Geschwindigkeit des Pla-
neten in dem Verhältnis von (1^-f 7'20"=) l'^7'20" zu
(28'^25'46"-7'20" =) 28'^18'26".

Ist also rZ = 28^^18' 26" und 20=1'^ 7' 20",

so wird Er = 2Z0-f rZ = 30^33'6'', SO

folglich Er.rZ = 864'''49'50".

a) Für 70 V/ gibt die Tafel (S. 106) in Länge 2^21' 18", in
Anomalie 66° 58 '3".

b) Nach der Anomalietabelle (S. 261) entfällt auf 3" Ab-
stand von dem Perigeum die Prosthaphäresis 0*^22', also auf l''
genau 0°7'20".

284 Zwölftes Buch. Zweites Kapitel.

Ha 328 Ferner ist als unwesentlich verschieden von der kleinsten
Entfernung

TA = 56^35' wie epJi7n A A = 6^30';
rA = rA-[-AA = 63i^5',
rH = rA-AA = 50P5'.

mithin

(Nun ist TA • TH = E T- TZ) (Eukl. IIL 35 )

Hei 472 folglich E T- TZ = 3159^' 25'25".

Ferner ist 3169P'25'25" : 864'''49'60"=3P'39'12",

mithin y3P'39'12" = iP54'42".

jQ Multiplizieren wir alsdann mit diesem Werte sowohl die
Verhältniszahl 1^7' 20" der Strecke Z0 als auch die Ver-
hältniszahl 2 S'^ 18' 2 6" der Strecke FZ, so werden wir er-
halten

Z0= 2P8'43"t . fAZ= 6^30'

wie <
rZ = 54P6'22"| \ TA = 56^35',

mithin r0 = 56Pl5'5" als Summe.

15

Setzt man h AZ und ä TA = 120^

so wird sZ0= 39P36'18" und s r0 = 119P17'46",
( 5Z0= 38°32'34" wie ©Z0A,
20 \ 6r0 = 167»34'54" wie©r0A;

|/,ZA0= 38032'34" wie ^i2 = 360<^,

UjrA0 = 167''34'54" wie ^i2=360»;

. f/,ZA0= 19016'17" wie4i^=360^

^^ l/.rA0= 83°47'27" wie4jR = 360".

^* ^^^l T^ JT 1 • xfZ.Ar0= 6M2'33" als Komplementwinkel,
Hei473} Endlich ist 7" ^.L, ^.oo.'.n'/ 1 j^-sr

1/ ZAH= 64*^31 10 als Differenz.

26 ~ (/.rA0-/.ZA0)

Wir werden also in L AVQ den Winkel der Rückläufig-
keit von dem einen Stillstand bis zur Opposition gemäß der
Geschwindigkeit des Planeten haben und in Z. ZAH den
30 Winkel des scheinbaren Laufs (in Anomalie) auf dem Epi-
zykel bei demselben Intervall (A0). Nun entfallen auf die
64^31' 10" des letzteren nach dem im Perigeum eintreten-
den Verhältnis (28 Vgi^Vso) der Geschwindigkeiten 2^33'28"

Zwölftes Buch. Drittes Kapitel. 285

genauberechneter Länge. Mithin werden wir die Hälfte der
ganzen Rückläufigkeit in dem Rest (6012' 33" - 2^33' 28"=)
3^39' 5" erhalten oder mit 68 Tagen; denn in so viel Ta-
gen legt der Planet in mittlerer Bewegung ohne wesentlichen
Fehler die 2^1 6' 4 5" periodischer Länge zurück^), welche 5
(unter Abzug der Prosthaphäresis 0^1 6' 43") auf die oben
ermittelten 2^33' 28" der genauberechneten Länge entfallen.
Folglich erhalten wir die ganze Strecke der Rückläufigkeit
mit 7<'18'10" oder 136 Tagen.

Drittes Kapitel.
Nachweis der Bückläufigkeitsstrecken des Jupiter.

I. Nach den Zahlenverhältnissen bei der mittleren Entfer- 10
nung erhält man bei dem Jupiter folgende Proportionen:^^

Z0:rZ= l'':10''51'29",
mithin Er:rZ= 12''51'29" : 10''51'29";

folglich ErrZ = 139'''37'39".

Ferner ist TA : A A = 60^ : 11^30', Hei 474

mithin TA : TH = 71^30' : 48^30'; ^^

folglich TA • PH = 3467P' 45'.

Wird die Wurzel 4^59^1" des aus der Division hervor-
gegangenen Quotienten 24^' 50' 9" mit den oben (Z. 12) gege- Ha 330
benen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und TZ multipli- 20
ziert, so wird

Z0= 4P59' 1"\ . f AZ = llP30'

, > wie {
rZ = 54P 6'44") 1 rA = 60P,

mithin TO = 59^ 5'45" als Summe.

Setzt man h AZ und /i TA = 120^, 25

so wird sZ0 = 52^' O'IO" und s TO = 118Pi1'30",

a) Für 68d gibt die Tafel (S. 106) 2° 16' 37" in Länge, in
Anomalie 64®44'44".

b) Das Verhältnis der Wiederkehren in Anomalie zu den Um-
läufen des Epizykels ist (nach S. 100,9) 65"^ : 6""- 4<>50', d.i.
234000:2155V6"=10''61'28": 1^ Zu dem Entfernungsverhält-
nis TA: AA s. S. 255,32.

286

Zwölftes Buch. Drittes Kapitel.

mithin 6 Z0 = 51"21'4l" und & TO = 160U'55";

Hei 475

Endlich ist

I^ZA0 = 25''4O'5O"
^^^l^rA0 = 8O« 2'28"

wie 4R
wie iB ^

360^
360<>.

ArZ= 9<*57'32" als Komplementwinkel,
ZAH = 54^21'38" als Differenz.

a TAG -^ ZAG)

10

15

20

Somit ist Lf^VZ. der Winkel der Rückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten und /, Z A H der AVinkel

der scheinbaren Ano-
malie. Auf die 54^21'
38" des letzteren ent-
fallen nach den (mit
10% • l) vorliegenden
Verhältnissen 5M'24"
(diesfalls mittlerer) Lauf
in Länge. Mithin be-
trägt die Hälfte der
Rückläufigkeit (9^57'
32"- 50 1' 24"=) 40
5 6' 8" oder rund eOYg
Tage'^^ (der periodischen
Länge entsprechend)
und die ganze Strecke
der Rückläufigkeit 9®
52' 16" oder 121 Tage.

25 Die Entfernung (FA) ist bei 5^ Abstand (der Stillstände)
von dem Apogeum (des Exzenters) unbeträchtlich klei-
ner als die größte Entfernung (62^4 5'), und die Entfer-
nung bei demselben Abstand von dem Perige um (des Ex-
zenters) ist nur unbeträchtlich größer als die kleinste Ent-

30 fernung (57^15').

a) Für 6OV2'' gibt die Tafel (S. 109) 5«1'43" in Länge und
54*^ 36' 6" in Anomalie.

Rückläufigkeit des Jupiter. 287

IL Nach den Zahlen Verhältnissen bei der größten Ent-
fernung (62^45' S. 256,6) findet man die Prosthaphäresis
der genauen Berechnung*) mit 0^5' 10". Daher ist

Z0 : rZ = 0''54'50" : 10^^56' 39",
mithin Er:rZ= 12^^46' 19" : lO^'öe' 39"; Ha 33i

folglich Er- rZ = 139^^46' 42". 6

Ferner ist rA:AA= 62^45' : 11^30',

mithin TA : TH = 74^15' : 61^ 1 5';

folglich rATH = 3805P'l8'45".

Wird die Wurzel 5^1 3' 4" des aus der Division hervor- H*i 476
gegangenen Quotienten 27^'lo'26" mit den oben (Z. 4) ge- 11
gebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und TZ multi-
pliziert, so wird

Z0= 4P46' 6'1 .^ fAZ = llP30'

? wie \
rZ = 57P 6' 19' ) 1 TA = 62^45', 15

mithin TG = 61^52' 25" als Summe.

Setzt man h AZ und 7i TA = 120^,

so wird sZ0 = 49i'45'23" und s TO = 118^19'27",
mithin ö Z0 - 48<'59'34" und 6 r0 = 160U9'86",

|/^ZA0 = 24»29'47" wie 4i2 = 360», 20

lz.rA0 = 8O«24'48" wie 4i2=360°.

XI ji- 1. • xf/.ArZ= 9<>35'12" als Komplementwinkel,
Endlich ist|^_,^^^^^,^^, 1" als Differenz.

(/.rA0-/.ZA0)

Somit ist L ATZ der Winkel der Rückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten, /.ZAH der Winkel der 26
scheinbaren Anomalie. Auf die 55^55' l" des letzteren ent-
fallen nach den in dem Apogeum eintretenden Verhältnissen
(ll:^Yi2) 4® 40' 35" genauberechneter Länge, während die
periodische Länge (unter Zusatz der Prosthaphäresis 0^26')
5<^6'35" beträgt. Mithin beläuft sich die Hälfte der Rück- 30

a) Nach der Anomalietabelle (S. 262) entiällt auf 6" Ent-
fernung vom Apogeum die Prosthaphäresis 0^31', also auf 1®
genau 0<>5'10".

288 Zwölftes Buch. Drittes Kapitel.

läufigkeit auf (9035' 12"— 4^0' 35" =) 4^54' 37" oder rund
6 172 Tage*) (der periodischen Länge entsprechend) und die
ganze Strecke der Eückläufigkeit 9U9'l4" oder 123 Tage.
Hei 477} III' Nach den Zahlenverhältnissen bei der kleinsten
ß Entfernung (57^15' S. 256,12) findet man die Prosthaphä-
resis der genauen Berechnung^) zu 0^5' 40". Daher ist

Z0:rZ= l'' 5'40":10''45'49",
mithin Er:rZ= 12^^57' 9" : 10'^45'49",

folglich E r • rZ = 139''' 24' 56".

10 Ferner ist TA : AA = 57^15' : 11^30',
mithin TA : TH = 68^45' : 45^45';

folglich rArH = 3145P'l8'45".

Wird die Wurzel 4^45' des aus der Division hervor-
gegangenen Quotienten 22P'33'39" mit den oben (Z. 7)
15 gegebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und fZ mul-
tipliziert, so wird

Z0= 5Pll'o5"l •^|AZ = llP30'

rZ = 5lP 7' 38'') "^^^ I TA = 57^15',
mithin TG = 56^19' 33" als Summe.

20 Setzt man 7i AZ und /^TA = 120^

so wird sZ0 = 54^14' 47" und sr0 = 118P 3' 46",
also 6Z0 = 53»45' 4" und &r0 = 159<>22'4O":
ZA0 = 26<'52'32" wie 4E = 3600,

"ii

Hei478 ^^*^^°i^rA0 = 79'>41'2O" wie 4E = 360».

25 T. JT 1 . ^f/ ATZ = 10° 18' 40" als Komplementwinkel,
Endlich ist|^2AH = 52U8'48" als Differenz.

(/.rA0-/.ZA0)

Somit ist i A fZ der Winkel der Eückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten, iZAH der Winkel der
scheinbaren Anomalie. Auf die 52*^48' 48" des letzteren ent-

a) Für 6lV2<i gibt die Tafel (S. 109) 5°6'42" in Länge und
55°30'15" in Anomalie.

b) Nach der Anomalietabelle (S. 262) entfällt auf '6^ Ent-
fernung vom Perigeum die Prosthaphäresis 0°17', also auf 1°
genau 00 5'40".

Zwölftes Buch. Viertes Kapitel. 289

fallen nach den in dem Perigeum eintretenden Verhält-
nissen (10%: iVio) 5*^21' 20" genauberechneter Länge, wäh- Ha 333
rend die periodische Länge (unter Abzug der Prosthaphä-
resis 0^27') 4^54' 20" beträgt. Mithin beläuft sich die Hälfte
der Rückläufigkeit auf (10*^18' 40"— 5«2l'20"=) 4«57'20" 5
oder rund 59 Tage*) (der periodischen Länge entsprechend)
und die ganze Strecke der Rückläufigkeit auf 9° 54' 40"
oder 118 Tage.

Viertes Kapitel.
Nachweis der Rücklauf igkeitsstrecken des Mars.

I. Nach den Zahlenverhältnissen bei der mittleren Ent-
fernung erhält man bei dem Mars folgende Proportionen :^) 10

Z0:rZ= l'':0''52'5l",
mithin Er:rZ= 2'^52'51" : 0''52'51";
folglich ErrZ= 2''' 32' 15".

Ferner ist TA : A A = 60^ : 39^ 30', c)

mithin TA : TH = 99^ 30 ' : 20^ 30' ; 16

folglich TA • TH = 2039^' 45'.

Wird die Wurzel 28^ 21' 8" des aus der Division hervor- Hei 479
gegangenen Quotienten 803P''50'50" mit den oben (Z. 11)
gegebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und FZ mul-
tipliziert, so wird 20

Ze = 28^21' 8") . (AZ = 39^30'

> wie <
rZ = 24P58'25") 1 rA = 60P,

mithin r0 = 53Pl9'33" als Summe.

a) Für 59d gibt die Tafel (S. 109) in Länge 4054'14" und
53^4' 63" in Anomalie.

b) Das Verhältnis der Wiederkehren in Anomalie zu den Um-
läufen des Epizykels ist (nach S. 100 u) 37"^ : 42"" + 3^10', d. i.
13 320M5 12376® = 0'^52'51" : 1^ Zu dem Entfernungsverhält-
nis TA : AA s. S. 255, 38.

c) Den bisher mit AA. bezeichneten Halbmesser habe ich bei-
behalten an Stelle des fortan im griechischen Text erscheinen-
den Halbmessers AH.

Ptolemäus, übers. V. Manitius. II. -. IQ

290

Zwölftes Buch. Viertes Kapitel.

Ha 334

Setzt man

so wird

also

mithin

Endlich

ÄAZ und h VA = 120^,

sZ0 = 86P 8' 0"

&Z0 = 91O44'34"

ZA0 = 45<'52'17"

rA0 = 62H3' 5"

ArZ = 27°16'55",
ZAH = 160 50'48''

und sr0 = 106^39' 6",
und &r0 = 125^26'lO";
wie 4E=360«,
wie 4JB = 3600.

10

als Differenz.

(t rA0-/.ZA0)

Somit ist L A FZ der Winkel der Rückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten, /. Z A H der Winkel der

(scheinbaren) Anomalie.
Auf die 16^50' 48" des
letzteren entfallen nach
dem (mit ^^gQ : l) vor-
liegenden Verhältnis 19®
7' 33" (diesfalls mittle-
rer) Lauf in Länge; mit-
hin beträgt die Hälfte
der Rückläufigkeit (21^
16'55"- 19"7'33"=)
8^ 9' 22" oder rund 36 V2
Tage*) (der periodischen
Länge entsprechend)
und die ganze Strecke
der Rückläufigkeit 16®
18' 44" oder 73 Tage.
Die Entfernung (TA)
ist bei dem (20®58'2l"
betragenden) Abstand der Stillstände von dem Apogeum
(s. S. 292,3) ohne merklichen Fehler um 0^20' im Maße
30 der mittleren Entfernung kleiner als die größte Entfernung
(66P) und die Entfernung bei dem (16®52'52" betragenden)
Abstand von dem Perigeum (s. S. 293, 9) um ebensoviel
größer als die kleinste Entfernung (54^).

a) Für 36V/ gibt die Tafel (S. 112) 1907'40" in Länge und
16*50' 50" in Anomalie.

Rückläufigkeit des Mars. 291

II. Nach den Zahlenverhältnissen bei der größten Ent-
fernung (66^ S 256, 7) findet man die Prosthaphäresis der
genauen Berechnung^\ soweit sie auf einen Grad entfällt,
zu Ono'20". Daher ist

Z0:rZ= 0''49'40":1''3'11", 6

mithÄi Er:rZ= 2''42'31" : l'^S'll",
folglich ErrZ= 2'' 51' 8".

Ferner ist TA : AA = 65^40' : 39^30', (S. 290, 26)
mithin TA : TH = 105^ 10' : 26^' 10',
folglich TA • TH = 2751^' 51' 40'^. 10

Wird die Wurzel 3 1^3' 41" des aus der Division hervor-
gegangenen Quotienten 964^^48' 47" mit den oben (Z. 5)
gegebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und FZ multi-
pliziert, so wird

Z0 = 25^42' 43"! . |AZ = 39^30' Ha 335

I wie \
rZ = 32P42' 34" J I TA = 65P4O', 16

mithin TG = 58^25' 17" als Summe. Hei 481

Setzt man /^ AZ und /i rA = 120^;

so wird sZ0 = 78P 6' 44" und s TG = 106^45' 36",

also 6ZG = 81<>13' 8" und 6 TG = 125« 39' 46" ; 20
I Z. ZAG = 400 36' 34" wie4i?=360^
mitüm j ^ py^Q ^ 62»49'53" wie 4E = 360°.

Endlich ist

/.ArZ = 27°10' 7" als Komplementwinkel,
Z.ZAH = 22«13'19" als Differenz.

a TAG -^ ZAG)

Somit ist /. A rZ der Winkel der Rückläufigkeit gemäß 25
der Geschwindigkeit des Planeten, /.ZAH der Winkel der
scheinbaren Anomalie, Auf die 22^13' 19" des letzteren ent-

a) Nach der Anomalietabelle (S. 263) beträgt bei 18° Ent-
fernung vom Apogeum die Prosthaphäresis 3° 13', bei 24° Ent-
fernung 4° 16'; mithin entfällt auf einen Grad y^ der Diffe-
renz 1^3' mit 0°10'30". Wie Ptolemäus zu dem noch kleine-
ren Wert gelangt, vermag ich nicht zu erklären, zumal da auf
Grund desselben die Prosthaphäresis für 20^58' 21" (S. 292, 3) mit
3°37' um 0«8' zu klein ausfällt.

292 Zwölftes Buch. Viertes Kapitel.

fallen nach den im Apogeum eintretenden Verhältnissen (9:7)
17^ 13' 21" genauberechneter Länge, während die periodische
Länge (unter Zusatz der Prosthaphäresis 3^45') 20<^58'2l"
beträgt. Mithin beläuft sich die Hälfte der Rückläufigkeit
5 auf (27ölO'7"-17n3'2l" =) 9<>56'46" oder rund 40
Tage*^ (der periodischen Länge entsprechend) und die ganze
Strecke der Rückläufigkeit auf 19^53' 32" oder 80 Tage.

IILNach den Zahlenverhältnissen bei der kleinsten Ent-
fernung (54p S. 256, 13) findet man die Prosthaphäresis der
10 genauen Berechnung^) zu 0*^1 2' 40". Daher ist

Z0:rZ= 1''12'40":0''40'11",
mithin Er:rZ= S"" 5' 31" : 0"^ 40' 11",

folglich Er-rZ= 2'"' 4' 14".

Hei 482I Ferner ist TA : A A = 54^ 20' : 39^ 30', (S. 290, 3i)
15 mithin TA : TH = 93^50' : 14^50',

folglich TA • TH = 1391^' 51' 40".

Wird die Wurzel 25^55' 38" des aus der Division hervor-
gegangenen Quotienten 672^^13' mit den oben (Z. 11) ge-
gebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und FZ multi-
20 pliziert, so wird

Z0 = 31^24' ^"\ . (AZ = 39^30'

„ . . i wie {
rZ = 17^21' 51'! [TA = 54^20',

mithin TG = 48^45' 54" als Summe.

Setzt man 7i AZ und /^ TA = 120^
25 so wird 5Z0= 95^23^42" und s TG = 107^42' 7",

also 6ZG==105''18'10" und 6 TG = 127U0'22";

. |/,ZAG= 52«39' 5" wie4i2 = 360»,
mithmj^j.^Q_ 63«50'11" wie4i2=3600.

a) Für 40* gibt die Tafel (S. 112) 20067'44" in Länge und
18® 27' 46" in Anomalie.

b) Nach der Anomalietabelle (S. 263) beträgt bei 18" Ent-
fernung vom Perigeum die Prosthaphäresis 3 "65', bei 12® Ent-
fernung 2® 39'. Nur so erhält man auf einen Grad Yg der Diffe-
renz me' mit on2'40".

Zwölftes Buch. Fünftes Kapitel. 293

,/.ArZ= 26" 9' 49" als Komplementwinkel,
Endlich ist |^^^_ 11011-6" als Differenz.

(LrA0-^ZA0)

Somit ist LPkVZ der Winkel der Kückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten und /.ZAH der Winkel
der scheinbaren Anomalie. Auf die ll^ll'ß" des letzteren 5
entfallen nach den im Perigeum eintretenden Verhältnissen
(40:73) 20"33'42" genauberechneter Länge, während die
periodische (unter Abzug der Prosthaphäresis 3^40' 50'')
16<^52'52" beträgt. Mithinbeläuft sich die Hälfte der Rück- Hei 488
läufigkeit auf (26^ 9' 49" - 20'^ 33' 42"=) 5« 36' 7" oder rund 10
3274 Tage''^ (der periodischen Länge entsprechend) und die
ganze Strecke der Rückläufigkeit auf 11^12' 14" oder 64V2
Tage.

Fünftes Kapitel.
Nachweis der Rüekläuiigkeitsstrecken der Venus.

L Nach den Zahlenverhältnissen bei der mittleren Eut- Ha 337
fernung erhält man bei der Venus die Proportionen:^^ iö

Z0:rZ= l'':0''37'31",

mithin

Er:rZ= 2''37'31":0''37'3r

folglich

ErrZ= 1^'38'30".

B'erner ist

rA:AA= 60^:43^10',

mithin

rA:rH = 103PlOM6P50',

folglich

rArH = 1736P'38'20".

20

Wird die Wurzel 32^31' 29" des aus der Division hervor-
gegangenen Quotienten 1057^^50' 6" mit den oben (Z. 16)
gegebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und fZ mul-
tipliziert, so wird 25

a) Für 32 V/ gibt die Tafel (S. 112) 16^54' 2" in Länge und
14053' 8" in Anomalie.

b) Das Verhältnis der Wiederkehren in Anomalie zu den Um-
läufen des Epizykels ist (nach S. 100,19) 5"^ : 8''- 2^5', d. i.
1800* : 28777/ = 0''37' 31" : 1"^. ^^ ^^^ Entfernungsverhältnis
TA : AA s. S. 256, 1.

294

Zwölftes Buch. Fünftes Kapitel.

Hei 484

mithin

Setzt man

so wird

also

mithin

20 = 32^31' 29"! . |AZ = 43^10'

wie {
rZ = 20^20' 11" J 1 rA = 60P,

r0 = 52^51' 40" als Summe.

/lAZ und hrk = 120^,
sZ0 = 9OP24'58" und sr0 = 105i'43'20",
und 6r0 = 123<>31'49";
wie 4jR=360^
wie 4B=dQ0\

Ha 338
10

Endlich ist

&Z0 = 97H7' 0"
/,ZA0 = 48«53'3O"
i rA0 = 61<'45'64"

ATZ = 28'^ 14' 6"
ZAH = 12<'52'24"

\i

15

20

25

30

als Komplementwinkel,
als Diiferenz.

{i^^e- LZ^Q)

Somit ist /.ATZ der Winkel der Rückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten, Z.ZAH der Winkel der

Anomalie. Auf die 12"
52' 24" des letzteren
entfallen nach dem (mit
^ Veo • 1 ) vorliegenden
mittleren Verhältnis
20^35' 19" Lauf in
Länge. Mithin beträgt
die Hälfte der Rück-
läufigkeit (28^4' 6"
- 20*^35' 19" =) 7<>
38' 47" oder rund 20%
Tage"^) (dem periodi-
schen Lauf entspre-
chend) und die ganze
Strecke der Rückläufig-
keit 1 5^17' 34" oder
41V3 Tage.

Die Entfernung (FA)
ist bei dem (21^9' 3"
betragenden) Abstand der Stillstände von dem Apogeum

a) Für 20Y/ gibt die Tafel (S. 115) 20*'32'0" in Länge und
12'» 50' 38" in Anomalie.

ßückläufigkeit der Venus. 295

(s. S. 296,4) ohne merklichen Fehler 0^5' in dem Maße der .
mittleren Entfernung kleiner als die größte Entfernung
(61P 15') und die Entfernung bei dem (20H' 30" betragenden)
Abstand von dem Perigeum (s. S. 297,8) um ebensoviel
größer als die kleinste Entfernung (58^45'). 5

IL Nach den Zahlen Verhältnissen bei der größten Ent- Hei 485
fernung findet man die Prosthaphäresis der genauen Berech-
nung^) zu 0 2' 20". Daher ist

Z0:rZ= O'^öT'iO" :0'^39'51",
mithin Er:rZ= 2'^35'11" : O'^SS'öl", 10

folglich E r- rZ = i^\^'4/'.

Ferner ist rA:AA= 61^10' : 43^10', (s. oben Z.l)
mithin TA : PH = 104^20' : 18^ 0',
folglich TA • TH = 1878P'o'.

Wird die Wurzel 33^3' 53" des aus der Division hervor- 15
gegangenen Quotienten 1 09 3^" 16' 23" mit den oben (Z. 9)
gegebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und fZ mul-
tipliziert, so wird

Z0 = 3lP46'44"| ^.^ fAZ = 43^10'
rZ = 21^57' 38" 1^ lrA = 6lPlO', 20

mithin TG = 53^44^22" als Summe.

Setzt man h KZ und ArA = 120P, Ha 339

so wird sZ0 = 88i'2O'34" und sTO = 106^25' 44",
also 6Z0 = 94<>48'54" und fc r0 = 122<>56'27";

f/,ZA0 = 47^^24' 27" wie4jR = 360o, Hei 486

\l

mithin, , rA0_6iO28'i4" wie 4i(!=3600.

■n JT -1 . , f /, ArZ = 28®31'46" als Komplementwinkel,
Endlich ist 7 _.^ ^^„ ^,^_ i r»-«-

\ i ZAH = 14" 3 47 als Dilfeienz.

(LrA0-LZA0)

Somit ist LkVZ der Winkel der Rückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten, /-ZAH der Winkel der 30

a) Nach der Anomalietabelle (S. 264) entfällt auf 6'' Ent-
fernung vom Apogeum die Prosthaphäresis 0**14' ohne Zusatz,
mithin nur so auf 1? genau 0*2 '20".

296 Zwölftes Buch. Fünftes Kapitel.

. scheinbaren Anomalie. Auf die 14° 3' 47" des letzteren ent-
fallen nach den im Apogeum eintretenden Verhältnissen
(20:29) 20^19' 3" genauberechneter Länge, während die
periodische (unter Zusatz der Prosthaphäresis 0^50') 21° 9' 3"

5 beträgt. Mithin beläuft sich die Hälfte der Rückläufigkeit
auf (28°31'46"-20°19'3"=) 8°12'43" oder rund 21V2
Tage*^ (der periodischen Länge entsprechend) und die ganze
Strecke der Rückläufigkeit auf 16°25'26" oder 43 Tage.

III. Nach den Zahlenverhältnissen bei der kleinsten Ent-
10 fernung findet man die Prosthaphäresis der genauen Berech-
nung^) zu 0° 2' 20". Daher ist

Z0:rZ= 1"* 2' 20": O'' 35' 11",
mithin Er:rZ= 2''39'51": O'^SÖ'll",
folglich E r • rZ = l""' 33' 44".

15 Ferner ist rA:AA= 58^50' : 43^10', (S. 295, 3)
mithin TA : TH = 102^ OM5P4O',
folglich TA • TH = 1598^' 0 '.

Hei 487 Wird die Wurzel 31^58' 58" des aus der Division her-
vorgegangenen Quotienten 1022P'54'7" mit den oben(Z. 12)
20 gegebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und FZ mul-
tipliziert, so wird

Z0 = 33Pl3'36"l ^.g |AZ = 43^10'
Ha340 rZ = 18P45'16"J ^^ |rA = 58P50',

mithin r0 = 5lP58'52" als Summe.

25 Setzt man Z^AZ und h^^ = 120^,

so wird sZ0= 92^22' 3" undsr0 = lO6P 1'23",
also &Z0 = 1OO<^39'34" und5r0 = 124'' 8' 22",
. J/,ZA0- 50°19'47" wie41?=360^
mithmj^^^Q^ 620 4'xi" wie4J2 = 3600.

gibt. die Tafel (S. 115) 2im'28" in Länge und
13<'15'17" in Anomalie.

b) Nach der Anomalietabelle (S. 2t>4) entfällt auf 3^ Entfernung
vom Perigeum die Prosthaphäresis 0"7' nach Abzug, mithin
nur so auf 1" genau 0^2' 20".

Zwölftes Buch. Sechstes Kapitel. 297

n JT i_ •i.(/-ArZ= 27*'55'49" als Komplementwinkel,
Endlich ist ^ 2^^ _ 11044-24" als Differenz.

(LPAO-^ZAe)

Somit ist /.ATZ der Winkel der Rückläufigkeit geniäß
der Geschwindigkeit des Planeten, ^ZAH dei Winkel der
scheinbaren Anomalie. Auf die 11^44' 24" des letzteren ent- 5
fallen nach den im Perigeum eintretenden Verhältnissen
(5 : 9) 20^53' 30'' genauberechneter Länge, während die pe-
riodische (unter Abzug der Prosthaphäresis 0^49') 20H'30"
beträgt. Mithin beläuft sich die Hälfte der ßückläufigkeit auf
(27<^55'49"-20«53'30"=) 7" 2' 19" oder rund 2OV3 Tage*) 10
(der periodischen Länge entsprechend) und die ganze Strecke
der Rückläufigkeit auf 14^' 38" oder 4OV3 Tage.

Sechstes Kapitel.
Nachweis der Rückläufigkeitsstrecken des Merkur.

L Nach den Zahlenverhältnissen bei der mittleren Ent- iiei
fernung erhält man bei dem Merkur die Proportionen :^)

Z0:rZ= l^^rS'^g'S", 15

mithin E T : TZ = 5"^ 9' 8" : 3"* 9' 8",
folglich ErrZ = 16'''24'27".

Ferner ist TA : AA = 60^ : 22^30', Ha

mithin TA : TH = 82^30' : 37^30',
folglich TA . TH = 3093^" 45 '. 20

Wird die Wurzel 13^48'?" des aus der Division hervor-
gegangenen Quotienten 190^^29' 31" mit den oben (Z. 15)
gegebenen Verhältniszahlen der Strecken Z9 und TZ mul-
tipliziert, so wird

a) Für 207/ gibt die Tafel (S. 115) 20*' 2 '28" in Länge und
12'>32'8" in Anomalie.

b) Das Verhältnis der Wiederkehren in Anomalie zu den Um-
läufen des Epizykels ist (nach S. 100,24) 145^ : 46"^-!- 1**, d.i.
52 200*" : 16 561° = S'^g' 7"8'" : l"^. Zu dem Entfernungsverhältnis
TA : AA vgl. S. 256, 2.

298

Zwölftes Buch. Sechstes Kapitel.

mithin
Setzt man

Hei 489 so wird

6 also

mithin

20 = 13^48' r'\
rZ = 43^30 '24")
r0 = 57Pl8'31"

. |AZ = 22^30'
wie

] rA = 60P,

als Summe.

10

15

20

25

Endlich ist

hAZ und äTA = 120P,
«20 = 73^36' 37" und
&Z0 = 75'>4O'28"

/.ZA0 = 37"5O'14"

i rA0 = 72U6'26"

ArZ = 17M3'34"
ZAH = 340 56'12"

r0= 114^37' 2'
und 6r0 = 145^32' 52'
wie 47^ = 360",
wie 4E = 360«.

\i

als Komplementwinkel,
als Differenz.

(LrA0-LZA0)

Somit ist /- A rZ der Winkel der Rückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten, /- ZAH der Winkel der
Anomalie. Auf die 34<' 5 6' 12" des letz-
teren entfallen nach dem (mit 3%q : l)
vorliegenden Verhältnis 11^4'59" Lauf
in Länge; mithin verbleiben als Rest
(170 13' 34"- 1104' 59"=) 6« 8' 35"
für die Hälfte der Rückläufigkeit oder
rund 1 1 y^ Tage*) (der periodischen
Länge entsprechend), während die
ganze Strecke der Rückläufigkeit 12^
17' 10" oder 22V2 Tage beträgt.

IL Nach den Zahlenverhältnissen
bei der größten Entfernung, d. h.
wenn der Abstand (des Epizykels) von
dem Apogeum (des Exzenters) rund
11" genauberechneter Länge beträgt, aufweiche (unter Zu-
satz der Prosthaphäresis 0"30') rund 1172*^ gleichförmiger
Länge entfallen, findet man die Prosthaphäresis der genauen
30 Berechnung^\ soweit sie auf einen Grad entfällt, ohne merk-
lichen Fehler zu 0^2' 20". Daher ist

a) Für liy^d gibt die Tafel (S. 118) ll«ö'l8" in Länge und
34°57'1" in Anomalie.

b) Nach der Anomalietabelle (S. 265) beträgt bei 12*^ Ent-
fernung vom Apogeum die Prosthaphäresis 0^32', bei 6** Ent-

Rückläufigkeit des Merkur. 299

Z0:rZ= 0'*57'40" :3''ll'28", Ha 342

mithin Er:rZ= ö'^ 6'48" : 3''ll'28", Hei490

folglich E r . rz = 1 e'"' 1 9 ' 2 ".

Ferner ist TA : A A = 68^ 36' : 22^ 30>)

mithin TA : TH = 91^ 6' : 46^ 6', 5

folglich rATH = 4199P'42'36".

Wird die Wurzel 16^2' 35" des aus der Division hervor-
gegangenen Quotienten 257P''22'44" mit den oben (Z. l)
gegebenen Verhältniszahlen der Strecken Z0 und fZ mul-
tipliziert, so wird 10

Z0 = 15P25' 9"l ^g fAZ = 22^30'
rZ = 5lPll'43"| ^ irA = 68P36'.
mithin r0 = 66^36'52" als Summe.

Setzt man h AZ und /irA = 120^

so wird sZ0 = 82Pl4' 8" und sr0 = 116P31'36", 15
also 6Z0 = 86°31' 4" und 6r0 = 152«27'56";
/, ZA0 = 430 15' 32" wie 4B = 360",
/, rA0 = 76"13'58" wie 4E = 3600. Hei49i

mithin
Endlich ist

/.ATZ = 130 46' 2" als Komplementwinkel,
/, ZAH = 32<>52'26" als Differenz» 20

(/.rA0-/.ZA0)

Somit ist /. A rZ der Winkel der Rückläufigkeit gemäß
der Geschwindigkeit des Planeten, /-ZAH der Winkel der
scheinbaren Anomalie. Auf die 32^52' 26" des letzteren
entfallen nach den im Apogeum eintretenden Verhält-
nissen (96 : 29) 9^48' 51" genauberechneter Länge, während 25
die periodische (unter Zusatz der Prosthaphäresis 0^28')
10"16'51" beträgt. Mithin verbleiben als Rest (43^46' 2"

fernung 0^17'. Somit entfällt auf einen Grad Ve ^^^ Diffe-
renz 0^15' mit 0*2' 30". Für den kleineren Betrag finde ich
auch hier (vgl. S. 291, 3) keine Erklärung.

a) Die Entfernung ist bei 11** Abstand von dem Apogeum um
0P24' kleiner als die größte Entfernung 69p. Vgl. S. 300,16.

b) Der Subtraktionsfehler 52' statt 58' wird auch S. 308,16
aufrecht erhalten.

300 Zwölftes Buch. Sechstes Kapitel.

— 9<^48'51"=) 3^57' 11" für die Hälfte der ßückläufig-
keit oder rund IOY2 Tage*) (der periodischen Länge ent-
Ha 343 sprechend), während die ganze Strecke der ßückläufigkeit
7^54' 22" oder 21 Tage beträgt.

5 III. Nach den Zahlenverhältnissen bei den kleinsten
Entfernungen, welche in den Intervallen von 120*' periodi-
schen Laufs (beiderseits) von dem Apogeum eintreten, fin-
det man die Prosthaphäresis der genauen Berechnung^\ die
sich aus dem (auf 1^ entfallenden) Betrag bei dem (nach
10 S. 298,27) 11^ betragenden Abstand (des Epizykels) beider-
seits der beiden Erdnähen ergibt, ohne merklichen Fehler
zu 0<^1'30". Daher ist

Z0:rZ= l"" 1'30":3''7'38",
mithin ET: TZ- ö'^lO'SS" : S'^T'SS";

15 folglich Er.rZ = 16^^11' 25".

Ferner ist TA : A A = 55^42' : 22^ 30' c),
Hei 492 mithin TA : TH = 78^ 12' : 33^ 12' ;

folglich TA • TH = 2596^' 14' 24".

Wird die Wurzel 12^39' 48" des aus der Division hervor-
20 gegangenen Quotienten 160^21' 29" mit den oben(Z. 13) ge-
gebenen Yerhältniszahlen der Strecken Z 0 und TZ multipli-
ziert, so wird

Z0 = 12^58' 47"! . (AZ = 22^30'

i wie <
rZ = 39P 36' 4" ) 1 TA = 55P 42',

25 mithin r0 = 52P34'51" als Summe.

Setzt man h AZ und ä TA = 120^,

so wird sZ0 = 69Pl3'31" and sr0 = 113^16' 48",
also 6Z0 = 7O"27'44" und &r0 = 141<'28'14";

a) Für loy^d gibt die Tafel (S. 118) 10°20'56" in Länge und
32^37' 13" in Anomalie.

b) Nach der Anomalietabelle (S. 265) beträgt bei 1140 Ent-
fernung vom Apogeum, d i. 6*^ vor der Erdnähe 120°, die Prosth-
aphäresis 2050', bei 120*^ aber 2041'. Nur dann entfällt auf
einen Grad % der Differenz 0«9' mit on'30".

c) Die Entfernung ist bei 11® Abstand von der Erdnähe um
OP 8' größer als die kleinste Entfernung 55v 34' (S. 256, 15).

Nachtrag. 301

) ^ ZA0 = 35''13'52" wie4i^ = 360^
mithin |^j.^Q_ ^^044' 7rr wie4i? = 360«.

T^ -.1. i • J /. ArZ = 19®15'53" als Komplementwinkel,

Endlich ist , _,.,, oeOo/^f.r/' 1 T^-ü

i /. ZAH = Sb^ 30' 15' als Differenz.

(/.rA0-/.ZA0)

Somit ist /.ATZ der Winkel der Eückläufigkeit gemäß ö
der Geschwindigkeit des Planeten, /-ZAH der Winkel der
scheinbaren Anomalie. Auf die 35^30' 15" des letzteren Ha 344
entfallen nach den (mit 3V8 • l) vorliegenden Verhältnissen
11^ 39' 30" genauberechneter Länge, während die periodische
(unter Abzug der Prosthaphäresis 0^8') 11<^21'30" beträgt. 10
Mithin verbleiben als Rest (19n5'53" — 11^39' 30" =)
7® 36' 23" für die Hälfte der Rückläufigkeit oder rund 11 Vg Hei 493
Tage^^ (der periodischen Länge entsprechend), während die
ganze Strecke der Rückläufigkeit 15*^12' 46" oder 23 Tage
beträgt. 15

Die nachgewiesenen zahlenmäßigen Beträge sind ohne
wesentliche Fehler in Übereinstimmung mit den Beträgen,
welche aus den Erscheinungen gewonnen werden, die jeder
einzelne der Planeten darbietet.^^

Die Beträge, welche in den größten und in den kleinsten 20
Entfernungen auf den (periodischen) Lauf in Länge entfal-
len, haben wir auf folgendem Wege festgestellt. So hatten
wir z.B. (S. 291,24) bei Erörterung der Verhältnisse in der
größten Entfernung des Mars den scheinbaren Epizykelbogen
(ZH) von dem einen Stillstand bis zur Opposition, d h. den 25
theoretisch auf den Mittelpunkt der Ekliptik bezogenen Bo-
gen^), mit 2 2^ 13' 19" nachgewiesen. Die auf diese Grade
nach dem Verhältnis von l'^tl'^S'll" ohne wesentlichen
Fehler entfallenden 21^10' periodischer Länge entsprechen

a) Für liy^d gibt die Tafel (S. 118) 11°20'5" in Länge und
35<>43'37" in Anomalie.

b) D. h. mit den aus den Beobachtungen abgeleiteten Beträ-
gen, wie sie die Tafeln S. 114—118 bieten.

c) D. i. den auf das scheinbare oder genaue Perigeum des
Epizykels bezogenen Bogen.

302 Zwölftes Buch. Sechstes Kapitel.

insofern nicht ganz der absoluten Genauigkeit, als die für
die (Dauer der) Stillstände angegebenen Verhältnisse der
Geschwindigkeiten (des Epizykels und des Planeten selbst)
während des ganzen Verlaufs der Rückläufigkeit nicht un-
5 verändert bleiben. Indessen weichen diese 21^10' von
dem absolut genauen Werte nicht so stark ab, daß auch die
auf sie entfallende Prosthaphäresis , die nahezu 3^45' be-
trägf^^ mit einer wesentlichen Differenz behaftet sein könnte.
Hei 494 Daher haben wir diesen Betrag, weil in der größten Ent-

10 fernung der scheinbare Lauf auf dem Epizykel größer ist
als der periodische^^ von den 22^*13' 19" des Epizykels ab-
gezogen und erhielten den auf diese Grade entfallenden pe-
Ha 345 riodischen Lauf in Anomalie von dem einen Stillstand bis
zur Opposition mit (22^1 3' 1 9" - 3H5'=) 18" 28' 19". Weil

15 nun auf diesen Betrag infolge des (S. 289,11 vorgelegten)
Verhältnisses ("Veo* ^) ^^^ mittleren Bewegungen 20^58'
21" periodischer Länge entfallen, so haben wir von diesen
Graden, weil sie den genauen Wert darstellen, anstatt der
21^10' Gebrauch gemacht und die 3^45' betragende Prosth-

20 aphäresis, die auch in diesem Falle nahezu dieselbe bleibt,
davon abgezogen, weil in den größten Entfernungen der
scheinbare Lauf in Länge kleiner ist als der periodische.*'^
Somit haben wir (S. 292, 2) für den scheinbaren (oder genau-
berechneten) Lauf in Länge bei dem vorliegenden Abstand

25 (20^58' 21" — 3H5'=) 17<^13'21" erhalten.

a) Nach der Anomalietabelle beträgt bei 21" Entfernung vom
Apogeum die Prosthaphäresis als Mittel zwischen 4*^16' und
S^IS' ziemlich genau 3°45'.

b) Insofern die vod dem scheinbaren Perigeum des Epizykels
aus gerechnete Anomaliezahl größer ist als die von dem mittle-
ren ab gerechnete, weil letzteres vor dem Apogeum des Ex-
zenters dem scheinbaren vorangeht. S. Fig. 1 zu Anm. 16

c) Insofern der scheinbare oder genaue Lauf von dem Apo-
geum des Exzenters aus gemessen hinter dem mittleren, der
von der Leitlinie der größeren Exzentrizität bestimmt wird, zu-
rückbleibt. S. Fig. zu Anm. 13. i.

Zwölftes Buch. Siebentes Kapitel. 303

Siebentes Kapitel.

Praktische Anleitung zur Aufstellung

einer Tabelle für die Stillstände.

Um wieder auch bei denjenigen Entfernungen, welche
einerseits zwischen der mittleren und der größten, anderseits
zwischen der mittleren und der kleinsten liegen, bequem
die Zahl der Grade ermitteln zu können, an denen auf dem
Epizykel angelangt, jeder Planet den Eindruck des schein- 5
baren Stillstandes machen wird, entwerfen wir auch für
diesen Zweck auf methodischem Wege eine Tabelle von
31 Zeilen und 12 Spalten. Hei 495

Die ersten beiden Spalten werden entsprechend der An-
ordnung der übrigen Tabellen von 6 zu 6 Graden die Ar- 10
gumentzahlen der periodischen Länge enthalten, die
zehn weiteren die für jeden der fünf Planeten geltenden
Abstände in genauberechneter Anomalie von den
scheinbaren Apogeen der Epizyklen, und zwar, Planet
für Planet, die erste Spalte die Abstände des ersten Still- 15
Standes, die zweite die des zweiten Stillstandes. Festgestellt
haben wir die zahlenmäßigen Beträge auch dieser Abstände
(von den Apogeen) sowohl (I) nach den vorstehend nach-
gewiesenen Beträgen für die mittleren, die größten und die Ha 346
kleinsten Entfernungen, als auch (II) nach den in den 20
Zwischenentfernungen eintretenden Differenzen, über welche
wir früher (S. 259 f.) gelegentlich des Ansatzes der Sechzig-
stel in der achten Spalte der Anomalietabellen die nötigen
Erklärungen abgegeben haben. Es lassen sich eben für jeden
Ort periodischer Länge zugleich mit dem zahlenmäßigen Be- 26
trag der größten Differenz der (scheinbaren) Anomalie auch
diejenigen Entfernungen der Epizyklen nachweisen, für welche
gerade auch der Unterschied der Stillstände auf theoretischem
Wege ermittelt wird.

I. Da die in den Erdfernen und in den Erdnähen nach- 30
gewiesenen Rückläufigkeitsstrecken sich nicht nach dem Ein-
tritt der Stillstände bemessen, wenn die Mittelpunkte der Hei 496

304 Zwölftes Buch. Siebentes Kapitel.

Epizyklen genau in den Apogeen und den Perigeen (der
Exzenter) stehen, sondern wenn sie von diesen Punkten einen
an gewisse Grenzen gebundenen Abstand (in Länge) einhalten,
so haben wir aus diesen Abständen für jeden Planeten die
5 direkt auf die Apogeen und Perigeen (der Exzenter) entfallen-
den zahlenmäßigen Beträge (der scheinbaren Anomalie, d. i.
die Größe des /. ZAH) auf folgendem Wege abgeleitet.

1. Bei dem Saturn und dem Jupiter gibt es zwischen
den Entfernungen (TA) der Epizyklen, welche direkt in den

10 Apogeen und den Perigeen (des Exzenters) stattfinden, keinen
wesentlichen Unterschied^^ von den Entfernungen, welche in
den von diesen Punkten ab festgestellten Abständen eintreten.
Deshalb haben wir die für d i e s e Planeten gewonnenen Zahlen
der Anomalie, welche (jetzt) von den scheinbaren Apo-

15 geen^^ der Epizyklen ab gerechnet sind, (unverändert) in
die entsprechenden Zeilen gesetzt, d. h. die für die Erd-
fernen geltenden Zahlen in die (erste) Zeile mit der Ar-
gumentzahl 360, die für die Erdnähen geltenden Zahlen
in die (letzte) Zeile mit der Argumentzahl 180.

20 Nachgewiesen wurde (S. 282,28) für den Saturn der

Abstand (des Planeten) von dem Perigeum des Epizykels im

Ha 347 Apogeum der Exzentrizität (d. i. /,ZAH) mit 67^15' und

der Abstand im Perigeum (S. 284,26) mit 64^31'; für den

Jupiter der Abstand im Apogeum (S. 287,23) mit 55"55'

25 und der Abstand im Perigeum (S. 288,26) mit 52^49'.

Die auf diese Abstände entfallenden (Grad-) Zahlen, welche

aus Gründen der Zweckmäßigkeit von den Apogeen der

Hei 497 Epizyklen ab gerechnet sind, haben wir in den der Länge

nach folgenden vier Spalten in die entsprechenden Zeilen

30 gesetzt, d. h. in der (ersten) Zeile mit der Argumentzahl 360,
welche für das Apogeum (der Exzentrizität) gilt, stehen in

a) Dieser Umstand wurde für den Satuni S. 281, iß undS.283, 20
erörtert, für den Jupiter S. 286, 25. Der für den Jupiter mit 5"
festgestellte Abstand vom Apogeum wurde dort für eine Änderung
der Entfernung als belanglos bezeichnet.

b) Bisher waren die Gradzahlen des /, ZAH von den schein-
baren Perigeen der Epizyklen aus angegeben worden.

I

Erklärung der Tabelle. 305

der dritten Spalte die (ISO^ - 6IH6' =) n2Hb' des
ersten Stillstandes des Saturn, in der vierten Spalte die
(180^ + 67^15' =) 247^15' des zweiten Stillstandes; gleicher-
weise in der fünften Spalte die (180<>- 55"55'=) 124^5'
des ersten Stillstandes des Jupiter, in der sechsten Spalte die 5
(180^ + 55^55' ==) 235^^55' des zweiten Stillstandes. Schließ-
lich stehen in der (letzten) Zeile mit der Argumentzahl 180,
welche für das Perigeum (der Exzentrizität) gilt, in derselben
Reihenfolge (für den Saturn) die Beträge (180^— 64<^3l'
=) 115^29' und (180^ + 64^31' =) 244*^31', desgleichen 10
(für den Jupiter) die Beträge (180<^ - 52<^49' =) 1 27^11'
und (180« + 52H9' =) 232<'49'.

2. Für den Mars hatten wir (S. 292,3; 302,16) nach-
gewiesen, daß der Planet seine Stillstände bewirkt, wenn
der Mittelpunkt des Epizjkels von dem Apogeum des Ex- 15
zenters einen Abstand von 20 '58' periodischen Laufs hat,
während der Planet selbst (S. 291,24) von dem scheinbaren
Perigeum des Epizykels 22^13' (d. i. den /.ZAH) entfernt
steht. Da in der mittleren Entfernung (S. 290, 7) der Lauf
(d. i. /. Z A H) nur 1 6*^51 ' beträgt, so ergibt sich eine Differenz 20
von (22^3'— 16^51'=) 5^22'. Nun beträgt in dem Maße,
in welchem die mittlere Entfernung gleich 60^ ist, die größte
66^, somit die Differenz gegen die mittlere Entfernung 6^,
während bei dem (mit 20^58') vorliegenden Abstand vom
Apogeum die Entfernung (FAS. 291,8) 65^40', mithin die 25
Differenz gegen die mittlere Entfernung 5^ 40' beträgt. Folg-
lich haben wir 6^ mit 5^22' multipliziert und das Produkt Hei 498
durch 5^40' dividiert: dadurch fanden wir*^ die Differenz
(zwischen den Gradzahlen der genauberechneten Anomalie),
welche im Apogeum selbst (d. i. bei 66^ Entfernung) 30
gegen die mittlere Entfernung eintritt, ohne wesentlichen Ha 318
Fehler zu 5^41'. Mithin ergeben sich (für den iZfKH bei
Zunahme der Entfernung um 6^) von dem scheinbaren
Perigeum des Epizykels ab (l6«5l'+ 5^1'=) 22<^32', d.s.
vom Apogeum (des Epizykels) ab gerechnet (l 80«— 22«32' =) 36

a) Nach der Proportion 5^40' : 6^ = 5<'22' : 5*^41'.

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II. 20

306 Zwölftes Buch. Siebentes Kapitel.

157^28' des ersten Stillstandes. Diesen Betrag werden wir
in der siebenten Spalte in die (erste) Zeile mit der Argument-
zahl 360 setzen, während wir den Betrag (180^ + 22^32' =)
202*^32' (des zweiten Stillstandes) in dieselbe Zeile in der

5 achten Spalte setzen werden.

Gleicherweise bewirkt der Mars seine Stillstände, wenn
der Mittelpunkt des Epizykels (S. 293,9) von dem Peri-
geum (des Exzenters) einen Abstand von 16^53' periodischen
Laufs hat, während der Planet selbst von dem scheinbaren

10 Perigeum des Epizykels (S. 293,2: den /. ZAH =) ll^l'
entfernt steht. Hier ist somit die Differenz gegen (den
/.ZAH für) die mittlere Entfernung (S. 290, 7) gleich
(16<*51' — imi' =) 5H0'. Nun beträgt 54^ die kleinste
Entfernung mit der Differenz von 6^ gegen die mittlere

15 (von 60^), während bei dem (mit 16^53' periodischen
Laufs) vorliegenden Abstand von dem Perigeum des Exzen-
ters dieEntfernung (TA S. 292, u) 54^20', somit die Differenz
gegen die mittlere Entfernung 5^40' beträgt. Wir werden
demnach*^ die ganze Differenz (zwischen den Gradzahlen der

20 genauberechneten Anomalie) im Perigeum selbst mit 6® und
deshalb den Lauf von dem scheinbaren Perigeum des Epi-
zykels ab (d.i. den /.ZAH bei Abnahme der Entfernung
um 5P40') mit (16^51' — 6^ =) 10^51' erhalten. Mithin
ergeben sich von dem Apogeum (des Epizykels) ab gerechnet

25 (180<^— 10^51'=) 169^9' des erstenStillstandesund(180^ +

Hei499 10^51'=) 1 90^51' des zweiten. Diese Beträge werden wir

wieder in den betreffenden Spalten (d. i. in der siebenten

und der achten) in die (letzte) Zeile mit der Argumentzahl

180 setzen.

30 3. Für die Venus hatten wir (S. 296,4) nachgewiesen,
daß der Planet seine Stillstände bewirkt, wenn der Mittel-
punkt des Epizykels^' von dem Apogeum (des Exzenters)
in Länge einen Abstand von 21^9' periodischen Laufs hat,
während der Planet selbst von dem scheinbaren Perigeum

a) Nach der Proportion 5^40' : 6^ - 5H0' : 6".

b) Diese beiden Worte fehlen im griechischen Text; ich habe
sie aus der gleichlautenden Stelle oben Z. 7 ergänzt.

Erklärung der Tabelle. 307

desEpizykelsl4^4'(S.295,28: den LZ AH) entfernt steht. Da
in der mittleren Entfernung (S. 294, 10) der Lauf (d.i. L Z A H)
nur 12^52' beträgt, so ergibt sich eine Differenz von 1^12'.
Nun beträgt in dem Maße, in welchem die mittlere Ent-
fernung gleich 60^ ist, die größte Entfernung 61^15', somit Ha 349
die Differenz gegen die mittlere 1^15', während bei dem (mit 6
21^9' periodischen Laufs) vorliegenden Abstand vom Apogeum
die Entfernung (FA S. 295, 12) 61^10', mithin die Differenz
gegen die mittlere Entfernung 1^ 10' beträgt. Folglich haben
wir wieder 1^1 5' mit 1^1 2' multipliziert und das Produkt durch 1 0
1^ 10' dividiert: dadurch fanden wir*) die Differenz (der Grad-
zahlen der genauberechneten Anomalie) im Apogeum selbst ge-
gen die mittlere Entfernung mit 1^17'. Mithin ergeben sich
(für L ZAH bei Zunahme der Entfernung um 1^15') von dem
scheinbarenPerigeumdesEpizjkelsab(l2052'+1^17'=)14^9', 15
d. s von dem Apogeum (des Epizykels) ab gerechnet (180^ —
1409'=) 165*^51' des ersten Stillstandes, welche wir in der
neunten Spalte in die (erste) Zeile mit der Argumentzahl
360 setzen werden, und (180<^ + 14<*9' =) 194^9' des zwei-
ten Stillstandes, welche wir in der zehnten Spalte in dieselbe 20
Zeile setzen werden.

Gleicherweise bewirkt die Venus ihre Stillstände, wenn der Hei 500
Epizjkel (S. 297,8) in gleichförmigem Lauf in Länge von
demPerigeum desExzenterseinen Abstand von rund 20^ hat,
während der Planet selbst von dem scheinbaren Perigeum des 25
Epizykels (S. 297,2: den ^ZAH =) 11^44' entfernt steht.
Hier ist somit die Differenz gegen (den L ZAH für) die mittlere
Entfernung (^ vgl. oben Z. 3) gleich (12"52'- ll"44'=) l^S'.
Nun beträgt 58^45' die kleinste Entfernung in dem Maße, in
welchem die mittlere Entfernung gleich 60^ ist, mithin die 30
Differenz zwischen beiden Entfernungen 1^15', während bei
dem (mit 20^ periodischen Laufs) vorliegenden Abstand von
dem Perigeum die Entfernung (FA S. 296, 15) 58^50', somitdie
Differenz gegen die mittlere Entfernung l^lO' beträgt. Folg-
lich haben wir wieder 1^15' mit 1^8' multipliziert und das 35

a) Nach der Proportion 1^10' : 1^15' - 1®12' : l^iT.

90*

308 Zwölftes Buch. Siebentes Kapitel.

Produkt durch I^IO' dividiert: dadurch fanden wir^^^ die
Diflerenz (der Gradzahlen der genauberechneten Anomalie)
im Perigeum selbst gegen die mittlere Entfernung mit 1^13'
und deshalb den Lauf von dem scheinbaren Perigeum des
5 Epizykels ab (d. i. den /. ZAH bei Abnahme der Entfernung
um 1P15') mit (12^52'— ms' =) ll^Se'. Mithin ergeben
Ha 350 sich von dem Apogeum (des Epizykels) ab gerechnet (180^ —
11<^39' ==) 168<*21' des ersten Stillstandes und (180^ -f
11^39' =) 191^39' des zweiten. Diese Beträge werden wir

10 in den nämlichen Spalten (d. i. in der neunten und der zehn-
ten) in die (letzte) Zeile mit der Argumentzahl 180 setzen.
4. Für den Merkur hatten wir (S. 299, 27) nachgewiesen,
daß der Planet seine Stillstände bewirkt, wenn der Epizykel
von dem Apogeum des Exzenters einen Abstand von 10*^17'

15 periodischen Laufs in Länge hat, während der Planet selbst

von dem scheinbarenPerigeum des Epiz jkels 32^o2'(S.299,20:

Hei 501 den /.ZAH) entfernt steht. Da in der mittleren Entfernung

(S. 298, lo) der Lauf (d. i. /.ZAH) 34^56' beträgt, so ergibt

sich eine Differenz von (34^56' — 32^52'=) 2H', Nun be-

20 trägt in dem Maße, in welchem die mittlere Entfernung
gleich 60^ ist, die größte Entfernung 69^, somit die Differenz
zwischen beiden Entfernungen 9^, während bei dem (mit
10^17' periodischen Laufs) vorliegenden Abstand von dem
Apogeum die Entfernung (fA S. 299,4) 68^36', mithin die

25 Differenz gegen die mittlere Entfernung 8^36' beträgt. Folg-
lich haben wir ebenso wie vorher 9^ mit 2^4' multipliziert
und das Produkt durch 8^36' dividiert: dadurch fanden
wir^^ die Differenz (der Gradzahlen der genauberechneten
Anomalie) im Apogeum selbst gegen die mittlere Entfernung

30 mit 2^0'. Mithin ergeben sich (für den /.ZAH bei Zu-
nahme der Entfernung um 9^) von dem scheinbaren Peri-
geum des Epizykels ab (34^56' - 2' 10' =) 32^6'«), d. s.

a) Nach der Proportion 1^10' : 1^15' = l'^S' : ms'.

b) Nach der Proportion 8^36' : 9^ = 2''4' : 2n0'.

c) Daß bei dem Merkur der /LZAH bei Zunahme der Ent-
fernung, umgekehrt wie bei den übrigen Planeten, kleiner wird,
erklärt sich aus der großen Exzentrizität der Bahn. Vgl. S. 311, 18.

Erklärung der Tabelle. 309

voü dem Apogeum (des Epizykels) ab gerecbnet (180^ —
32^46' ==) 147^14' des ersten Stillstandes, welche wir in der
elften Spalte (in die erste Zeile) zu der Argumentzahl 360
setzen werden, und (l80^ + 32^46' =) 212^46' des zweiten
Stillstandes, welche wir in der zwölften Spalte in dieselbe 5
Zeile setzen werden.

Gleicherweise bewirkt der Merkur seine Stillstände, wenn
der Epizykel(S. 301,10) von dem Perigeum (des Exzenters)
einen Abstand von 11^22' periodischen Laufs hat, während
der Planet selbst von dem scheinbaren Perigeum des Epi- 10
zykels (S. 301,4: den iL ZAH ==) 3o'^30' entfernt steht.
Hier ist somit die Differenz gegen (den Z.Z AH für) die mitt-
lereEntfernung(S. 298, 10) gleich (35«30'-34056'=)0<^34'. Ha 351
Nun beträgt (S. 256, 15) 55^34' die kleinste Entfernung in nei 502
dem Maße, in welchem die mittlere Entfernung gleich 60^^ 15
ist, mithin die Differenz zwischen beiden Entfernungen 4^26',
während bei dem (mit 11^22' periodischen Laufs) vorlie-
genden Abstand von dem Perigeum die Entfernung (TA
S. 300,16) ungefähr 55^42', mithin die Differenz gegen die
mittlere Entfernung 4^18' beträgt. Folglich haben wir 20
wieder 4^26' mit 0^34' multipliziert und das Produkt durch
4^18' dividiert: dadurch fanden wir*^ die Differenz (der
Gradzahlen der genauberechneten Anomalie) im Perigeum
selbst gegen die mittlere Entfernung mit 0^35' und deshalb
den Lauf von dem scheinbaren Perigeum des Epizykels ab '25
(d. i. den /_ZAH bei Abnahme der Entfernung um 4^26')
mit (34^56' -f 0^35' =) 35^31'. Mithin ergeben sich von dem
Apogeum (des Epizykels) ab gerechnet (180^—35^31' =)
144°29' des ersten Stillstandes und (180<^+ 35^^31' =)
215*^31' des zweiten. Diese Beträge werden wir in dieselben 30
Spalten (d. i. in die elfte und die zwölfte) setzen, jedoch nicht
mehr zu der Argumentzahl der Länge 180, sondern zu den
Argumentzahlen 120 und 240, weil in diesen Graden die
größten Erdnähen der exzentrischen Bahn des Merkur
(S. 144, 19 ff.; vgl. S. 300,5) nachgewiesen worden sind. 35

a) Nach der Proportion 4^'18' : 4^26' = 0°34' : 0<>35'.

310 Zwölftes Buch. Siebentes Kapitel.

n. Nach dieser Auseinandersetzung, welche an erster Stelle
vorgenommen werden mußte, lassen sich nach denselben
Methoden auch die Unterschiede feststellen, welche in den
Zwischenstellungen eintreten.
5 Es sei beispielshalber die Aufgabe gestellt, die Ansätze
der scheinbaren Anomalie für die ersten Stillstände zu finden,
wenn der mittlere Ort in Länge 30^ von dem Apogeum (des
Exzenters) entfernt ist.

In dieser Stellung beträgt, wie gesagt, nach den früher
10 (S. 258, 1— ö) angewendeten Methoden die Entfernung desEpi-
Hei 503 zjkcls in dem Maße, in welchem auf die mittlere Entfernung
volle 60^ entfallen, für

Saturn Jupiter Mars Venus Merkur

63^2' 62^26' 65^24' 61^6' 66^35'.

^^ Mithin ergeben sich Planet für Planet — in derselben
Ha 352 Reihenfolge, um lästige Wiederholungen zu vermeiden —
gegen die mittlere Entfernung folgende Differenzen:
3^2' 2^26' 6^24' 1^6' 6^35'.

Nun betragen, weil bei allen Planeten die angesetzten
20 Entfernungszahlen größer sind als die mittlere Entfernung,
die Differenzen zwischen den mittleren Entfernungen (vgl.
S. 256) und den Entfernungen in den Apogeen selbst
3^25' 2^45' 6^0' 1^15' 9^.

Es betragen ferner die ganzen Differenzen zwischen den
25 Graden der scheinbaren (oder genauberechneten) Anomalie (d.i.
zwischen /,ZAH) bei den Entfernungen in den Apogeen und
bei den mittleren Entfernungen in derselben Reihenfolge
'S. 282,28; 280,18 S. 287,23; 286,5 S. 305,32 S. 307,13 S. 308,80\
.67^5' -65*^52' öö^öö' — 54<>22' /

30 1°23' 1^33' 6Hl' IHT 2°10'.

Wenn wir nun jede dieser Differenzen — z. B. (für den
Saturn) 1^23' — Planet für Planet in zugehöriger Weise
mit der Differenz zwischen der vorliegend (mit 63^2')
angenommenen Entfernung und der mittleren (60^) — z.B.
35 mit 3^2' — multiplizieren und das Produkt durch die Diffe-
renz bei der größten Entfernung — z. B. durch 3^25' —

(;

l

Erklärung der Tabelle 311

dividieren, so werden wir*) Planet für Planet die für den Hei 504
(mit 30*^) vorliegenden Lauf in Länge geltende Differenz der
Grade der ( genauberechneten) Anomalie (d. i. den Unterschied
des Z.Z AH) gegen die Grade der Anomalie bei der mitt-
leren Entfernung erhalten mit 5
m4' 1^22' 5«7' 1<>8' 1^35'.

Nun betragen die Gradzahlen (der ersten Stillstände),
von dem scheinbaren Apogeum des Epizykels ab gerechnet,
in den mittleren Entfernungen

/ S. 280, 18 S. 286, 5 S. 290, 7 S. 294, 10 S. 298, 10 \ 10
\180<*-65<'52' 180<>-54»22' 180^-16^51' 180<'-12^62' 180"-34°567
lU^'S' 125"38' 163°9' 167°8' 145H'.

Es sind aber die Gradzahlen (der ersten Stillstände), welche
bei den größten Entfernungen (in der ersten Zeile der
Tabelle bereits) angesetzt sind, für die übrigen Planeten 15
kleiner als die vorstehenden (d.h. der /.ZAH wird mit
Zunahme der Entfernung größer), während sie für den
Merkur grö ßer sind (d. h. der /.ZAH wird bei Zunahme der
Entfernung kleiner). Wenn wir daher die Differenzen, welche
bei der (mit 63^2') angenommenen Entfernung (oben Z. 6) 20
gefunden worden sind, bei den übrigen Planeten von den bei der
mittleren Entfernung (oben Z. 12) angesetzten Graden abzie-
hen, während wir sie bei dem Merkur dazu addieren, werden
wir die Grade der scheinbaren Anomalie, von dem Apogeum na 353
des Epizykels ab gerechnet, mit folgenden Beträgen erhalten: 26

(114«8'-1«U'125<>38'-1<^22'163"9'-5»7'167°8'-1»8'145<'4'-|-1«35')
112<>54' 124*^16' 158^2' 166*^0' 146<'39'.

Diese Beträge sind in die Spalten des ersten Stillstandes
zu 30 * periodischer Länge zu setzen.

Auch die Spalten der zweiten Stillstände werden wir 30
nun ohne weiteres ausfüllen, indem wir Planet für Plan et zu den
Zahlen der ersten Stillstände in die Spalten der zweiten Still- Hei 505
stände in denselben Zeilen die an 3 60 fehlenden Grade dazuset-
zen, also bei der (^mit 30^) vorliegenden (periodischen) Länge

(360»-112*'54' 36i'«-124°16' 360<'-158<>2' 360''-166<>360°-I46°39') 35
24706' 235"44' 201<'58' 194^0' 213^21'.

a) Nach der Proportion S^ 26' : 3^ 2' = V ^B' : m^' .' '^'C?"al

312 Zwölftes Buch. Achtes und neuntes Kapitel.

Sollten wir es aus Gründen größerer Zweckmäßigkeit vor-
ziehen, nicht die theoretisch auf das scheinbare Apogeum
des Epizykels bezogenen Grade der Anomalie in Ansatz zu
bringen, sondern die auf das periodische Apogeum be-
5 zogenen, d. h die noch nicht genauberechneten (oder mitt-
leren) Grade, so ist leicht zu begreifen, daß auch dieser An-
forderung von uns ohne weiteres entsprochen werden kann.
Steht doch in den Tabellen der Anomalie (in der dritten
Spalte) bei jeder Argumentzahl der periodischen Länge die
10 dazugehörige Prosthaphäresis , welche von den gefundenen
Graden der scheinbaren Anomalie bei den von dem Apo-
geum des Exzenters ab gerechneten Graden bis 180 ab-
gezogen werden muß, während sie bei den über 180 hinaus-
gehenden Graden zu addieren ist.*"^

Achtes Kapitel.
Zahlen der genauberechneten Anomalie.

liei öoß) Die Tabelle (der Stillstände) gestaltet sich folgendermaßen .
16 (S. 314—315.)

Neuntes Kapitel.

Nachweis der größten Elongationen der Venus

und des Merkur.

Ha 356 1 Nachdem die theoretischen Erörterungen der Rückläufig-
keit erledigt sind, dürfte es am Orte sein, im Anschluß
daran die größten Elongationen der Venus und des Merkur
20 von der Sonne nachzuweisen, welche in jedem einzelnen
Zeichen nach den vorgetragenen Hypothesen zustande kom-
men. Die Darlegung dieser Erscheinungen haben wir erstens
mit Bezug auf den scheinbaren Ort der Sonne gemacht,
zweitens unter der Annahme, daß die Planeten selbst in den

Hei 508

a) Weil zwischen Apogeum und Perigeum das mittlere oder
periodische Apogeum des Epizykels dem scheinbaren voran-
geht, während es zwischen Perigeum und Apogeum dem öchein-
baren nachfolgt. Vgl. Anm. 13. i.

Größte Elongationen der Venue.

313

Anfängen der Zeichen stehen, drittens unter der Voraus-
setzung, daß die Apogeen die für unsere Zeit geltende Lage
zu den Wende- und den Nachtgleichenpunkten innehaben,
d. h. daß das Apogeum der Venus in \j 25", das des Merkur
in =^10^ liege. Die Verschiebung der größten Elongatio- 5
nen", welche infolge des Fortschritts der Apogeen eintreten
muß, wird von den Forschern der Nachwelt bei Anw^endung
derselben Methode durch -eine leichte Korrektion zu ernait-
teln sein, und übrigens bleibt auf lange Zeit hinaus der
Unterschied ganz unwesentlich. 10

1. Damit aber auch die Methode des Verfahrens dem Ver-
ständnis zugänglich gemacht werde, sollen zuerst an der
Venus die oben näher bezeichneten größten morgendlichen
und abendlichen Elongationen nachgewiesen werden, wenn Hei 509
der Planet beispielshalber im Frühlingsnachtgleichenpunkte, 15
d. i. im Anfang des Widders steht.

A. Es sei A B TAE die durch das
Apogeum A der Exzentrizität ge-
hende Gerade, auf welcher B als
das Zentrum der gleichförmigen
Bewegung, f als das Zentrum des
den Epizykel tragenden Exzenters
und A als der Mittelpunkt der
Ekliptik angenommen sei. Nach-
dem man aus dem Zentrum des Ex- 26
zenters die Gerade fZ gezogen, be-
schreibe man um Z den Epizykel

H 0 und ziehe von A aus an die Morgenseite, d. i. an die
(infolge des täglichen Umschwungs) vorangehende Seite^'
des Epizykels, die Tangente A0. Endlich ziehe man die 30
Verbindungslinien BZH, Z0, und fälle die Lote PK, TA
und BM.

Ha 357

20

a) Der tägliche Umschwung vollzieht sich gegen die Rich-
tung der Zeichen, d. i. von A aus gesehen, von links nach
rechts. Daher erscheinen in der vorangehenden Morgenseite
die beiden Planeten als Morgensterne, in der nachfolgenden
Abendseite als Abendsterne.

314

Tabelle der Stillstände.

Gemeinsame
Argumentzahlen

Saturn

1. stillstand | 2. Stillstand

Jupiter

1. Stillstand 1 2. Stillstand

0

6

12

360
354
348

ll-2«45'
112 45
112 46

247^5'
247 15
247 14

124» 5'
124 6
124 7

235055'
235 54
235 53

18
24
30

342
336
330

112 48
112 51
112 54

247 12
247 9
247 6

124 9
124 12
124 16

235 51
235 48
235 44

36
42
48

324
318
312

112 58

113 3
113 8

247 2
246 57
246 52

124 21
124 26
124 32

235 39
235 34

235 28

54
60

306
300

113 15
113 22

246 45
246 38

124 39
124 47

235 21
235 13

66

72

294

288

113 29
113 36

246 31
246 24

124 55

125 3

235 5

234 57

78
84

282
276

113 44
113 53

246 16
246 7

125 12
125 22

234 48
234 38

90
96

270
264

114 1
114 10

245 59
245 50

125 32
125 41

234 28
234 19

102
108

258
252

114 18

114 27

245 42
245 33

125 51

126 0

234 9
234 0

114

120

246

240

114 35
114 43

245 25
245 17

126 10
126 19

233 50
233 41

126
132

234

228

114 51
114 58

245 9

245 2

126 28
126 36

233 32
233 24

138
144

222
216

115 5
115 11

244 55
244 49

126 44
126 51

233 16
233 9

150
156

210
204

115 16
115 21

244 44
244 39

126 57

127 2

233 3

232 58

162
168

198
192

115 25
115 27

244 35
244 33

127 6
127 8

232 54

232 52

174
180

186
180

115 29
115 29

244 31
244 31

127 10
127 11

232 50
232 49

Tabelle der Stillstände.

315

Mars

l.Stillstand|2. Stillstand

Venus

1. Stillstand 2. Stillstand

Mer

I.Stillstand 1

1
kur

2. Stillstand

157«28'
157 29
157 34

202^32'
202 31
202 26

165^51'
165 52
165 53

194» 9'
194 8
194 7

147°14'
147 13
147 8

212H6'
212 47
212 52

157 41

157 50

158 2

202 19
202 10
201 58

165 55

165 57

166 0

194 5
194 3
194 0

147 1
146 51
146 39

212 59

213 9
213 21

158 18
158 34
158 55

201 42
201 26
201 5

166 4
166 9
166 15

193 56
193 51
193 45

146 25
146 11
145 55

213 35

213 49

214 5

159 17
159 42

200 43
200 18

166 22
166 29

193 38
193 31

145 39
145 23

214 21
214 37

160 10
160 39

199 50
199 21

166 35
166 42

193 25
193 18

145 8
144 58

214 52

215 2

161 10
161 44

198 50
198 16

166 50
166 58

193 10
193 2

144 52
144 46

216 8
215 14

162 18
162 54

197 42
197 6

167 7
167 14

192 53
192 46

144 40
144 36

215 20
215 24

163 31

164 9

196 29
195 51

167 21
167 28

192 39
192 32

144 33
1 144 30

215 27

216 30

164 47

165 25

195 13
194 35

167 35
167 43

192 25
192 17

144 30
144 29

215 30
215 31

166 3
166 37

193 57
193 23

167 50
167 56

192 10
192 4

144 29
144 30

215 31
215 30

167 8
167 39

192 52
192 21

168 1
168 6

191 59
191 54

144 31
144 33

215 29

215 27

168 4
168 28

191 56
191 32

168 10
168 14

191 50
191 46

144 35
144 37

215 25
215 23

168 46
168 59

191 14
191 1

168 17
168 19

191 43
191 41

144 38
144 39

215 22
215 21

169 8
169 9

190 52
190 51

168 20
168 21

191 40
191 39

144 40
144 40

216 20
215 20

316

Zwölftes Buch. Neuntes Kapitel.

Da die Gerade AA
in der Richtung nach

in der Richtung nach \j 26^ und AG
T 0° liegt, so ist

Hei 510

/. AA0 =

55»

wie 472 = 360»,

=

HO»

wie 5i2 = 360o,

6

/, ArK =

70«

als Komplementwinkel

(im rw. Dreieck TKA);

mithin

6rK =

1100

wie ©rKA = 360»,

also

srK =

98^18'

wie ÄrA = 120P.

Setzt man

rA =

1^15'

wie ephmZQ = 4.3^^10',

so wird

rK =

IP i'

in demselben Maße.

10

Nun ist

rK =

0A,

(Eukl. I. 34)

folglich auch

0A =

iPjr

wie ep/imZ0 = 43^10',

mithin

ZA =

Z0-0A = 42P9' wie exhtn fZ == QO^ -

Setzt man

hrz =

120^,

so wird

sZA =

84^18'

in diesem Maße,

15

mithin

&ZA =

89" 16'

wie eZAr = 360»,

Ha 358

also

/.zrA =

89" 16'

wie ^E = 360».

Nun istj

/,ArK =
./.ArK =

70»
180»

wie <2E=360»,
wie ^i2 = 360»,

folglich

/.zrA =

339» 16'

als Summe (verst. 3 Winkel),

20

hierzu

/, Arz =

20» 44'

als Nebenwinkel,

mithin

[ 6BM =

200 44' \
159» 16' 1

wie ©BMr = 360",

Hei 511

also

( sBM =

i ,srN\ =

21^35')
118P 2')

' wie hBr = 120^'

25

Setzt man

Br =

: 1^'15'

wie exhm TZ = 60^,

so wird

BM =

■■ 0^13'

und TM = 1^14',

mithin

MZ =

rz - TM

= 58^46' in demselben Maße,

folglich auch

ÄBZ-

: 58^46'

wie BM = 0P13'

(weil unbetr. >MZ).

Setzt man

ÄBZ =

: 120P,

30

so wird

sBM =

0^27'

in diesem Maße,

also

6BM =

: 0»26'

wie e BMZ = 560»,

'

mithin

/.Bzr =

= 0»26'

wie i;J2 = 360».

Größte Elongationen der Venus.

317

Nun war /,ArZ= 20H4:' wie^i^ = 360^
folglich /, ABZ= 2mo' als Summe, (Eukl. I. 32)
= 10° 35' wie 4JS = 360«.

Das ist der Winkel des gleichförmigen Laufs in Länge
(bis zum Apogeum ^ 25^). Es wird demnach auch der 5
mittlere Ort der Sonne von dem Apogeum A gegen die
Richtung der Zeichen 10^35' entfernt sein*\ somit natürlich
in (\^ 25^—10^35', d. i.) \j 14"25' liegen, während der ge-
naue Ort^) ^15^14' sein wird. Folglich wird der Planet, Ha 359
wenn er in y 0" steht, seine größte Elongation nach der 10
Morgenseite (des Epizykels) von dem genauen Ort der Sonne
mit (15^14' -f- 30<>=) 45" 14' erreichen.

B. Es sei die entspre-
chende Figur vorgelegt, an
welcher die Tangente an
die Abendseite, d.i. an
die (infolge des täglichen
Umschwungs) nachfolgen-
de Seite des Epizjkels ge-
zogen sein muß. Der Pla-
net soll gleichfalls in dem
Anfang des Widders an-
genommen sein.

Wie im voranstehenden
Beweisgang ist, weil der L AA0 derselbe bleibt,

/. AfK = TO*» wie 2R = 360<>,

15

20

Hei 512

26

ferner
mithin

Setzt man
so wird

PK}
ZA

{ eph

Z0 + 0A
120^,

hrz

sZA= 88^22'

mZ0 = 43^10',
44^.11' in demselben Maße.

in diesem Maße,

a) Weil der mittlere Ort der Sonne mit dem Mittelpunkt
des Epizykels der Venus zusammenfällt.

b)Weil für die Sonne die Anomaliedifferenz bei 338^55' Ent-
fernung von dem Apogeum TT 6^30' genau -j- 0*^49' beträgt.

318

Zwölftes Buch. Neuntes Kapitel.

Hei 513

10

mithin 5ZA= 94° 51'

also /,ZrA= 94« 51'

folglich /,ZrK= 85" 9'

(Nun war /,ArK= 70* 0'

folglich /,ZrA-155« 9'

mithin auch /,BrM = 155<' 9'

6BM = 155*' 9'

demnach
also

,&fM= 24« 51'
sBM = 117Pll'

,srM= 25P49'

1^15', (s. S. 316,25)

wie ©ZAr-360»,

wie 2M = S60\

als Komplementwinkel.

wie ^E = 360«)

als Summe,

(als Scheitelwinkel),

wie © B M r = 360»,
wie h Bf = 120^.

Setzt man Br =

Ha 360 so wird BM= 1^13' und rM = 0Pl6'(wierZ = 60P);

mithin MZ = TZ + TM = 60^ 16' in demselben Maße.

(Nun ist rZ2 -f- B M2 = B Z^)
15 folglich hBZ= 60^17' in demselben Maße.

Setzt man 7iBZ = 120^,

so wird sBM= 2^25' in diesem Maße,
also &BM= 2''19' wie ©BMZ = 360°,
mithin /,BZM- 2°19' wie5E = 360^

20 Nun war /.Z TA = 155" 9' wie <2i? = 360«,

also /, B rZ = 2040 51' (als Nebenwinkel),
folglich /, ABZ = 207«10' als Summe, (Eukl. I. 32)
= 103« 35' wie 4B = 3Q0^.
Das ist der Winkel des gleichförmigen Laufs in Länge
25 (bis zum Apogeum \j 25"). Es wird demnach auch der
mittlere Ort der Sonne in ^z 11^25' liegen*^, während der
genaue Ort^^ :rcr 13*^38' sein wird. Folglich wird der Pla-
net, wenn er gleicherweise in X 0^ steht, seine größte Elon-
gation nach der Abendseite (des Epizykels) von dem genauen
30 Ort der Sonne mit (16^22' -|- 30«=) 46^22' erreichen.

a) Dahin führen 103® 35' von dem Apogeum ^ 25« rückwärts
gezählt: es sind 25« des Stiers, 60« des Widders und der Fische,
18«35' des Wassermanns.

b) Weil die AnomaliedifFerenz der Sonne bei 246« Entfernung
vom Apogeum -f-2«13' beträgt.

Größte Elongationen des Merkur. 319

II. Für den Merkur wollen wir uns die Aufgabe stellen, Hei 5U
den Betrag der größten Elongation des Planeten von dem
genauen Ort der Sonne zu finden, wenn er als Abendstern
im Anfang des Skorpions, als Morgenstern im Anfang des
Stiers steht. Diese Annahme wird für die weiterhin (Buch ö
XIII, Kap. 8) zu führenden Nachweise seiner ausbleibenden
heliakischen Aufgänge eine Erleichterung bieten.

Nach der Hypothese des Merkur kann der mittlere Ort
in Länge nicht gewonnen werden, wenn der scheinbare
Ort des Planeten gegeben ist, weil die Strecke TZ (s. Figur 10
S. 317) keineswegs immer dieselbe, d. h. gleichgroß wie der
Halbmesser des Exzenters bleibt *\ wie dies bei der Hypo- iia sei
these der übrigen Planeten der Fall ist. Wohl aber kann
(umgekehrt), wenn der mittlere Ort in Länge gegeben ist,
auch der scheinbare Ort gewonnen werden. Nur müssen 15
für jedes Zeichen zwei (mittlere) Örter in Länge zugrunde
gelegt werden, welche geeignet sind, den Lauf des Planeten
in den Anfang des betreffenden Zeichens gelangen zu lassen,
und zwar muß der eine Ort rückwärts, der andere vorwärts
(des betreffenden Zeichenanfangs) liegen. Berechnen wir 20
dann weiter die in den (beiden) gefundenen (scheinbaren)
Örtern eintretenden größten Elongationen, so finden wir mit
Hilfe derselben auch die größte Elongation^ welche direkt
im Anfang des Zeichens zustande kommt. Dies auf dem
vorstehend erörterten Wege zu finden, wird dem Verstand- 25
nis leicht zugänglich zu machen sein,

A. Zuerst soll die größte abendliche Elongation im An-
fang des Skorpions nachgewiesen werden.

Es sei die Gerade A B TA der durch das Apogeum A ge- uei 5t5
hende Durchmesser, auf welchem f als der Mittelpunkt der HO
Ekliptik und B als das Zentrum der gleichförmigen Bewe-
gung des Epizykels angenommen sei.

a) Weil das Zentrum des beweglichen Exzenters, der den
Epizykel trägt, infolge der Kreisbewegung um den S. 121,34
näher bezeichneten Mittelpunkt beiderseits der Linie A E zu liegen
kommen kann. Vgl. die Figuren S. 145 u. 148.

320

Zwölftes Buch. Neuntes Kapitel.

10

15

Ha 362

1. Nun denke man sich zunächst
den Mittelpunkt des Epizykels direkt
im Apogeum (d!ri 10®), damit aucli
der mittlere Ort der Sonne in d!;^10®
und der genaue Ort*^ in ^ 8'* zu
liegen komme. Nachdem man um A
den Epizjkel ZH beschrieben, ziehe
man von f aus an die Abendseite des-
selben die Tangente PH und schließ-
lich die (nach Eukl. III. 18) senk-
recht zu ihr stehende Verbindungs-
linie AH.

An der Hand früher entwickelter
Beweismethoden ist (S. 144,17) der
Nachweis geführt worden, daß in der
größten Entfernung (TA)

ephm^H= 22^^30' wie TA = 69^.

Setzt man

Ä TA = 120P,

so wird

sAH= 39^ 8'

in diesem Maße,

also

6AH= 38" 4'

wie eAHr = 360V

folglich

^ArH= 38» 4'

wie -i?i? = 360°,

= 19« 2'

wie 4i? = 360'>.

20

Hei 516 Die Gerade TA liegt in der Richtung nach d^ 10®: folg-
lich wird der Planet (auf der Geraden TH) in ^29" 2'
25 stehen, mithin wird seine größte Elongation von dem ge-
nauen Ort (^8*^) der Sonne 21® 2' betragen.

2. Es sei ferner von dem Apogeum (A) ab die mittlere
Länge (d. i. ^ ABE) mit 3® angenommen, so daß der mitt-
lere Ort (E) der Sonne :=:^ 13®, der genaue Ort^) ^11®4'
30 sei. Nachdem man die Gerade B E gezogen, beschreibe man
um E als Mittelpunkt den Epizykel ZH, ziehe wieder die

a) Weil die AnomaliedifiFerenz der Sonne bei 124*^30' Ent-
fernung von dem Apogeum TT 5^30' gerade —2" beträgt.

b) Weil die Anomaliedifferenz der Sonne bei 127*^30' Ent-
fernung von dem Apogeum TT 5^30' genau —l^b6' beträgt.

Grrößte Elongationen des Merkur.

321

30

Tangente PH und die Verbindungslinien
ET, EH.

In der gegebenen Stellung, d.h. wenn
/- ABE = 3^ wie 4E=360^ angenom-
men wird, ergibt sich nach den früher
(S. 257 f.) mitgeteilten Beweisgängen
als Differenz infolge der Exzentrizität*^
Z. ArE=2052' wie 472 = 360^ und als
derzeitige Entfernung des Epizykels

rE= 68^58'

wie ephm EH = 22^ ^0' .

Setzt man ä TE = 120^,
so wird sEH= 39^ 9'

in diesem Maße,

also &EH= 38» 5' wie©EHr = 360^
mithin /.ErH= 38'' 5' wie 3B = 360'',
-= 19« 3' wie 4i2 = 360^

(Nun war /.ArE= 2^52' wie 4B^zeO^)
folglich /_ArH= 21'^ 6b' als Summe.

Demnach wird der Planet, wenn er in 11^ 1°55' (d.i. 21**
55' vorwärts von ^ 10^) steht, seine größte Elongation von
dem genauen Ort (^ 11<^4') der Sonne mit (21^55' — iH' 20
=) 20*^51' erreichen.

3. Nun wurde (an erster Stelle) nachgewiesen, daß, wenn
der Planet in dj±29°2' steht, seine größte Elongation von
dem genauen Ort der Sonne 21" 2' betragen werde. Die
Differenz der Örter (zwischen :^29°2' und ir^ 1^55') be- 2.5
trägt 2^53', die Differenz der größten Elongationen (21^2'
— 20»5l'=)0m', so daß auf die Differenz 0^58' zwischen
dem ersten Ort (=^29^2') und 11\ 0^' ohne wesentlichen

Hei 517
Ha 363

16

a) Insofern /,ArE=/.ABE-/,rEB. Letzterer Winkel ist
die Prosthaphäresis der Länge und beträgt bei 6* Entfernung
des Epizykelmittelpunktes vom Apogeum nach der Anomalie-
tabelle (S. 265) 0n7', also bei 3*^ genau 00 8'30".

rtolemäus, ttbors. t, Manitius. IT.

91

322

Zwölftes Buch. Neuntes Kapitel.

Fehler 0^4' entfallen.*^ Wenn wir also diesen Betrag von
21^2' abziehen, so werden wir die größte abendliche Elon-
gation von dem genauen Ort der Sonne im Anfang des
Skorpions mit 20^58' erhalten.

B. Zur Bestimmung der größten morgendlichen Elon-
gation im Anfang des Stiers sei zunächst der mittlere Ort

in Länge bei der Ent-
fernung von 39*^ von
demPerigeum(TlO^)
in der Richtung der
Zeichen angenom-
men, so daß auch der
mittlere Ort der Son-
ne \j 19^, der genaue
Ort^) t^ 19^38' sei.
Vorgelegt sei die
ähnliche Figur; nur
muß der Epizykel
Hei 518 nach Passierung des Perigeums gezeichnet und die Tan-
20 gente an die Morgenseite des Epizykels gezogen sein.

1. In der gegebenen Stellung, d. h. wenn /- ABZ = 39®
wie 4B= 360^ angenommen wird, ergibt sich nach den
früher mitgeteilten Beweisgängen''^ /.ATE = 40^57' wie

10

15

JI^ —

4i? = 360" und als derzeitige Entfernung

Ifa 364

2G Setzt man

so wird

also

Hei 519 mithin

30

rE= 55P59' wie ep7?m EH = 22^30'.

sEH= 48^14'

&EH= 47^24'

/.ErH= 47024'

= 23U2'

in diesem Maße,
wie eEHr=»360«,
wie ^i?=360",
wie 4R = 3%0'>.

a) Nach dem Verhältnis 2''53' : 0^58' = 0«11' : 0"4'. Vgl. die
nämliche Berechnungs weise S. 134, 6 — 26.

b) Weil die Anomaliedifferenz der Sonne bei 343° 30' Entfer-
nung Yon dem Apogeum genau -\- 0°38' beträgt.

c) ^ ATE = /, ABZ -f /. TEB. Letzterer beträgt nach der Ano-
malietabelle (S. 265) bei (180«-^ 39^*=) 219° Entfernung vom
Apogeum genau 1°57'.

Größte Elongationen des Merkur.

323

(Nun war ^ArE = 40°57' wie4E = 360«)
folglich /, AfH =17 M5' als Differenz.

Demnach wird der Planet Merkur, wenn er in (y 10^ +
17^15', d. i.)T27"15' steht, seine größte morgendliche
Elongation von dem genauen Ort (\j 19^' 3 8') der Sonne mit
(2^45'+ 19" 38'=) 22^23' erreichen.

2. Der Planet soll wieder nach derselben Seite von dem
Perigeum (y 10°) ab bei der Entfernung von 42° mittlerer
Länge angenommen sein, so daß der mittlere Ort der Sonne
tf22°, der genaue Ort*) ^22^31' sei.

In dieser Position, d.h. wenn /-ABZ = 42° wie 411 =
360° angenommen wird, ergibt sich^^ /-ATE = 44^4' wie
472=360° und als derzeitige Entfernung

rE= 55^50' wie e^/m EH = 22^30'.

10

Setzt man

//. TE =

120P,

Hei 620

so wird

sEH =

48^19'

in diesem Maße,

16

also

[ÖEH =

47''30'

wie ©EHr = 360",

mithin

/.ErH =

47<^30'

wie 5i^ = 360^

=

23<>45'

wie 4R = U0\

(Nun war

/, ArE =

44« 4'

wie 4i2 = 360')

20

folglich

/. ArH =

20^19'

als Differenz.

Demnach wird der Planet Merkur, wenn er in (y 10° -f "^^a 865
20^19', d.i.) \^0°19' steht, seine größte Elongation nach
der Morgenseite (des Epizykels) von dem genauen Ort
(tf22°3l') der Sonne mit (22^31' - 0°19' =) 22°12' er- 25
reichen.

3. Nun wurde (an erster Stelle) nachgewiesen, daß, wenn
der Planet in y 27°15' tteht, seine größte Elongation im
gleichen Sinne 2z°23' betragen werde. Die Differenz der
Örter (zwischen y27°15' und tfO°19') beträgt 3° 4', die SO
Differenz der größten Elongationen (22^23' — 22°12' =)

a) Weil die Anomaliedifferenz der Sonne bei 346° 30' Entfer-
nung von dem Apogeum -f O^Sl' beträgt.

b) Weil die Prosthaphäresis (d.i. /, TEB) bei 222<' Entfer-
nung von dem Apogeum -f 2^4' beträgt.

91*

324

Zwölftes Bucli. Zehntes Kapitel.

O^ll', so daß auf die Differenz 2^45' zwischen dem ersten
Orte (Y 27^15') und \jO^ ohne wesentlichen Fehler OHO'
entfallen.*) Wenn wir also diesen Betrag von 22^23' ab-
ziehen, so werden wir die größte morgendliche Elongation
5 von dem genauen Ort der Sonne im Anfang des Stiers mit
22^13' erhalten.

Dies zu finden war als Aufgabe gestellt.

Nachdem wir auf dieselbe Weise auch die in den anderen

Zeichen zustandekommenden größten morgendlichen und

Hei 521 abendlichen Elongationen beider Planeten berechnet hatten,

11 haben wir eine Tabelle der Elongationen von je 12 Zeilen
(für jeden Planeten) in 5 Spalten aufgestellt. In die erste
Spalte haben wir vom Widder ab die Zeichenanfänge vor-
angestellt und in den vier weiteren Spalten die durch Rech-

15 nung gefundenen größten Elongationen von dem genauen
Ort der Sonne dazugesetzt; und zwar enthält die zweite
Spalte die morgendliehen und die dritte die abendlichen
Elongationen der Venus, dann weiter die vierte Spalte die
morgendlichen und die fünfte die abendlichen des Merkur.

Ha 366]
Hei 5221

Zehntes Kapitel.
Größte Elongationen von der genauen Sonne.

Anfänge
der Zeichea

Vei

morgens

lUS
abends

Anfänge
der Zeichen

Mer

morgens

kur
abends

i Widder

1 Stier

i Zwillinge

45° 14'
45 17
45 34

46° 22'
45 31
44 49

Widder

Stier

Zwillinge

240 14'
22 13
20 18

19» 36'
21 7
23 41

Krebs
Löwe
Jungfrau

45 56

46 20
46 38

44 25
44 31
44 55

Krebs
Löwe
Jungfrau

18 17
16 35
16 8

26 16

27 37
26 17

Wage

Skorpion

Schütze

46 45
46 47
46 30

45 41

46 30

47 13

Wage

Skjrpion
Schütze

17 46
21 32
26 9

23 31
20 58
19 28

Steinbook

Wassermann

Fische

46 7
45 41
45 20

47 35
47 34
47 7

Steinbock

Wassermann

Fische

28 37
28 17
26 24

19 14

18 51

19 0

a) Nach dem Verhältnis 3*^4' : 2''45' = OHl' : OUO'. Genau
beträgt die gesuchte Zahl nur 0**9'28".

Dreizehntes Buch. Erstes Kapitel. 325

Dreizehntes Buch.

Erstes Kapitel.

Die Hypothesen zur Erklärung des Laufs in Breite

der fünf Planeten.

An der Darstellung einer Theorie der fünf Planeten sindJHei 524
noch zwei Punkte mckständig: der Lauf in Breite, wel-
cher sich mit Bezug auf die Ekliptik vollzieht, und das Ka-
pitel von den Sehungsbogen bei den heliakischen Auf-
und Untergängen der Planeten. Da aber diesem Kapitel die 5
Besprechung der Breitenabstände eines jeden Planeten vor-
ausgegangen sein muß, weil deswegen einige wesentliche
Unterschiede bei den heliakischen Auf- und Untergängen
eintreten, so werden wir zuerst wieder vorher die Hypo-
thesen mitteilen, welche wir (für alle fünf Planeten) unter 10
einem gemeinsamen Gesichtspunkt hinsichtlich der Neigung
ihrer Kreise zugrunde legen müssen.

Mit Rücksicht darauf, daß alle Planeten auch in Breite
scheinbar eine zwiefache DiflPerenz bewirken, wie sie auch
eine zwiefache Anomalie in Länge zeigten, die eine mit Ha 368
Bezug auf die Teile der Ekliptik infolge des Exzenters, die 16
andere mit Bezug auf die Sonne infolge des Epizykels, le-
gen wir bei allen Planeten die Annahme zugrunde, daß so- iiei 525
wohl der Exzenter gegen die Ebene der Ekliptik geneigt
sei, als auch der Epizykel gegen die Ebene des Exzenters, 20
ohne daß deshalb, wie (S. 123,7) gesagt, irgendwelche be-
merkenswerte Verschiebung hinsichtlich des Laufs in Länge
oder hinsichtlich des Nachweises der Anomalien eintritt,
wie wir weiterhin darlegen werden, wenigstens nicht bei so
kleinen Neigungswinkeln. 25

Ferner haben wir mit Rücksicht auf spezielle Beobach-
tungsergebnisse, die für jeden Planeten einzeln erzielt wor-
den sind, folgende Voraussetzungen zu machen.

326 Dreizehntes Buch. Erstes Kapitel.

1. Wenn die Zahl der genauberechneten Länge ebenso
wie die Zahl der genauberechneten Anomalie gleichzeitig die
Entfernung mit rund 90^ angibt, d. h. die Zahl der Länge
von dem nördlichen oder dem südlichen Grenzpunkt des

5 Exzenters ab, die Zahl der Anomalie von dem betreffenden
(d. h. derzeitigen scheinbaren) Apogeum (des Epizykels) ab,
liegen die scheinbaren Örter der Planeten direkt in der Ebene
der Ekliptik.

2. Die Neigungswinkel der Exzenter werden, wie schon
10 bei dem Monde, in dem Mittelpunkt der Ekliptik gebildet,

und zwar mit Bezug auf die Durchmesser, welche durch die
nördlichen oder südlichen Grenzpunkte gehen.

3. Die Neigungswinkel der Epizyklen werden mit Bezug
auf die nach dem Mittelpunkt der Ekliptik gerichteten Epi-

15 zykeldurchmesser gebildet, auf denen der Theorie nach die
scheinbaren Apogeen und Perigeen liegen.

L Bei den drei Planeten, dem Saturn, dem Jupiter und
dem Mars, haben wir folgende Beobachtungen gemacht:
1. Wenn ihre Örter in Länge auf dem erdfernen Ab-
20 schnitt des Exzenters liegen, erreichen sie stets scheinbar
Hei 526 ein Maximum des nördlichen Abstandes von der Eklip-
tik, und zwar ist alsdann das Maximum der nördlichen
Ha 369 Breite größer bei dem Stand (der Planeten selbst) in den
Perigeen der Epizyklen als bei dem Stand in den Apogeen.
25 2. Wenn dagegen ihre örter auf dem erdnäheren Ab-
schnitt des Exzenters liegen, erreichen sie scheinbar eine
südliche Breite in entgegengesetzter Folge (d. h. das Maxi-
mum der südlichen Breite ist in den Apogeen der Epi-
zyklen kleiner als ia den Perigeen).
30 3. Die nördlichsten Grenzpunkte der Exzenter liegen bei
dem Saturn und dem Jupiter im Anfang des Zeichens
der Scheren, bei dem Mars am. Ende des Krebses, und zwar
(bei letzterem) ziemlich nahe am Apogeum.*^

a) Bei dem Mars liegt der nördliche Grenzpunkt in O 30^
rand ö" nach seinem Apogeum O25''30'. Vgl. Anm. 21.

Breite der Planeten. 327

Hieraus ist der Schluß zu ziehen, daß an den genannten
Stellen der Ekliptik die einen Abschnitte der Exzenter die-
ser Planeten nach Norden geneigt sind, die diametral gegen-
überliegenden um den gleichen Betrag nach Süden, wäh-
rend die Perigeen der Epizjklen stets nach derselben 5
Seite geneigt sind, nach der die Neigung der Exzenter ge-
richtet ist^^, wobei diejenigen (Epizykel-) Durchmesser, wel-
che die durch die Apogeen gezogenen unter rechten Winkeln
schneiden, zu der Ebene der Ekliptik jederzeit parallel blei-
ben. 10

IL Bei der Venus und dem Merkur haben wir dagegen
folgende Beobachtungen gemacht:

1. Wenn ihre Örter in Länge in den Apogeen oder den
Perigeen des Exzenters liegen, alsdann zeigen die Bewe-
gungen in den Perigeen der Epizyklen keinerlei Unter- 15
schied in Breite gegen die Bewegungen in den Apogeen, Hoi 527
sondern verlaufen entweder gleichweit nördlich oder gleich-
weit südlich der Ekliptik, d. h. stets nördlich bei der Venus,
bei dem Merkur im Gegenteil stets südlich. Dagegen unter-
scheiden sich ihre Orter bei den größten Elongationen von- 20
einander durch ein Maximum (der Differenz von 5*^ nach
S. 335,21), d. h. die morgendlichen Örter von den abend-
lichen, während sie von den Ortern in den Apogeen oder
den Perigeen der Epizyklen, d, h. von dem Unterschied Ha 370
(in Breite), welchen (die Neigung) der Exzenter verleiht, 25
wieder um den gleichgroßen Betrag (von 2^1^^ nach
S. 335,31) nach den entgegengesetzten Seiten hin abwei-
chen: die größte östliche, d. i. abendliche Elongation liegt
bei der Venus im Apogeum des Exzenters (um SYg^) nörd-
licher (als die Örter in den Apogeen oder Perigeen der Epi- 30
Zyklen) und im Perigeum (ebensoviel) südlicher, bei dem
Merkur umgekehrt im Apogeum südlicher und im Perigeum
nördlicher.

a) Das Perigeum des Epizykels hat auf dem nördlichen Teile
des Exzenters die Neigung nach Norden, auf dem südlichen
die Neigung nach Süden.

328 Dreizehntes Buch. Erstes Kapitel.

2. Wenn ihre genauberechneten Örter in Länge sich in
den Knotenpunkten (des Exzenters mit der Ekliptik) be-
finden, dann liegen die auf beiden Seiten (d. i. auf der Mor-
gen- und auf der Abendseite) der Epizyklen von den Apo-
5 geen oder den Perigeen den Abstand von 90° einhaltenden
(Epizykel-) Örter beiderseits in der Ebene der Ekliptik,
während die in den Perigeen (der Epizyklen) liegenden Örter
von den in den Apogeen liegenden ein Maximum des Unter-
schieds (in Breite) zeigen: bei der Venus haben die Peri-

10 geen in dem Knoten*^ welcher auf dem mit der Aphäresis
behafteten Halbkreis (des Exzenters vom Apogeum zum Pe-
rigeum) liegt, die Neigung nach Süden und in dem Kno-
ten, welcher auf dem mit der Prosthesis behafteten Halb-
kreis (vom Perigeum zum Apogeum) liegt, die Neigung nach
Hei 528 N Orden, bei dem Merkur dagegen wieder umgekehrt in dem

16 Knoten, welcher auf dem mit der Aphäresis behafteten Halb-
kreis liegt, die Neigung nach Norden und in dem Kno-
ten, welcher auf dem entgegengesetzten Halbkreis liegt, die
Neigung nach Süden.

20 Hieraus sind wieder folgende Schlüsse zu ziehen:

1. Die Neigungswinkel der Exzenter haben gleichfalls eine
Bewegung und bewerkstelligen eine Wiederkehr, welche mit
den Umläufen der Epizyklen zusammenfällt. Stehen letztere
in den Knotenpunkten, so fallen diese Winkel (der Exzen-

25 ter) in die Ebene der Ekliptik (sind gleich Null); stehen
aber die Epizyklen in den Perigeen oder den Apogeen (der
Exzenter), so verursachen jene Winkel bei der Venus ein
Maximum nördlicher Breite des Epizykels^\ bei dem Mer-
kur ein Maximum südlicher Breite.

a) Vorliegende Bezeichnung der Knoten ist hier und ebenso
S. 332,1 erforderlich, weil die Bahn der Venus keinen nieder-
steigenden, die Bahn des Merkur keinen aufsteigenden Knoten
hat. Vom Apogeum zum Perigeum ist die mittlere Bewegung
der genauen voraus, bedarf also zur Bestimmung der genauen
des Abzugs, vom Perigeum zum Apogeum bleibt sie hinter der
genauen zurück, bedarf also zur Bestimmung der letzteren des
Zusatzes. Vgl. I Anh. Anm. 24.

b) D. h. der Epizykelmittelpunkt erreicht bei der Venus, mag

Dreizehntes Buch. Zweites Kapitel. 329

2. Die Epizyklen verursachen zwei Unterschiede (in Breite):
einmal dadurch, daß sie in den Knotenpunkten der Ex- na 37i
zenter ihren durch die scheinbaren Apogeen gezogenen Durch-
messern ein Maximum der Neigung verleihen, zweitens da-
durch, daß sie in den Apogeen und den Perigeen der 5
Exzenter den Durchmessern, welche die vorgenannten unter
rechten Winkeln schneiden, ein Maximum des Schief stan-
des verleihen — durch diese Bezeichnung soll der in die-
sem Fall gebildete Neigungswinkel unterschieden werden.
Umgekehrt verlegen sie in den Apogeen und den Perigeen 10
der Exzenter die erstgenannten (durch die scheinbaren Apo-
geen gezogenen) Durchmesser in die Ebene des Exzen-
ters, während sie in den bezeichneten Knotenpunkten die
letztgenannten (jene unter rechten Winkeln schneidenden)
Durchmesser in die Ebene der Ekliptik verlegen.*^ 15

Zweites Kapitel.
Art der Bewegung der nach den Hypothesen
eintretenden Neigungswinkel und Schiefstände.

Der Inhalt unserer Hypothesen läßt sich zu folgendem Hei 52&
Gesamtbild zusammenfassen.

1. Die Exzenter der fünf Planeten bilden gegen die Ebene
der Ekliptik Neigungswinkel im Mittelpunkte der Eklip-
tik. Bei den drei Planeten, dem Saturn, dem Jupiter und 20
dem Mars, bleiben diese Winkel unverändert, so daß die
einander diametral gegenüberliegenden Epizykelörter ent-
gegengesetzte Breite haben. Bei der Venus und dem
Merkur bewerkstelligen c^gegen diese Neigungswinkel der
Exzenter gleichzeitig mit den Epizyklen eine Wiederkehr zu 25

er im Perigäum oder im Apogeum des Exzenters stehen, ein
Maximum nördlicher Breite, bei dem Merkur in beiden Fällen
ein Maximum südlicher Breite.

a) Infolgedessen ist das Maximum der Breite im Apogeum
oder Perigeum des Exzenters lediglich von der Neigung des Ex-
zenters abhängig, in den Knotenpunkten dagegen lediglich
von der Neigung des Epizykels.

330 Dreizelintes Bacli. Zweites Kapitel.

derselben Breite^', welche bei der Venus immer nörd-
lich, bei dem Merkur immer südlich ist.

2. Die durch die scheinbaren Apogeen gehenden Durch-
messer der Epizjklen liegen von einem gewissen Anfangs-
5 punkt (des Epizykellaufs) an in der Ebene des Exzenters
und werden von kleinen Kreisen (aus dieser Lage) auf- und
niederbewegt. Diese kleinen Kreise liegen, nehmen wir ein-
mal an, bei den erdnahen Endpunkten dieser Durchmesser
IIa s und stehen in genauem Verhältnis zu der Abweichung in

10 Breite^^, so groß diese eben (bei jedem Planeten) ist. Sie
stehen senkrecht zu den Ebenen der Exzenter und haben ihre
Zentren in diesen Ebenen; sie drehen sich gleichförmig und
dem Lauf in Länge entsprechend von dem einen ihrer bei-
den Anfangspunkte an, welche auf den Schnittlinien ihrer
Hei 530 eigenen Ebenen mit denen der Epizjklen liegen, der Hypo-

16 these gemäß nach Norden. Hierdurch heben sie die Ebenen
der Epizjklen im Verlauf der Drehung bis zum ersten Qua-
dranten (ihres Umlaufs) natürlich empor bis zum nördlich-
sten Grenzpuakt (der erreichbaren Breite), senken sie im

20 Verlauf der weiteren Drehung wieder bis zur Ebene des
Exzenters und im Verlauf der Drehung bis zum dritten Qua-
dranten weiter bis zum südlichsten Grenzpunkt, um sie auf
dem Wege der Wiederkehr zum letzten Quadranten wieder
emporzuheben zur Ebene der Anfangslage.

26 Der Ausgangs- und Wiederkehrpunkt des vorstehend be-
schriebenen Auslaufs liegt bei dem Saturn, dem Jupiter und
dem Mars an dem im aufsteigenden Knoten (von Ex-
zenter und Ekliptik) gebildeten Schnittpunkt, bei der Venus

a) Dadurch, daß die Ebene des Exzenters während des Laufs
des Epizjkels vom Apogeum zum Knoten bei der Venus zur
Ebene der Ekliptik herabsinkt und während des Laufs des
Epizjkels vom Knoten zum Perigeum wieder zu der gleichen
Höhe über die Ebene der Ekliptik emporsteigt. Bei dem
Merkur vollzieht sich dagegen diese Bewegung der Exzenter-
hälften entsprechend unterhalb, d.i. südlich der Ekliptikebene.

b) D. h der Halbmesser dieser kleinen Kreise ist genau so
srroß wie das Maximum der Breite.

Neigungswinkel und Scliiefstände. 331

im Perigäum des Exzenters, bei dem Merkur im Apo-
geum des Exzenters.

3. Die Durchmesser, welche die obengenannten (durch die
scheinbaren Apogeen gezogenen) unter rechten Winkeln
schneiden, bleiben bei den drei erstgenannten Planeten, wie 6
(S. 327, 7) gesagt, immer parallel zu der Ebene der Eklip-
tik oder sind wenigstens nur ganz unbeträchtlich gegen die-
selbe schiefgestellt. Bei dem Merkur und der Venus liegen
sie gleichfalls wieder von einem gewissen Anfangspunkt (des
Epizykellaufs) an in der Ebene der Ekliptik und werden 10
von kleinen Kreisen auf- und niederbewegt. Letztere liegen,
nehmen wir einmal an, beiden nachfolgenden (östlichen)
Endpunkten*) dieser Durchmesser und stehen wieder in ge-
nauem Verhältnis zu der Abweichung in Breite, so groß sie
eben (bei diesen beiden Planeten) ist. Sie stehen senkrecht 15
zur Ebene der Ekliptik und haben ihre Zentren auf den zur
Ebene der Ekliptik parallelen Durchmessern.^) Sie drehen Ha 373
sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die anderen Kreise
von dem einen ihrer beiden Anfangspunkte an, welche auf
den Schnittlinien ihrer eigenen Ebenen mit denen der Epi- Hei 531
zjklen liegen, der Hypothese gemäß nach Norden, wodurch 21
sie gleichzeitig die nach Abend zu liegenden (westlichen)
Endpunkte*') der betreffenden Durchmesser mit in Bewegung
versetzen, was natürlich in derselben Reihenfolge geschieht,
wie wir sie oben beschrieben haben. 25

Bei diesen Durchmessern liegt der Ausgangs- und Wie-
derkehrpunkt des entsprechenden Auslaufs bei der Venus in

a) Es sind die an der Abendseite des Epizykels liegenden
Endpunkte, die bei dem täglichen Umschwung den vorangehen-
den Endpunkten folgen. Vgl. S. 313 Anm. a)

b) Unter diesen Durchmessern sind die Normallagen zu
verstehen, mit welchen die beweglichen Durchmesser die Win-
kel des S. 327,28 erwähnten Schiefstandes bilden, während
der Epizykel die Quadranten der Ekliptik vom Knoten zuin
Perigeun, vom Perigeum zum gegenüberliegenden Knoten usw.
durchläuft.

c) Es sind die an der Morgenseite des Epizykels liegenden
Endpunkte. Indem die Morgenseite bei dem täglichen Umschwung
vorangeht, hält sie die Richtung nach Abend zu ein.

332 Dreizehntes Buch. Zweites Kapitel.

dem Knoten, welcher auf dem mit der Prosthesis behafteten
Halbkreis (des Exzenters vom Perigeum zum Apogeum) liegt,
bei dem Merkur in dem Knoten, welcher auf dem mit der
Aphäresis behafteten Halbkreis liegt.
6 4. Hinsichtlich der beschriebenen kleinen Kreise, von denen
die Veränderungen (der Lage) der Epizyklen geregelt wer-
den, muß indessen noch folgende Bemerkung vorausgeschickt
werden. Sie werden zwar gleichfalls (wie die Ekliptik) von
den Ebenen (der Exzenter) halbiert, zu deren beiden Seiten

10 wir die Veränderungen der Neigungswinkel (der Epizyklen)
vor sich gehen lassen — denn nur so ist es möglich, daß
die beiderseits (der Exzenterebenen) von diesen (kleinen
Kreisen) verliehenen Breiten (nördlich wie südlich) gleich-
groß ausfallen — indessen vollziehen sich bei ihnen die

15 mit gleichförmiger Bewegung vor sich gehenden Umläufe
nicht um das eigene Zentrum, sondern um ein anderes,
welches mit Bezug auf den kleinen Kreis dieselbe Exzen-
trizität bewirken soll, wie sie für den Planeten (bei dem
Lauf) in Länge mit Bezug auf die Ekliptik gilt. Denn da

20 in der Ekliptik und auf dem kleinen Kreise Wiederkehren

von gleicher Zeitdauer angenommen werden, da ferner die

in jedem der beiden Kreise je einen Quadranten betragen-

Hei532den Läufe, wie die Himmels erscheinung lehrt, miteinander

zusammenfallen, so würde die vorliegende Aufgabe nimmer-

25 mehr eine Lösung finden, wenn der Umlauf des kleinen Krei-
ses um sein eigenes Zentrum vor sich ginge. Dann wür-
Ea 374 den die Läufe auf dem kleinen Kreise jeden Quadranten in
gleichen Zeiten durchmessen, was aber bei den theoretisch
auf die Ekliptik bezogenen Läufen der Epizyklen infolge

30 der von Quadrant zu Quadrant (mit verschiedener Wirkung)
zugrundeliegenden Exzentrizität nicht der Fall ist. Erfolgt
aber der Umlauf um ein Zentrum, welches seiner Lage nach
dem Zentrum des Exzenters und seiner Quadranten entspricht,
so werden die Wiederkehren der Neigungswinkel die zu-

35 sammenfallenden Quadranten der Ekliptik und des kleinen
Kreises in gleichen Zeiten durchlauf en.*)

a) D. h. die den Neigungswinkel der bezeichneten Durch-

Neigungswinkel und Schiefstände. 333

Es wird sich wohl niemand im Hinblick auf die Dürftig-
keit menschlicher Machwerke der Technik Gedanken machen,
daß die hier vorgetragenen Hypothesen zu künstlich seien.
Darf man doch Menschliches nicht mit Göttlichem verglei-
chen und ebensowenig die Beweisgründe für so gewaltige 5
Vorgänge den ungleichartigsten Beispielen entnehmen. Denn
was könnte es Ungleichartigeres geben als Wesen, die sich
ewig gleichmäßig verhalten, gegenüber Geschöpfen, die sich
niemals so verhalten, oder Ungleichartigeres als Geschöpfe,
die von jeder Kleinigkeit aus ihrem Gleise gebracht werden 10
können, gegenüber Wesen, die nicht einmal durch sich selbst
Störungen erleiden? Versuchen freilich soll man, soweit es
möglich ist, die einfacheren Hypothesen den am Himmel
verlaufenden Bewegungen anzupassen; wenn dies aber durch-
aus nicht gelingen will, so soll man zu den Hypothesen 15
schreiten, welche diese Möglichkeit bieten. Denn lassen sich
einmal alle Himmels erscheinungen auf Grund der Hypothe-
sen genügend erklären, wie könnte dann noch jemand die Hei 533
Möglichkeit wunderbar erscheinen, daß den Bewegungen der
himmlischen Körper ein so kompliziertes Ineinandergreifen 20
eigen sei, wo doch bei ihnen keinerlei in ihrer Natur be-
gründeter Zwang herrscht, sondern die angemessene Kraft
obwaltet, den allen himmlischen Körpern je nach ihrer Be-
schaffenheit eigenen Bewegungen auszuweichen und nach-
zugeben, auch wenn diese Bewegungen in entgegengesetzter 25
Richtung verlaufen. So kommen denn alle diese Wesen
durch alle nur denkbaren Ströme der Materie glücklich hin-
durch und können sie mit ihrem Lichte durchdringen, ja
ein mit so wunderbarer Kraft begabtes Wesen findet seinen
Weg nicht nur auf den ihm speziell vorgeschriebenen Krei- Ha 375
sen, sondern auch um die Sphären selbst und um die Achsen 31
der Umschwünge. Gerade in dem bei der Verschiedenartig-
keit der Bewegungen so überaus komplizierten Ineinander-

messer des Epizykels verursachende Bewegung der kleinen
Kreise wird sich Quadrant für Quadrant dieser Kreise in
derselben Zeit vollziehen, in welcher der Epizykel auf dem Ex-
zenter die entsprechenden Quadranten der Ekliptik durchläuft.

334 Dreizehntes Buch. Drittes Kapitel.

greifen dieser Umschwünge erblicken wir bei der Konstruk-
tion der bei uns üblichen Himmelsgloben^^ ein höchst müh-
sames und schwerzubewältigendes Stück Arbeit, wenn es gilt,
den ungehemmten Verlauf der Bewegungen zu erzielen, wäb-
5 rend wir am Himmel dieses Ineinandergreifen nirgends auch
nur im geringsten von (der Schwierigkeit) einer derartigen
Vermischung (der Bewegungen) nachteilig beeinflußt sehen.
Hierzu kommt noch eine Erwägung. Die „Einfachheit"
der Vorgänge am Himmel darf man nicht nach dem beur-

10 teilen, was uns Menschen als einfach gilt, zumal man auf
Erden über den Begriff „einfach" keineswegs einig ist. Denn
wenn jemand von diesem menschlichen Standpunkt aus seine
Betrachtungen anstellt, dem dürfte nichts von allem, was am
Himmel vor sich geht, einfach erscheinen, nicht einmal die

15 TJnveränderlichkeit des ersten (d. i. täglichen) Umschwungs;

denn gerade dieses in alle Ewigkeitsich gleichbleibende

Verhalten ist bei uns Menschen, nicht schwer durchführbar,

Hei 534 nein, überhaupt ganz unmöglich. Man muß vielmehr in

seinem Urteil von der Unwandelbarkeit der am Himmel selbst

20 kreisenden Geschöpfe und ihrer Bewegungen ausgehen; nur
unter diesem Gesichtspunkt können sie alle „einfach" er-
scheinen, ja noch in höherem Grade einfach als die Dinge,
welche auf Erden als einfach gelten, weil kein Mühsal, kein
Notzustand bei den Umläufen dieser Wesen denkbar ist.

^[Drittes Kapitel."';

Zahlenmäßiger Betrag der Neigungswinkel

und der Schiefstände von Fall zu Fall.

25 Von Lage und Verlauf der Neigung der Kreise im all-
gemeinen wird man sich nach den gebotenen Erörterungen wohl
eine Vorstellung machen können. -^^^ Was aber die speziell
Ha 376 für jeden Planeten geltenden zahlenmäßigen Beträge der
Bogen anbelangt, welche die Neigungswinkel auf dem größten

a) D. h. der Himmelsgloben, welche zugleich den Yorgang
der Präzession der Nachtgleichen darstellen, wie dies S. 75,
4 — 23 beschrieben worden ist.

Breite der Venus und des Merki^r. 335

Kreise abschneiden, der durch die Pole des geneigten Kreises
(sei es der Exzenter oder der Epizykel) gezogen wird und senk-
recht zur Ebene der Ekliptik steht — das ist nämlich der
Kreis, auf welchen die Örter in Breite theoretisch bezogen
werden — so gewähren bei der Venus und dem Merkur die 5
scheinbaren Örter in Breite in den (S. 327 f.) besprochenen
Lagen für die Gewinnung der zahlenmäßigen Beträge einen
Anhalt.

I. 1 . Wenn (bei diesen Planeten) die Bewegungen in Länge
in den Apogeen und den Perigeen der Exzenter verlaufen, 10
liegen ihre scheinbaren Örter, während die Planeten inneisss
den Perigeen und den Apogeen der Epizyklen stehen,
wie wir (S. 327, 17) nach den näheren Beobachtungen des
uns gewordenen Zusatzbetrags (in Breite) mitteilten, gleich-
weit nördlich oder südlich der Ekliptik, und zwar steht die 15
Venus etwa Vg*^ ^^^^^ nördlich (der Ekliptik), der Merkur
stets ^1^ südlich, woraus zu schließen ist, daß dieser Betrag
(lediglich) auf die Neigungswinkel ihrer Exzenter entfällt.*^
Dagegen liegen (vgl. S. 327,28) die scheinbaren Örter dieser
beiden Planeten bei den größten Elongationen von der 20
Sonne um etwa 5^ nach dem mittleren (Entfernungs-) Ver-
hältnis nördlicher oder südlicher als bei den Elongationen
nach der entgegengesetzten Seite. Nämlich die Venus be-
werkstelligt die hiermit bezeichnete entgegengesetzte Stellung
in scheinbarer Breite mit unbeträchtlich weniger als 5^ im 25
Apogeum des Exzenters, mit unbeträchtlich mehr im Peri-
gäum, während bei dem Merkur dieses weniger oder mehr
rund ^1^ beträgt.^^ Demnach unterspannen die Schiefstände
des Epizykels oberhalb oder unterhalb der Ebenen, in wel-
chen die Exzenter liegen, auf dem zur Ekliptik (nach Z. 3) 30
senkrechten Kreise nach dem mittleren Verhältnis etwa ^^l<^.^^

a) Weil die Epizyklen in den Ebenen der Exzenter liegen.

b) D. h. bei dem Merkur beträgt der Unterschied in Breite
bei den entgegengesetzten Elongationen im Apogeum des Ex-
zenters 4^2", im Perigeum sy,".

c) Indem der vom beweglichen Quermesser des Epizykels ge-
bildete Winkel des Schiefstandes im Betrage von 5° durch die
zur Ekliptik parallele Normallage des Quermessers halbiert wirri .

336 Dreizehntes Buch. Drittes Kapitel.

Ha 377 Aus diesen Winkeln werden auch die zahlenmäßigen Beträge
derjenigen Winkel abgeleitet, welche von dem Schiefstande
der Epizykten mit den Ebenen der Exzenter gebildet werden,
wie bei den später (S. 367 ff.) hierüber zu führenden Nach-
Hei 536 weiseu klar werden wird, um nicht an dieser Stelle die für
6 die fünf Planeten allgemeingültig gehaltene Besprechung der
Neigungswinkel zu unterbrechen.

2. Wenn die genauberechneten Bewegungen in Länge in
den Knotenpunkten, d. i. nahezu in den mittleren Ent-

10 fernungen verlaufen *\ dann liegt

a) der scheinbare Ort der Venus bei dem Stande im
Apogeum des Epizykels 1^ nördlich und (im gegenüber-
liegenden Knoten ebensoviel) südlich der Ekliptik, bei dem
Stande im Perigeum dagegen ßYg^ (südlich oder gegen-

15 über nördlich). Hieraus läßt sich der Schluß ziehen, daß
der Neigungswinkel des Epizykels, auf dem Kreise gemessen,
welcher in der (S. 335, l) angegebenen Weise durch die
Pole des Epizykels gezogen wird, 2'^!^ beträgt. Denn wir
finden aus der auf dem Epizykel eintretenden Anomalie^^^

20 daß in den mittleren Entfernungen (d. i. in den Knoten)
soviel (d. h. 2V2) Grade am Apogeum des Epizykels am
Auge (d. i. im Mittelpunkt der Ekliptik) einen Winkel von
1*^2', am Perigeum aber einen solchen von 6^22' (auf dem
oben bezeichneten Kreise) unterspannen.^^

25 b) Der Merkur kommt bei dem Stande im Apogeum
des Epizykels, wie man aus seinen ziemlich sicher festzu-
stellenden heliakischen Aufgängen '^^ berechnen kann, 1^4*^
südlich und (im gegenüberliegenden Knoten ebensoviel) nörd-

a) D. h. wenn in genauberechneter Länge vom Apogeum des
Exzenters ab der Epizykelmittelpunkt direkt in einem der Kno-
ten anzunehmen ist.

b) D. h. ein Bogen von 2yg* am Apogeum des Epizykels er-
scheint dem Auge auf genanntem Kreise unter einem Winkel
von 1°2', ein ebensogroßer Bogen am Perigeum aber unter
einem Winkel von 6" 22'. Zar Berechnung 8. Anm. 18.

c) Eine Andeutung der Berechnung, welche bei 18 " Entfer-
nung vom zweiten Knoten zu 1^40' nördlicher Breite führt, wird
gehörigen Ortes (s. Anm. 23, 2) mitgeteilt.

Breite der Yenus und des Merkur. 337

lieh der Ekliptik zu stehen, bei dem Stande im Perigeum
dagegen rund 4^ (nördlich oder gegenüber südlich). Hieraus
ist zu schließen, daß der Neigungswinkel des Epizykels 67/
beträgt. Denn wir finden wieder aus der auf dem Epizykel Hei 537
eintretenden Anomalie^^), daß in den Entfernungen, in welchen 0
die größten Neigungswinkel (des Epizykels) eintreten, d. h. Ha 373
wenn die genauberechnete Länge 90^ Abstand von dem Apo-
geum (des Exzenters) anzeigt, so viel (d.h. 674) Grade am
Apogeum des Epizykels am Auge einen Winkel von 1^46',
am Perigeum aber einen solchen von 4® 5' (auf dem Breiten- 10
kreis) unterspannen.

II. Bei den übrigen Planeten, dem Saturn, dem Jupiter
und dem Mars, kann man nicht ohne weiteres zu den zahlen-
mäßigen Beträgen der Neigungswinkel gelangen, weil beide,
sowohl der am Exzenter als der am Epizykel gebildete, stets 15
miteinander vermischt sind. Aber aus den Örtern in Breite,
welche in den Perigeen und in den Apogeen der Exzenter
und der Epizyklen beobachtet werden, scheiden wir die
beiden Neigungswinkel auf folgende Weise aus.

In der senkrecht zur Ebene der Ekliptik stehenden Ebene 20
(in welcher die Neigungswinkel des Exzenters und der Epi-
zyklen liegen) sei
AB die gemein- Z,

same Schnittlinie //l_ZI\v£^ 1^

mit der Ebene der V ^^^"""^^^^^^X 25

Ekliptik und TA
die gemeinsame
Schnittlinie mit
der Ebene des Ex-
zenters; E sei der \ ^A 30
Mittelpunkt der
Ekliptik.^) Auf der gemeinsamen Schnittlinie (PA) der

a) Die falsche Lage der Figur im griechischen Text erschwert
ungemein das Verständnis. Bei Richtigstellung der Figur liegen
die Kreise durch die Pole der Epizyklen in der Ebene des
Papiers und die Ebenen der Ekliptik, des Exzenters und der
Epizyklen in der Blickrichtung, so daß sie als die Linien AB,
TA, HK und EM erscheinen.

Ptolemäus. übers, v. Manitiua. II. oo

338 Dreizelintes Buch. Drittes Kapitel.

Ebenen beschreibe man um das Apogeum f des Exzenters
und das Perigeum A in der (zur Ekliptik senkrecht) ange-
nommenen Ebene die gleichgroßen Kreise ZH0K und
A M N £. Das sind die durch die Pole der Epizyklen gehenden
Hei 538 Kreise, auf denen die Neigung der Ebenen der Epizjklen (zu der
6 Ebene des Exzenters), d. h. die auf den Durchmessern HfK
und EAM bei f und A gebildeten, natürlich gleichgroßen
Winkel (HPZ und AAM) gemessen werden. Nun ziehe
man von dem Mittelpunkt E der Ekliptik, wo sich unser
Ha 379 Auge befindet, Verbindungslinien nach den Apogeen und
11 den Perigeen der Epizyklen, nach den (in H unterhalb und
in M oberhalb der Exzenterebene liegenden) Apogeen die
Geraden EH und EM, nach den (in K oberhalb und in E
unterhalb der Exzenterebene liegenden) Perigeen die Geraden
15 EK und EH. Alsdann fallen (S. 173,25) die Punkte K und
£ auf die Örter der Oppositionen, und die Punkte H und
M auf die Örter der Konjunktionen.

1. Für den Mars haben wir diejenigen Örter in Breite

gewählt, welche sich einerseits bei den Oppositionen im

20 Apogeum des Exzenters ergeben, d. i. in Punkt K des Epi-

zykels, anderseits bei den Oppositionen im Perigeum des

Hei 539 Exzeuters, d. i. in Punkt Z des Epizykels, weil bei ihnen

der Unterschied (in Breite) sehr wahrnehmbar ist. Bei den

Oppositionen im Apogeum hat der Planet (in K) eine nörd-

25 liehe Breite von 4Y3^, bei denen im Perigeum (in Z) eine

südliche Breite von rund 7^ Demnach stellt sich

/. A E K = 4 Vj ° wie24 i2 = 360^
/. B E= = 7^ wie 4 Ä = 360".

Sind diese Beträge gegeben, so finden wir den Neigungs-
80 Winkel des Exzenters, d. i. den /. AEF, und den Neigungs-
winkel des Epizykels, d. i. den Z. H PZ, auf folgendem Wege.
Aus den Anomalien des Mars, welche wir nachgewiesen
haben, ist leicht ersichtlich *\ daß von den am Auge gebil-

a) "Weil die Breitenkreise ZH0K und AM NE gleichgroß
sind wie der Epizykel, so entsprechen die Winkel am Auge
der Prosthaphäresis der Anomalie in der 5 — 7. Spalte (S. 263).

Breite des Mars. - 339

d ten Winkeln, welche an den Apogeen*^ und den Perigeen
des Epizykels von den gleichgroßen Bogen (des Breiten-
kreises) überspannt werden, die bei dem Stande (des Epi-
zykels) im Apogeum des Exzenters (am Auge) gebildeten
AVinkel sich zu den bei dem Stande im Perigeum gebildeten 5
verhalten wie 5:9. Nun ist der Bogen 0 K gleich dem Bogen Ha sso
NE: folglich verhält sich

/.rEK:/,AEE = 5:9.

Gegeben sind demnach /. AEK und /. BEZ, gegeben ist Hei 540
ferner das Verhältnis von L FEK : Z. AEE (= 5:9), endlich 10
sind (die beiderseitigen Neigungswinkel des Exzenters)
/. AEf und i BEA einander gleich. Nun gibt ein arith-
metischer Hilfssatz ^) folgendes Verfahren an die Hand:

„Wenn wir von jeder der Verhältniszahlen (5 und 9)
denjenigen Bruchteil (^3) nehmen, welcher herauskommt, 15
wenn man die Differenz (2^3) der ungetrennten zahlenmäßigen
Beträge (7 und 4^3) durch die Differenz (4) der Verhältnis-
zahlen (5 und 9) dividiert, so werden wir den auf das be-
treffende Verhältnis (^rEK:/-AEE) entfallenden zahlen-
mäßigen Betrag erhalten." 20

Die (un getrennten) zahlenmäßigen Beträge (der Breiten-
abstände) sind 4Y3 und 7, ihre Differenz beträgt 2^3; das
Verhältnis (der ungetrennten Winkel) ist 5 : 9, die Differenz
dieser Zahlen beträgt 4, endlich gibt 273 : 4 (d. i. 3T4) den
Bruchteil Yg. Nehmen wir also ^3 '^on 5 und von 9, so 25
erhalten wir

^rEK = 3<'20' und /.AEE = 6^

Weiter erhalten wir als die Differenzen die beiderseitigen
Neigungswinkel des Exzenters:

Bei rund 3 "Entfernung vom Perigeum des Epizykels (d. i. zu 183*^)
erhält man bei dem Stand im Apogeum des Exzenters 5°45'— 1*'16'
= 4»30', bei dem Stand im Perigeum 5" 45' -|- 2^20' = 8^ Das
Yerhältnis 472 : 8 entspricht also annähernd dem Verhältnia 5 : 9.

a) Hier war eine Lücke des griechischen Textes nach der ähn-
lichen Stelle S. 340, 29 auBzufüllen.

b) Zu vergleichen ist der Satz (V. 17) des Euklid: Sind ver-
bundene Größen proportioniert, so sind auch die getrennten pro-
portioniert.

22*

340 Dreizehntes Buch. Drittes Kapitel.

^ AEr = (/.AEK-/.rEK d.i. 4^20' - 302O' =) l^
t BEA = (/.;BEH-/.AEE d.i. 7">-6«=)l^

Endlich erhalten wir aus diesen Winkelgrößen (3^20' und
6^) auch den Bogen 0K (= NE) des Neigungswinkels
5 des Epizykels mit 2 '^15', weil nach den Tabellen der
Anomalie^^^ ungefähr so viel Grade (am Perigeum des Epi-
zykels) die gefundenen zahlenmäßigen Beträge der (am Auge
gebildeten) Winkel TEK und AEE umfassen.*^

2. Für den Saturn und den Jupiter haben wir zwischen
10 den Ortern (bei den Oppositionen) in den erdfernen Teilen
der Exzenter und den Örtern in den diametral gegenüber-
liegenden, d. i. erdnahen Teilen, keine Unterschiede (in
Hei 541 Breite) für die sinnliche Wahrnehmung gefunden. Deshalb
haben wir für diese Planeten die vorliegende Aufgabe auf
Ha 381 einem anderen Wege gelöst, nämlich durch Vergleichung
16 der Örter in den Apogeen der Epizyklen mit den Örtern
in den Perigeen derselben.

Wie uns aus den von Fall zu Fall angestellten Beob-
achtungen gut ersichtlich geworden ist, zeigt der Saturn in
20 den Örtern, welche er zur Zeit seiner heliakischen Auf- und
Untergänge (d. i. nahe der Konjunktion in H oder M) ein-
nimmt, ein Maximum nördlicher oder südlicher Breite
(= /. AEH oder Z- BEM) von rund 2^, der Jupiter ein sol-
ches von 1°. Dagegen zeigt in den zur Zeit der Oppositio-
25 nen eingenommenen Örtern (K oder E) der Saturn ein solches
Maximum (== /- AEK oder L BEE.') von etwa 3^, der Jupiter
von etwa 2^. Nun geht aus den Anomalien auch dieser
Planeten deutlich hervor, daß von den am Auge gebildeten
Winkeln, welche an den Apogeen und an den Perigeen des
30 Epizykels von gleichgroßen Bogen (des Breitenkreises) über-
spannt werden, die an den Apogeen gebildeten Winkel zu den

a) D. h. ein Bogen von 2° 15' am Perigeum des Epizykels
erscheint dem Auge auf dem Breitenkreis in der größten Ent-
fernung, d. i, wenn der Epizykel im Apogeum des Exzenters
steht, unter einem Winkel von 3*20', in kleinster, d. i. bei dem
Stande im Perigeum des Exzenters, unter einem Winkel von 6''.
Zur Berechnung s. Anm. 19.

Breite des Saturn und des Jupiter. 341

an den Perigeen gebildeten sich bei dem Saturn wie 18 : 23
und bei dem Jupiter wie 29 : 43 verhalten.^) Die Bogen
des Epizykels ZH und 0K sind gleichgroß: folglich ver-
hält sich

bei dem Saturn /.ZEH : /.ZEK=» 18 : 23, 6

bei dem Jupiter /, Z E H :J^ Z E K; = 29 : 43.

Nun bleibt für den L HEK als Differenz (Z. AEK — Z. AEH)
der beiden Örter in Breite (bei Opposition und heliakischem
Aufgang) bei beiden Planeten 3" — 2^ bzw. 2^ - 1« =) 1<^
übrig. Wird dieser eine Grad (als Summe der Winkel Hei 545
ZEH und ZEK) nach den vorstehend festgestellten Ver- ii
hältnissen geteilt^), so werden wir erhalten

bei dem Saturn ^ZEH = 0»26' und /,ZEK = 0«34',
bei dem Jupiter ■/,ZEH = 0"24' und /,ZE.K = 0^36'.

Demnach wird als Differenz auch der Neigungswinkel 15
des Exzenters übrigbleiben:

bei dem Saturn ^ AET = (3*- 0°34' =) 2<>26', Ha 38S

bei dem Jupiter /. AEr = (2»- O^'Se' =) 1<>24'.
Anstatt dieser Beträge werden wir wegen des kommen-
surableren Maßes von den nach oben abgerundeten Werten 20
2V/ und iVa® Gebrauch machen.

Ohne weiteres erhalten wir endlich auch den Bogen
(HZ = OK) des Neigungswinkels (ZTH = KTO) der
Epizyklen

bei dem Saturn mit QK = 4.^/^^^ 26

bei dem Jupiter mit 0K = 2y2®.

a) Die Tabelle des Saturn (S. 261) gibt in der 6. Spalte der
Prosthaphäresis der Anomalie zur Argumentzahl 6 den Winkel
mit 0^36', zu 3 also mit 0"18', zur Argumentzahl 183 mit
0°23'. — Die Tabelle des Jupiter (S. 262) liefert zu denselben
Argumentzahlen (3 und 183) am Apogeum des Epizykels 0**29',
am Perigeum 0*^43'.

• b) Bei dem Saturn erhält man aus der Proportion x : (60'— a;)
= 18 : 23 die beiden Winkel mit 26 ^Vn Minuten und 33 "/^^ Minu-
ten, d. s. 26' 20" 30'" und 33' 39" 30"', bei dem Jupiter aus der
Proportion x : (60' - ic) = 29 : 43 mit 24^%^ und 35^7-, Minuten,
d. s. 24' 10" und 35' 50".

342 Dreizehntes Bucli. Viertes Kapitel.

Denn rund so viel Grade überspannen beiderseits (d. i. am
Apogeum den 5 H Z und am Perigeum den & 0 K) wieder
nach den Tabellen der Anomalie^^^ die (S.341, 13. 14) gefun-
denen zahlenmäßigen Beträge der (am Auge gebildeten)
5 Winkel ZEH und ZEK.*)

Dies zu finden war als Aufgabe gestellt.

Viertes Kapitel.

Praktische Anleitung zur Aufstellung

von Tabellen für die Einzelörter in Breite.

Aus dem vorstehend vorgelegten Material wurden von
uns die zahlenmäßigen Normalbeträge der größten Neigungs-
winkel der Exzenter und der Epizyklen abgeleitet. Um aber

10 auch bei den gradweise fortschreitenden Abständen (von
den Aj)ogeen, sei es des Planeten auf dem Epizykel oder
des Epizykels auf dem Exzenter) die Örter in Breite jedes-
mal nach einer bequemen Methode ermitteln zu können,
l3ei543 haben wir für die fünf Planeten fünf Tabellen aufgestellt.

15 Jede enthält ebensoviel (d. s. 45) Zeilen wie die Tabellen
der Anomalie, aber nur fünf Spalten.

Von letzteren enthalten die beiden ersten Spalten, wie
dort, die Argumentzahlen. Die dritte Spalte enthält die
Abstände von der Ekliptik in Breite, welche auf die Einzel-

20 abschnitte der Epizyklen bei ihren größten Neigungswinkeln
entfallen, d. h. die Spalte (der Tabelle) für die Venus und
die (der Tabelle) für den Merkur die Breitenabstände bei
den (größten) Neigungswinkeln (der Epizyklen) in den
Knotenpunkten der Exzenter, die Spalte (der Tabellen)

25 für die drei übrigen Planeten die Breitenabstände bei den

(größten) Neigungswinkeln in den nördlichen Grenz-

Ha 383 punkten der Exzenter. Die entsprechenden Beträge in den

a) D. h. für den Saturn: ein Winkel am Auge von 26' (d.i.
/.ZEH) schneidet am Apogeum H des Epizykels den Bogen
HZ von 4y2 Graden des Kreises ZH0K ab, ein Winkel am
Auge von 34' (/ ZEK) den ebensogroßen Bogen 0K am Peri-
geum K des Epizykels. Zur Berechnung s. Anm. 20.

Erklärung der Tabellen.

343

südlichen Grenzpunkten der Exzenter wird für diese
drei Planeten die vierte Spalte enthalten. Bei diesen Plane-
ten ist das Maximum der Abweichung der Exzenter selbst
nach Norden und nach Süden miteingeschlossen in Rechnung
gezogen worden. 5

Zur Erklärung der dritten Spalte der Tabellen der Venus
und des Merkur.

I, Für die Venus und den Merkur ist die Gewinnung
dieser Gradbeträge (der Breite) wieder durch ein (für beide
anwendbares) theoretisches Verfahren auf folgende Weise lo
von uns gehandhabt worden.

In der senkrecht zur Ebene der Ekliptik stehenden Ebene
(in welcher die Neigungswinkel liegen) sei ABT die gemein-
same Schnittlinie mit der Ebene
der Ekliptik selbst und A B E die
gemeinsame Schnittlinie mit der
Ebene des Epizykels; A sei der
Mittelpunkt der Ekliptik, B der
des Epizykels und AB die (mitt-
lere) Entfernung bei den größten
Neigungswinkeln der Epizyklen
(d. i. in den Knotenpunkten).
Nachdem man um B den Epizykel
AZEH beschrieben, ziehe man
rechtwinklig zu AE den Durch-
messer Z B H. Es soll aber auch
die Ebene des Epizykels recht-
winklig zu der (senkrecht zur
Ekliptik) angenommenen Ebene
gestellt sein^\ wovon die Folge
sein muß, daß von den in ihr
(d. i. der Ebene des Epizykels) rechtwinklig zu A E gezogenen

15

Hei 544

20

25

30

a) Dann liegt der Durchmesser A E in der auf A B senkrecht
stehenden Ebene des Neigungswinkels A B E, während der Durch-
messer Z H mit der Schnittlinie A B in Punkt B rechte Winkel
bildet.

344 Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

Geraden (wie Z H und K 0) nur der Durchmesser Z H in der
Ebene der Ekliptik liegt, während alle übrigen (wie K0) zu
ihr (d. i. zur Ebene der Ekliptik) parallel sind.

Es soll die Aufgabe gestellt sein, wenn das Verhältnis
5 A B : B E und der zahlenmäßige Betrag des Neigungswinkels
(des Epizykels), d. i. des Z. ABE, gegeben ist, die Örter der
(beiden) Planeten in Breite zu finden, wenn sie von dem
Perigeum E des Epizykels beispielshalber 45^, d. s. solche
Grade, wie der Epizykel 360 hat, entfernt stehen. Wir be-

10 absichtigen nämlich, gleichzeitig auch die Unterschiede mit-
Ha 384 nachzuweisen, welche infolge derartiger (d. i. größter) Nei-
Hei 545 guugswinkel für die Orter in Länge eintreten; diese Unter-
schiede müssen nämlich in den Örtern, die etwa in der Mitte
zwischen dem Perigeum E und den Punkten Z oder H lie-

15 gen, ihr Maximum erreichen, weil in den genannten Punk-
ten (E, Z und H) die Örter (des Planeten in Länge) unter-
schiedslos dieselben sind wie diejenigen, welche abgesehen
von den Neigungswinkeln (des Epizykels) eintreten.*^
So sei denn E0 als ein Bogen von wie gesagt 45^ ab-

20 getragen. Man fälle auf BE das Lot 0K, auf die Ebene
der Ekliptik die Lote KA und 0M und ziehe die Verbin-
dungslinien 0B, AM, AM, A0. Daß AK0M ein Paralle-
logramm, und zwar ein rechtwinkliges ist, dürfte ohne wei-
teres klar sein, weil K0 (nach Zeile 2) parallel zur Ebene

25 der Ekliptik ist, ebenso klar, daß ^ AAM die Prosthaphä-
resis in Länge^) und /.0AM den Ort in Breite mißt,

a) Weil, wenn der Epizykel in den Knotenpunkten steht, die
örter des Planeten an den Endpunkten des Durchmessers ZH
direkt in der Ebene der Ekliptik liegen, während die Projektion
des im Perigeum E in der Ebene des Neigungswinkels liegenden
Ortes auf die Schnittlinie ABT fällt.

b) Der auf die Ebene der Ekliptik projizierte Ort M des
Planeten in 0 muß, in Länge in der Ekliptik gemessen, vor
dem Epizykelmittelpunkt, d. i. vor dem Knoten liegen, wogegen
er, wenn 0 auf dem Quadranten EZ angenommen wird, nach
dem Knoten liegt. Ein Bedenken gegen die Wahl des Punktes 0
auf dem Epizykelquadranten EH wird zu S. 346, 26 geäußert.

Erklärung der Tabellen. 345

während Z.AAM und Z. AM0 ebenfalls Becbte sind, weil
auch die Gerade AM in der Ekliptik liegen muß.*)

Nun soll der Nachweis geführt werden, auf welchen zah-
lenmäßigen Betrag die in Frage stehenden Örter (in Breite
und in Länge) für jeden der obengenannten Planeten sich 5
belaufen, und zwar zuerst für

A« Die Venus.
1. Da der Bogen E0 45° mißt, wie der Epizykel 360
Grade hat, so ist als Zentriwinkel des Epizykels Hei 546

/.EB0 = 45<> wie"4E = 3600, 10

= 90" wie ^22 = 360";

mithin! J^I^^Uo" wie.eBK0 = 36O«, Ha 385

[ ,oKt) = j

*i^°| ,Ik0=1

84''62' vieÄ 60 = 120".

15

Setzt man den Epizykelhalbmesser B0 gleich 43^10' in
dem Maße, in welchem die mittlere Entfernung AB 60^ be-
trägt, weil in dieser Entfernung (im Knoten) gerade der
größte Neigungswinkel des Epizykels eintritt,

so wird BK und K0 = 30^32' in diesem Maße. 20

Ferner ist, weil (S. 336, 18) als Neigungswinkel (des Epi-
zykels) gegeben,

/.ABE= 2''30' wie 4jR = 360^
= 6<>0' wie 3R = S&0'^;

a) Weil sie von dem Mittelpunkt der Ekliptik nach" dem
(nach S 344,2i) in der Ebene der Ekliptik liegenden Punkt M ge-
zogen ist. Zur Unterstützung der Vorstellung der Figur ist
schon bemerkt, daß man sich den Durchmesser Z H rechtwinklig
zur Schnittlinie AB (s. S. 344, i) zu denken hat; daher [_ AAM
= 1B. Der Endpunkt P der Schnittlinie AB liegt natürlich
über oder unter der Ebene des Epizykels, je nachdem man sich
das Perigeum E unter oder über der Ebene der Ekliptik vor-
stellt, was für den Verlauf des Beweisgangs gleichgültig ist.

346

Dreizehntes Bucli. Viertes Kapitel.

5

Hei 547

10

also

Setzt man
so wird

mithin

(Nun ist
mithin

Setzt man
so wird

wie;iBK = 120P.

sAK= 5^14'
,sBA = 119^53'

BK= 30^32' wie AB = 60^
AK= 1^20' und BA=30i'30
AA = AB-BA = 29P30'
AM=K0 =30^32'

in demselben Maße.

AA2-f AM* = AM2)
hAM= 42^27' in demselben Maße.

7iAM = 120P,
sAM= 86^19'

in diesem Maße,

folglich /.A AM = 92" 0' wie^i? = 360^

= 46° 0' wie iE = 360°.

Hiermit ist der Winkel der im vorliegenden Falle ein-
tretenden Prosthaphäresis in Länge gefunden.

2. Es ist, weil 0M (im Parallelogramm) gleich AK, auch

0M = lP2O' wie AM -42^27'. (s. Z. 4. 8)

Nun ist AM2-f0M^ = A0S
mithin 7iA0= 42^^29' in demselben Maße.

Setzt man hAQ = 120^,

so wird s0M= 3^46' in diesem Maße,

folglich ^0AM= 3° 36' wie5i? = 360°,

= 1H8' wie 4E = 360°.

Hiermit ist der Winkel der Abweichung in Breite
gefunden. Diesen Betrag werden wir in der dritten Spalte
25 der Tabelle der Venus in die Zeile mit der Argumentzahl
1 350 (d. i. 1 80^ - 45<^) setzen.^)

3. Um den Unterschied kenntlich zu machen, welcher bei
der Prosthaphäresis in Länge eintritt, sei die ähnliche Figur

15

Hä 386

20

a) Weil die Entfernung 45° von dem Perigeum E ab gerech-
net war. Genau genommen gehört der Betrag zu der Argu-
mentzahl (180° -f 45°=) 225, weil der Planet vom Apogeum A
über Z nach 0 gelaufen ist, daher bereits 45° über das Peri-
geum des Epizykels hinaus ist.

Erklärung der Tabellen.

347

vorgelegt, nur daß sie den Epi-
zykel ohne Neigungswinkel zeigt.
Es ist, wie oben (S. 345, 20) nach-
gewiesen,

BK und KG = 30^32'
wie AB = 60P,
mithin AK = AB - BK = 29^28'
in demselben Maße.
Nun ist AKHK0* = A02,
mithin äA0 = 42^26'

in demselben Maße.

Setzt man hkQ = 120^,
so wird sK0= 86^21',
folglich /, 0AK = 92O3'

wie 2B = SeO\

= 46<'2'
wie 4i2 = 360«.

Hei 548

10

Das ist der Winkel der Prosthaphäresis in Länge, welcher
oben bei der (Annahme größter) Neigung (des Epizykels)
in demselben Maße mit 46° nachgewiesen worden war. Folg- 15
lieh ist die Prosthaphäresis in Länge infolge der Neigung
des Epizykels nur um 0^2' kleiner ausgefallen. Dies sollte
gefunden werden. t'

B. Der Merkur.
Um auch die für den Merkur sich
ergebenden Örter (in Länge und in
Breite) nachzuweisen, sei die ähn-
liche Figur wie die vorletzte vor-
gelegt, an welcher der Bogen E0
wieder zu 45^ in demselben Maße
(wie oben S. 345, 8) angenommen
sein soll. Mithin ist wieder (wie
S. 345,14.15)

BK und K0 = 84^52'

wie 7iB0 = 12OP.

Ha 387

348 Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

Hei 549 Setzt man den Epizykelhalbmesser B0 gleich 22^30' in
dem Maße, in welchem A B, d. i. die Entfernung, in welcher
(in den Knotenpunkten) die größten Neigungswinkel ein-
treten, 56^40' beträgt — dies alles ist früher (vgl. S. 328, 7)
5 von uns bewiesen*) —

so wird BK und K0 = 15^55' in diesem Maße.

Ferner ist, weil (S. 337, 3) als Neigungswinkel des Epi-
zykels gegeben,

/_ABE= 6"15' wie 4JR = 360^
10 = 12^30' wie ^JS = 360°;

15 Setzt man BK= 16^55' wie AB = 56^40',

so wird AK= 1^44' und BA = 15^49';

( AA = AB -BA = 40^51',

^^*^^^| AM = KO =15^55'. (s.Z. 6)

Hei 550 Nun ist AA»-f AM2 = AM2,

20 mithin äAIV\= 43^50' wie AM = 15^55'.

Setzt man äAM = 120^,

so wird sAM= 43^34' in diesem Maße,

folglich /_AAM= 42*34' wie<0i2 = 36O^

= 21" 17' wie 4E = 360^

25 Hiermit ist der Winkel der Prosthaphäresis in Länge
gefunden.
Ha 388 2. Es ist, wcil 0M (im Parallelogramm) gleich AK, auch

GM = 1^44' wie AM = 43^50'. (b. Z. 16. 20)

a) Die Entfernung in den Knotenpunkten ist für den Mer-
kur nirgends direkt nachgewiesen. Die Methode der Berech-
nung ergibt sich aus dem Nachweis der Entfernung in größter
Erdnähe, die (nach S. 146,12) bei 120° Entfernung vom Apogeum,
das mit dem südlichen Grenzpunkt zusammenfällt, 55^34' be-
trägt. Die Größe des Halbmessers B0 ist S. 144, i5 nachgewiesen.

Erklärung der Tabellen.

349

Nun ist AMH0'^^ = A0',
mithin h^Q= 43^52' in demselben Maße.

Setzt man /iA0 = 12OP,
so wird s0M= 4^44'
folglich ^0AM= 4"' 32'
== 2*>16'

in diesem Maße,
wie 2B==S60\
wie 4J? = 360°.

Hiermit ist der Winkel der Ab-
weichung in Breite gefunden.
Diesen Betrag werden wir in der
dritten Spalte der Tabelle des Mer-
kur in dieselbe Zeile (wie bei der
Venus), d. h. in die Zeile mit der ^
Argumentzahl 135^ setzen.

3. Um wieder die Vergleichung
der Prosthaphäresis (in Länge) zu
ermöglichen, sei wieder die Figur
ohne den Neigungswinkel (des
Epizykels) vorgelegt. Wie oben
(S. 348, 6) nachgewiesen, ist

BK und K0 = 15^55'
wie AB = 56^40',
mithin A K = A B - B K = 40^ 45' in demselben Maße.

Nun ist AKHK0' = A0«,
mithin hkQ= 43^45' wie K0 = 15^55'.

Setzt man /^ A 0 = 120^,

so wird sK0= 43^39' in diesem Maße,

folglich /.0AK= 42H0' wie 5jR"= 360°,

= 210 20' wie 4i2 = 360«.

Das ist der Winkel der Prosthaphäresis in Länge, wel-
cher oben bei der (Annahme größter) Neigung (des Epi-
zykels) in demselben Maße mit 21^17' nachgewiesen wor- 30
den war. Folglich ist auch hier die Prosthaphäresis in Länge
infolge der Neigung des Epizykels nur um 0°3' kleiner Ha 389
ausgefallen. Dies sollte gefunden werden.

26

350

Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

Somit hätten wir bei diesen beiden Planeten auf dem vor-
stehend beschriebenen Wege die bei den größten Neigungs-
winkeln eintretenden Örter in Breite ermittelt, weil diese
(Neigungswinkel) zustande kommen, wenn der Exzenter in
derselben Ebene wie die Ekliptik liegt.*^

sZur Erklärung der dritten und vierten Spalte der Tabellen
des Saturn, Jupiter und Mars.
Hei 552 Bei den drei übrigen Planeten ermitteln wir dagegen diese
Örter mit Hilfe eines theoretischen Beweisverfahrens, wel-
10 ches einer anderen Figur bedarf, weil bei den größten Nei-
gungswinkeln der Exzenter zugleich auch (S. 326, 19) die
größten Neigungswinkel der Epizjklen eintreten und es sich
empfehlen dürfte, die aus beiden Neigungswinkeln zusam-
men sich ergebenden Örter in Breite in die Berechnung mit-
15 eingeschlossen zu erhalten.

Es sei wieder in der zur Ebene
der Ekliptik senkrecht stehenden
Ebene (in welcher die Neigungswin-
kel liegen) AB die gemeinsameSchnitt-
linie mit der Ebene der Ekliptik und
ATE die gemeinsame Schnittlinie
mit der Ebene des Epizykels; A sei
als der Mittelpunkt der Ekliptik an-
genommen und r als der des Epi-
zykels. Um r sei der Epizykel AZEH
wieder so beschrieben, daß von den
rechtwinklig zu AE gezogenen Ge-
raden (wie ZH und K0) nur der
Durchmesser Z PH in der Ebene des
Exzenters liege und parallel sei
zu der Ebene der Ekliptik, während
die übrigen Geraden (wie K0) zu beiden genannten
Ebenen parallel sind.

20

25

30

a) Infolgedessen hängt die Größe der Breite lediglich von
der Neigung des Epizykels ab.

Erklärung der Tabellen. 351

Es sei in gleicher Weise (wie bisher, von dem Perigeum
E aus) der Bogen E0 abgetragen, welcher in demselben
Maße (wie S. 345, 8) zu 45^ angenommen sein soll. Man
fälle von Punkt 0 aus, wo der Planet steht, (auf den Durch-
messer A E) das Lot 0 K, ferner von den Punkten 0 und K Hei 553
auf die Ebene der Ekliptik die Lote KB, 0A und ziehe die Ha 39o
Verbindungslinien BA, AA. 7

Es sei die Aufgabe gestellt, sowohl die durch den Win-
kel BAA gemessene Prosthaphäresis in Länge zu fin-
den, als auch den durch den Winkel 0AA gemessenen Ort 10
in Breite. Man fälle nun noch von K auf AT das Lot KM
und ziehe die Verbindungslinien r0, AK, A0.*)

A- Der Saturn.
Es ist (S. 246,32) nachgewiesen worden, daß der Halb-
messer (r0) des Epizykels gleich 6^30' in dem Maße ist, 15
in welchem die mittlere Entfernung (d. i. der Halbmesser
des Exzenters) 60^ beträgt. Es soll zunächst wieder davon
ausgegangen werden, daß, wie oben (S. 345, 14. 15 in dem ent-
sprechenden Dreieck) nachgewiesen,

TK und K0 = 84^52' wie /i TG = 120^. 20

Setzt man TG = 6^30' als ephm,

so wird TK und KG = 4^36' in diesem Maße.

Ferner ist, weil (S. 341,25) als Neigungswinkel des Epi-
zykels gegeben,

/,ArE= 4*30' wie4JS = 360^ 25

= 9^0' wie ^22 = 360^

f sKM= 9^25'! . .rw ioaP

alsoi « } wie nrK = 120^.

^'^^\ ,s TM = 119^38'! 30

Setzt man TK = 4^36', (s. Z. 22) Hei 554

so wird KM= 0^22' und TM = 4^ 36'.

a) Der hier im griechischen Text folgende Satz ist Z. 17—20
eingeschoben worden.

352

Dreizelintes Buch. Viertes Kapitel.

Ha 391

10

1. Beweis für den erdferneren Halbkreis (Spalte 3). Bei
dem größten Neigungswinkel auf dem erdferneren Halb-
kreise beläuft sich die Strecke AT, d. i. die Entfernung am
Anfang der Scheren'^^ nach den früher (S. 257,18) bei den
5 Anomalien durchgeführten theoretischen Beweismethoden auf
62^10'. Demnach ist

AM = Ar-rM = 57P35' wie KfA = 6^22\
mithin auch hkK= 57^35' (weil unbetr. > AM).

ÄAK = 120P,

sKM= 0^46' in diesem Maße,
0'»44' wie 3B = SQ0\

16

Hei 555
21

25

Setzt man

so wird

mithin

/.KAM
Ferner ist /.BAT

folglich
mithin

also

/.BAK =

6KB =

,&AB = 174n6'

sKB= 6^0
.sAB = 119P51

2^30' wie 4E = 360<> als Neigungs-
winkel des Exzenters, (S. 341, 21)
5°0' wie 5jR = 360^
5*^44' als Summe beider;
5« 44'

360*

wie © KBA
'.1 wie ÄAK = 120P.

Setzt man
so wird

Da nun
so ist auch

Nun ist
mithin

Da ebenso
so ist auch

Nun ist
mithin

AK= 57P35', (s. Z. 8)

KB= 2^53' und AB = 57^31'.

K0 = B A, (im Parallelogramm)
BA= 4^36' in demselben Maße.

AB«-^-BA» = AA^
hk^= 57^42' in demselben Maße.

G A = K B, (im Parallelogramm)
0A = 2P53' (wie AA = 57^42').

AA2 + 0A2 = A0',
h^e= 57P46' in demselben Maße.

a) Das Apogeum des Saturn lag zur Zeit des Ptolemäus
(S. 242, 27: 136 n.Chr.) in itl 23^ wo die größte Entfernung
(S. 256, 5) 63P 25' beträgt, während der nördliche Grenzpunkt,
der hier in Betracht kommt, genau 53" rückwärts (nach S. 326,si)
am Anfang der Scheren lag. Vgl. Anm. 21.

Erklärung der Tabellen.

353

Setzt man hAQ = 120^,
so wird s0A= 5^59'
folglich /.0AA= 5U4'
= 2« 52'

in diesem Maße,
wie 2Il = 360\
wie 4R = S60\

Hiermit ist der Winkel der Abweichung in Breite 5
gefunden. Diesen Betrag werden wir in die dritte Spalte
der Tabelle des Saturn zu 135^ setzen. Ha 392

2. Beweis für den erdnäheren Halbkreis (Spalte 4). Bei
dem größten Neigungswinkel auf dem erdnäheren Halbkreis
beläuft sich die Strecke A f, d. i. die Entfernung am Anfang 10
des Widders, auf 57^40' (vgl. S. 352,3) in dem Maße, in
welchem oben (S.351, 32) KM mit 0^22' und TM mit 4^35'
nachgewiesen worden ist. Demnach ist

A M = A r - TM = 53P 5' in demselben Maße,
mithin auch h^K= 53^ 5', weil unbetr. > AM.

/iAK = 120P,

15

Setzt man

so wird

mithin

sKM =
/.KAM =

Nun war ^ B A f =
folglich /,BAK =
6KB =

0^50'
0»48'

mithin

,.(

:i

also^

Setzt man
so wird

Nun war

ferner ist
mithin

Setzt man
so wird
folglich

50 0'

5°48'

5<'48'

,& AB = 174^2

sKB= 6P 4'

,s AB = 119^51'

AK= 53P 5',
KB= 2^41'

BA= 4P36'

in diesem Maße,
wie^i2 = 360«.

wie5E = 360^
als Summe:

(S. 352, 13)

Hei 556

20

wie ©KBA = 360«,

wie /iAK = 120P.

und A B = 53P 1'

25

in demselben Maße

nachgewiesen, (S. 352, 22)
AB24-BA« = AA',
hAA= 53^13' in demselben Maße.

ÄAA = 120P,
sBA= 10^23'
/.BAA= 9«56'
= 4^58'
Ptolemäus, übers, v. Manitius. II.

30

in diesem Maße,
wie 2B = 3Q0\
wie 422 = 360^

Ha 393

23

354

Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

Hiermit ist der Winkel der Prosthaphäresis in Länge
gefunden.*^

Da ferner
so ist auch

Hei 557

10

Nun ist

mithin

Setzt man

so wird

15

20

25

0 A = K B, (im Parallelogramm)

0A = 2P41' wie AA = 53Pl3'. (S. 353, 26. 29)

AAHÖ^^ = A0^

hAQ= 53^17' in demselben Maße.
7iA0 = 12OP,

s 0 A = 6^ 3' in diesem Maße,
folglich /. 0AA= 5°46' wie5E = 360^
= 2^53' wie 472 = 360^

Hiermit ist der Winkel der Ab-
weichung in Breite gefunden.
Diesen Betrag werden wir in die
vierte Spalte der Tabelle zu 135^
setzen.

3. Um nun auch die Vergleichung
der Prosthaphäresisbeträge in Länge
bei dem Neigungswinkel in größe-
rer Erdnähe zu ermöglichen, sei
wieder die Figur ohne den Neigungs-
winkel gezeichnet. In dem Maße,
in welchem die Strecke A f der dies-
falls geltenden Entfernung 57^40'
beträgt, ist TK und K0 (nach S.
351,22) mit 4^36' gegeben. Dem-
nach ist

AK = Ar-rK = 53P4'.

AK*-1-K0* = A0M

'iA0= 53^16' in demselben Maße.

Nun ist
mithin

a) Die Prosthaphäresis in Länge wird nur für die größere
Erdnähe nachgewiesen, weil das Maximum des Unterschieds
gegen die Prosthaphäresis in Länge bei Fehlen des Neigungs-
winkels festgestellt werden soll.

Erklärung der Tabellen.

355

Setzt man äA0 = 12OP,

so wird sK0= 10^22' in diesem Maße,
folglich L0AK= 9054' wie<2i2 = 360^
= 4" 57' wie4i^ = 360».
Das ist der Winkel der Prosthaphäresis in Länge,
welcher (oben S. 353,33) bei den Neigungswinkeln in dem-
selben Maße mit 4^58' nachgewiesen worden war. Folglich
ist infolge der beiden Neigungswin-
kel (des Exzenters und des Epizjkels)
zusammen die Prosthaphäresis in
Länge nur um O^l' größer ausge-
fallen. Dies sollte gefunden werden.

B. Der Jupiter.
Es sei die Figur mit den Neigungs-
winkeln in den für den Jupiter (S.
255, 32) nachgewiesenen Verhältnis-
sen vorgelegt. Demnach beträgt in
dem Maße, in welchem der Halb-
messer r0 des Epizykels gleich ll'^
30' ist, PK und K0 SPS'.*^) Nun ist
(S. 341,26) als der Neigungswinkel
des Epizykels

LArE= 2«30'

= ö'^ 0'

' 6KM= 5« 0'

,6 TM = 175« 0'

sKM= 5^14'

,sriV\-159P53'

1. Beweis für den erdferneren Halbkreis. Hier beträgt
(bei dem größten Neigungswinkel) die Strecke Af, d. i. die 30
Entfernung am Anfang der Scheren^), 62^30'.

a) Im Verhältnis zum Saturn (S. 351, 22) nach der Proportion
6P30':llP30' = 4P36':iC.

b) Das Apogeum liegt bei dem Jupiter in 11p 11*^ (S. 219, 21),
wo die größte Entfernung (S. 256,6) 62^45' beträgt, während
der nördliche Grenzpunkt (nach S. 326, 31) 19** weiter vorwärts
am Anfang der Scheren liegt.

23*

Hei 558

Ha 394

mithin
also

wie 4i2 = 360",
wie 5i? = 360^

wie ©KMr=360",
wie ÄrK = 120P.

Hei 559

356

Dreizehntes Bucli. Viertes Kapitel.

395
11

15

Setzt man rK = 8P 8' in diesem Maße,

so wird KM = 0^21' und TM = 8^8',

mithin A M = A T — TM = 54^ 22' in demselben Maße,

mithin auch 7i AK = 54^ 22', weil unbetr. > A M.

Setzt man hkK = 120^,

so wird s K M = 0^ 46' in diesem Maße,
mithin/, KAM = 0^4.' wie5E = 360<>.

Nun ist, weil (S. 341, 2l) als Neigungswinkel des Exzen-
ters gegeben,

/.BAr= 1»30' wie 4B = ZQO\
= 3" 0' wie ^-R = 360^
folglich /,BAK= 3<'44' als Summe,

also

Setzt man
so wird

Da nun

Hei 560 SO ist aUch

21

25

30

3^54'!
19^56')

wieÄAK = 120P.

sKB =

,s AB = 119^56'

54^22',
1^46' und AB = 54^20'.

AK
KB

Ferner ist
mithin

Ebenso ist

Nun ist
mithin

BA = K0, (im Parallelogramm)

B A = 8^8' in demselben Maße. (S. 355, 20)

ABHBA» = AA2,
/iAA = 54^56' in demselben Maße.

0 A (= K B im Parallelogramm)
= 1^46' (wie AA = 54^56').

AA2-f 0A2 = A0^
/iA0-54P58' in demselben Maße.

Setzt man hkQ = 120^,

so wird s0A= 3^52' in diesem Maße,

folglich /,0AA= 3H2' wie <2 22 = 360«,

= 1051' wie 4B = 360\

Hiermit ist der Winkel der Abweichung in Breite
gefunden. Diesen Betrag werden wir in die dritte Spalte
der Tabelle des Jupiter zu 135" setzen.

Erklärung der Tabellen. 357

2. Beweis für den erdnaheren Halbkreis. Es beträgt (bei
dem größten Neigungswinkel) die Strecke A f, d. i. die Ent-
fernung am Anfang des Widders, 57^30' in dem Maße, in
welchem wir (S.356,2) KM = 0^21' und TM = 8^8' nach-
gewiesen haben. Demnach ist 5

AM = Ar-rM = 49P22',
mithin auch h'AK= 49^22', weil unbetr. > AM. Ha 396

Setzt man h AK = 120^,

so wird sKM= 0^51' in diesem Maße,
mithin /_KAM= 0U9' wie 2B = 360''. 10

(Nun war /,BAr= 3« 0' wie <8i? = 360<»)
folglich /,BAK= 3^49' als Summe;

mithin! f"^^^ ^"^^'1 wie eKBA = 360^
i ,6 AB = 176" 11']

also f * I^ ^ ^ ^y[]wiehAK = 120^. ^^' 56i

[ ,s AB = 119^56'] 16

Setzt man AK= 49^22',

so wird KB= 1^39' und AB = 49^20'.

Nun ist auch BA(=K0 im Parallelogramm)

= 8^8' (wie AB = 49^20'). 20

Ferner ist A E^ -f- B A^ = A A^,

mithin 7iAA= 50^ in demselben Maße.

Setzt man /iAA = 120P,

so wird sBA= 19^31' in diesem Maße,

folglich /.BAA= 18*44' wie^i2 = 360», 25

= 9<^22' wie 4i2 = 360r

Hiermit ist der Winkel der Prosthaphäresis in Länge
gefunden.

Es ist ferner 0A(=KB im Parallelogramm)

= 1^39' wie AA = 50P. ^0

Nun ist AA2-f0A2 = A02,
mithin hAQ= 50^ 2' in demselben Maße.

358

Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

Setzt man hAQ = 120^\
so wird s0A= 3^57'
folglich /.0AA= 3U5'

Ha 397
10

Hei 56i

15

20

in diesem Maße,
wie <8J^ = 360°,
wie 4/2 = 360».

1

r \

V K

\j

E /

Hiermit ist der Winkel des Ab-
standes in Breite gefunden. Die-
sen Betrag werden wir in die vierte
Spalte der Tabelle zu 135^ setzen.

3. Zur Vergleichung der Prosth-
aphäresisbeträge in Länge sei die
Figur ohne die Neigungswinkel vor-
gelegt. Bei der (zuletzt) vorgeleg-
ten Entfernung ist (S. 357,2)

Ar = 57^30' wie PK und
K0 = 8P8',(S.356,2O)
mithin AK = AT- rK = 49^22'.

Nun ist AK«-f-K02 = A02,
mithin 7jA0 = 50^2'

in demselben Maße.

so wird sK0

folglich L0AK = 18°42'

= 9<'21'

Setztman /» A0 = 120^,
19^30' in diesem Maße,

wie 2B = 3f^0^
wie 4i? = 360^

Das ist der Winkel der Prosthaphäresis in Läage,
welcher oben (S. 357, 26) bei den Neigungswinkeln in dem-
selben Maße mit 9^22' nachgewiesen worden war. Folglich
25 ist wieder infolge der beiden Neigungswinkel (des Exzen-
ters und des Epizykels) zusammen die Prosthaphäresis in
Länge nur um O^l' größer ausgefallen. Dies zu finden
war als Aufgabe gestellt.

C. Der Mars.
30 Es sei zuerst die Figur mit den Neigungswinkeln vor-
gelegt. Es läßt sich wieder berechnen, daß in dem Maße,

Erklärung der Tabellen.

359

in welchem (S. 255, 83) der Halb-
messer r0 des Epizykels 39^30'
beträgt, jede der beiden Geraden
TK und K0 gleich 27^56' ist.*^
Als der Neigungswinkel des Epi-
zykels ist (S. 340, ö) gegeben

i^^E = 2nb'

wie 4J? = 360^
= 40 30'

wie 2E = S60'>;
6KM= 4«30'|
,&rM = 175°30'|

wie ©KMr = 360»,

sKM= 4^43'!
,s TM = 119^54')

wie hrK = I20P.

mithin

also

1. Beweis für den erdferne-
ren Halbkreis. Hier beträgt A f
als die Strecke der größten Entfernung^) 66^.

Setzt man rK = 27^56' in diesem Maße,

so wird KM= 1^ 6' und TM = 27^54',

mithin A M = A T - TM = 38^ 6'.

(Nun ist A MH K M2 = A K2)
mithin hAK= 38^ 7' in demselben Maße.

Setzt man
so wird
mithin ^KAM

Nun war /_ BAT

/iAK = 120^
sKM= 3P28'

3^9'
1^ 0'

in diesem Maße,
wie 5E = 360*>.

15

20

= 2°

wie 4E = 360® als Neigungs- Hei 564
Winkel des Exzenters, (S. 340, 1)
0' wie 2B = d60\ 25

a) Im Verhältnis zum Jupiter (S. 355, 19) nach der Proportion
11P30': 39P30' =8P8' :flJ.

b) Das Apogeum liegt bei dem Mars in Q 25*^30', der nörd-
liche Grenzpunkt (S. 326, 32) am Ende des Krebses, so daß die
größte Entfernung (S. 256, 7) nicht wesentlich verändert wird.

360

Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

10

15

Ha 399

folglich
mithin j

also)

Setzt man
so wird

Nun ist auch

Ferner ist
mithin

Ebenso ist

Ferner ist
mithin

Z.BAK= 5»19'
feKB= 5^9'
,&AB = 174U1'

sKB= 5P34
,s AB = 119^52

AK= 38^ 7',

KB= 1^46' und AB

si

als Summe beider,
wie ©KBA = 360^

wie /iAK = 120P.

38^]

BA(=K0 im Parallelogramm)
= 27^56' (wie AB = 38^5').

AB2-{-BA2=AA2,
7iAA = 47^14' in demselben Maße.

0 A (= K B im Parallelogramm)
= 1^46' (wie AA = 47^14').
AA« + ÖA2 = A0«,
hAQ= 47^16' in demselben Maße.

Setzt man /i A 0 = 120^

so wird s0A== 4^29' in diesem Maße,

folglich £. 0 A A = 4° 18' wie 2R = 360«,

= 2° 9' wie 4E = 360<>.

20

Hiermit ist der Winkel des Abstandes in Breite ge-
funden. Diesen Betrag werden wir in die dritte Spalte der
Tabelle des Mars zu 135® setzen.

2. Beweis für den erdnäheren Halbkreis. Hier beträgt
bei den in der kleinsten Entfernung eintretenden Neigungs-
25 winkeln die Strecke AT (S. 256, 13) 54^ in dem Maße, in
Hei565 welchem (S. 359, 17) KM mit 1^6' und TM mit 27^54' nach-
gewiesen wurde. Demnach ist

AM = Ar-rM = 26P6'.

30

(Nun ist
mithin

Setzt man
so wird

AM2+KM2 = AK2)
/iAK= 26^ 7' in demselben Maße.

7iAK = 120P,
sKM= 5P 3'
mithin ilKAM= 4U9'

in diesem Maße,
wie 5J? = 360^

Erklärung der Tabellen.

361

(Nun war ,

/.BAr= 2° 0' wie ^i^ = 360°)

folglich ^

/, BAK= 6° 49' als Summe,

mithin

,feAB = 173ni'J ^

also

sKB= 7P 8' ^.^ ;,AK = 120P.
,s AB = 119^47']

6

Setzt man

AK= 26P 7',

so wird

KB= 1^33' und AB = 26^4'.

im ist wieder

B A (= K 0 im Parallelogramm)

= 27^56' (wie AB = 26^4').

10

Ferner ist

ABHBA2 = AA2,

mithin

/iAA= 38^12' in demselben Maße.

Setzt man

h^^ = 120^,

so wird

sBA= 87^45' in diesem Maße,

folglich /.BAA= 94° 0' wie^JJ = 360»,

Ha 400

= 47° 0' wie 4B = 3&0\

16

Hiermit ist der Winkel der Prosthaphäresis in Länge
gefunden.

Es ist ferner

Nun ist
mithin

0A(=KB im Parallelogramm)
= 1^33' wie AA== 38^12'.

AAH0A2 = A0^
7iA0= 38^14' (wie 0A = 1^33').

Setzt man hAQ = 120^,

so wird s0A= 4^52' in diesem Maße,

folglich /_ 0 A A = 4° 40' wie ^ JK = 360°,

= 2° 20' wie 4jR = 360°.

20

Hei 566

25

Hiermit ist der Winkel des Abstandes in Breite ge-
funden. Diesen Betrag werden wir in die vierte Spalte der
Tabelle zu 135^ setzen.

3. Zur Vergleichung der Prosthaphäresis in Länge 30
legen wir wieder die Figur ohne die Neigungswinkel vor.
In der kleinsten Entfernung, in welcher der Unterschied am

362

Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

stärksten wahrnehmbar werden muß,
verhält sich*^ die Strecke AT zu jeder
der beiden Strecken PK und K0 wie
^54^:27^56'. Demnach ist

AK = Ar-rK = 26P4'.

(Nun ist
mithin

/iA0 = 38^12'

(wie K0 = 27^56').

Setzt man

/iA0 = 12OP,

so wird

sK0= 87^45'

in diesem Maße,

folglich i

0AK = 94«O'

wie 512 = 360°,

= 4700'

wie 4E = 360^

Das ist der Winkel der Prosthaphäresis in Länge.

Hei 567 Von genau derselben Größe war er (S. 361, 16) auch aus der

Berechnung bei den Neigungswinkeln hervorgegangen. Es

15 hat sich also bei dem Mars für die Prosthaphäresis in Länge

infolge der Neigungswinkel der Kreise gar kein Unterschied

herausgestellt. Dies sollte gefunden werden.

Zur Erklärung der vierten Spalte der beiden Tabellen

der Venus und des Merkur.

Ha 401 Die vierte Spalte dieser Tabellen wird die Örter in Breite

21 enthalten, die von den größten Schief ständen der Epi-

zyklen der Venus und des Merkur verursacht werden, welche

(S. 327, 19) in den Apogeen und den Perigeen der Exzenter

eintreten. Ermittelt worden sind indes die (durch diese

25 Schiefstände verursachten) Örter von uns nur an sich, d.h.

ohne Berücksichtigung des Unterschieds, welcher infolge der

Neigungswinkel der Exzenter hinzutritt. Denn es hätten

a) Der sonst üblichen Ansdrucksweise entspricht: TK und
K 0 = 27p 56' wie Ar= 54p . Zur Feststellung der Größe von TK
und K0 ist S. 359, 4 zu vergleichen.

Erklärung- der Tabellen.

363

sich alsdann noch mehr Tabellen nötig gemacht, und die
Berechnung (nach diesen Tabellen) wäre nur noch kompli-
zierter geworden, weil die (Breiten der) Örter auf der Abend-
seite und der Morgenseite (der Epizyklen) ungleich groß
ausfallen und sich durchaus nicht (in allen Fällen) nach
derselben Seite (d. i. beiderseits nördlich oder beiderseits
südlich) der Ekliptik erstrecken müssen. Übrigens könnten
auch, da der Neigungswinkel der Exzenter nicht unverän-
dert bleibt, die Differenzen der Verminderungen, welche bei
den größten Neigungswinkeln (in den Knotenpunkten) ein-
treten, nicht im Einklang mit den Differenzen derjenigen
Verminderungen stehen, welche infolge der größten Schief-
stände (in den Apogeen und Pe-
rigeen der Exzenter) eintreten.
Wird jedoch der Unterschied ge-
trennt behandelt, so werden sich
die einzelnen Fälle von uns nach
einer bequemeren Methode dar-
stellen lassen, wie aus den Nach-
weisen selbst, die hier unmittel-
bar folgen, ersichtlich sein wird.
Es sei AB die gemeinsame
Schnittlinie der Ebenen der Eklip-
tik und des Epizykels; A sei an-
genommen als der Mittelpunkt der
Ekliptik, B als der Mittelpunkt
des Epizykels.*) Um letzteren be-
schreibe man den Epizykel TAEZH
schiefgestellt zur Ebene der Eklip-
tik, d. h. es sollen die in den (bei-
den) Ebenen rechtwinklig zu der
gemeinsamen Schnittlinie PH ge-

10

15

25

30

a) Demnach werden die Winkel des Schiefstandes, unabhän-
gig von den Entfernungen, in denen sie der Hypothese nach
wirklich eintreten, nach dem Verhältnis der mittleren Ent-
fernung {v.axä xbv IIS60V Xoyov) betrachtet, nach welchem schon
bisher (S.335,2i.3i) der Gesichtswinkel EAN = 2%^ aufgefaßt wurde.

364 Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

zogenen Geraden alle (Neigungs-) Winkel, welche in den

Punkten der Schnittlinie selbst gebildet werden, gleichgroß

Ha 402 machen. Alsdann ziehe man die Tangente AE an den Epi-

zykel und die ihn schneidende Gerade AZA in beliebiger

5 Lage, fälle (in der Ebene des Epizykels) von den Punkten

A, E, Z die Lote A0, E K, ZA auf die Schnittlinie FH, auf

Hei 569 die Ebene der Ekliptik aber die Lote AM, EN, ZZ und

ziehe die Verbindungslinien 0M, KN, AE und außerdem

AN und AHM. Eine Gerade ist AEM deshalb, weil die

10 drei Punkte in zwei Ebenen liegen, sowohl in der Ebene

der Ekliptik, als auch in der durch AZA gelegten, welche

zu der Ebene der Ekliptik senkrecht steht.

Daß bei dem angenommenen Schiefstand die Winkel
0AM und KAN die Prosthaphäresis des Planeten in Länge*)
15 und die Winkel AAM und EAN die Prosthaphäresis in
Breite^^ messen, ist klar.

Es soll zuerst der Beweis geführt werden, daß der im
Berührungspunkte (E) gebildete Winkel EAN des Ortes in
Breite größer ist als alle anderen, gerade wie auch die Prosth-
20 aphäresis in Länge (d. i. /.KAN).

A. Da /, EAK größer ist als alle anderen, so ist
f 0A:AA.

2^ Nun ist KE : EN = { ^2 .'zZ } '^^^^^^ ^^- ^^

Denn die auf die beschriebene Weise gebildeten Dreiecke
sind alle, wie (Z. l) angedeutet, gleichwinklig und die Win-
kel AM0, ENK und ZEA Rechte. Folglich ist

a) Der in der Ebene der Ekliptik liegende /.KAN mißt die
Entfernung des in N auf die Ekliptik projizierten Planeten-
ortes E. Siehe die von mir beigegebene Figur.

b) Der in der zur Ekliptik senkrechten Ebene liegende /. EAN
mißt je nach dem Schiefstand des Epizykels die Breite des
Planetenortes E über oder unter der Ekliptik, d. i, den Schief-
stand an und für sich (S. 362, 25). Prosthaphäresis wird er ge-
nannt, weil er die Breite, die eventuell durch die Neigung des
Exzenters verursacht wird, vermehrt oder vermindert.

Erklärung der Tabellen.

365

EN:EA>

AM:AA.
Z= :ZA.

Nun sind ferner die Winkel AMA, E NA und Z ZA Rechte ; Hei 570
folglich ist/.EAN>Z.AAM und selbstverständlich auch Ha 403
größer als alle auf dieselbeWeise Zustandekommen den Winkel. 5

B. Ohne weiteres ist klar, daß auch von den Unterschie-
den, welche bei den Prosthaphäresisbeträgen in Länge in-
folge des Schiefstandes entstehen, derjenige der größte ist,
welcher bei den in E liegenden Ortern größter Breite zum
Ausdruck kommt; denn gemessen ^ 10

werden diese Unterschiede von den
Winkeln, welche die Differenzen zwi-
schen den Geraden 0A und 0M, KE
und KN, AZ und AZ unterspannen.*)
Da aber für alle diese Geraden zu
ihren Differenzen dasselbe Verhältnis
bestehen bleibt, so folgt daraus, daß
auch die Differenz zwischen KE und
KN zu EA in einem größeren Ver-
hältnis steht als die Differenzen zwi-
schen den übrigen (wie zwischen 0A und 0M) zu den AA
entsprechenden Geraden. Ferner ist ohne weiteres klar, daß
in demselben Verhältnis, in welchem die größte Prosthaphä-
resis in Länge zum Ort der größten Breite steht, auch in
allen Abschnitten des Epizykels die jeweiligen Prosthaphä- 25
resisbeträge in Länge zu den Örtern in Breite stehen; denn
wie sich K E zu K N verhält, so verhalten sich auch alle die

15

20

a) Die von mir beigegebene Figur zeigt, daß die Prosthaphä-
resis in Länge bei normaler Lage des Quermessers des Epi-
zykels K E' ist, d. i. die in der Ebene des Epizykels zum Quer-
messer durch den Berührungspunkt der Tangente gezogene
Parallele, bei Schiefstand desselben aber KN. Der infolge des
Schiefstandes eintretende Unterschied ist also E'N, gemessen
von dem /. E'AN, welcher = /, E'AK — ^ N AK. Da aber der in-
folge der Schiefstellung des Quermessers um den Schenkel A K
gedrehte Gesichtswinkel gleichgroß bleibt, so ist der LFnterschied
der Prosthaphäresis in Länge = /.^AK — /, NAK.

366

Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

AZ und 0A entsprechenden Geraden zu den 2.=. und AM
entsprechenden. Dies zu beweisen war als Aufgabe gestellt.
Hei 571 Nachdem diese Erörterungen der Methode vorausgeschickt
sind, wollen wir zuerst sehen, wie hoch sich für jeden der
5 beiden Planeten der zahlenmäßige Betrag des Winkels stellt,
welcher von dem Schiefstand der Ebenen gebildet wird. Wir
legen hierbei nach den eingangs (S. 335, 19) besprochenen
Verhältnissen die Annahme zugrunde, daß an den Stellen,
die in der Mitte zwischen der größten und der kleinsten
10 Entfernung liegen*^ jeder dieser beiden Planeten im Maxi-
mum 5® nördlicher oder südlicher zu stehen kommt als in
den gegenüberliegenden Örtern auf dem Epizjkel. Denn
die Venus bewerkstelligt (S. 335, 23)
die im Perigeum und im Apogeum des
Exzenters eintretende Abweichung (von
der Normalen) mit unbeträchtlich mehr
(im Perigeum) oder weniger (im Apo-
geum) als diese 5^, während bei dem
Merkur dieses mehr oder weniger rund
Yg^ ausmacht.

Es sei wieder ABT die gemeinsame
Schnittlinie der Ekliptik und des Epi-
zykels. Nachdem man um Punkt B den
Epizykel TAE in der oben (S. 363,27)
näher angegebenen Weise zur Ebene
der Ekliptik schiefgestellt beschrieben,
ziehe man von dem Mittelpunkt A der
Ekliptik an den Epizykel die Tan-
gente AA, fälle von A aus auf den

a) Das würde für beide Planeten in den Knotenpunkten
sein, wo der Hypothese gemäß (s. die Figur zu Anm. 17) dieser
Schiefstand gerade nicht eintritt. Die gegen die Hypothese
gemachte Annahme, daß der Epizykelmittelpunkt B bei dem
Schiefstande in der Ebene der Ekliptik liege, dient lediglich da-
zu, den größten Winkel des Schiefstandes nur an si eh (S. 362, 25),
d. h. als reine Breite zur Ekliptik bei der mittleren Entfernung
(d. i. im Mittel) festzustellen.

Erklärung der Tabellen. 367

Durchmesser TBE das Lot AZ, auf die Ebene der Eklip-
tik aber das Lot AH und ziehe die Verbindungslinien BA,
ZH, AH. Angenommen sei, daß /. AAH von der mitgeteil-
ten Abweichung in Breite die Hälfte^^ messe, welche für
jeden der beiden Planeten 2^/^ wie 4i2 = 360® beträgt. Hei 572

Es soll die Aufgabe gestellt sein, den Größenbetrag des ^
Schiefstandes der beiden Ebenen zu finden, d. i. den zahlen-
mäßigen Betrag des L AZ H.

A. Für die Venus
beträgt (S.256,8) die größte Entfernung 61^15', (S. 256,14) 10
die kleinste 58^45', die mittlere 60^ in dem Maße, in wel-
chem der Halbmesser ihres Epizykels gleich 43^10' ist.

Demnach ist

«
1. AB:BA = 60P:43PlO'.b)

Nun ist AB2-BA2 = AA^ mithin AA = 41^40'. 15

Femer ist AB : A A = B A : AZ, (Eukl. VI, 4) Ha 405

mithin AZ = 29^58' in demselben Maße.

Der Annahme nach ist weiter

/.AAH= 2<'30' wieii^ = 360«,

= 5<> 0' wie 522 = 360°, 20

mithin ft A H = 5«] 0' wie e A H A = 360«, Hei 573

also sAH= 5^14' wie /iAA = 120P.

Setzt man AA= 41^40', (Z. 15)

so wird AH= 1^50' wie AZ = 29^58'.

Setzt man /iAZ = 120^, 25

so wird s A H = 7^ 20' in diesem Maße,

folglich /, AZH= 7° 0' wie5i^ = 360^

= 3<>30' wie4i2=360^

Hiermit ist der Winkel des Schiefstandes gefunden.

a) Zur Halbierung des Winkels von 5® s. S. 335, si.

b) Die bisher übliche Ausdrucksweise würde sein : BA = 43p 10'
wie AB = 60P.

368 Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

2. Da die Differenz der Winkel AAZ und ZAH den Unter-
schied der Prosthaphäresis in Länge mißt, welcher (infolge
des Schiefstandes) eintritt*^, so kann auch dieser (Unter-
schied) aus dem zu ermittelnden zahlenmäßigen Betrag die-
5 ser (beiden Winkel) ohne weiteres mitberechnet werden.
Nachgewiesen wurde (S. 367,24)

AZ = 29^58')

Nun ist AA2-AH2 = AH2 und AZ'- AH» = HZ«,
10 mithin AH= 41^37' und HZ = 29^51'.

Setzt man h AH = 120^,

so wird sHZ= 86^16' in diesem Maße,

folglich /, Z A H = 91 <> 56' wie 3B = 360^

= 45° 58' wie 4E = 360».

15 Setzt man aber gleicherweise

(nachdem AZ= 29^58' wie AA = 41^40' gefunden ist)

Heit?!! /iAA = 120P,

; so wird sAZ= 86^18' in diesem Maße,

folglich ^ A A Z = 91 ° 58' wie 3E = 360«,

20 = 45° 59' wie4E = 360°.

Es ist also infolge des Schiefstandes die Prosthaphäresis
in Länge nur um O^l' kleiner geworden.

B. Für den Merkur
wurde (S. 256, 9) in dem Maße, in welchem der Halbmesser
25 des Epizykels gleich 22^30' ist, die größte Entfernung mit
69^ nachgewiesen, während die diametral gegenübergelegene
Entfernung (60^ — 3^=) 57^ beträgt, woraus sich das Mit-
tel zwischen diesen beiden Entfernungen mit 63^ ergibt.
Demnach ist

a) Zu der Differenz /, AAZ — /, ZAH als Unterschied der
Prosthaphäresis s. S. 365 Anm. »)

Erklärung^ der Tabellen.

369

1.

AB :BA = 63^:22^30'.

Nun ist
mithin

AB*-BA2 = AA^
AA = 58^51'.

Ferner ist
mithin

AB: AA = BA:AZ,

(Eukl. VI. 4)
AZ = 2lPl'

in demselben Maße.

Der Annahme nach ist weiter

mithin

also

i AAH = 5» 0'

wie5E = 360«,
6AH = 5° 0'

wie e AHA = 360«,
SAH = 5^14'

wie /jAA = 120P.

Setzt man AA = 58^51',
so wird AH = 2^34'

wie AZ = 2lPl'.

Setzt man äAZ = 120P,

so wird 5AH= 14^40' in diesem Maße, ^

folglich /,AZH= 14° 0' wie ^E = 360^

= 7° 0' wie 4Ä = 360".

Hiermit ist der Winkel des Schiefstandes gefunden.

Hei 575

10

15

2. Um wieder die Vergleichung der Winkel der Prosth- Ha 407
aphäresis zu ermöglichen, hat man auszugehen von

AH= 2^34'
AZ = 2lP 1'

wie /iAA = 58^51'.

20

AA2-AH2 = AH2 und AZ«-AH«=HZ«,
AH= 58^47' und HZ = 20^53'.

Nun ist
mithin

Setzt man
so wird
folglich ^ZAH= 41 "38'

= 20» 49' wie 4J? = 360'>.

Ptolemäus, übers. V. Manitius. II.

/iAH = 120P,
sHZ= 42^38'

in diesem Maße,
wie ^i? = 360*,

25

24

370

Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

Hei 576
6

10

Setzt man aber gleicherweise

(nachdem AZ= 21^1' wieAA = 58P51' gefunden ist)
7iAA = 120P,
so wird sAZ= 42^50' in diesem Maße,
folglich /. AAZ= 41<>50' wie ^jR = 360^
= 20« 55' wie 4E = 360<».

Es ist also auch bei dem Merkur infolge des Schiefstan-
des die Prosthaphäresis in Länge nur um 0^6' kleiner ge-
worden.

Probe der Ergebnisse. Des weite-
ren wollen wir nun sehen, ob wir un-
ter Zugrundelegung der gewonnenen
zahlenmäßigen Beträge der Schiefstän-
de die in den größten und den klein-
sten Entfernungen*) sich ergebenden
Örter der größten Breite mit den aus
der Beobachtung (S. 327, 19) gewonne-
nen Beträgen in Einklang finden.

A. Für die Venus sei wieder dieselbe
Figur vorgelegt.

1. In der größten Entfernung (S.
367, lO) verhält sich

AB :BA = 61^15': 43^10'.

Nun ist
mithin

Ferner ist

AB2-BA» = AA2,
AA = 43^27'.

mithin

AB:AA = BA:AZ,

(Eukl. VI. 4)

AZ = 30^37' in demselben Maße.

Weiter ist, da der Winkel des Schiefstandes (S. 367, 27)
als gegeben angenommen wird.

a) D, h. bei dem Stande des Epizykels in dem Apogeum und
dem Perigeum des Exzenters, wo die Schiefstände der Hypo-
these gemäß eintreten.

Erklärung der Tabellen.

371

/,AZH= 7^0'

also sAH= 7^20'

Setzt man AZ= 30^37'

so wird

AH

1^52'

Setzt man ä A A = 120^,
so wird sAH= 5^ 9'
folglich /.AAH= 4« 54'
= 2«27'

wie ^J^ = 360^
wie ÄAZ = 120P.
wie AA = 43^27',
in demselben Maße.

in diesem Maße,
wie 2B = S60\
wie 4i2 = 360«.

Hei 577

Hiermit ist der Winkel des Maximums der Abweichung

in Breite gefunden. 10

2. In der kleinsten Entfernung (S. 367, ll) verhält sich

AB :BA = 58^45': 43^10'.

Nun ist AB2-BA2 = AA2, mithin AA = 39^51'.

Ferner ist AB : AA = BA : AZ,

mithin AZ = 29^17' in demselben Maße.

15

Der Annahme nach ist weiter

AZ: AH = 120^:7^20'.*)

Setzt man

A7= 29^17'

wie AA = 39^51',

so wird

AH= 1^47'

in demselben Maße.

Setzt man

ÄAA = 120P,

so wird

sAH= 5^22'

in|diesem Maße,

folglich

/.AAH- 5« 8'

wie 2R = SQ0\

= 2^34'

wie4jR = 360«.

20

Da im Mittel (S. 335, 3l) die Abweichung in Breite mit Hei 578
272° zugrunde gelegt ist, so ist demnach die Abweichung 25
um einen für die sinnliche Wahrnehmung nicht in Frage
kommenden Betrag im Apogeum (des Exzenters) kleiner
und im Perigeum größer geworden. Denn in der größten Ha 409
Entfernung ist die Breite nur um 0°3' kleiner und in der
kleinsten um 0°4' größer geworden. So kleine Beträge 30
beobachtungsgemäß sicherzustellen, wäre ganz unmöglich.

a) Die übliche Ausdrucks weise ist die oben Z. 2 angewen-
dete Nebeneinanderstellung.

24*

372

Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

B Für den Merkur sei wieder
1. die größte Entfernung (S. 368,25)
angenommen, d. h. es sei

AB :BA = 69^:22^30',

AA = 65^ 14' und AZ = 21^ 16'.

Die Berechnung letzterer Strecken
erfolgt auf demselben Wege wie oben
(bei der Venus). Weiter haben wir
auch hier den Winkel des Schiefstan-
des (S. 369,14) der Annahme nach als
gegeben mit

/.AZH

mithin

Setzt man

14" 0'

wie^JS = 360»,

s AH = 14^40'

wie /iAZ = 120P.

15

so wird

Setzt man

so wird

AH
ÄAA = 120P,
sAH= 4P47

AZ = 21^16'

wie AA = 65^14',
2^36' in demselben Maße.

Hei 579 folglich /, AAH =

4'» 34'
20 17'

in diesem Maße,
wie 2B = d60\
wie 4E = 360».

20 Hiermit ist der Winkel des Maximums der Abweichung
in Breite gefunden.

2. In der kleinsten Entfernung**^ ist wieder gegeben

AB :BA = 57^:22^30',

A A = 52^ 22' und A Z = 20^ 40',

berechnet wie oben.

25 Weil der Schiefstand derselbe ist (d. h. wieder 14^ wie
3B = 360° beträgt), so erhält man als gegeben wieder (vgl.
oben Z. 13) die Proportion

a) Es handelt sich nicht um die Entfernun? bei der größten
Erdnähe, welche (nach S. 146,12) 55p 34' beträgt, sondern um
die der größten Entfernung im Apogeum diametral gegenüber-
liegende im Perigeum. Vgl. S. 368, 27.

Erklärung der Tabellen. 373

AZ: AH = 120^:14^40'.

tzt man
so wird

AZ= 20^20' wie AA = 52^22',
AH= 2^32' in demselben Maße.

tzt man
so wird
folglich

sAH= 5P48' in diesem Maße,
/.AAH= 5» 32' wie^i2 = 360«,
= 2»46' wie4JB = 360«.

5

Ha 410

Es hat sich demnach auch hier von der nach dem mitt-
leren Verhältnis mit 2'^/^^ festgestellten Abweichung in
Breite für die Breite im Apogeum des Exzenters als Unter- 10
schied ein Fehlbetrag von (2<*30' — 2^7' =) 0^3' und für
die Breite im Perigeum ein Mehrbetrag von (2^46' — 2^ 30' =)
0^16' herausgestellt. An Stelle dieser Differenzen werden
wir zu der Korrektion, welche bei der tabellarischen Be-
rechnung im Gegensatz zum mittleren Verhältnis auzubrin- 16
gen ist*), von dem Werte Y/ Gebrauch machen, welcher Hei 580
dem Unterschied entspricht, der sich bei dem Beobachtungs-
geschäft (S. 335,28) für die sinnliche Wahrnehmung geltend
macht.

Mit Hilfe der vorstehend geführten Nachweise und mit 20
Rücksicht darauf, daß auch in den übrigen Abschnitten des
Epizykels die Teilbeträge der Prosthaphäresis in Länge zu
den Einzelörtern in Breite in demselben Verhältnis stehen
wie die größten Beträge der Prosthaphäresis in Länge zu
den Örtern der größten Breite, ist uns der Ansatz der Örter 25
in Breite infolge des Schiefstandes in den hierfür angeleg-
ten vierten Spalten der Tabellen der Venus und des Merkur
leicht von der Hand gegangen. Indessen sind dies nur die
Örter, welche sich lediglich infolge des Schiefstandes der
Epizyklen ableiten lassen, sowie aus dem Betrag (von ^^j^^ ^0
welcher, wie gesagt, auf das Mittel entfällt. Der Unter-
schied, welcher sich infolge des (Hinzutritts des) Neigungs-
winkels der Exzenter einstellt, wozu bei dem Merkur noch
der Unterschied (von Y^^) bei seiner Stellung im Apogeum

a) Die hierauf bezügliche Korrektion ist S. 378,26 angedeutet.

374 Dreizehntes Buch. Viertes Kapitel.

und im Perigeum hinzukommt, wird die nötige Korrektion,
weil es sich dabei leicht machen läßt, gelegentlich der als-
bald mitzuteilenden tabellarischen Berechnung (S. 378,26;
380, 2) erhalten. (Zur Gewinnung der Beträge der vierten
5 Spalte aus dem bisher im Mittel gefundenen Betrag von
2Y2^ ist weiter folgendes zu bemerken.) Bei den vorliegen-
den mittleren Verhältnissen wurde für beide Planeten die
größte Breite infolge des Schiefstandes (der Epizyklen) bei-
derseits der Ekliptik (S. 371 u. 372 f.) mit 2^2^ nachge-

Ha-411 wiesen, die größte Prosthaphäresis in Länge (S. 368, 14) für
11 die Venus mit rund 46*^ und für den Merkur mit rund 22^.*^

Hei 581 Nun finden wir die auf die einzelnen Gradabschnitte der
Epizyklen entfallenden (mittleren) Prosthaphäresisbeträge in
den (sechsten Spalten der)- Tabellen ihrer Anomalie ange-
15 setzt. Da nehmen wir denn für jeden der beiden Planeten
in zugehöriger Weise den ebensogroßen Teil, welchen diese
Beträge von den ganzen größten Prosthaphäresisbeträgen
in Länge ausmachen, von '2}/^ und setzen das Ergebnis in
die vierte Spalte der Tabellen der Breite zu denselben Ar-
20 gumentzahlen.^)

Die fünfte Spalte
haben wir hinzugefügt, um auch die in den anderen Posi-
tionen der Exzenter zustande kommenden Abweichungen
in Breite auf dem methodischen Wege des Ansatzes der
25 Sechzigstel in genauer Berechnung feststellen zu können.
Die Neigungswinkel und Schiefstände der Epizyklen bewerk-
stelligen nämlich die Wiederkehr ihrer Ab- und Zunahme
vermittels Anbringung der kleinen Kreise in genauer Ent-
sprechung, wie (S. 332, 5) gesagt, zu der Wiederkehr mit

a) Nach S. 370, 6 beträgt sie nur 20^55', während in der Ta-
belle des Merkur (S. 265) zur Argumentzahl 111 die Prosth-
aphäresis der mittleren Anomalie mit 22*^2' angesetzt ist.

b) So beträgt z.B. zum 24.Epizykelgrad der Venus das Ver-
hältnis der mittleren Prosthaphäresis zum Maximum 10 : 46.
Es sind also ^%g von l^j^ zu nehmen, weil angenommen wird,
daß 10 : 46 = a;: 273. Das Ergebnis 0°33' steht demgemäß in der
vierten Spalte bei der Argumentzahl 24.

Dreizehntes Buch. Fünftes und sechstes Kapitel. 375

Bezug auf den Exzenter. Ferner sind die zahlenmäßigen
Beträge der Neigungswinkel und Schiefstände insgesamt
nicht weit entfernt von dem Betrag (von 5^), der bei dem
schiefen Kreis des Mondes in Betracht kommt, und auch die
Einzelbeträge der unter so kleinen Neigungswinkeln ein- 5
tretenden Abweichungen (in Breite) stehen nahezu wieder
in entsprechendem Verhältnis (zu den wechselnden Breiten
des Mondes). Da uns nun die für den Mond auf dem Wege
geometrischer Konstruktion ermittelten Beträge (in der sie-
benten Spalte der Gesamtanomalie des Mondes I 286) 10
zur Verfügung stehen, so haben wir jeden der dort gemach-
ten Ansätze (der Breite) mit 12 multipliziert*^ — weil dort
das Maximum rund 5^ beträgt, während wir es hier mit 60
ansetzen — und die Ergebnisse zu den betreffenden Argu-
mentzahlen in die fünften Spalten der Tabellen für jeden 15
Planeten gesetzt.

Fünftes Kapitel.
Die Tabellen zur Bestimmung der Breite

gestalten sich folgendermaßen (S. 376—377). {neissl

Sechstes Kapitel.

Berechnung der Abweichung der fünf Planeten

in Breite nach den Tabellen.

Nach den umstehend vorgelegten Tabellen werden wir diejaeiss?
Berechnung der Breite der fünf Planeten auf folgende Weise
in Angriff nehmen.

20

a) D. h. die dort für die Breite des Mondes angesetzten
Fünftel des Maximums von 5^ sind für die Tabellen sämt-
licher Planeten in Sechzigstel eines mit 60 angenommenen
Maximums verwandelt worden. So wird z.B. der zur Argument-
zahl 30 gesetzte Bruchteil iy^ von 5° der Breite des Mondes
für die Planetentabellen nach dem Verhältnis 4yj:5 = x:60
mit a; = 473X12, d.i. mit 52' gefanden. Ein bei dieser Um-
rechnung wiederkehrender Fehler wird Anm. 21. 2 a. E. nach-
gewiesen.

376

Breitentabellen.

Argument-
Zahlen
vom
Apogeum

Saturn

Jupiter

Mars ll

Neigungs-
winkel vom

Sechzig-
ste!

Neigungs-
winkel vom

Sechzig-
stel

Neigungs-
winkel vom

Sechzig-

nörcU.| südl.
Grenzpunkt

nördl.| südl,
Grenzpunkt

nördl.l südl.
Grenz punkt

ste

6»
12
18

354°
348
342

2» 4'
2 5
2 6

2° 2'
2 3
2 3

59' 36"
58 36
57 0

1» 7'
1 8
1 8

1« 5'
1 6
1 6

59' 36"

58 36
57 0

0» 8'
0 9
0 11

0° 4'
0 4
0 5

59' 36"
58 36
57 0

24
30
36

336
330
324

2 7
2 8
2 10

2 4

2 5
2 7

54 36
52 0
48 24

1 9
1 10
1 11

1 7
1 8
1 9

54 36
52 0
48 24

0 13
0 14
0 15

0 6
0 7
0 9

54 36
52 0
48 24

42
48
54

818
312
306

2 11

2 12
2 14

2 8
2 10
2 12

44 24
40 0
35 12

1 12
1 13
l 14

1 10
1 11
1 13

44 24
40 0
35 12

0 18
0 21
0 24

0 12
0 15

0 18

44 24
40 0
35 12

60
66

72

300

294
288

2 16
2 18
2 21

2 15
2 18
2 21

30 0
24 24
18 24

1 16
1 18
1 21

1 16
1 18
1 21

30 0
24 24
18 24

0 28
0 32
0 36

0 22
0 26
0 30

30 0
24 24
18 24

78
84
90

282
276
270

2 24
2 27
2 30

2 24
2 27
2 30

12 24
6 24
0 0

1 24
1 27
1 80

1 24
1 27
1 30

12 24
6 24
0 0

0 41
0 46
0 52

0 36
0 42
0 49

12 24
6 24
0 0

93
96
99

267
264
261

2 31
2 a3
2 34

2 31
2 33
2 84

3 12
6 24
9 24

1 31
1 83
1 34

1 31
1 33
1 34

3 12

6 24
9 24

0 55

0 59

1 3

0 52

0 56

1 0

3 12
6 24

9 24

102
105
108

258
255
252

2 36
2 37
2 39

2 36
2 37
2 39

12 24
15 24
18 24

1 36
1 37
1 39

1 36
1 37
1 39

12 24
15 24
18 24

1 6
1 10
1 14

1 4
1 8
1 13

12 24
15 24
18 24

111
114
117

249
246
243

2 40
2 42
2 43

2 40
2 42
2 43

21 24
24 24
27 12

1 40
1 42
143

1 40
1 42
1 43

21 24
24 24
27 12

1 18
1 23

1 28

1 18
1 24
1 30

21 24
24 24

27 12

120
123
126

240

237
234

2 45
2 46

2 47

2 45
2 46
2 48

30 0
32 36
85 12

1 45
1 46

1 47

1 45
1 46
1 48

30 0
32 36
35 12

1 34
1 41

1 48

1 37
1 44
1 51

30 0
82 36

35 12

129
132
135

231

228
225

2 49
2 50
2 52

2 49
2 51
2 58

37 36
40 0

42 12

1 49
1 50
1 51

1 49
1 51
1 53

37 36
40 0
42 12

1 54

2 1
2 9

2 0
2 10
2 20

37 36
40 0
42 12

138
141
144

222
219
216

2 53
2 54
2 55

2 54
2 55
2 56

44 24
46 36
48 24

1 52
1 53
1 55

1 54
1 55
1 57

44 24
46 36
48 24

2 16
2 25
2 34

2 32
2 44
2 56

44 24
46 36
48 24

147
150
153

213
210

207

2 56
2 57
2 58

2 57
2 58
2 59

50 12

52 0

53 12

1 56
1 58
1 59

1 59

2 0
2 1

50 12

52 0

53 12

2 44

2 54

3 5

3 12
3 29
3 46

50 12

52 0

53 12

156
159
162

204
201
198

2 59

2 59

3 0

3 0
3 1
3 2

54 36

56 0

57 0

2 0
2 1
2 2

2 3
2 4
2 5

54 36

56 0

57 0

3 16
3 27
3 38

4 9
4 32-
4 55

54 36

56 0

57 0

165
168
171

195
192
189

3 0
3 1
3 1

3 2
3 3
3 3

57 48

58 36

59 12

2 2
2 3
2 3

2 6
2 6
2 7

57 48

58 36

59 12

3 49

4 0
4 10

5 24

5 53

6 21

57 48

58 36

59 12

174
177
180

186
183
180

3 2
3 2
3 2

3 4
3 4
3 5

59 36

59 48

60 0

2 4
2 4
2 4

2 7
2 8
2 8

59 36

59 48

60 0

4 14
4 18
4 21

6 36

6 51

7 7

59 36

59 48

60 0

Breitentabellen.

377

Argument-

Venus

Merkur

zahlen

vom

Apogeum

Nei-
gungs-
winkel

Schief-
ßtände

Sechzig-
ste!

Nei-
gungs-
winkel

Schief-
stände

Sechzig-
ste!

60
12
18

354°
348
342

10 2'
1 1
1 0

Oo 8'
0 1«
0 25

59' 36"
58 86
57 0

1045'
1 44
1 43

O^ll'
0 22
0 33

59' 36"
58 36
57 0

24
30
36

336
330
324

0 59
0 57
0 55

0 33
0 41
0 49

54 36
52 0
48 24

1 40
1 36
1 30

0 44

0 55

1 6

54 36
52 0
48 24

42
48
54

318
812
306

0 51
0 46
0 41

0 57

1 5
1 13

44 24
40 0
35 12

1 23
1 16

1 8

1 16
1 26
1 35

44 24
40 0
35 12

60

66

72

300

294

288

0 35
0 29
0 23

1 20
1 28
1 35

30 0
24 24
18 24

0 59
0-49
0 38

1 44

1 52

2 0

30 0

24 24
18 24

78
84
90

282
276
270

0 16
0 8
0 0

1 42
1 50
1 57

12 24

6 24
0 0

0 26
0 16
0 0

2 7
2 14
2 20

12 24
6 24
0 0

93
96
99

267
264
261

0 5
0 10
0 15

2 0
2 3
2 6

3 12
6 24
9 24

0 8
0 15
0 23

2 23
2 25
2 27

3 12
6 24
9 24

3 02
105
108

258
255
252

0 20
0 2!6
0 32

2 9
2 12
2 15

12 24

15 24
18 24

0 31
0 40
0 48

2 28
2 29
2 29

12 24

15 24
18 24

111
114

117

249
246
243

0 88
0 44
0 50

2 17
2 20
2 22

21 24
24 24
27 12

0 57

1 6
1 16

2 30
2 30
2 30

21 24
24 24
27 12

120
123
126

240
237
234

0 59

1 8
1 18

2 24
2 26

2 27

30 0
32 36
35 12

1 25
1 35
1 45

2 29
2 28
2 26

30 0
32 36
35 12

129
132
135

231
228
225

1 28
1 38

1 48

2 29
2 30
2 30

37 36
40 0
42 12

1 55

2 6
2 16

2 23
2 20
2 16

37 36
40 0
42 12

138
141
144

222
219
216

1 59

2 11
2 23

2 30
2 29

2 28

44 24
46 36
48 24

2 27
2 37
2 47

2 11
2 6
2 0

44 24
46 36
48 24

147
150
153

213

210
207

2 43

3 3
3 23

2 26
2 22
2 18

50 12
62 0
53 12

2 57

3 7
3 17

1 53
1 46
1 38

50 12

52 0

53 12

156
159
162

204
201
198

8 44

4 5
4 26

2 12
2 4
1 55

54 36

56 0

57 0

3 26
3 34
3 42

1 29
1 80
1 10

54 36

56 0

57 0

165

168
171

195
192
189

4 49

5 13
5 36

1 42

1 27
1 9

57 48

58 36

59 12

3 48
3 54
3 58

0 59
0 48
0 36

57 48

58 36

59 12

174

177
180

186
183
180

5 52

6 7
6 22

0 48
0 25
0 0

59 36

59 48

60 0

4 2
4 4
4 5

0 24
0 12
0 0

59 36

59 48

60 0

378 Dreizehntes Bncli. Sechstes Kapitel.

I. Für den Saturn, den Jupiter und den Mars.
Nachdem wir mit der genauberechneten Länge in die Ar-
gumentzahlen der betreffenden Tabelle eingegangen sind,
mit der Länge des Mars ohne weiteres, mit der des Jupiter
5 nach Abzug von 20^, mit der des Saturn unter Zusatz von
50^, werden wir uns die in der fünften Spalte bei ihr ste-
henden Sechzigstel der Breite notieren.^^) Desgleichen gehen
wir mit der genauberechneten Zahl der Anomalie in diesel-
ben Argumentzahlen ein und entnehmen den zu ihr ange-

10 setzten Unterschied in Breite: wenn die genauberechnete
Länge in den ersten 15 Zeilen steht, den in der dritten
Spalte, wenn sie in den folgenden Zeilen steht, den in der
vierten Spalte angesetzten. Diesen Betrag multiplizieren
wir mit den (der fünften Spalte) entnommenen Sechzigsteln

15 und werden den Planeten um die erhaltene Zahl nördlich
der Ekliptik finden, wenn wir den Unterschied in Breite aus
der dritten Spalte genommen haben, südlich, wenn aus
der vierten.^^^

IL Für die Venus und den Merkur.

20 1. Zuerst gehen wir mit der genauberechneten Zahl der

Anomalie in die Argumentzahlen der betreffenden Tabelle

Hei 588 ein und notieren uns die in der dritten und der vierten

Spalte der Breite bei ihr stehenden Beträge getrennt, und

Ha 415 zwar die aus den dritten Spalten ohne weiteres, dagegen

25 den Betrag aus der vierten Spalte des Merkur (vgl. S. 373, 16)

mit Abzug von Y^^ des Betrags, wenn die genauberechnete

Länge in den ersten 15 Zeilen steht, und mit Zusatz von

i/jQ, wenn in den darunterstehenden Zeilen.^)

a) Im Apogeum (S. 372, 19) bleibt das Maximum des Schief-
standes 2*^17' um 13', d.i. um ^/^^ des ganzen Betrags, hinter
dem mit 2^/j° angenommenen Mittel zurück, im Perigeum
{S. 373, 7) überschreitet das Maximum 2^46' dieses Mittel um
16', also auch wieder um y^ß des ganzen Betrags. Zwischen
größter und mittlerer Entfernung ist daher das Mittel um V^ß
zu verkleinern, zwischen mittlerer und kleinster Entfernung um
Yjq zu vergrößern.

Berechnung der Breite. 379

2. Alsdann addieren wir zu der genauberechneten Länge
jedesmal bei der Venus 90*^, bei dem Merkur 270*^, ziehen,
wenn es geht, einen Kreis (d. s. 360°) ab und gehen mit
dem Ergebnis^^) in dieselben Argumentzahlen ein. So viel
Sechzigstel, als in der fünften Spalte bei der Argumentzahl 5
stehen, nehmen wir nun von den aus der dritten Spalte no-
tierten Beträgen und stellen das Ergebnis fest. Dasselbe
gibt an:

A. wenn die mit dem angegebenen Zusatz versehene
Länge in den ersten 15 Zeilen steht, 10

a) südliche Breite, wenn die Zahl der genauberech-
neten Anomalie in den ersten 15 Zeilen steht;

b) nördliche Breite, wenn in den folgenden;

B. wenn die besagte Zahl der Länge unter die ersten
15 Zeilen fällt: 15

a) nördliche Breite, wenn die Zahl der genauberech-
neten Anomalie in den ersten 15 Zeilen steht;

b) südliche Breite, wenn in den folgenden.

3. Ferner gehen wir wieder mit der genauberechneten
Länge bei der Venus ohne weiteres, bei dem Merkur unter 20
Zusatz von 180° in dieselben Argumentzahlen ein^^\ neh-Hai589
men so viel Sechzigstel, als in der fünften Spalte dabei-
stehen, von den aus der vierten Spalte notierten Beträgen

und stellen das Ergebnis fest. Dasselbe gibt an:

A. wenn die Länge, mit der wir nach Vorschrift ein- 25
gegangen sind, in die ersten 15 Zeilen fällt,

a) nördliche Breite, wenn die genauberechnete Zahl Ha 4i6
der Anomalie bis 180° geht;

b) südliche Breite, wenn über 180°;

B. wenn die besagte Zahl der Länge unter die ersten 30
15 Zeilen fällt,

a) südliche Breite, wenn die Zahl der Anomalie bis
180° geht;

b) nördliche Breite, wenn über 180°.

Schließlich nehmen wir von ebendiesen Sechzigsteln, die 35
bei dem zweiten (zu 3 bewirkten) Eingehen mit der Länge

380 Dreizehntes Buch. Siebentes Kapitel.

gefunden worden waren, denselben Bruchteil, der sie selbst
von 60 waren, und werden von dem Ergebnis bei der Venus
Yß, was stets auf nördliche, und bei dem Merkur V4 davon,
was stets auf südliche Breite entfällt*^, noch in Ansatz
5 bringen.

So werden wir bei diesen Planeten aus der Vereinigung
der drei Ansätze zur Kenntnis des scheinbaren Ortes in Breite
zur Ekliptik gelangen .^^)

Siebentes Kapitel.
Heliakische Auf- und Untergänge der fünf Planeten.

Hei 590 Nachdem vorher auch die Abweichung der fünf Planeten
10 in Breite eingehend behandelt worden ist, bleiben zur Er-
füllung unserer Aufgabe nur noch die theoretischen Erörte-
rungen übrig, welche über ihre heliakischen Auf- und Unter-
gänge angestellt werden müssen.

Wie wir schon bei dem Kapitel von den Fixsternen (S. 87)
15 besprochen haben, müssen (auch) die Abstände der Planeten
von der Sonne, in der Ekliptik gemessen, bei ihren helia-
kischen Auf- und Untergängen aus vielen Gründen mannig-
fach ungleich werden. Der erste Grund liegt in der Un-
gleichheit ihrer Größen, der zweite in der Ungleichförmig-
Ha 417 keit der Neigungswinkel, welche die Ekliptik mit dem Hori-
21 zont bildet, der dritte in den Positionen der Planeten in
Breite.

Denken wir uns wieder Abschnitte größter Kreise, AB

als einen des Horizonts, TA als solchen der Ekliptik, und

25 nehmen wir den Punkt E als gemeinsamen östlichen oder

auch westlichen Schnittpunkt dieser Abschnitte an, die

Punkte r und A mit der Neigung nach Süden^^ Punkt A

a) Insofern bei der Venus ^/g" das Maximum des Neigungs-
winkels des Exzenters ist, der stets nördlich dfer Ekliptik liegt,
während bei dem Merkur das Maximum des stets südlich der
Ekliptik liegenden Neigungswinkels %" beträgt. Zur Begrün-
dung des Verfahrens s. Anm. 22. 2 a. E.

b) So daß beide Punkte auf denselben Höhenkreis zu liegen
kommen.

Heliakische Auf- und Untergänge. 381

als das Zentrum der Sonne. Durch
letzteren und den Pol des Hori-
zonts beschreiben wir wieder den
Abschnitt ABZ eines größten
(Höhen-) Kreises und wollen an-
nehmen, daß der Planet im Hori-
zont AE B, wenn er in der Eklip-
tik steht, natürlich in Punkt E
auf- oder untergehe, wenn nörd-
lich der Ekliptik, in H, wenn südlich, in 0. Fällen wir 10
auf die Ekliptik von den Punkten H und 0 aus die Lote
HK und 0A, so werden wir in BA wieder den (Sehungs-)
Bogen erhalten, welcher den jederzeit gleichgroßen Abstand
der Sonne unter dem Horizont mißt, wenn derselbe Planet
(bei dem Aufgang) erstmalig sichtbar oder (bei dem Unter- 15
gang) erstmalig unsichtbar wird. Denn auf den so (d. i.
senkrecht) zum Horizont gezogenen größten Kreis bezogen,
ist der lichte Schein, den die Sonnenstrahlen bei gleich-
großen unter den Horizont sich erstreckenden Abständen
(wie BA) verbreiten, gleichstark. 20

1. Da dieser Bogen (BA) für die Planeten je nach Un-
gleichheit ihrer Größe natürlicherweise ungleich groß aus-
fällt, so müssen unbedingt, auch wenn die übrigen Verhält- Hei 592
nisse (wie Neigung der Ekliptik, Klarheit der Luft) alle
dieselben sind, auch die den rechten Winkel (EBA) über- 25
spannenden Ekliptikbogen, d. h. die dem Bogen EA ent-
sprechenden Abstände (der Sonne), verschieden groß sein,
kleiner natürlich bei den größeren Planeten und größer Ha 4i8
bei den kleineren.*^

2. Desgleichen muß, auch wenn der (Sehungs-) Bogen 30
BA bei dem nämlichen Planeten derselbe ist, aber der Nei-
gungswinkel BEA der Ekliptik, sei es infolge des Unter-
schieds der Zeichen oder der Wohnorte, ungleich wird, auch
der (Ekliptik-) Bogen EA des Abstandes (der Sonne) sich

a) D. h. je größer der Sehungsbogen BA, um so größer wird
der Abstand EA bei gleichem /, BEA.

382 Dreizehntes Buch. Siebentes Kapitel.

ändern, d.h. größer werden, wenn besagter Winkel kleiner
wird, kleiner, wenn er größer wird.*)

3. Auch wenn zu dem an erster Stelle besprochenen Fall
noch der Umstand hinzutritt, daß der Neigungswinkel (der

5 Ekliptik) derselbe ist, aber der Planet nicht in der Eklip-
tik, sondern entweder nördlicher in H oder südlicher in 0
steht, so wird er nicht mehr im Abstand des (Ekliptik-)
Bogens EA erstmalig sichtbar oder unsichtbar werden, son-
dern, wenn nördlich der Ekliptik, im Abstand des kl eine -

10 ren Bogens KA, wenn südlich, im Abstand des größeren
Bogens AEA.^)

Es ist mithin für die Betrachtung der Einzelfälle not-
wendig, daß zuerst für jeden der fünf Planeten die Normal-
Hei 593 betrage der (Sehungs-) Bogen BA nach den mit einiger

15 Sicherheit beobachteten heliakischen Aufgängen gegeben
seien. Das dürften die Sommerbogen sein, d. h. die am Krebs
liegenden, weil erstens in dieser Jahreszeit die Atmosphäre
dünn und durchsichtig ist, und weil zweitens die Neigungs-
winkel (wie B E A), welche die Ekliptik mit den Horizonten

20 bildet, von angemessener Größe sind. So fanden wir denn,

als wir die unter diesen Verhältnissen angestellten Beob-

Ha 419 achtungen der Aufgänge prüften, daß am Anfang des Krebses

der Saturn in einem Abstand von der genauen Sonne von

rund 14® (heliakisch) aufgeht, der Jupiter in einem Abstand

25 von 127/, der Mars in einem solchen von 1472^ die Venus
als Abendstern in einer Elongation von ö^/g, der Merkur als
Abendstern in einer solchen von llV2^-°^

Diese Abstände (von der Sonne) sollen gegeben sein. Die
Eigur kann weiter in derselben Gestalt (d. h. geradlinig)

a) D. h. je größer der /, BEA, um so kleiner wird der Ab-
stand EA bei gleichem Sehungsbogen BA.

b) D.h. je größer die nördliche Breite des Planeten, um so
kleiner wird sein in der Ekliptik gemessener Abstand AK von
der Sonne, je größer die südliche, um so größer sein Abstand
AA, wenn der Sehungsbogen BA und /, B EA gleichgroß bleiben.

c) Während die in der Tabelle (S. 394) zum Krebs angegebe-
nen Abstände für die übrigen Planeten annähernd stimmen,
beträgt dort der Abstand für den Merkur 12^22'.

Heliakische Aufgänge. 383

gezeichnet sein, wie oben, weil es bei so
kleinen Bogen nichts ausmachen wird,
wenn wir aus praktischen Rücksichten
die Verhältnisse unter der Annahme fest-
stellen, daß die unterspannenden Sehnen
für die sinnliche Wahrnehmung unter-
schiedslos (von den sie überspannenden
Bogen) seien. Der Punkt E soll als ge-
meinsamer Schnittpunkt der Ekliptik und
des Horizonts bei den vorliegenden helia- 10

kischen Aufgängen am Anfang des Krebses liegen, und
zwar als Aufgangspunkt für die drei am Morgen erstmalig
sichtbar werdenden Planeten, für den Saturn, den Jupiter
und den Mars, als Untergangspunkt natürlich (s. nächste
Figur) für die am Abend heliakisch aufgehenden, für die 15
Venus und den Merkur. Als geographische Breite soll die
von Phönizien zugrunde gelegt sein, wo der längste TagHei594
14y^ Äquinoktialstunden hat, weil auf diesem Parallel oder
beiderseits desselben die meisten zuverlässigen Beobachtun-
gen gemacht worden sind, nahezu auf ihm die chaldäi- 20
sehen, beiderseits desselben die in Griechenland und
in Ägypten angestellten.

I A. Die drei oberen Planeten.

Nach der von uns früher (I 110 f.) mitgeteilten Be-
rechnung der (von der Ekliptik am Horizont gebildeten) 25
Winkel finden wir, wenn der Anfang des Krebses in der
zugrunde gelegten Breite aufgeht, daß

/. B E A = 103« wie 2B = 360V)
demnach B A : B E = 94^ : 75^ wie hEA = 120^,
desgleichen K H : K E = 94^ : 75^ wie Ä E H = 120^. Ha 420

Weiter finden wir nach der Darstellung der Verhältnisse 31
in Breite den Saturn und den Jupiter unterschiedslos für
die sinnliche Wahrnehmung nahezu in der Ekliptik selbst,

a) Als Peripherie Winkel des um A EBA beschriebenen Krei-
ses, wozu der Komplementwinkel BAE = 77° wie ^J? = 360".

384 Dreizehntes Buch. Siebentes Kapitel.

Hei 595 den Mars dagegen etwa Ys^ nördlich der Ekliptik, wenn
diese drei Planeten, und zwar nur diese, ihren Aufgang am
Anfang des Krebses bewerkstelligen, d. h. wenn ihr Ort auf
dem erdfernen Bogen des Epizykels in einer beliebigen Ent-
5 fernung von dem Apogeum liegt, die jedoch 30^ nicht über-
schreiten darf.*' Deshalb wird AE der Bogen sein, welcher
in der Ekliptik den Abstand des Saturn und des Jupiter
von der Sonne messen wird, und AK der Bogen, welcher
den Abstand des Mars von der Sonne messen wird, weil er
10 um den Bogen KH, welcher 0'*12' beträgt, nördlich der
Ekliptik steht.

Da aber KH : KE = 94^: 75^
(0<>12':rc=94P:75P)
SO wird KE= 0°10'.

15 Nun ist für den Mars (S. 382, 25) der Bogen AK mit I4V2®
gegeben, folglich ist der ganze Bogen EA= 14^40'.

Für den Saturn beträgt (a. a. 0.) dieser Bogen EA 14**,
für den Jupiter 12^^. Da wir wieder das Verhältnis haben

EA:AB = 120P:94P,

20 so werden wir auch den Bogen AB des durch die Pole des
Horizonts gezogenen größten Kreises (d. i. den Sehungsbogen)
erhalten

für den Saturn mit (14 x 94: 120 = rund) 11^
für den Jupiter mit (127^x 94 : 120 = rund) 10^

für den Mars mit (142/3 x 94 : 120 = rund) llV;

a) Daß die drei Planeten in dieser Entfernung von den Apo-
geen ihrer Epizyklen sich in Konjunktion mit der mittleren
Sonne befinden, ist S. 173, 25 erklärt. Nahezu in der Ekliptik
selbst stehen der Saturn und der Jupiter, weil ihre Epizyklen
am Anfang des Krebses 90*^ vom nördlichen Grenzpunkt ihrer
Exzenter, der am Anfang der Scheren liegt, entfernt sind. Ihre
Epizyklen stehen somit in den Knotenpunkten (vgl. S. 326, 1), wäh-
rend der Epizykel des Mars ein Zeichen vor dem nördlichen
Grenzpunkt des Exzenters steht, wo bei etwa 30*^ Entfernung
vom Apogeum des Epizykels (nach der Tabelle S. 376) die nörd-
liche Breite 0»12'8" beträgt.

Heliakisclie Aufgänge.

385

B. Die Venus und der Merkur.
Wenn der Anfang des Krebses untergeht, bildet er
im Horizont (s. I 107, 12) denselben Neigungswinkel wie
oben. Als Voraussetzung gilt (S. 382, 26), daß an dieser Stelle
der Ekliptik die Venus am Abend (beobachtungsgemäß) mit Ha 421
öYs^ Elongation von der genauen Sonne heliakisch aufgellt, 6
der Merkur mit llV2^ Elongation. Folglich wird bei den
(heliakischen) Aufgängen die genaue Sonne für die Venus
in 17 24^20' und für den Merkur in TTlS'^SO' stehen, die Hei 596
mittlere für die Venus in TT 25^, für den Merkur rund in 10
TT 19^.*) In diesen Graden stand also die mittlere Bewe-
gung der Planeten in Länge (d. h. der Mittelpunkt ihrer
Epizyklen). Wenn aber bei dieser Länge die Planeten selbst
ihren scheinbaren Ort am Anfang des Krebses haben, so wird
die Venus in etwa 14® Entfernung von dem Apogeum des 15
Epizykels gefunden, der Merkur in etwa
32® Entfernung. Der Beweis hierfür
läßt sich an der Hand der theoretischen
Sätze liefern, welche wir früher(S. 2 5 7, 18)
zum Nachweis ihrer Anomalie mitgeteilt
haben.^^^ Demgemäß wird in diesen Po-
sitionen (nach den Tabellen der Breite
berechnet) die Venus 1® und der Mer-
kur 1^3^ nördlich der Ekliptik gefun-
den, was natürlich der Betrag des Bogens
KH ist. Mithin erhalten wir den Bogen KE wegen Identi-
tät des Verhältnisses

20

25

mit

KH

10

KE =

94P : 75P
: 94P : 75P

30

s, 0

U 1

für die Venus mit ('%4 = rund)

für den Merkur mit (l^'x 75 : 94 =) ly/.

a) Die Anomalie der Sonne (1 182) bedingt zum genauen
Ort TT 24^20' (d. i. bei 18*^50' Entfernung vom Apogeum n5"30')
für den mittleren Ort einen Zusatz von 0*^44', zum genauen
Ort TT18'*30' (d.i. bei 13" Entfernung) für den mittleren Ort
einen Zusatz von 0°30'. Vgl. I Anh. Anm. 24.

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II.

25

386 Dreizehntes Buch. Achtes Kapitel.

Nun liegt in demselben Maße der Bogen AK, d.i. die
scheinbare Elongation beider Planeten von der Sonne, für
die Venus mit h'^j^ und für den Merkur mit llV2^ ^Is ge-
Hei597 geben vor; mithin werden wir den ganzen Bogen AKE für
5 die Venus mit 675*^ und für den Merkur mit 12^6^ er-
halten.

Schließlich erhalten wir wieder den zahlenmäßigen Be-
trag des Normalabstandes (d. i. des Sehungsbogens) AB
wegen Identität des Verhältnisses

Ha 422 EA: AB = 120^' :94p

für die Venus mit ( ey^ x 94 : 120 =) 5°,
für den Merkur mit (12% x 94 : 120 =) 10<>.

15 Dies zu finden war als Aufgabe gestellt.

Achtes Kapitel.

Nachweis, daß das eigenartige Verhalten der Venus

und des Merkur mit den Hypothesen in Einklang steht.

Das befremdende Verhalten der Venus und des Merkur
bei den heliakischen Auf- und Untergängen besteht bei der
Venus darin, daß sie am Anfang der Fische vom heliakischen
Spätuntergang bis zum heliakischen Frühaufgang höchstens

20 etwa zwei Tage braucht, während diese Zeit am Anfang

der Jungfrau sich auf 16 Tage beläuft, bei dem Merkur

darin, daß die heliakischen Spätaufgänge ausbleiben, wenn

er am Anfang des Skorpions sichtbar werden müßte, und

Hei 598 ebenso die heliakischen Frühaufgänge, wenn er am Anfang

25 des Stiers steht. Daß dieses eigenartige Verhalten im Ein-
klang mit den vorgelegten Hypothesen steht, werden wir
auf folgendem Wege begreifen lernen.

a) 5 Vs "+///= 6 7,2» oder 6<*25', während 6y/ = 6<'24' eine
Minute weniger beträgt.

Heliakischer Auf- und Untergang der Venus. 387

A. Die Venus

I. Es sei die entsprechende Figur
der heliakischen Aufgänge vorge-
legt wie vorher.'*) Zuerst sei der
Punkt E der Ekliptik am Anfang A
der Fische angenommen, wo die
Venus, wenn sie im Perigeum des
Epizykels steht, etwa 673^ nörd-
liche Breite hat.^)

1. Die Lage an der Figur soll
die des heliakischen Spätunter-
gangs sein, bei welchem inder(S. 383, 16) zugrunde gelegten
geographischen Breite

/.BEA = 154« wie 5-B = 360V)
mithin BA : BE = 117P : 27^ wie /i EA = 120^. 15

Setzt man BA'=5° als den Normalabstand,
so wird EA = 5^8'.

Ferner ist, weil der Planet ßVs^ nördlich der Ekliptik
steht, was die Größe des Bogens KH ist, wegen der Iden- Hei 599
tität der Verhältnisse 20

= 117^:27^

KH:KE
6y3<^:l«30'
mithin KE = 1<'30',
folglich KA=EA-KE = 3"38'.

a) Die zum Teil fehlerhaften Figuren des Originals sind durch
Figuren ersetzt worden, welche annähernd die richtigen Ver-
hältnisse zeigen. Ob eine Figur die Sonne in Punkt A unter
dem östlichen oder dem westlichen Horizont zeigt, ist an der
Richtung des aufsteigenden oder niedersteigenden Ekliptik-
bogens EA zu erkennen.

b) Am Anfang der Fische beträgt die genauberechnete Länge
277*^22', die genauberechnete Anomalie 177*^38'. Geht man mit
diesen Grundzahlen in die Tabelle der Breite nach Vorschrift
ein, so erhält man die gesuchte nördliche Breite mit rund 6 "20'.
Vgl. die Figur zu Anm. 17.

c) Zu berechnen als der mit dem Horizont gebildete Win-
kel, wenn der Anfang der Fische untergeht, nach IllOf

25*

388 Dreizehntes Buch. Achtes Kapitel.

Das ist der Bogen, welcher die Elongation des Planeten
bei dem heliakischen Spätuntergang in der Richtung der
Zeichen von der Sonne ab (nach Osten zu) mißt.

2. An der ähnlichen Figur
ist wieder bei dem heliaki-
schen Frühaufgang

i BEA = 69"

wie ^E = 360»,
mithin B A : B E = 68^' : 99^
wie /i E A = 120P.

Ferner ist wegen Identi-

K
10 tat der Verhältnisse

einerseits! j^^gf;^,j = 68^: 120",

15 mithin EA = 8U9' und KE = 9«13',

folglich AK = KE-EA = 0»24'.

Hiermit erhalten wir K E als den Bogen des Unterschieds
infolge der Breite^) und in der Differenz AK einen Bogen,
welcher selbstverständlich von der Sonne ab in der Rich-
20 tung der Zeichen (d. i. ostwärts) verläuft.

Nun betrug bei dem heliakischen Spätuntergang die Elon-
Hei 600 gation (von der Sonne in der Ekliptik gemessen) gleich-
falls in der Richtung der Zeichen 3^38'. Folglich hat die
Ha 424 Venus in der Zeit vom Spätuntergang bis zum Frühaufgang
25 infolge der auf dem Epizykel vor sich gehenden Rückläufig-
keit (in der Ekliptik) eine Strecke zurückgelegt, welche um
3^14' kleiner ist als die (mittlere) Bewegung der Sonne,

a) In A EBA handelt es sich um das Verhältnis der dem
/.BEA = 69^ wie 5jB = 360<^ gegenüberliegenden Kathete zur
Hypotenuse, in A E K H um das Verhältnis der demselben Win-
kel gegenüberliegenden Kathete zu der dem Komplementwin-
kel EHK = 111<> wie ^i?=360'^ gegenüberliegenden Kathete.

b) Hätte die Venus keine Breite, so würde ihr Aufgangs-
punkt E, d. i. X 0*^, mit dem Sonnenabstand EA sein.

Heliakischer Auf- und Untergang der Venus. 389

d. i. als ihre eigene (mittlere) Bewegung in Länge. Gerade
um diesen Betrag ist der Planet rückläufig, wenn er im Pe-
rigeum des Epizykels 1^15' zurückgelegt hat, wie aus der
Anomalietabelle leicht zu ersehen ist.^*^ Da er aber diese
Strecke (nach der Tafel IIP S. 115: l^lS'öS") in mittlerer
Bewegung in rund 2 Tagen durchläuft, so ist klar, daß die
Zeit, in welcher die Elongation von der gefundenen Größe
(d. i. von 0^24') erreicht wird, mit den Erscheinungen in
Einklang steht.

Z

II. An der ähnlichen Figur ^ 10

sei der Punkt E am Anfang der
Jungfrau angenommen, wo der
Planet Venus, wenn er im Peri- %
geum des Epizykels steht, un-
gefähr die nämliche südliche \. 15
Breite von öVs^ hat.*) ^^
1. Es soll zunächst der heliakische Spätuntergang be-
trachtet werden, wenn

/. B E A = 69" wie 2n = 360«,
mithin B A : B E = 68^ : 99^ wie Tj E A == 120^". 20

Da dieselben Verhältnisse vorliegen wie bei dem helia- Hei 60i
kischen Prühaufgang der Fische^), auch der Abstand in Breite
derselbe ist, so werden wir wieder (wie S. 388,15) erhalten

EA = 8'>49' und AE = 9''13',
folglich AA = E A 4- A E = 18» 2'. Ha 425

a) Bei 95" Entfernung in Länge vom Apogeum ^25" und
bei dem Stande des Planeten im 180. Grad des Epizykels, d. i.
m der unteren Konjunktion. Vgl. die Figur zu Anm. 17.

b) Der südlich der Ekliptik (d. i. unter dem Horizont) ge-
egene üntergangswinkel des Anfangs der Jungfrau ist gleich
iem nördlich der Ekliptik (d. i. gleichfalls unter dem Horizont)
gelegenen Aufgangswinkel des Anfangs der Fische (S. 388, 7),
veil in diametral gegenüberliegenden Punkten der (unter dem
lorizont gelegene) Aufgangswinkel (der Fische) und der (über
lern Horizont gelegene) Untergangswinkel (der Jungfrau) in
Jumma gleich 2B, ist. Siehe I 108,9.

390

Dreizehntes Buch. Achtes Kapitel.

Hiermit erhalten wir AE als den Bogen des Unterschieds
infolge der Breite*) und AA als den Bogen, welcher die
Elongation des Planeten von der Sonne ab in der Richtung
der Zeichen (nach Osten) mißt. Nach der Anomalietabelle,
5 wie (S. 389,3) gesagt, entfallen auf so viel Grade der Rück-
läufigkeit gegen die mittlere Bewegung der Sonne und des
Planeten in Länge ungefähr T^l^ von dem Perigeum des
Epizykels ab.2*>

2. Bei dem heliakischen Früh auf gang am Anfang der
10 Jungfrau ist wieder (wie S. 387, 14 bei dem Spätuntergang
des Anfangs der Fische)

/^BEA = 154<' wie<8E = 360^
mithin BA : BE = 117^: 27^ wie /iEA = 120^.

Da sich wieder dieselben Ver-
hältnisse herausstellen wie die bei
dem heliakischen Spätuntergang
der Fische dargelegten, so werden
0 wir wieder (wie S. 387, 17. 23) er-
halten

EA = 5<>8' und AE = 1°30',
folglich AA = EA + AE = 6<'38'.

Hiermit erhalten wir AE als den
Bogen des Unterschieds infolge der
Breite und AA als den Bogen, wel-
25 eher die Elongation des Planeten von der Sonne ab gegen
die Richtung der Zeichen (nach Westen) mißt. Auf diese
Hei 602 6^38' entfallen gleicherweise von dem Perigeum des Epi-
zykels ab ungefähr 2^1^^?^)

Folglich wird sich der Planet Venus vom heliakischen

30 Spätuntergang bis zum Frühaufgang im ganzen (772^4"

2Y2^=) 10^ auf dem Epizjkel bewegt haben, d.i. eine Strecke,

welche er in den rund 16 Tagen, um die es sich handelt,

im Einklang mit den Erscheinungen durchwandert.

a) Ohne Breite würde die Venus in E, d. i. in np O*', mit dem
Sonnenabstand EA stehen.

Heliakischer Aufgang des Merkur. 391

B. Der Merkur.

Nachdem diese Nachweise geführt sind, müssen auch die
theoretischen Erörterungen der Verhältnisse angestellt wer-
den, welche bei den ausbleibenden heliakischen Aufgängen
des Merkur maßgebend sind.

1. Am Anfang des Skorpions kann
er, auch wenn er die größte östliche
Elongation von der Sonne hat, als
Abendstern nicht sichtbar werden.

Es sei die für die heliakischen Auf-
gänge (des Merkur am Abend) maß-
gebende Figur vorgelegt, an welcher
der Punkt E der Ekliptik am Anfang des Skorpions ange-
nommen sein soll, wo in dem westlichen Horizont

I

/,BEA = 69« wie5J? = 360V) 15

mithin B A : B E = 68^ : 99^ wie hEA = 120^.

Setzt man BA = 10" als den Normalabstand, (S. 386, 14) Hei 603
so wird EA=17®39'.b)

Nun hat der Planet in der vorliegenden Position^) rund
3^ südliche Breite. Setzt man bei den gegebenen Verhält- 20
nissen (A0 : AE = 68^: 99^ wie /iE0 = 12OP) A0 gleich
3^ als südliche Breite, so wird

AE = 4°22' und AA =^EA-}- AE = 22«.

So große (östliche) Elongation muß der Planet von der
genauen Sonne haben, um erstmalig (am Abend) sichtbar 25
werden zu können. Da er nun am Anfang des Skorpions
als Maximum eine (östliche) Elongation von nur 20^58'

a) Weil die Untergangswinkel, welche in den von demsel-
ben Nachtgleichenpunkt gleichweit entfernten ersten Graden
des Skorpions und der Jungfrau (S. 389, 19) gebildet werden, ein-
ander gleich sind. Siehe 1 107, 12.

b) Zunächst erhält man B E = 14% °, sodann EA = j/BÄ^+BE^.

c) D. i. bei 20" Entfernung vom Apogeum ^ 10° und bei der
größten östlichen Elongation, die ungefähr im 108. Grad des
Epizykels eintritt.

392 Dreizehntes Buch. Achtes Kapitel.

von der genauen Sonne erreicht — das ist von uns früher
(S. 322,4) bei Ermittelung der größten Elongationen nach-
gewiesen worden — , so ist klar, daß die heliakischen Aufgänge
dieser Art (bei so unzureichender Elongation) naturgemäß
ausbleiben.

Z 2. Es sei wieder die ähnliche Fi-

gur der heliakischen Aufgänge vor-
gelegt, an der wir nun den Punkt E
^y^ \ am Anfang des Stiers zur Zeit des
0 Frühaufgangs annehmen wollen,wenn
der Planet der gegebenen Position*^
entsprechend eine südliche Breite von
3^10' hat. Da die Verhältnisse der
um den rechten Winkel liegenden Bogen dieselben sind'')
15 wie oben (S. 391, 16), so erhalten wir

EA = 17039'.

Setzt man A0= 3° 10' als Breite,

so wird A E = 4«37', (weil A0 : A E:= 68^ : 99^)
folglich AA = EA + AE = 22n6'.

20 Demnach wird auch hier der Planet eine so große (west-
liche) Elongation von der genauen Sonne erreichen müssen,
Hei 604 um erstmalig (am Morgen) sichtbar zu werden. Da er aber
eine größere (westliche) Elongation als die früher (S. 324, 6)
im Maximum mit 22^13' nachgewiesene nicht erreicht, so

25 werden naturgemäß auch die heliakischen Aufgänge dieser
Art (bei so unzureichender Elongation) ausbleiben.

Hiermit sind die vorgelegten Verhältnisse von uns als
mit den Erscheinungen und den aufgestellten Hypothese
im Einklang stehend nachgewiesen.

a) D. i. bei 200 ^^ Entfernung von dem Apogeum ^a 10° undj
bei größter westlicher Elongation, die ungeiähr im 252. Grade
des Epizykels eintritt.

b) Weil der Anfang des Stiers dem Anfang des Skorpione
diametral gegenüberliegt. Vgl. S. 389 Anm.^^

s

i

Dreizehntes Buch. Neuntes Kapitel. 393

Neuntes Kapitel.

Schlüssel zur Bestimmung der Elongationen

von der Sonne bei den heliakischen Auf-

und Untergängen von Fall zu Fall.

Wenn die Normalbogen BA für alle Planeten festgestellt
sind, wenn ferner der im Schnittpunkt E stehende Anfang
der Zeichen und somit auch L B E A gegeben ist, so ist ohne
weiteres klar, daß auch der (Eklip-
tik-) Bogen EA und der bei die-
sem Abstand dem Planeten zu-
kommende Ort in Breite, d. i. der
Bogen KH oder A0, hierdurch
wieder der Bogen KE oder EA
(alsünterschied infolge der Breite)
gegeben sein wird, und endlich
mit dem Bogen AK oder AA (als
Differenz oder Summe) die scheinbare Elongation.

Nachdem wir auf diesem Wege wieder die Berechnung
für alle Zeichen durchgeführt haben, jedoch, um unserem Ha 428
Handbuch keine zu große Ausdehnung zu verleihen, für 16
jeden der fünf Planeten, weil dies vollständig genügt, ledig-
lich für die oben (S.383, 16) zugrunde gelegte geographische
Breite, haben wir die scheinbaren Elongationen von der ge- Hei 605
nauen Sonne bei den heliakischen Auf- und Untergängen 20
unter der Annahme angesetzt, daß die Planeten selbst an
den Anfängen (d. i. im ersten Grade) der Zeichen stehen.
Auch diese Elongationen haben wir zur Bequemlichkeit beim
Gebrauch für die fünf Planeten in fünf Tabellen angeord-
net, so daß auf jeden 12 Zeilen entfallen. 25

Die drei ersten Tabellen, die für den Saturn, den Jupiter
und den Mars, haben wir zu je drei Spalten aufgestellt: die
erste Spalte enthält die Anfänge der Zeichen, die zweite die
Elongationen bei den Frühaufgängen, die dritte die Elon-
gationen bei den Spätuntergängen. 30

Dagegen haben wir die weiteren beiden Tabellen, die für
die Venus und den Merkur, zu je fünf Spalten aufgestellt:

394

Dreizehntes Buch. Zehntes Kapitel.

Ba 4301
Sei 606 1

die erste Spalte enthält wieder die Anfänge der Zeichen,
die zweite die Elongationen bei den Spätaufgängen, die dritte
die bei den Spätuntergängen, hierauf die vierte die Elon-
gationen bei den Frühaufgängen, die fünfte die bei den Früh-
5 Untergängen.

Zehntes Kapitel.

Tabellen der heliakischen Auf- und Untergänge

der fünf Planeten.

Anfänge
der Zsiclien

Sat

urn

Jupiter

Mars

Früh-

Spät-

Früh-

Spät-

Fiüh-

Spät-

aufg.

unterg.

aufg.

unterg

aufg.

unterg.

Widder

»23<> 1'

11^28'

20°10'

10»19'

21^12'

IIHO'

Stier

21 57

11 41

19 6

10 29

20 8

11 48

Zwillinge

17 62

12 26

15 51

11 10

17 21

12 30

Krebs

14 2

14 2

12 46

12 46

14 33

14 33

Löwe

11 34

15 34

10 40

14 31

12 28

17 19

Jungfrau

10 53

16 53

10 1

16 12

11 46

20 6

Wage

10 48

17 6

9 57

16 34

11 38

21 1

Skorpion

10 53

16 53

10 1

16 12

11 48

20 19

Schütze

11 34

15 34

10 40

14 31

12 34

17 32

Steinbock

14 2

14 2

12 46

12 46

14 45

14 45

Wassermann

17 52

12 26

15 51

11 10

17 35

12 36

Fische

21 57

11 41

19 6

10 29

20 26

11 49

Anfänge
der Zeichen

Yenus

Merkur

Spät-

S]

pät-

Früh-

Früh-

Spät-

Sp

ät-

Früh- 1 Früh-

aufg.

iin

terg.

aufg.

unterg.

aufg.

unt

erg.

aufg.

unterg.

Widder

5»10'

4

» 9'

3« 0

' 10^28'

9«58'

9

»43'

23«58'

23^38

Stier

5 8

4

16

6 16

9 40

10 4

10

15

22 15

22 15

Zwillinge

5 12

5

7

9 15

7 36

10 18

11

47

18 0

16 44

Krebs

5 36

8

23

9 50

5 59

12 22

15

34

14 4

12 30

Löwe

6 16

13

3

8 2

5 5

13 43

19

59

11 25

10 21

Jungfrau

7 22

18

2

6 38

4 54

18 1

23

13

10 21

9 59

Wage

7 53

17

43

5 41

4 54

22 49

23

16

9 51

10 0

Skorpion

8 20

13

47

5 28

4 55

20 1

22

1

9 44

10 19

Schütze

7 49

8

1

4 39

5 16

18 11

17

25

9 25

11 19

Steinbock

6 52

4

8

2 43

6 35

13 54

12

10

9 36

14 5

Wassermann

5 51

3

16

0 30

8 33

11 10

9

50

12 27

17 50

Fische

5 22

3

38

0 24

10 16

10 11

9

43

19 16

21 46

Dreizehntes Buch. Elftes Kapitel. 395

Elftes Kapitel.
Schlußwort.

Nachdem hiermit die letzte Hand an das Werk gelegtl^gigos
worden ist, lieber Syrus, dürfte meines Erachtens so ziem-
lich alles zur Sprache gekommen sein, was in einem der-
artigen Handbuch erörtert werden mußte, insoweit die bis
auf unsere Tage verflossene Zeit zur Aufstellung neuer Ge- 5
Sichtspunkte oder Erzielung größerer Genauigkeit eine Hand-
habe bot und der rein zu Nutz und Frommen der Wissen-
schaft, nicht zu eitlem Schaugepränge gebotene Erklärungs-
beitrag Anlaß gab. Somit hat das vorliegende Lehrbuch
den geeigneten und angemessenen Abschluß gefunden. 10

Anhang.

Erläuternde Anmerkungen.

1) S. 5. In der Abhandlung über „Fixsternbeobachtungendes
Altertums", Weltall Jahrg. 5, Heft 1 u. 2, habe ich die Aligne-
ments des Hipparch und des Ptolemäus besprochen. Heutzu-
tage wahrnehmbare Abweichungen werden im vorliegenden Text
durch ein Fragezeichen angedeutet.

Zu den in Parenthese beigefügten Sternbezeichnungen ist fol-
gendes zu bemerken. Die Sterne des direkt besprochenen Stern-
bildes werden nur durch die Bayer sehen Buchstaben oder
die Zahlen von Flamsteed und Heis bezeichnet, nebenbei
erwähnte Sterne anderer Konstellationen aber unter Benennung
des betreffenden Sternbildes. Sterne, die einen besonderen Na-
men haben, werden mit demselben ohne weiteren Zusatz be-
nannt, wo sich das Sternbild von selbst versteht.

2) S. 5. 6. 132. 135. Die Elle (Ttfixvg) entspricht als astrono-
misches Maß zwei Graden, so daß auf einen der 24 Zolle
(dccTCTvXoL), die sie enthält, 5 Bogenminuten entfallen, mithin
doppelt so viel als auf einen der 12 Zolle, in welche der rund
einen halben Grad betragende Durchmesser von Sonne und
Mond eingeteilt wird.

Werden Abstände nach Mondbreiten {ösXrjvccL) geschätzt,]
so wird die Mondbreite mit rund 0^30' angenommen, wie aus
einer Mehrzahl von Beobachtungen (S. 132,18; 133,9. 28; 151,2. 16)
hervorgeht; überdies wird (S. 157, i) die „halbe Vollmondbreite"
(esXrivrig ^Liäg dLxo{i7]vov xo rjiLVGv) ausdrücklich auf 0^15' ge-
schätzt. Allerdings beläuft sich bei einer anderen Beobachtung
(S. 158, 4) die Schätzung von „Yg von der Breite des YoUmondes'
ißvo ii^QTi GsXrivjjg dL%o^7ivov) auf 0°24', womit das Maximum
0<'35'20" (vgl. I 352, 24) auf 0^36' abgerundet wird. Doch selbst
wenn der Mond als sichtbares Objekt in Betracht gezogen wird,
überwiegt (S. 23, 12; 25, 15; 26,9; 28,13) die Schätzung des Halb-
messers (vom Zentrum ab) mit 0''15'. Vereinzelt steht (S. 24,8)
der auf 0''20' geschätzte Abstand des südlichen Horns vom Zen-
trum, was wohl damit zu erklären ist, daß das Hörn — wenn-
im dritten Oktanten überhaupt von einem solchen die Rede sein
kann — den dunkeln Mondkörper merklich überragt.

X 0^40'

+ 2<>23'

X 3<> 3'

8 21H2'

276« 3'

212<'23'

870 2'.

Anhang. 397

3) S. 14. Am 9. Pharmuthi (23. Februar) 139 n.Chr. 5^30«^
nachm. (vgl. die am 8. Februar desselben Jahres 6%^ früh an-
gestellte Beobachtung I 265, 9) betrug die Zwischenzeit seit der
Epoche 885*218* 5 Vgh. Für diese Stunde ist, nach den Tafeln
berechnet,

mittlerer Ort der Sonne
Anomaliedifferenz
genauer Ort der Sonne
mittlerer Ort des Mondes
in Länge
in Anomalie
in Breite
in Elongation

Zur Bestimmung des genauen Ortes des kurz vor der ersten
Quadratur stehenden Mondes bedarf es der Berechnung der
Differenz seiner Gesamtanomalie (vgl. I Anh. Anm. 35). Man
geht mit der verdoppelten mittleren Elongation, d. i. mit 174*^4'
in die Tabelle der Gesamtanomalie (I 286) ein und addiert,
weil die verdoppelte Zahl auf den Halbkreis des Exzenters zwi-
schen Apogeum und Perigeum entfällt, den der dritten Spalte
mit 2^11' zu entnehmenden Unterschied des genauen Apogeums
zu den mittleren Graden der Anomalie. Zur genauen Anomalie-
zahl (276''3'-|- 2m' =) 278^4' erhält man als Differenz der
ersten Anomalie 4*53', als Überschuß der zweiten 2^29'. Yon
letzterem sind, wie die Sechzigstel der sechsten Spalte zu der
verdoppelten Elongation 174 an die Hand geben, ^%^, d.s. 2^26'
zu der Differenz der ersten Anomalie zu addieren. Hiermit
ist die Differenz der Gesamtanomalie mit 7^19' gefunden. Die-
ser Betrag ist zu den mittleren Zahlen zu addieren, weil die
genaue Zahl der Anomalie auf den Halbkreis des Epizykels
zwischen Perigeum und Apogeum entfällt (I Anh. Anm. 32). So-
mit sind die genauen Zahlen für

die Länge (,S 27U2' + 7«19' =) H ö^» 1'

die Breite (212<'23' -|-7H9'=) 219^2'

die südl. Breite (s. 7. Spalte I 286) d%0'

die Elongation j [^//_^! ^B'^^ of,, ^)a) } 91^58'.

An der von Ptolemäus mit 92^7' 30" angegebenen schein-
baren Elongation fehlen demnach noch 0'^9'30", welche auf
die in der Richtung der Zeichen wirkende Längenparallaxe ent-

a) Die mittlere Elongation 87 "2' erstreckt sich von dem
mittleren Sonnenort X 0"40' bis zum mittleren Mondort H 27^42';
die genaue, von dem genauen Sonnenort X 3*^3' aus gemessen
muß um die Anomaliedifferenz der Sonne gekürzt werden.

398 Anhang.

fallen, weil der Mond, als TTO*^ kulminierte, 5° östlich des
Meridians stand. Infolge dieser Wirkung der Parallaxe lag der
scheinbare Ort des Mondes genau in TT 5*^10' 30", was Pto-
lemäus (S. 14, 9) „ohne wesentlichen Fehler" zu TT 5*^10' ab-
rundet.

Hiermit war der erste Teil der Aufgabe, die Bestimmung
des Mondortes von der Sonne aus, erledigt. Nun mußte ge-
wartet werden, bis der Regulus sichtbar wurde. Als nach Ver-
lauf einer halben Stunde, d.i. um 6^, diese Möglichkeit sich
bot, war der Astrolab wieder einzustellen: durch Drehung des
Kolurkreises (vgl. I 257, 27) wurde der Ekliptikring so weit west-
wärts verschoben, bis der auf TT 5*^ 10' eingestellt bleibende in-
nere Astrolabring wieder durch das Zentrum des Mondes ging.
Hierauf wurde der äußere Astrolabring, der bisher auf den
Grad der Sonne eingestellt war, auf den Regulus gedreht. Die
Ablesung .auf dem Ekliptikring ergab jetzt den Abstand vom
Monde mit 57" 10'. Dieser Abstand war aber an der Einteilung
des Ekliptikringes nicht von dem eingestellten ersten Mond-
ort TT 5*^10' aus abzuzählen, sondern von dem scheinbaren
Ort, den der Mond neuerdings, d.i. nach Verlauf der halben
Stunde, infolge seiner Eigenbewegung in der Richtung der Zei-
chen unter Berücksichtigung der neuen Parallaxe einnahm. Da
er, wie die Anomaliezahl 278 anzeigt (vgl. I Anh. Anm. 43),
nahezu in der mittleren Bewegung in Länge begriffen war, so
mußte in der Zwischenzeit sein mittlerer Ort um 0"16'28"
von ^ 27<'42' nach ^ 27*'58'28" gerückt sein. Von einer Ver-
minderung der Differenz der Gesamtanomalie dürfte abzusehen
sein, weil eine so geringe Vermehrung der mittleren Elongation
und der genauen Anomaliezahl eine wesentliche Veränderung
der genauen Länge nicht herbeiführen kann. Es war somit
nach Verlauf der halben Stunde der genaue Ort ^27*^
58' 28" -|- 7<* 19' = TT 5*' 17'28'^, woraus sich unter Abzug der gegen
die Richtung der Zeichen wirkenden Längenparallaxe, die
Ptolemäus (S. 14, 12) mit 0®5' in Rechnung zieht, als schein-
barer Ort TT 5° 12 '28" ergibt.

In Widerspruch mit diesem Ergebnis steht der scheinbare
Ort TT5°20', den Ptolemäus zum Ausgangspunkt seiner Messung
macht. Gelangt ist er zu demselben offenbar dadurch, daß er
zu dem scheinbaren Ort TT5<'10' die Eigenbewegung des
Mondes mit rund 0^15' addiert und die nunmehr westlich
des Meridians rückwärts wirkende Längenparallaxe mit 0®5'
abgezogen hat. Hierbei hat er jedoch die vorher östlich
des Meridians vorwärts wirkende Parallaxe, die den Ort
TT 5** auf TT 5" 10' brachte, aber durch Heranrücken an den
Meridian verschwunden ist, offenbar außer acht gelassen.*^
Das ist um so mehr zu verwundern, als sich Ptolemäus über

Anhang. 399

den Schein einer rückläufigen Bewegung, der bei dem schein-
baren Lauf des Mondes infolge der Parallaxen entsteht — „als
ob an ihm keine Eigenbewegung in der Richtung der Zeichen
wahrgenommen würde" — (I 400, 23) mit großer Klarheit äußert.
Demnach hätte sich ihm der neue scheinbare Ort bei der be-
liebten abrundenden Rechnungsweise als unverändert heraus-
stellen müssen, so daß von TT 5" 10' (bzw. von TT 5° 12' 28") aus
der Abstand des Regulus, wenn mit 57*^10' richtig gemessen,
zu Q 20 20' (bzw. Q 2 "22' 28") führen mußte, was gegen Hipparchs
Zeit, d.i. 265 Jahre vorher, wo der Regulus in ö 29^50' stand,
eine Differenz von nur 2*^30' (oder 2^32 '28" nach der genauen
Rechnung) ergibt.

Richtiger wird dadurch das Ergebnis des Ptolemäus nicht.
Der von ihm mit 2^40' festgestellte Betrag der Präzession seit
Hipparch entspricht zwar genau der Hypothese der Alten, nach
welcher auf das Jahrhundert ein G-rad entfällt, bleibt aber
mehr als einen Grad hinter dem Betrag 3^41' zurück, der sich
für 265 Jahre ergibt, wenn man den heutzutage geltenden Wert
der Präzession mit 50" jährlich zugrunde legt. Der Fehler, durch
welchen Ptolemäus zu seinem Ergebnis gelangte, liegt — ab-
gesehen von der Irrung im scheinbaren Ort des Mondes — ver-
mutlich in dem zu kurz bemessenen Abstand des Regulus. Gibt
er ja selbst (S. 96,3) ganz offen zu, daß solche Messungen bei
beträchtlichen Abständen „bald größer, bald kleiner ausfallen
können, als der vorliegende Abstand wirklich beträgt", scheut
sich auch nicht (I 138, 27) anzudeuten, daß er bei Beobachtungen
Hipparchs derartige Irrungen vermute, wiewohl er anderseits
(S. 136,28) geneigt ist, den Abmessungen am Astrolab einen
hohen Wert beizulegen.

Das ihm so trefflich passende Ergebnis mag wohl auch auf
die Schätzung anderer Sternabstände bestimmend eingewirkt
haben; denn Abrundungen, die ihn zu einem gewünschten Ziele
führen, nimmt Ptolemäus auch sonst nur zu gern vor.

a) Die beiden Längenparallaxen, -|- 10' bei 5^ östlich und — 5'
bei 2 "20' Abstand westlich des Meridians, stehen nicht nur zu
einander in richtigem Verhältnis, sondern auch zu der Höhen-
parallaxe, welche der Mond in der gegebenen Position bei
etwa 150 Zenitabstand — der sich für die Polhöhe von Alex-
andria am Globus leicht feststellen läßt — haben muß. Diese
Höhenparallaxe (AH) berechnet sich ohne wesentlichen Unter-
schied für die Abstände beiderseits des Meridians (nach der
Parallaxentafel I 323) zu 00 26', was (nach der Formel AH^ - HO*
= A0^ 8. Fig. I ^5) bei 10' Längenparallaxe (HO) zu einer
Breitenparallaxe (JO) von (676 — 100 = 576 d. i.) 24', bei 5' Längen-
parallaxe zu einer solchen von (676 — 25 = 651 d. i.) 25' 30" führt.

400 Anhang.

4) S. 32. Anmerkungen zum Sternkatalog. Von den
beiden neu hinzugefügten Spalten enthält die erste die Num-
mern des Sternverzeichnisses für das Jahr 1900, herausgegeben
von Dr. L Ambronn, Berlin 1907, die zweite, der Kürze hal-
ber nur mit „Bayer*' überschrieben, die Bay ersehen Buch-
staben und die Flamsteedschen Zahlen, soweit letztere vor-
handen sind; ein H ist der Zahl hinzugefügt, wenn sie dem
Sternverzeichnis von Heis zum Neuen Himmelsatlas, Cöln 1872,
entnommen ist. Wo außerdem die Bezeichnung des Sternbildes
nötig war, gebot der beschränkte Raum die möglichste Knapp-
heit; so steht C.ven. für Canum venaticorum, L.min. für Leo-
nis minoris, Cam. für Gatnelopardi, Gr. für Crucis u. a. m. Die
Heranziehung der Sternkarte wird das Verständnis leicht ver-
mitteln. — In der letzten Spalte mit den Größenangaben sind
die Zusätze iisi^av und iXdaöav (von Heiberg 40, 9 irrtümlich
i%K%i6xov gedeutet), die im Original bei gewissen Größenziffern
stehen, durch zwei Ziffern wiedergegeben: 4.5 z.B. heißt
„kleiner als vierter, aber größer als fünfter Größe", dagegen
4. 3 „größer als vierter, aber kleiner als dritter Größe". Bei
Summierung der Sterne einer Größenklasse gilt die voran-
ßtehende Ziffer.

Zur Bestimmung der Sterne ist außer dem genannten Atlas
von Heis der Himmelsatlas von Richard Schur ig, Leipzig-
Neustadt 1886, benutzt worden, der sich für diesen Zweck noch
besser eignet als ersterer, weil er auch die Zahlen von Flam-
steed und Heis angibt und auf den Karten die Ekliptik ein-
getragen zeigt. Teilt man letztere für die Zeit des Ptolemäus
durch Markierung der Zeichen anfange ein, was mit Hilfe ge-
wisser Sterne des Katalogs leicht zu erzielen ist, so bietet diese
Teilung, die auch noch weiter durchgeführt werden kann, ein
vorzügliches Hilfsmittel zur Schätzung der Längen und Breiten
der Sterne. Hierzu eignen sich beispieishalber die Sterne:

o Piscium Y 0"30' - 1°40' e Tauri Y29U0'-9"30'
132 Tauri TTl" 0' -fl'*20' ^l Cancri G 2°40' -f l*' 0'

V Leon.maj.i? 0^ 0' — O^lö' jr Virg. irp 0^30' ^b^ZO'
usw. von Zeichen zu Zeichen.

Zum Vergleich der gewonnenen Ergebnisse ist die Übertra-
gung von Joh. Eiert Bode, Claudius Ptolemäus, Beobachtung
und Beschreibung der Gestirne, Berlin und Stettin 1795, selbst-
verständlich herangezogen worden. Indessen werden Abwei-
chungen von den Bestimmungen Bodes, der auf die von Irr-
tümern und Druckfehlern wimmelnde Übersetzung von Mon-
tignot (Straßburg 1787) angewiesen war, nur hier und da her-
vorgehoben. Auch habe ich die Bestimmung einer Anzahl süd-
licher Sterne der Argo und des Zentauren lieber offen gelassen,

Anhang. 401

als sie dem Büchlein Bodes ungeprüft zu entnehmen. Was ich
mit Hilfe von Schurigs Karte des südlichen Himmels und einem
Globus von SS««^ Durchmesser (Sternkarte von C. Adami, Berlin
1906) habe erreichen können, ist mit oft nicht sonderlicher Zu-
verlässigkeit in den Katalog aufgenommen worden.

Drache 17. Die Lesart ^porjyotSftsi'os des Cod. D ist unbe-
dingt die richtige. — 23. Da die Sterne ^hg auf einer am west-
lichen Ende (g) südwärts geneigten Geraden stehen, so habe
ich für den mittelsten (h) die Breite, einen Schreibfehler im Ur-
text vermutend, von 807s° (^ y') auf SS** (ity) erhöht. Schon
Bode hat hier 83° 18' korrigiert.

Bootes 8. ft ist nicht nördlicher als d und ß, sondern nur
nördlicher als (5'; daher ist avtov statt avt&v zu schreiben. —
11. Nur einen Grad südlich unter % steht kein etwa einen
Grad nachfolgender Stern.

Herkules 12. Da s ein Stern dritter Größe ist, so scheint
die Lesart ^ {lü^av des Cod. D vor s', d.i. fünfter Größe, viel
für sich zu haben. Indessen habe ich von der Änderung ab-
gesehen, weil auch die Summenzahlen zweier Größenklassen des
Sternbildes entsprechend korrigiert werden müßten, was grund-
sätzlich zu vermeiden ist, da dies auch eine Abänderung in den
Gesamtsummen der Größenklassen am Schluß des Katalogs (S. 64)
zur Folge haben würde.

Leier 10. Der dicht unter y stehende Begleiter X muß min-
destens dieselbe Länge wie y haben. Daher ist die Länge 24'' 10'
des Cod. D vorzuziehen.

Schlangenträger 13. Da der Ort von | in der Ekliptik
zwischen denen von A und ^ liegen muß, so ist die Länge 23*^40'
des Cod. D die richtige. Bode vermutet an dieser Stelle den
neuen Stern von 1604.

Adler 14. y, paßt trotz der gut übereinstimmenden Breite
insofern nicht recht zu dem Stern t, als % letzterem heutzutage
in der Ekliptik nachfolgt; Bode hat daher die Länge entspre-
chend zurückgerechnet. Der vorangehende Stern 57 kann nicht
gemeint sein, weil er eine zu geringe Breite hat.

Andromeda 13. Die Lage der drei Gürtelsterne ßiiv er-
fordert die Umstellung der Längen für die beiden letzteren.

Widder 5. i steht in der Ekliptik dem Stern y voran; da-
her habe ich die Länge mit 6** 50' statt 6^30' angesetzt. —
13. Zu dem Stern 38 ist die Konstellation S. 159 zu verglei-
chen. Bode nimmt hier fi Ceti sicher falsch an; erstens ist die
Breite zu groß, zweitens wird dieser Stern an sechster Stelle
im Walfisch verzeichnet.

Stier 10. d muß genau dieselbe Länge wie d haben: die
Änderung von ty zu i y' ist möglichst einfach. — 20. t hat
nicht südliche, sondern nördliche Breite, wie schon Bode fest-

Ptolemäus, übers, v. Manitius, II. 9ß

402 Anhang.

gestellt hat. Indessen habe ich es bei der Geringfügigkeit der
Schwankung bei dem Ansatz des Originals belassen. — 27. In
Schurigs Atlas ist der größere Stern 41 mit tp zu bezeichnen,
nicht der höher stehende kleinere (vgl. Heis). Da dem Stern i|>
unbedingt die kleinere, p die größere Länge zukommt, so habe
ich die Umstellung der Längen 8^30' und 8^ vorgenommen. —
32. Es muß auffallen, daß Ptolemäus S. 24, 6 für den nach-
folgenden Teil der Pleias die stets sich gleichbleibende nörd-
liche Breite mit 3*^40' feststellt, während er hier diesem Teile
eine Breite von nur 3° 20' zuschreibt. Dies erklärt sich wohl
daraus, daß er a. a. 0. mehr die Mitte, d. i. den an das süd-
liche Ende der votangehenden Seite (31) anschließenden
Anfang des nachfolgenden Teiles im Auge hat, dem die
Breite 3*^40' zukommt; denn die Mitteilung des Timocharis läßt
(S. 22, 18) die Wahl zwischen dem nachfolgenden Drittel oder
der Hälfte. Richtig angesetzt ist die Breite 3°-20' für das
nachfolgende dichteste Ende sicherlich; denn die Pleias neigt
sich in ihrer Längsrichtung gegen die Ekliptik sichtlich von
Norden nach Süden. Dio Länge der Pleias geht aus der Diffe-
renz der Längen b) 3^40' und H 2^10' genau mit 1"30' hervor^
wie sie S. 157, 18 geschätzt wird. — 33. Es handelt sich nicht
um den sechsten Stern der Pleias, sondern um einen außer-
halb stehenden. Daher ist statt sxto? mit Cod. D iyirog zu
schreiben. Dieses ^i-ngoe genannte Sternchen ist sechster, nicht
vierter Größe, _ wie der griechische Text besagt. Indessen habe
ich von einer Änderung der Größenziffer aus dem zu Herkules 12
bemerkten Grunde abgesehen. — Die Summe 32 ist nicht falsch,
wie Heiberg (S. 90 unten) vermutet: pro Xß fuisse videtur ly,
sed y evanuit. Weil als elfter Stern (y) des Fuhrmanns dort in
der Summe inbegriffen, darf ß Tauri hier nicht noch einmal
mitgezählt werden. Ganz richtig ist er deshalb in der Summe 6
der Sterne dritter Größe des Stiers nicht inbegriffen: mit ihm
würden es sieben sein. Man vergleiche die Sternsumme des
Südlichen Fisches, welche ohne Fomalhaut elf beträgt; denn
Fomalhaut ist bereits als 42*^^* Stern des Wassermanns gezählt.
Wenn aus demselben Grunde v ßootis von der Summe der Sterne
des Herkules (S. 36 a. E.) ausgeschlossen wird, so scheint mir aus
der ungewöhnlichen Art, wie dies geschieht, hervorzugehen, daß
der diesen Stern betreffende Zusatz eine Glosse ist. — 36. Bode
nimmt hier das Sternchen sechster Größe 105 an, zu welchem
die Länge 21** des griechischen Textes paßt. Mir scheint die
Bezeichnung als „mittelster" zutreffender für den etwas grö-
ßeren Stern n, zumal da für ihn nicht nur die fünfte Größe^
sondern auch die im Cod. D mit 24" angegebene Länge stimmt.
Zwillinge 25. Infolge der fehlerhaften Länge oUO' läßt Bode
diesen Stern unbestimmt. Die Länge 3^, wie sie Cod. D bietet,

Anhang. 403

führt mit absoluter Sicherheit zu ^ Cancri (Tegmine). Man ver-
gleiche das Alignement S. 8, 22 und die Konstellation S. 133 unten.

Löwe 26. Statt 3*12' ist die Breite 3M0', wie sie Cod. D
bietet, unbedingt vorzuziehen (Heiberg: fortasse recte)-, denn s'
( Veo) ^i^^ i™ Katalog nirgends als Sexagesimalbruch angewendet.

Jungfrau 2. ^ muß vor v liegen. Da die Länge 26''20' von
V durch die v und a Crateris verbindende Gerade zweifellos
feststeht, so war für | die Länge 27" mindestens in 26" zu korri-
gieren. Bode hat 26" 13' durch Rechnung festgestellt. — 17. li
steht nicht nördlich, sondern südlich der Ekliptik, wie auch
Bode bemerkt. Indessen hat)e ich es aus demselben Grunde wie
bei T (Stier 20) auch hier bei dem Ansatz des Originals belassen.
— 19. Die Lage von i ist zwar durch den Vergleich mit der
Spika gesichert, doch bildet i mit den vorgenannten Sternen
schwerlich ein Viereck. — 31. Die drei Sterne 53, 61, 89 stehen
auch nach den Breitenangaben des Ptolemäus nicht genau auf
einer Geraden. Daß 53 bei der Länge 27" 10' der Spika y^»
östlich vorangeht, stimmt nicht zu der heutigen Länge, die Bode
mit 25"39', d. i. 1" westlich der Spika, zurückgerechnet hat. Als
Doppelstern kann der Stern 61 mit 63 heutzutage kaum gelten.

Scheren 14. Südlich von l und 41 findet Bode deshalb
keinen Stern, der in Länge zwischen ihnen steht, weil er x als
vorangehenden nördlichen ansetzt. Die Zwischenlage kommt
% zu, auch die überwiegende Größe; aber während die geringe
nördliche Breite für % und 41 stimmt, hat x nicht lYg" süd-
liche Breite, sondern steht heutzutage gleichfalls, wenn auch nur
ganz unbeträchtlich — nach Bode 0"1' — nördlich der Ek-
liptik. Der südliche Abstand des Sterns % von 41, der nach
Ptolemäus 1"50' beträgt, muß sich demnach mindestens um die
ganze damalige südliche Breite von x verringert haben.

Skorpion 14. Die Bezeichnung der Bestandteile des Doppel-
stems ist verschieden: nach Ambronn ist ^^ der größere (3,8),
^^ der kleinere (4,8), während Schurig den größeren mit ^* be-
zeichnet und Bode l)eide unter dem Buchstaben ^ zusammenfaßt.
Ich habe die Bezeichnung Ambronns angenommen. Auf jeden
Fall war die Angabe der Breite für beide Sterne umzustellen:
der südlichere muß natürlich die größere Breite haben.
Wahrscheinlich sind auch die Längen umzustellen, weil der
Widerspruch in Breite vermutlich nur durch Vertauschung der
Beiwörter „der nördliche" und „der südliche" in der Beschr ei-
bung der Sterne entstanden ist. Tatsächlich geht der Be-
gleiter (^^) dem Hauptstern (^^) mit einem kaum bemerkbaren
Unterschied in Breite westlich voran«'); es kommt ihm daher

a) Das ist der Grund, weshalb der Begleiter bei Ambronn
(als zuerst kulminierender Stern) die Bezeichnung ^^ erhalten hat.

26*

404 Anhang.

eigentlich die kleinere Länge (20°) zu. Ob der Wechsel in
Länge durch die Annahme erklärt werden kann, daß der Be-
gleiter in der Zwischenzeit nahezu einen halben Umlauf um
den Hauptstern gemacht hat, muß ich dem Urteil der Astronomen
überlassen. — 22. Nebeiförmig ist G allerdings nicht, entspricht
aber in Länge und Breite ziemlich genau. — 24. Daß von den
zwei Sternen d und 43 bei gleicher Länge d der vorangehende
genannt wird, ist auffallend. Gerade dieser, <Z = 45 Ophiuchi,
ist heutzutage der nachfolgende und 43 (bei Schurig falsch mit
45 bezeichnet) der vorangehende» was Bode durch Angabe der
entsprechenden modernen Längen richtigstellt.

Steinbock 9, x steht (nach Schurig) in der Ekliptik in
Länge vor v, ist aber als der hellste der kleinen Sterne dieser
Gegend sicher gemeint. — 21. Für votim vermute ich, da es
keine nördliche Entsprechung hat, variaia (vgl. S. 54 Fische 29;
S. 63 Südl. Fisch 5) und habe dementsprechend übersetzt.

Wassermann 14. q steht mit Fomalhaut genau auf dem-
selben Breitenkreis; dadurch ist die Länge gesichert. Die Breite
ist sichtlich geringer als die von -9-; deshalb habe ich die Minuten-
zahl (10') zu der Breite (3°) von %• gesetzt. — 17. e steht, wie
nur (^od. D richtig bietet, um die angegebene Breite (nach
Bode 0^14') südlich der Ekliptik, nicht nördlich. — 23. x steht
mindestens 4** (statt 2*^) nördlich der Ekliptik bei wesentlich
geringerer Länge als der mit 15" angegebenen, da sie zwischen
die Längen 13^20' und 12" von rj und ^ fallen muß. Deshalb
hat Bode den Stern % mit der zurückgerechneten Länge 12" 20'
nur vermutungsweise hier angesetzt, _ obgleich kein anderer in
dieser Gegend augenfälliger ist. Eine Änderung der Koordinaten
habe ich nicht vorgenommen, wiewohl gegen die Länge 15"
auch noch folgendes spricht. — 24. Da % der vorangehende
genannt wird, so dürfte l mit der Länge 14"50'' ursprünglich
als iTroVevos, nicht als ixoiiBvog bezeichnet gewesen sein, woraus
zu schließen wäre, daß v, mit geringerer Länge als % angesetzt]
war. Zu l sei noch bemerkt, daß die geringe Breite heutzutage]
(nach Bode 0"22') südlich. ist. — 29. Mit i|; sind in den Karten
drei dicht nebeneinander stehende Sterne vierter bis fünfter
Größe bezeichnet, davon o/j^ als ein im Teleskop auflösbarer
Doppelstern (vgl. S. 158, 5). — 32. Der nachfolgende Stern ca^
hat heutzutage die größere Breite, wie auch Bode angibt. —
35. Die Bestimmung des „nachfolgenden" ist nach der Karte
von Schurig getroffen, wo es der Stern t^ (107 Flamst.) ist, den
Heia unbezeichnet läßt. Diese Gruppe zeigt vier Sterne: 104A
(nach Ambronn und Schurig in 103 A^ und 104 A^ zerfallend).
106 1\ 107 (auch bei Ambronn i% 108 1^ (bei Ambronn wohl
Fehler statt i^). Wenn Ptolemäus einen dieser Sterne wegläßt
so ist es vermutlich der vierte (108) etwas abseits stehende

Anhang. 405

(bei Heis t^ bei Schurig l^). Gerade auf diesen trifft allerdings
die Bodesche Bezeichnung A^ zu. Gegen diesen Stern scheint
mir die gegen A zu große Differenz in Breite zu sprechen. —
39, Da c^ unbedingt am tiefsten steht, so waren die Breiten-
angaben für c^ und c^ umzustellen.

Walfisch 17. Ein Viereck, dessen vorangehende und nach-
folgende Seite genau je einen Grad betragen soll, läßt sich aus
den heutzutage nahezu auf einer Geraden stehenden Sternen
qp\ qp2, qp* und qp^ (17, 19, 22, 23 Flamst.) nur unter der Voraus-
setzung gestalten, daß seinerzeit g?^ 1*^ südlicher als g?*, und
qp* 1" nördlicher als qp"' gestanden hat. Bode nimmt den etwa
3" nördlich von qp^ stehenden Stern 21 zu Hilfe und bestimmt
als nachfolgende Seite 21, 19, als vorangehende 17 und einen
nördlich fehlenden Stern.

Orion 7. Unterhalb § stehen zwei kleine Sterne; doch dürfte
heutzutage | mit Bezug auf keinen derselben als Doppelstern
zu bezeichnen sein. — 36. t steht nur nördlicher als |3; daher
ist unbedingt mit Cod. B avtov statt avt&v zu lesen.

Großer Hund 5. Daß l größere Länge als y haben soll, ist
unbedingt falsch. Es liegt vermutlich in jcs y' ein Druckfehler
vor; denn Halma überliefert 20*^20' und Bode gibt zweifellos
korrekt 21*^20' an, was ich angesetzt habe. — 22. d Col. wird
zur Zahl Ambronns falsch 8 Canis majoris benannt; denn dieser
Stern des Hundes steht unter 2339. — 24. Statt tolg reaaccQöi
ist r«v rsöcdgav zu schreiben: westlich von den genannten
vier Sternen stehen drei auf einer Geraden, keineswegs aber
auf einer Geraden mit jenen vier.

Argo 5. Die nördlicheren Sterne des Hinterteils sind nach
der Karte von Heis bestimmt, die südlicheren nach der Karte
von Schurig. Die von Heis gebrauchten Buchstaben stimmen
entweder mit den Ambronnschen überein oder sind bei Am-
bronn zu abweichenden Buchstaben in Parenthese hinzugefügt.
Unterlassen ist dieser Zusatz bei m Ambronn = 7t Heis. Ich
habe den Buchstaben m gewählt, weil bei Ambronn tc Puppis
= 2408. Ohne jede Bezeichnung ist bei Ambronn der Stern %.
— 11. Der nach dem Katalog von Heis angesetzte Stern v ge-
hört nach Ambronn (ohne Buchst.) und Schurig zu dem Stern-
bild des Großen Hundes. — 45. t stimmt vortrefflich zu Ka-
nobus, wenn die Länge 29" zu 19*^ korrigiert wird.

Wasserschlange 25. tc hat unbedingt dieselbe Breite wie
der vorletzte (y) im Schwänze. Daher habe ich die von Bode
nach seiner eigenen Konjektur festgestellte Breite 18^40' der
viel zu großen Zahl 17*^40' des griechischen Textes ohne Be-
denken vorgezogen.

Zentaur 31.33.36. Die nähere Bezeichnung des Fußes ist
bei diesen drei Sternen der Beschreibung der Milchstraße

406 Anhang.

S. 65, 24. 26. 28 entnommen. — 34. Für diesen Stern findet sich
a. a. 0. S. 65,30 die Bezeichnung: „der am Knöchel desselben
Fußes". Obgleich zweiter Grröße, ist er nach dem mir vorlie-
genden Material nicht bestimmbar.

Wolf 19. Zu der Ambronnschen Zahl 4828 ist statt / offen-
bar falsch d Lupi gesetzt: erstens stimmt Rektaszension und
Deklination genau für den bei Schiirig und auf dem Globus mit
f bezeichneten Stern, zweitens ist d Lupi wenige Zeilen weiter
richtig unter 4836 aufgeführt.

Südlicher Fisch 14. Die vier ersten Sterne des Mikroskops
konnten mit Sicherheit nach der Karte von Schurig bestimmt
werden; nur mußte dem nachfolgenden Stern s statt 11"
die Länge 14° gegeben werden, wie sie von zweiter Hand korri-
giert in Cod. A steht, zweifellos richtig, wie die Länge 12*^ des
diesem vorangehenden Sterns d beweist. Die Sterne y und
£ sind in Ambronns Verzeichnis nicht zu finden.

5) S. 87. Soll der mit einem im Horizont stehenden Stern
gleichzeitig aufgehende Ekliptikgrad gefunden werden, so ist
zunächst nach Feststellung der Mitkulmination des betreffenden
Sterns mit der wahren Sonne (S. 85,14) der Ekliptikgrad
der Sonne und mit diesem der Kalendertag der Kulmi-
nation als gegeben anzunehmen. Aus dem Grad der Sonne be-
rechnet man (I 93, 21) für die zugrunde gelegte geographische

Breite die Länge der bürgerlichen
Tagstunde des gegebenen Tages.
Der (nach S. 86, 14) zu bestimmen-
de Äquatorbogen 0 E drückt die
seit Sonnenaufgang verstrichene
\j Zeit aus, zu welcher der mit der
Sonne auf demselben Deklinations-
kreis (Z0) stehende Stern (H) in
den Horizont tritt. Nachdem man
diese Zeitgrade in bürgerliche
Stunden von der gegebenen Länge
(I 98, 82) verwandelt hat, berechnet
man (199,5) für diese seit Sonnenaufgang verstrichenen bürger-
lichen Stunden den zurzeit aufgehenden Grad der Ekliptik.
Nimmt man schließlich in dem aufgehenden Grad die Sonne
an, so ist damit auch der Kalendertag des wahren Mit-
aufgangs mit der Sonne gefunden.

Die entsprechende Berechnung führt zu dem mit einem Stern
gleichzeitig untergehenden Ekliptikgrad und damit zur Be-
stimmung des Kalendertags des wahren Mituntergangs
mit der Sonne.

6) S. 132. Die Epoche der Zeitrechnung des Dionysius ist
die Sommerwende am 26. Juni 285 v. Chr. = 27. Pharmuthi

Anhang. 407

463 Nab. In das erste Dionysische Jahr (vgl. S. 167, 2i) fällt die
Thronbesteigung des Ptolemäus II. Philadelphus (285 — 247 v. Chr.),
dem Ptolemäus Soter schon zwei Jahre vor seinem Tode unter
Hintansetzung des erstgeborenen Sohnes die Regierung abtrat
und zur Thronweihe ein Prachtfest anordnete, desgleichen noch
nicht erlebt worden war. Somit liegt der Schluß nahe, daß
Dionysius dem Philadelphus zu Ehren oder um ihm zu schmei-
cheln die neue Ära eingeführt habe. Ebenso natürlich ist die
Voraussetzung, daß die Daten der von Ptolemäus mitgeteilten
Beobachtungen von Dionysius selbst als Beobachter herrühren.
Die zwischen dem 13*«^ und 45*^^ Jahre der Ära liegende Zeit
läßt unstreitig die Möglichkeit zu, daß die letzte Beobachtung
(241 V. Chr.) in sein 65*«^ Lebensjahr fällt, wenn er als Dreißig-
jähriger etwa im 10*^^ Jahre der Regierung des Philadelphus
(d. i. 275 V. Chr.) zur Ausführung seiner Idee schritt. Daß er
in Alexandria beobachtet hat, geht daraus hervor, daß Ptolemäus
€S nicht für nötig hält, die Beobachtungszeiten auf den Meridian
von Alexandria zu reduzieren. Entnommen hat er dieses Material
zweifellos der Sammlung des Hipparch, dessen Name mit einer
dieser Beobachtungen (S. 134, 29) in Verbindung gebracht wird.
Die Monate dieser Zeitrechnung sind in der Weise nach den
Zeichen des Tierkreises benannt, daß die betonte Endsilbe -mv
■der griechischen Monatsnamen an den Stamm der Zeichennamen
angehängt wird. Ihre Reihenfolge ist mit Ergänzung der nicht
überlieferten Namen: (Karkinon) Leonton, Parthenon, (Chelon)
Skorpion, (Toxon) Ägön, Hydron, (Ichthyon, Kriön) Tauron,
Didymon. Daß die Sommerwende am 1. Karkinon die Grenz-
echeide der Jahre ist, beweisen die im Tauron (S. 133, 7) und im
Leonton (S. 134, 28) angestellten Beobachtungen, welche in auf-
einander folgende Dionysische Jahre, aber in dasselbe Nabo-
nassarische fallen. Die vielumstrittene Frage, ob das Jahr des
Dionysius ein Epagomenenjahr oder ein Zodiakaljahr
sei, ist von Böckh in der Abhandlung über „die Zeitrech-
nung des Astronomen Dionysios" (Sonnenkreise der Alten,
Berlin 1863, S. 286—340) endgültig entschieden worden. Nimmt
man ein aller vier Jahre um einen Schalttag zu vermehrendes
Zodiakaljahr von 7 Monaten zu 30 und 5 Monaten zu 31 Tagen
an, die auf die Jahresviertel so zu verteilen sind, daß der Ano-
malie der Sonne Rechnung getragen wird, so muß man von
den sieben überlieferten Daten nicht weniger als drei korri-
gieren, um sie mit den gegebenen Sonnenörtern, welche die
Nachprüfung als richtig erweist, in Einklang zu bringen. Wird
dagegen das Jahr als Epagomenenjahr aufgefaßt, d. h. als Jahr
von 12 Monaten zu 30 Tagen und 5 Zusatztagen, denen im
dritten Jahr jeder vierjährigen Periode ein sechster hinzu-
gefügt wird, so macht sich nur eine Änderung nötig: nicht

408 Anhang.

der 25., sondern der 26. Ägon trifft auf den 18. Januar 272 v. Chr.
zu, weil bei 30 tägigen Monaten, jom 26. Juni (1. Karkinon)
des Jahres 273 ab gezählt, der 1. Ägon auf den 23. Dezember
dieses Jahres fallen muß.

Im Laufe eines Epagomenenjahres werden die Monatsersten
allmählich hinter den Zeichenanfängen zurückbleiben, was na-
türlich am stärksten in den letzten Monaten, dem Tauron und
dem Didymon, zum Ausdruck gelangen muß. Es wird genügen
dieses Verhältnis für den 7. Didymon des 28. Dionysischen Jahres
(258/57 V. Chr.) zu erläutern, an dem der mittlere Sonnenort
TT 2*^50' für den Abend gilt. Weil die mittleren Sonnenörter
sich auf Daten aus verschiedenen Jahren (272 bis 241 v. Chr.)
und auf verschiedene Tageszeiten (früh oder abends) beziehen,
so hat Böckh (vgl. die Tabelle a. a. 0. S. 328) die Örter auf
das betreffende Jahr und für 6^ früh desjenigen Tages berechnet,
an dessen Morgen der Dionysische Tag (vgl. I Anh. Anm. 27)
beginnen kann. Zieht man von dem mittleren Sonnenort TT 2° 50'
am Abend des 7. Didymon einen halben Grrad mittlere Sonnen-
bewegung ab, um den Ort für 6'' früh zu erhalten, und addiert
man zu TT 2® 20' für die 23 Tage bis zum letzten des Monats
22° 40' mittlere Sonnenbewegung, so erhält man für den 30. Di-
dymon früh den Sonnenort TT 25°. Somit entfallen auf diesen
Tag und die 5 Epagomenen rund 6° Sonnenbewegung, so daß
im Laufe des 1. Karkinon der mittlere Sonnenort wieder in den
ersten Grad des Krebses zu liegen kommt.

7) S. 142. 163. Daß bei 90° mittlerer Entfernung des Epi-

zykels von dem Apogeum des Exzenters die Differenz zwischen

den entgegengesetzten größten Elongationen dem Doppelten

„,o des Maximums der auf die Ekliptik

bezogenen Anomalie gleichkommt,

soll mit Rücksicht auf die weniger

komplizierte Figur für die Venus

nachgewiesen werden.

Der Kreis um B sei der mit der
Ekliptik konzentrische Kreis, der
Kreis um 0 der den Epizykel tra-
gende Exzenter. Die den Epizykel
herumführende Leitlinie AE soll bis
zum Apogeum 8 25° noch einen Qua-
dranten zurückzulegen haben, d. h.
der mittlere Ort des Epizykels, welcher
mit dem mittleren Ort der Sonne zu-
sammenfällt, wird in a^ 25° liegen.
Daß dieser Punkt der Ekliptik für ein Auge in B und A unter-
schiedslos ist, wird durch die große Entfernung der Ekliptik
im Verhältnis zu der geringen Exzentrizität BA augenschein-

Anhang. 409

lieh : die Parallelen durch B und A schneiden sich in der Un-
endlichkeit in xü 25°. Die entgegengesetzten größten Elon-
gationen von der mittleren Sonne in den Punkten Z und H seien
auf dem Konzenter mit ©(stlich) und w (estlich) markiert. Für
das Auge in B liegt der Mittelpunkt des Epizykels in genau-
berechneter Länge um den Scheitelwinkel des Z. BEA, d.i. um
das Maximum der Anomaliedifferenz, wie bei der Sonne (s. I Anh.
Anm. 24), in der Ekliptik weiter vorwärts (auf der Geraden B E).
Ebendort liegt scheinbar (Punkt g) das genaue Apogeum des
Epizykels, von dem aus gemessen die beiden Elongationen
gleichgroß sind. Nun erhält von dem mittleren Apogeum (m)
oder dem mittleren Sonnenort ai* 25° aus gemessen, die öst-
liche Elongation (auf der Abendseite des Epizykels) einen den
l,BEA(=bmg) betragenden Zusatz, während die westliche
Elongation (auf der Morgenseite) einen ebensogroßen Abzug er-
leidet. Mithin wird die östliche Elongation um das Doppelte
dieses Winkels (oder ^6 mg), d. i. um das Doppelte der Anomalie-
differenz größer als die westliche (vgl. 1159, 17); folglich be-
trägt das Maximum der Anomaliedifferenz (d.i. /.BEA) die
Hälfte (d. i. bgm) der zwischen den beiden Elongationen fest-
gestellten Differenz.

8) S. 147. 221. 244. Die östliche mittlere Elongation der
Mondsichel am 2/3. Epiphi TVa^ abends beträgt (von « 22° 34'
bis ni2°14') 19°40', die mittlere Anomalie (S. 147, 20) 281°20'.
Nach der ausführlichen Berechnung der Differenz der Gesamt-
anomalie in Anm. 3 wird folgendes Schema verständlich sein.

1. Yerdopp. Elong. 39°20': Untersch. des gen. Apog. -|-5"40'

2. Genauber. An. 287° 0': 1. Anomalie •4°40', Übersch. 2°19'

3. Verdopp. Elong. 39°20': %„ x 2°19' = 0°14'

Diff. der Ges.-Anom.: 4°40' -[- 0"14' = 4°54'

Genauer Ort: H 12°14' + 4°54' = n 17°8'.

Hiermit wird der von Ptolemäus mit TT17°10' angegebene
genaue Ort ziemlich erreicht.

Im zweiten Fall (S. 221) hatte der Mond am 26/27. Mesore 5^
früh den letzten Oktanten hinter sich; denn er stand etwa 37®
westlich der Sonne. Seine östliche mittlere Elongation, d. i.
die von der mittleren Sonne in der Richtung der Zeichen ge-
messene, beträgt (von G 16°11' bis TT 9°) 322°49', die verdoppelte
Elongation (645°38' — 360°=) 285°38', die mittlere Anomalie
(S. 221,3) 272°5'.

1. Verdopp. Elong. 285°38': Untersch. des gen. Apog. - 11° 27'

2. Genauber. An. 2600 38': 1. Anomalie 5°, Übersch. 2°39'

3. Verdopp. Elong. 285°38': ^^eo x 2°39' = 0°50'2ü"

Üiff. der Ges.-Anom.: 5°-l- 0°50'20"

Genauer Ort: H 9°-j- 5°50'20" = n 14°50'20".

410 Kl

Anhang.

F' Im" dritten Fall (S. 244) stand der Mond am 6. MecMr 8^
abends kurz vor dem ersten Oktanten. Seine östliche mittlere
Elongation beträgt (von / 28*^41' bis a^* 8<>55') 40*^14', die mitt-
lere Anomalie (S. 244,8) 174*'15'.

1. Verdopp. Elong. 80^28': Unterscb. des gen. Apog. -f 11*^

2. Genauber. An. 185^15': I.Anomalie 0^31', Überscb. 0^8'

3. Verdopp. Elong. 80«28': "/^^ x on8' = 0<^7'

Diif. der Ges.-Anom.: 0<>31' -|- 0"?' = 0°38'

Genauer Ort: «^ 8*>55' + 0*^38' = ^ 9^33'.
Das Ergebnis bleibt hinter dem von Ptolemäus mit «* 9^40'
angegebenen genauen Ort demnach um 0"7' zurück.

9) S. 152. 201. Die Sehnentafeln enthalten die Sehnen bis zu
der Sehne des Bogens von ISO**, d. i. bis zum Durchmesser, der
den Halbkreis unterspannt. Überschreitet ein Bogen 180** des
Kreises, d. h. wird der ihn unterspannende
Peripheriewinkel (/, PBH) größer als ein
Rechter, so ist den Tafeln die gleichgroße
f Sehne zu entnehmen, welche den Supplement-
bogen oder den Supplementwinkel (/, TAH)
unterspannt. In dem umschriebenen gleich-
schenkligen Dreieck TBH ist daher die
Sehne PH den Sehnentafeln zu dem Supple-
mentwinkel des /, PBH zu entnehmen. Es
ist also, weil /, TB H = 270^^20' wie 2B = 360«,
mit /, TAH = 89^40' desselben Maßes in die
Tafeln einzugehen.

Aus demselben Grunde kann S. 201, 3 die den gegebenen
/, B0E überspannende Sehne (AT) als gleichgroß wie die den
Nebenwinkel B0N überspannende Sehne BN den Sehnentafeln
zum kleineren Winkel entnommen werden, vorausgesetzt, daß
beide Sehnen in gleichgroßen Kreisen
liegen. Man halbiere /, B0E, mache
die Halbierungslinie 0A gleich B0 und
beschreibe um 0 A als Durchmesser einen
Kreis. Wird die Sehne A f gezogen und
das Sehnenviereck 0 A A f fertig ge-
zeichnet, so werden die Sehnen B N und
Ar von gleichgroßen Winkeln unter-
spannt; denn /, B0N ist Nebenwinkel
und /.AAP Supplementwinkel des gegebenen /^ B0E.

Diese Erörterung machte sich nötig, um den Beweisgang
(S. 201, i) mit der den Verhältnissen nicht genau entsprechen-
den Figur halbwegs in Einklang zu bringen, ohne den Neben-
winkel BON = 98*^21' einzuschieben, der in dem rechtwinkligen
Dreieck B N 0 überhaupt nicht liegen kann. Dieses Mißverhält-
nis wird durch den an der Figur (S. 200) mehr als einen

Anhang.

411

Eechten betragenden /^ 0 E A vernrsaclit. Eine dem Verhältnis
ZE : AA = 12p : 60p entsprechende Figur mit den genauen Win-
keln würde fünf- „

mal größer sein als ^ — i A

die (S. 200) vor-
gelegte. Deshalb
wird beistehend
■der Ausschnitt ei-
ner in den genauen
Verhältnissen ent-
worfenen Figur
mitgeteilt, an wel-
cher der Halbmes-
ser B 0 1 1 E A auf die
andere Seite des •
Lotes B N zu liegen
kommt, so daß
/.BON = LGEA
als Winkel von
81° 39' in dem rechtwinkligen Dreieck BN0 liegen kann.

10) S. 154. 170. 250. 1. In 46 Sonnenjahren und einem Tage,
d. i. in 16802 72 Tagen, vollendet (S. 100, 24) der Merkur 145 Wie-
derkehren der Anomalie, Die auf 20 ägyptische Jahre oder 7300
Tage entfallenden Umläufe erhält man daher nach der Proportion

168027, :7300

145 :a: mit o. = 62 {f|||.

Folglich fehlen an 63 Umläufen auf dem Epizykel

Nahezu dasselbe Ergebnis erhältmanbei Anstellung der Berech-
nung nach der Tafel der gleichförmigen Bewegungen des Merkur
(S. 117). Da der Merkur in einem ägyptischen Jahre über drei
volle Umläufe der Anomalie noch 53°56' zurücklegt, so beträgt in
20 ägyptischen Jahren über (3 x 20 =) 60 Umläufe der Überschuß
(53»56'x20=)1078<'40', d. h. am 63*«'» Umlauf fehlt iVg^

2. Die Venus legt(S. 100,19) 5 volle Umläufe auf dem Epi-
zykel in 8 Sonnenjahren weniger 2 % Tagen oder in 2919^/3 Tagen
zurück. Nun sind 8 ägyptische Jahre, d. s. 2920 Tage, um Yg Tag
länger; es entfällt also in 8 ägyptischen Jahren auf 5 Umläufe
ein Überschuß von 0*^12' 19"; denn so viel beträgt in 8 Stunden
die Bewegung der Venus in Anomalie nach der Tafel (S. 114).

3. Um festzustellen, daß der Saturn (S. 250, 27) in der
Zwischenzeit von 364 ägyptischen Jahren und 219 7^ Tagen in
der Tat 351 volle Umläufe in Anomalie und darüber 351*27'
zurückgelegt hat, multiplizieren wir den jährlichen Betrag
in Anomalie mit 364 und addieren dazu den auf 21974 Tage

412 Anhang.

entfallenden Überschuß. Ziehen wir alsdann von der Summe

351 ganze Kreise ab, so erhalten wir die oben angegebene

Anomaliezahl. Die Rechnung gestaltet sich folgendermaßen:

347'' 32' 0"48'"x364

126 5020 12' 51" 12'"

209° 14' 3" 16'" in 219y/

126 711° 26' 54" 28'"

126 360° 0' 0" 0'" d. i. 351 x 360°
351° 26' 54" 28'".
11) S. 156. Die Jahreszahl 14, welche der griechische Text
bietet, ist unbedingt falsch. Das Richtige hat hier ursprüng-
lich Cod. D geboten: d' ist erst von der zweiten Hand in id'
korrigiert. Abgesehen davon, daß in der Syntaxis keine von
Ptolemäus angestellte Beobachtung über das vierte Jahr Antonius
hinausfällt, lehrt die Berechnung des mittleren Sonnenortes,
daß das 14*^ Jahr ausgeschlossen ist. Das vierte Jahr Antonius
(vgl. I Anh. Anm. 30) ist das 888*« seit Nabonassar und läuft
vom 19. Juli 140 bis 18. Juli 141 n. Chr. Seit dem Mittag des
1. Thoth (19. Juli) bis zum Mittag des 11. Thoth (29. Juli) sind
10 Tage verflossen, hierüber bis zur Morgendämmerung des
12. Thoth %b^ früh 16 Vg Stunden. Ein späterer Termin der
Beobachtung kann mit Rücksicht auf die Jahreszeit kaum an-
genommen werden; auch würde eine halbe Stunde später nur
1'14" mehr ausmachen. Für 887*10*16 72^ ergibt die Nachprü-
fung den mittleren Sonnenort zwar nur mit v 5°37'58" statt
mit Q 5°45' ; allein bei der Vorliebe des Ptolemäus für günstige
Abrundung fällt dieser Minderbetrag weniger ins Gewicht als der
Umstand, daß die Berechnung für 10 Jahre später (27. Juli 150
n. Chr. 7^5^^ früh) den mittleren Sonnenort mit V 3° 26' 41" liefert.
Als Ergänzung des zum ersten Bande (Anh. Anm. 30) auf-
gestellten Kanons der Regierungsjahre Hadrians und Anto-
nius seien hier die im zweiten Bande dazukommenden Jahre
Hadrians zur leichteren Prüfung der modernen Datenhinzugefügt.
11*«« Jahr Hadrians, das874t«seitNab.,vom23. Juli 126— 22. Julil27
12*«« „ „ „ 875*« „ „ „ 23 Juli 127— 21 Julil28

13*«« „ „ ,, 876*« „ „ „ 2 2. Juli 128— 2 I.Juli 12?

14*«« „ „ „ 877*« „ „ „ 22.Julil29— 21.Julil30

15*«« „ „ „ 878*« „ „ „ 22.Julil30— 21.Julil31

16*«« „ „ „ 879*« ., „ „ 22. Juli 131— 20. Juli 132

18*«« „ „ „ 881*« „ „ „ 21.Julil33— 20 Julil34.

Die Stellen des Textes, in denen die einzelnen Jahre genannt
werden, gibt das Namenverzeichnis unter Hadrian und Antonin
an die Hand.

Anhang.

413

12) S. 254. Der Exzenter der gleichförmigen Bewegung sei
der Kreis um das Zentrum Z, der den Epizykel tragende Ex-
zenter sei der Kreis um das Zentrum A, Mittelpunkt der Ekliptik
sei E (vgl. die Fig S. 209). Die Prosthaphäresis infolge der
größeren Exzentrizität wird durch die Winkel E-Z gemessen,
die infolge des Laufs auf dem Exzent'r mit der kleineren Ex-
zentrizität durch die Winkel EAZ, ETZ, EPZ, EA'Z. Maß-
gebend für die genauberechnete Länge des Epizykelmittelpunktes
ist die zahlenmäßige Größe dieser letzteren Winkel, zu deren
Ermittelung die in der dritten und vierten Spalte der Tabellen
angesetzten Zahlen dienen. Die dritte Spalte enthält die den
Winkeln EEZ entsprechenden Prosthaphäresisbeträge, die vierte
die nur Minuten betragende Größe
der Winkel AEE, TEE usw.,
welche die Differenz der beiden
Arten der Prosthaphäresis aus-
drücken. Gleich Null wird diese
Differenz in den mittleren Ent-
fernungen, d. i. in den Knoten- \jo
punkten der beiden Exzenter, die "^
bei den übrigen Planeten in die
Längen 93 '^ und -267®, bei dem
Merkur infolge der größeren Ex-
zentrizität in die Längen 60 " und
300 '' fallen. Bei ersteren gewinnt
man oberhalb der Knotenlinie,
d. i. auf dem erdfernen Halb-
kreis, die Prosthaphäresis infolge des Laufs auf dem zweiten
Exzenter durch Addition der Differenz zu den Beträgen der
dritten Spalte (Außenwinkel EAZ= ^ EEZ-[- /, AEE), auf dem
erdnahen Halbkreis durch Subtraktion der Differenz
(Dreieckwinkel E FZ = Außenwinkel EEZ — Dreieckwinkel TEE).
Das entgegengesetzte Verfahren für den Merkur (vgl. die Tabelle
S. 265) erklärt sich aus der rückläufigen Bewegung des den
Epizykel tragenden Exzenters, infolge welcher der Planet zwei-
mal in die Erdnähe gelangt. <

Die Berechnung dieser drei Winkel für eine gegebene gleich-
förmige Länge ist in den Beweisen der Exzentrizität der Pla-
neten zahlenmäßig durchgeführt worden. Nachdem z. B. für den
Jupiter die gleichförmige Länge NE mit 79"30' ermittelt war,
wurde von dem /, NZE ausgehend, (S. 211,18) die Differenz^)
/, EAZ — /, EEZ = /, AEE mit 0°3' nachgewiesen; demnacü ist

2b) Die Einführung des Buchstaben Z für an der zitierten
Stelle gebrauchtes O wird nicht irre führen, da auch dort das
Zentrum des ersten Exzenters mit Z bezeichnet ist.

414

Anhang.

L EAZ = /.EEZ + 003', d. h. zur Größe des 4EEZ, die zur ge-
gebenen Länge in der dritten Spalte steht, müssen die 3 Minuten
aus der vierten Spalte addiert sverden, um den gesuchten
/_ EAZ zu erhalten. Desgleichen wurde von dem mit 32^51'
ermittelten Perigeumabstand ZN ausgehend^), (S. 214, le) die
Differenz /. EEZ — /. ET'Z = /, TEE mit 0^7' nachgewiesen,
also /, EEZ-On' = LErZ, d.h. von der Größe des L EEZ
müssen 7 Minuten abgezogen werden, um den /_Er'Z zu
erhalten.

13) S. 266. 267 zweimal. 1. Genaue Berechnung der Länge
und der Anomalie. Die Prosthaphäresis der Länge, d. i. /_ BEM-
oder vielmehr dessen Scheitelwinkel, entspricht der Anomalie-
differenz bei der Sonne (1171,22) und zugleich dem Unterschied
des genauen Apogeums des Epizykels von dem mittleren,
ähnlich wie bei dem Monde (I 269, 20). Zwischen Apogeum und
Perigeum des Exzenters (d. i. bei den Argumentzahlen der ersten
Spalte) bleibt der Endpunkt der Leitlinie ME in der Ekliptik
hinter dem Endpunkt der Leitlinie BE der gleichförmigen Be-
wegung um den /_BEM zurück: man hat die Prosthaphä-
resis von den Graden der gleichförmigen Länge abzuziehen,

um die genauberechnete
.9^ zu erhalten. Um densel-

ben Winkel geht auf dem-
selben Halbkreis des Ex-
zenters das mittlere Apo-
geum (w) des Epizykels
dem genauen {g) voraus:
man hat die Prosthaphä-
resis zu den Graden der
mittleren Anomaliezahl
zu addieren, um die auf
das genaue Apogeum re-
duzierte Zahl zu erhalten.
Daß auf dem Halbkreis des
Exzenters vom Perigeum
zum ^pogeum (d. i. bei den Argumentzahlen der zweiten Spalte)
das umgekehrte Verfahren eintreten muß, ist aus dem Ver-
hältnis der Leitlinien an der Figur deutlich zu erkennen.

2. Berechnung der Prosthaphäresis der Anomalie. Die Prosth-
aphäresis in diesem Sinne entspricht der Anomaliedifferenz bei
der epizyklischen Hypothese (1 172,28). Sie mißt den Winkel
(EM TT), unter welchem einem Auge im Mittelpunkt (M) der
Ekliptik der Abstand des Planeten (TT) von dem genauen Apogeum
{g\ in der Ekliptik gemessen, erscheint. Wie bei dem Monde er-

b) An der vorliegenden Figur entspricht -M.

Anhang. 415

reicht dieser Winkel sein Maximum, wenn der Mond in den Be-
rührungspunkten (Z und H) der Tangente an den Epizykel steht.
Zur Berechnung dieses Winkels bedarf es
zweier Argumentzahlen, der gleichför-
migen Länge des Epizykels und der
genauberechnetenAnomaliezahldes
Planeten.

Es sei z. B. für den Saturn die gleich-
förmige Länge mit 30° und die genaube-
rechnete Anomaliezahl mit 45° gegeben.
Zu letzterer bietet die sechste Spalte der
Tabelle (S.261) den i EMH für die mitt-
lere Entfernung mit 4** 3' (als Mittel zwi-
schen 3049' und 4^7'). Für die größte
Entfernung, d i. bei der Länge 0®, würde
derselbe Winkel durch Abzug der der fünften Spalte zu
entnehmenden g anz e n Differenz O'^ 11' 30" mit (4 <^3'-0" 11 '30"=)
3^ 51' 30" gewonnen werden. Nun handelt es sich aber um
die unwesentlich kleinere Entfernung, welche bei 30*^ gleich-
förmiger Länge eintritt: es sind die zu dieser gegebenen
Länge in der achten Spalte angesetzten 52 y^ Sechzigstel
oder Ys der Differenz 00 11'30", d. s. 0<>10', von der Prosth-
aphäresis 4^3' der mittleren Entfernung abzuziehen, weil
die Länge SO**, als in den ersten 15 Zeilen stehend, auf den
erdfernen Halbkreis des Exzenters entfällt. Somit ist
/. EMTT für die beiden gegebenen Argumentzahlen mit dem um
ein geringes größeren Betrag (4*'3' — 0^10' =) 3^53' gefunden.

3. Anbringung der Prosthaphäresis der genauberechneten
Anomalie. Der gefundene zahlenmäßige Betrag des /.EMTT ist
zu der genauberechneten Länge des Epizykels zu addieren,
wenn die gegebene Anomaliezahl in der ersten Spalte, d. h.
der Planet auf der Abendseite (EZ) des Epizykels steht; denn
in diesem Fall geht der Planet auf beiden Halbkreisen des Ex-
zenters, sowohl auf dem vom Apogeum zum Perigeum als auch
auf dem vom Perigeum zum Apogeum, dem Epizykelmittelpunkt
in der Ekliptik v 0 r a n (s. Fig. zu 1). A b z u z i e h e n ist der Betrag
des Winkels, wenn die Anomaliezahl in der zweiten Spalte,
d. h. der Planet auf der Morgenseite (EH) des Epizykels steht,
wo er auf beiden genannten Halbkreisen des Exzenters dem
Epizykelmittelpunkt in der Ekliptik nachfolgt.

14) S. 267. 1. Es soll der scheinbare Ort in Länge berech-
net werden, welchen der Saturn am 6. Mechir (22. Dezember)
138 n. Chr. 8^ abends einnahm (vgl. S. 243, 25). Die seit der
Epoche verflossene Zeit beträgt 885* 155'^ 8^. Für diese Stunde
geben die Tafeln der mittleren Bewegungen des Satarn (S. 104
bis 106) folgende einzelne Posten an die Hand:

416 Anhang.

Länge

Anomalie

810^

180»53'12"

342no'59"

72a

160 4 43

182 24 58

3*

36 40 11

322 36 2

150^

5 1 23

142 49 19

5^

10 2

4 45 38

S^

40

19 2

382<^50'11"

995« 5'58"

Mittlere Epoche:

S' 26°43'

34« 2'

409034'

1029« 8'

Ganze Kreise:

360«

720«

Überschuß :

49^34'

309« 8'.

Von tri 23° bis S' O'':

37«

Mittlere Länge:

86«34'.

Mit den vom damaligen Apogeum trj, 23« (S. 244, 14) ab gerech-
neten Grraden 86« 34' der gleichförmigen Länge gehen wir in die
erste Spalte der Anomalietabelle (S. 261) ein, entnehmen der
dritten und vierten Spalte die Prosthaphäresis mit (6« 26' 30" -f-
1'30"=) rund 6«28' und subtrahieren (Anm 13. i) diesen Be-
trag von der gleichförmigen Länge 86« 34', um die genaube-
rechnete mit 80 «6' zu erhalten, addieren ihn aber zu den
Graden der mittleren Anomalie, um die genauberechnete Ano-
maliezahl mit (309*'8'-}-6«28'=)315«36' zu erhalten. Zu letz-
terer notieren wir hierauf die aus der sechsten Spalte sich er-
gebende Prosthaphäresis 4« 4' der Anomalie für die mittlere
Entfernung und die aus der fünften Spalte hervorgehende
Differenz 0«12' der größten Entfernung. Von dieser sind
aber nur die zur gleichförmigen Länge 86« 34' der achten Spalte
zu entnehmenden ^«/e^, d. s. 0«2', in Betracht zu ziehen, und
zwar (Anm. 13.2 a. E.) von der notierten Prosthaphäresis 4«4'
zu subtrahieren, was 4«2' gibt. Die hiermit gewonnene
Prosthaphäresis der genauberechneten Anomalie werden wir
nun von der genauberechneten Länge 80«6' (Anm, 13. 3) ab-
ziehen, die als Ergebnis erhaltenen 76«4' (vgl. S. 246, 10) von
dem damaligen Apogeum ni. 23« aus abzählen und so (vgl.
S. 244,1) zu dem scheinbaren Ort in Länge (7« -1- 60« -(- 9«4' =)
«i* 9 «4' gelangen Die Breite des Saturn in dieser Position wird
Anm. 22. 1 ermittelt.

2. Es soll der scheinbare Ort in Länge berechnet werden,
welchen die Venus am 29/30. Tybi (16. Dezember) 138 n. Chr.
7^5^ früh einnahm (vgl. S. 164, 8). Die seit der Epoche verflos-
sene Zeit beträgt 885*^28*1674^^ Für diese Stunde ergibt die
Rechnung nach den Tafeln der mittleren Bewegungen der

Anhang. 417

Venus (S. 113— 115) die gleichförmige Länge mit 292° 9' = / 22"9',
was selbstverständlich zugleich der mittlere Ort der Sonne ist,
die mittlere Anomalie mit 230*31', Von dem damaligen Apo-
geum ^ 25*^ (S. 159,27) ab gezählt, beträgt die gleichförmige
Länge (5» -f 180*^ -|- 22"9' =) 207*^9'. Zu dieser Argumentzahl gibt
die Anomalietabelle (S. 264) die Prosthaphäresis mit (1*7' —
0^2' =) 1*5', so daß wir (Anm. 13. i) die geuauberechnete Länge
mit (207*9' -{-l'^ö' =) 208*14', die genauberechnete Anomalie mit
(230*31' — 1*5' =) 229*26' erhalten. Zu letzterer entnehmen wir
der sechsten Spalte die Prosthaphäresis 45*43' der Anomalie für
die mittlere Entfernung und der siebenten Spalte die dazuge-
hörige Differenz 1*10' der kleinsten Entfernung, nehmen aber
von dieser nur die ^%o , welche zu der gleichförmigen Länge
207*9' in der achten Spalte angesetzt sind, und addieren
(Anm 13.2 a. E.) den Bruchteil 1*1' zu der notierten Prosth-
aphäresis 45*43'. Die hiermit erhaltenen 46*44' subtrahie-
ren wir (Anm. 13.3) von der genauberechneten Länge, zählen
den Rest (208*14' - 46*44' =) 161*30' von dem Apogeum H 25*
ab und gelangen so (vgl. S. 165, 5) zu dem scheinbaren Ort in
Länge (5* -|- 150* + 6*30' =) H 6*30'. Die Breite der Venus in
dieser Position wird Anm. 22. 2 ermittelt.

3. Es soll der scheinbare Ort in Länge berechnet werden,
welchen der Merkur am 18/19. Thoth (15. Nov.) 265 v. Chr.
7'' früh einnahm. Eine Stunde später sei angenommen als im
Text (S. 151,21), weil die gleichförmige Länge des Planeten in
besserem Einklang mit dem mittleren Ort der Sonne (iil 20*50')
gefunden wird Die seit der Epoche verflossene Zeit beträgt
483»17^19'\ Für diese Stunde liefert die Rechnung nach den
Tafeln der mittleren Bewegungen des Merkur (S. 116 — 118) die
gleichförmige Länge mit 260*51' = trx 20*51', die mittlere Ano-
malie mit 212*41'. Zu der von dem damaligen Apogeum -a 6*
(S. 151,23) ab gezählten gleichförmigen Länge 44*51' gibt die
Anomalietabelle (S. 265) die kombinierte Prosthaphäresis mit
1*53'. Es beträgt demnach (Anm. 13. i) die genauberechnete
Länge (44*51' — 1*53' =) 42*58', die genauberechnete Anomalie
(212*41' -fl"53'=) 214*34'. Zu letzterer entnehmen wir der
sechsten Spalte die Prosthaphäresis 17*3' der Anomalie für
die mittlere Entfernung und der fünften Spalte die dazu-
gehörige Differenz 2*54' der größten Entfernung. Hiervon
nehmen wir die zu der gleichförmigen Länge 44*51' sich er-
gebenden ^*4o, d. s. 1*25', und ziehen (Anm 13.2) diesen Be-
trag von der notierten Prosthaphäresis 17*3' ab. Die hiermit
erhaltenen 15*38' subtrahieren wir (Anm. 13.3) von der genau-
berechneten Länge 42*58' und erhalten somit (vgl. S. 151, ii)
als scheinbaren Ort in Länge (42*58' - 15*38' =) 27*20', d. i. vom

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II. 27

418 Anhang.

Apogeum ii 6^ ab gezählt, irj. 3*^20'. Die Breite des Merkur in
dieser Position wird Anm. 22. 3 ermittelt.

15) S. 277. Die Weiterführung des Beweises gestaltet sich
im Vergleich zu S. 274,26 folgendermaßen:

V2AK:ZK<LHZK: t HEK.
Es ist aber V, AK : ZK = GEp : GFl,

folglich GEp:GPl<:L. HZK: /. HEK,

oder i,HEK: iHZK^GPl-.GEp.

Die letzte, mit dem Schlußergebnis (S. 277,3) übereinstim-
mende Zeile ist aus der hier vorhergehenden durch Umstellung
der äußeren und Vertauschung der inneren Glieder hervor-
gegangen. Viel klarer tritt das zu beweisende Gegenteil
(S. 276, 12) des vorher (S. 274, 28) gewonnenen Ergebnisses hervor,
wenn man die hier vorletzte Zeile unter Umstellung der Ver-
hältnisse als Schlußergebnis hinstellt. Die beiden Ergebnisse
stehen sich dann in folgender Form gegenüber:

S. 277,3 : i HZK:^ HEK^ G Ep : G PI,
S. 274,28: /, HZK:/, H£Y.<CGEp : GPl.

Die Weiterführung des Beweises für die exzentrische
Hypothese gestaltet sich in Anknüpfung an S. 275, 29 entspre-
chend. Auch hier führt die Gegenüberstellung der Ergebnisse
in geeigneterer Form

S. 277,4 : i, H0K:/, HEK^- GEx : GPl,
S. 275,81: i H0K:^ HEK <iOEx: GFl,
zu einem besseren Verständnis des Gegenteiles.

16) S. 281. Wenn die Figur dem Zeitpunkt entsprechen
soll, wo der Planet, dessen Opposition direkt im Apogeum des
Exzenters bevorsteht, noch stationär in Punkt Z steht, kann
der Epizykelmittelpunkt nicht direkt im Apogeum angenommen
werden, wie dies an den Figuren des Originals und an den von
mir beigegebenen scheinbar der Fall ist. Es bedarf vielmehr
einer Figur, welche den Planeten in Punkt Z stationär zeigt,
während der Epizykelmittelpunkt A in einem gewissen Abstand
genauberechneter Länge (2' 6' 6") noch vor dem Apogeum
steht, wie S. 303, 30 deutlich ausgesprochen wird. Dieser Ab-
stand wird unter Anrechnung der Prosthaphäresis (0^6' 30"
auf 1°) der periodischen Länge (2"21'25") entsprechen, die
nach den Tafeln (III» und IIP S. 106) in die zwischen dem
ersten Stillstand und der Opposition verstreichende Zeit (von
707,5 Tagen) umzuwandeln ist, in welcher der Epizykel in das
Apogeum des Exzenters und der Planet rückläufig in das
Perigeum des Epizykels gelangt.

Anhang. 4 1 9

Da für die Beweise derartig komplizierte Figuren nicht an-
gezeigt waren, so habe ich es bei den Stellungen, welche die
Figuren des Originals zeigen, belassen, jedoch diese drei Stel-
lungen des Epizykels in größter, mittelster und kleinster Ent-
fernung für jeden Planeten zu einer einheitlichen Figur ver-
einigt, in welcher der Unterschied der Entfernungen vom
Mittelpunkt der Ekliptik zum Ausdruck kommt. Das Größen-
verhältnis zwischen Epizykel und Exzenter konnte natürlich
nicht für jeden Planeten eingehalten werden, ist aber insoweit
berücksichtigt, daß der Epizykel des Jupiter größer als der des
Saturn und die Epizyklen der Venus und des Merkur größer
als der des Jupiter gezeichnet sind. Außerdem lassen die
neuen Figuren einigermaßen erkennen, daß mit der Annäherung
an die Erde die Rückläufigkeitsstrecke bei den vier ersten
Planeten kleiner, bei dem Merkur dagegen größer wird.

War die epizyklische Hypothese (vgl. S. 268 Anm. *)), wel-
che die Veränderung der Entfernung, d. i. die Exzentrizität der
Planetenbahnen, bei den verhältnismäßig kurzen Strecken der
Rückläufigkeit als unwesentlich außer acht läßt, für die Erklä-
rung der vorausgeschickten Lehrsätze ausreichend, so kann sie
nicht mehr genügen, sobald die Wirkung der Exzentrizität in
Betracht gezogen wird. Dies geschieht erstens (S. 281, is) mit
der Erklärung, daß die Entfernung kurz vor dem Apogeum nur
anwesentlich verschieden sei von der größten Entfernung,
md zweitens (S 281,22) durch Berücksichtigung der Prosth-
iphäresis der Länge. Solange es sich um die Rückläufigkeit
n der mittleren Entfernung handelte, kam die Prosthaphäresis
ieshalb nicht in Betracht (vgl. S, 278, 27), weil dort, wo der
Fortschritt des ungleichförmigen oder scheinbaren Laufs sich
'On der mittleren Bewegung auf eine ziemliche Strecke nicht
vesentlich unterscheidet, genauberechnete und periodische
iänge als identisch gelten kann.

Bei der größten Entfernung wird die zur Bestimmung der
wischen Stillstand und Opposition verstreichenden Zeit er-
Drderliche periodische Länge auf folgendem Wege gewonnen,
fachdem iZ/KH der scheinbaren, d.i. der von dem ge-
auen Perigeum H ab gerechneten Anomalie (S. 282, 28) mit
1^16' gefunden ist, ergibt sich nach dem gegebenen Verhältnis
^Vj'Vio ^i^ auf diesen Winkel entfallende genauberechnete
änge mit 2*^6'. Damit ist die Ekliptikstrecke gefunden, wel-
|ie der Epizykel in der bis zur Opposition verstreichenden
eit von A bis zum Apogeum des Exzenters für das Auge in f
der Richtung der Zeichen zurücklegt. Es ist aber zugleich mit
)m L ZÄH auch der LATE (S. 282,27) mit 5*'38' gefunden,
i. die Strecke, welche in derselben Zeit der Planet in der
[kliptik gegen die Richtung der Zeichen zurücklegt; folglich

27*

420

Anhang:.

beträgt die Strecke, die er für das Auge in f scheinbar rück-
läufig ist, den Unterschied der beiden Winkel, d.i. (5^38' —

2<>6'=)3<>32'. Die Zeit, welche der
P 1 a n e t zu diesem Rücklauf braucht,
ist dieselbe, in welcher der Epizykel
die periodische oder mittlere (von
dem Winkel bei B gemessene) Länge
bis zum Apogeum des Exzenters zu-
rücklegt, die um die Prosthaphäre-
sis, d.i. um den /, AAm, größer
ist als die genauberechnete oder
scheinbare (von dem Winkel bei f
gemessene) Länge. Daher addiert
Ptolemäus (S. 283,9) den auf 2^6'
der letzteren entfallenden Betrag
mit 0"15' und erhält so mit 2*^21'
die periodische Länge, zu welcher
die Tafeln (S. 106) der gleichförmi-
gen Bewegungen des Saturn die
halbe Dauer der Rückläufigkeit mit
70 Vg Tagen liefern. Die Unzulänglichkeit der mit 0^6' 30"
(S. 281,22) zugrunde gelegten Prosthaphäresis auf einen Grad,
nach welcher das einfache Rechenexempel 0*'6'30" x 2^6' die
gesuchte Prosthaphäresis mit nur 0^13' 39" ergibt, veranlaßt den
Ptolemäus zu dem Nachtrag (S. 301f.) am Schluß des sechsten
Kapitels.

Bei der kleinsten Entfernung wird auf demselben Wege
zunächst der Abstand vom Peri-
geum des Exzenters nach genau-
berechneter Länge (S. 284, 33) mit
2"33' 2>V' festgestellt und (S. 283,24)
die am Perigeum auf einen Grad
entfallende Prosthaphäresis mit 0"
7' 20" zugrunde gelegt. Auch hier
zeigt sich die Unzulänglichkeit die-
ses Wertes. Weil die genauberech-
nete (von dem Winkel bei f gemes-
sene) Länge mn den ^ AAm grö-
ßer ist als die periodische (von dem
Winkel bei B gemessene), wird letz-
tere (S. 285, 5) unter Abzug dei
Prosthaphäresis mit 2"16'45" er-
zielt, d. h. die Prosthaphäresis isi
zu (2<'33'28"-20l6'45"=}00l6'43'
angenommen, während die Nachprüfung (00 7'20" x 2" 33'28' ;
zu dem um 0*2' 2" größeren Betrag 0^18' 45" führt.

/l m — *-- -'

Anhang.

421

17) S. 334. Bei der größeren Kompliziertheit der Bahnver-
hältnisse wird es genügen, den Lauf der Venus und des Mer-
kur durch Figuren zu erläutern, und zwar den Lauf des Mer-
kur ohne Rücksicht auf die stark elliptische Gestalt seiner Bahn.

Die Epizyklen sind in den Kardinalpunkten der Bahnen an-
genommen: in den Apogeen (Q) und den Perigeen (TT), die
mit den Grenzpunkten der Breite zusammenfallen (vgl S. 328,
25), und in den Knoten (K» u. K^: vgl. S. 328, 9). Die Pla-
neten sind in die Apogeen (A) und die Perigeen (P) ihrer Epi-
zyklen gesetzt, sowie in die Berührungspunkte der Tangenten
an die Epizyklen, in denen für das Auge in E die größten
Elongationen eintreten. Die genauberechnete Anomalie, welche
auf diese Punkte entfällt, beträgt bei der Venus 138** und 222**,
bei dem Merkur 111** und 249°. Daß an den Figuren diese
Punkte nicht all- y

enthalben gleich-
weit beiderseits
der Perigeen an-
gesetzt sind, er-
klärt sich aus dem
Schiefstand der
Epizyklen , der
nicht perspekti-
visch dargestellt
werden konnte.
Als Ausgangs-
punkt derbei bei-
den Planeten zu-
nächst nach Nor-
den gerichteten
Hebung des
Durchmessers
{Ä P) , welcher
durch die schein-
baren Apogeen
geht, ist das be-
treffende Peri-
neum (P*) des
Epizykels (vgl. S. 331, i) durch einen Stern bezeichnet. Ebenso
der auf der Abendseite des Epizykels liegende Endpunkt (a*)
des Quermessers {am) als Ausgangspunkt der bei beiden Pla-
tteten gleichfalls zunächst nach Norden gerichteten Hebung die-
ses Durchmessers über seine (punktierte) Normallage (S. 33i,26).

Der Neigungswinkel (iy-Klicig) des Epizykels der Venus im
Ipogeum und Perigeum des Exzenters gleich Null, erreicht ein
Maximum von 2V2" in den Knoten (S. 336,18). Steht der Pia-

422

Anhang.

net bei diesem Maximum in dem Perigeum des Epizykels, so
erscheint die ihm durch diesen Winkel verliehene größte (in K^)
nördliche und (in K') südliche Breite dem Auge in E unter
einem Winkel von 6^22' (S 336,23). Steht er aber in dem
Apogeum des Epizykels, so erscheint die (in K^) nördliche
und (in K^) südliche Breite unter einem Winkel von 1^2'
(S. 336, 23).

Der Winkel des Schiefstandes (lo^coaLg)^ in den Knoten
gleich Null, erreicht im Mittel ein Maximum von 373^ (S. 367,28).
Wenn der Planet in den Berührungspunkten der Tangente, d. i.
in der größten Elongation von der mittleren Sonne steht, so
bewirkt dieses Maximum des Schiefstandes für ein Auge in E
hinsichtlich der Breite des Planeten im Apogeum des Exzen-
ters einen Abzug (auf der Abendseite a) oder Zusatz (auf der
Morgenseite m) von 2^27' (S. 371,8), im Perigeum des Ex-
zenters einen Abzug (auf der Morgenseite m) oder Zusatz (auf
der Abendseite a) von 2^34' (S. 371, -.s).

Endlich verleiht der Neigungswinkel des Exzenters
sowohl in der Erdferne als in der Erdnähe dem im genauen
^ Apogeum oder Peri-

geum des Epizykels
stehenden Planeten
einenördlicheBreite
von Ve" (ß- 335,16).
Während des Laufs des
Epizykels zum Knoten
(vgl. Anm. 22. 2 a. E.)
nimmt dieser Winkel
ab, bis er im Knoten
gleich Null wird, um
von dort wieder bis
zu dem Maximum an-
zuwachsen.

Bei dem Merkur
beträgt das Maximum
des Neigungswin-
kels des Epizykels
6V4<^ (S 337,3), der
Winkel am Auge, wenn
der Planet im Peri-
geum des Epizykels
steht, 4<>5' (S. 337,10),
wenn im Apogeum,
ine' (S. 337, 9).
Der Winkel des Schief Standes erreicht im Mittel (S. 369, 15)
das Maximum von 7^ und erscheint dem Auge in der Erdferne

Anhang. 423

unter einem Winkel von 2''17' (S. 372,19), in der Erdnähe un-
ter einem solchen von 2°46' (S. 373, 7).

Der Neigungswinkel des Exzenters verleiht dem im
Apogeum oder Perigeum des Epizykels stehenden Planeten so-
wohl in der Erdferne als in der Erdnähe eine stets südliche
Breite von Y^" (S. 335, 17). Dieser Winkel wird in den Knoten
gleich Null und nimmt von da wieder bis zum Maximum zu.

18) S. 336. 337. Der durch die Pole des Epizykels gezogene
größte Kreis, auf welchem die Neigungswinkel des Epizykels
gemessen werden, ist selbstverständlich gleichgroß wie der
Epizykel des betreffenden Planeten. Der Winkel, unter welchem
der von dem Neigungswinkel unterspannte Bogen dieses Krei-
ses dem Auge erscheint, ist daher identisch mit der Prosth-
aphäresis der Anomalie (vgl. Anm. 13.2), welche einen gleich-
großen Abstand des Planeten von dem genauen Apogeum oder
Perigeum des Epizykels mißt. Weil der Epizykel, wenn er das
Maximum der Neigung zeigt, in den Knoten der Bahn steht,
so kommen für die Berechnung dieses Winkels am Auge die
Ansätze in Betracht, welche die Anomalietabellen der Planeten
in der sechsten Spalte für die Prosthaphäresis der Anomalie in
der mittleren Entfernung bieten.

Nach dieser Spalte der Tabelle der Venus (S. 264) erscheint
ein Epizykelbogen von 6° am Apogeum des Epizykels dem
Auge unter einem Winkel von 273^, so daß auf einen Grrad
(2yj*^:6=) 0"25' entfallen; folglich wird ein Bogen des durch
die Pole des Epizykels gezogenen größten Kreises, der am
Apogeum des Epizykels den Neigungswinkel von '2.'^/^'^ über-
spannt, dem Auge unter einem Winkel von (0<'25' x 2 Yg =) 1^2'30"
erscheinen. Am Perigeum des Epizykels erscheint ein Epi-
zykelbogen von 3^ dem Auge unter einem Winkel von rund
7*^40', so daß auf einen Grad 2*^33' kommen; folglich ergibt
sich für einen Bogen des besagten Kreises, der am Perigeum
des Epizykels den Neigungswinkel von 2y2*^ überspannt, ein
Winkel am Auge von (2<>33' x 2 Vg =) 6« 22'.

Nach der sechsten Spalte der Anomalietabelle des Merkur
(S. 265) entfällt auf einen Grad am Apogeum des Epizykels
die Prosthaphäresis mit (98' : 6=) rund 0^17'; mithin erscheint
der am Apogeum den Neigungswinkel von ^ /^^ überspannende
Bogen unter einem Winkel von (0"17'x6V4=) 1''46'. Rechnet
man ferner der Tabelle nach die auf einen Grad am Peri-
geum des Epizykels entfallende Prosthaphäresis (108': 3 =) 0*^36',
so erscheint der am Perigeum denselben Neigungswinkel über-
spannende Bogen unter einem Winkel von nur (0^36' x 67^ =)
3*^45' statt 4"5'. Demnach hat Ptolemäus, abweichend von dem
Betrag der Tabelle, die Prosthaphäresis auf einen Grad mit
0^'39' angrenommen.

424 Anhang,

19) S. 340. Bei dem Mars wird umgekehrt aus den durch
Berechnung festgestellten Winkeln von 6*^ und 3'' 20', unter wel-
chen in der Erdnähe und in der Erdferne der den Neigungs-
winkel des Epizykels überspannende Bogen erscheint, die Größe
des Neigungswinkels selbst, d.i. der Betrag des Bogens
NE oder OK des durch die Pole des Epizykels gezogenen größ-
ten Kreises abgeleitet.

Für einen Epizykelbogen von 3*^ am Perigeum des Epizykels
liefert die Anomalietabelle (S. 263) die Prosthaphäresis der Ano-
malie in der kleinsten Entfernung mit (5 '^ 45' -f 2^20' =) rund
8^ so daß auf einen Grad (8": 3=) 2<'40' entfallen, d. h. ein
Winkel des besagten größten Kreises von einem Grad erscheint
am Perigeum des Epizykels in der kleinsten Entfernung unter
einem Winkel von 2''40'. Folglich wird der den Neigungswin-
kel überspannende Bogen NE, der unter einem Winkel von 6**
erscheint, zu einem Winkel von 2^15' gehören.*)

In der größten Entfernung beträgt für den Epizykelbogen
von 3° am Perigeum des Epizykels die Prosthaphäresis der
Anomalie (5^45' — 1*^16' =) rund 4"30', so daß auf einen Grad
1^30' entfallen. Folglich wird der Neigungswinkel, dessen Bo-
gen 0K in der größten Entfernung unter einem Winkel von
3" 20' erscheint, wieder rund 2" 15' betragen.'')

20) S. 342. Für den Saturn und den Jupiter ist unter et-
was veränderten Verhältnissen dieselbe Aufgabe zu lösen wie
für den Mars. Bei dem Saturn erscheint der Bogen des Nei-
gungswinkels des Epizykels am Apogeum unter einem Winkel
von 0*^26', am Perigeum unter einem solchen von 0*'34'. Da
für größte und kleinste Entfernung ein Unterschied (S. 340,2?)
nicht gemacht wird, so kann mit den Zahlen der mittleren
Prosthaphäresis der Anomalie gerechnet werden, nach denen
(s. die Tabelle S. 261) auf einen Grad am Apogeum des Epi-
zykels O'^e', am Perigeum 0"7'40" entfallen. Es ergeben die
Verhältnisse

am Apogeum 1^ 0<'6' =6HZ:0^26'
am Perigeum 1<> : on'40" = & 0K : 0» 34'

für 6 HZ ^, d. i. das 473 fache eines Grades oder 4^20',
für &0K ^r, d.i. das 4|5 fache eines Grades oder 4«26'5".

460 ' 4n • 1 / n

Beide Ergebnisse bleiben hinter dem von Ptolemäus mit 47j''
angegebenen Neigungswinkel erheblich zurück. Diesen Betrag

a) Nach dem Verhältnis l'' : 2<'40' = x : 6" ist x=^ = 2^\^,
d.h. der gesuchte Winkel beträgt das 2 y^ fache eines Grades.

b) Nach dem Verhältnis 1° : l^BO' = oc: 3"20' ist sc=^'= 2%,
d.i. genau 2n3'20".

Anhang. 425

erzielt man genau nur dann, wenn man die Prosthaphäresis auf
einen Grad am Apogeum mit 0''5'49", am Perigeum mit 0**
7' 33" ansetzt:

.^ 1560" 174

am Apogeum mit -—-— = 4

^ ^ 349 349

„ . .^ 2040" 228

am Perigeum mit = 4

^ 453 453

d. i. rund 473«.

Bei dem Jupiter betragen die beiden gegebenen Winkel
am Auge 0"24' und 0^36'. Hier erhält man mit den Beträgen
der Prosthaphäresis, wie sie die Tabelle (S. 262) für einen Grad
am Apogeum und am Perigeum des Epizykels an die Hand
gibt, ziemlich genau den von Ptolemäus mit 2y2*' angegebenen
Neigungswinkel. Es ergeben die Verhältnisse

am Apogeum 1 » : O'^ 9' 40" = 6 H Z : 0° 24'
am Perigeum 1® : 0n4'20" = 6 0K : O^Se'

^"^^^^^80- = '58,

f /n,.2160" 44(^-i-^^^d^'A"-

^^^ ^^»^ ^6^ = ^86 1

21) S. 378. 379 zweimal, 1. Die Argumentzahlen der Tabel-
len der Breite sind, wie die Überschrift der beiden ersten Spal-
ten besagt, von den Apogeen aus gerechnet, weil in den
'olgenden Spalten die gleichgroßen Beträge zu beiderseits
ier Apogeen gleichweit entfernten Graden anzusetzen waren,
•^un sind für die Breite, die dem Epizykel infolge der Neigung
les Exzenters erwächst, die Zahlen der genauberechneten Länge
naßgebend, welche von den Grenzpunkten der größten

reite ab gezählt werden. Dieser Grenzpunkt fällt bei dem
ilars nahezu, bei der Venus und dem Merkur genau mit dem
apogeum der Exzenter zusammen, was bei den Planeten Saturn
nd Jupiter nicht der Fall ist. Deshalb muß für letztere die
om Apogeum ab gegebene genauberechnete Länge auf diesen
rrenzpunkt als Ausgang der Zählung reduziert werden. Dies
eschieht für den Saturn durch Zusatz von rund 50" (statt 53'^),
eil bei ihm der nördliche Grenzpunkt der Breite (S. 326,3o) in
uO^ so weit rückwärts des Apogeums "l 23*' liegt, für den
apiter durch Abzug von rund 20" (statt 19^), weil bei ihm
ieser Grenzpunkt in -'^ 0° so weit vorwärts des Apogeums
' 11" liegt. Für den Mars wird keine Veränderung der Länge
»geschrieben, weil bei ihm der nördliche Grenzpunkt in Q 30"
emlich nahe (S. 326,32) an dem Apogeum Q 25^30' liegt Es
ird demnach eine Differenz von 4^2® für unwesentlich gehal-
'.n, weil auf eine so kleine Strecke die Breite sich nur ganz

426 Anhang.

unmerklich ändert. Von diesem Gesichtspunkt aus sind wohl
auch die abgerundeten Zahlen bei dem Saturn und dem Jupiter
zu beurteilen.

Von einer Rücksicht auf das derzeitige Apogeum, d. i, auf
das Apogeum des Jahrhunderts, für welches die Berechnung der
Breite angestellt wird, wie sie bei Berechnung der scheinbaren
Örter in Länge (S. 266,6) vorgeschrieben wurde, sieht Ptolemäus
hier ab. Die Vorschrift kann demnach nur für seine Zeit, oder
wenigstens für nicht viel früher oder später, Gültigkeit haben.
Denn die Apogeen der Epoche — für den Saturn v\ 14** 10', für
den Jupiter 'P 2*^9', für den Mars Q 16^40' — verursachen ge-
gen die nördlichen Grenzpunkte, die Ptolemäus mangels Kennt-
nis der geringen rückläufigen Bewegung der Knotenlinien für
unverrückbar hält, recht wesentliche Differenzen in Länge.
Solche müßten sich auch bei der Venus und dem Merkur be-
merkbar machen, deren Grenzpunkte der Breite für die Zeit
des Ptolemäus direkt in den Apogeen ^ 25*^ und su 10° ange-
nommen werden, während zur Zeit der Epoche letztere in
^ 16** 10' und SL l^'iO' lagen. Je schneller sich aber ein Planet
bewegt, um so merkbarer muß schon in kurzer Zeit seme Ver-
änderung in Breite werden und um so größer der Fehler einer
Berechnung, welche für zurückliegende Jahrhunderte ohne
Rücksicht auf das damalige Apogeum des Planeten vorge-
nommen wird.

2. Eine andere Bewandtnis hat es mit den vorgeschriebenen
Zusätzen zur genauberechneten Länge bei der Venus und dem
Merkur. Ist bei der Venus die gegebene genauberechnete Länge
unter 90*^, d h. steht der Epizykel zwischen dem nördlichen Grenz-
punkt des erdfernen Halbkreises des Exzenters und dem Knoten
am Ende des ersten Quadranten, so führt der Zusatz von 90°
zu der Reihe der zunehmenden Sechi^igstel des zweiten Qua-
dranten, die von dem notierten Betrag des Neigungswinkels des
Epizykels genommen werden sollen. Denn im ersten Qua-
dranten des Exzenters, d i. vom Apogeum bis zum Knoten, nimmt
die südliche Breite des Planeten (s. Fig. zu Anm. 17), welche der
>^ eigungswinkel des Epizykels verleiht, von 0° bis 6^22' zu.
Fällt die genaub ersehn ete Länge aber in den zweiten Qua-
dranten, in welchem die südliche Breite des Planeten mit dem
Neigungswinkel bis zum Perigeum wieder abnimmt, so führt
der Zusatz von 90° zu der Reihe der abnehmenden Sech-
zigstel des dritten Quadranten, die von dem notierten Betrag
des Neigungswinkels genommen werden sollen. Daß durch den-
selben Zusatz der entsprechende Erfolg erreicht wird, wenn die
genauberechnete Länge in den dritten und vierten Quadran-
ten des Exzenters fällt, ist ohne weiteres klar.

Anhang. 427

Bei dem Merkur wird als Zusatz zur genauberechneten Länge
ein Halbkreis mehr als bei der Venus, d. s. 270*^, vorgesehrieben,
weil bei ihm dem Neigungswinkel entsprechend die südliche
Breite (s. Figur zu Anm. 17) im dritten Quadranten, d. i. vom
Perigeum ab bis zum Knoten zunimmt und im vierten Qua-
dranten bis zum Apogeum wieder abnimmt. Fällt z. B. die
Länge des Epizykels mit 183° in den dritten Quadranten, zu
welchem in der Tabelle abnehmende Sechzigstel angesetzt sind,
so führt der Zusatz 270^ zu der Argumentzahl (1^3®4- 270*^ —
360°=) 93^, d.i. in die Keihe der zunehmenden Sechzigstel,
zu welcher bei dem entsprechenden Stande des Epizykels der
Venus in dem ersten Quadranten der Zusatz 90" führte. Das-
selbe Ergebnis würde für den Merkur auch durch Abzug von
90" erreicht werden; in beiden Fällen wird diß Argument-
zahl der Länge in den vorhergehenden Quadranten verlegt,
welcher die der Zunahme oder Abnahme des Neigungswinkels
entsprechenden Sechzigstel enthält.

Keines Zusatzes bedarf es bei der Venus zur genauberech-
neten Länge, um die Sechzigstel zu erhalten, welche die durch
den Schiefstand verursachte Breite betreffen; denn da die
nach Norden gehobene Abendseite des Epizykels (s. Figur zu
Anm. 17) im ersten Quadranten, d. i. vom Apogeum zum
Knoten, sich zur Ebene der Ekliptik herabsenkt, worauf sich
im zweiten Quadranten bis zum Perigeum die Morgenseite
wieder nach Norden emporhebt, so führen die gegebenen
Grade der Länge ohne weiteres zu den erforderlichen ab-
oder zunehmenden Sechzigsteln.

Bei dem Merkur vollzieht sich der entsprechende Verlauf
des Schiefstandes im dritten und vierten Quadranten des Ex-
zenters (s. Figur zu Anm. 17), d. i. vom Perigeum zum Apogeum,
mithin gleichfalls einen Halbkreis weiter vorwärts als bei der
Venus. Nun stehen aber bei den genauberechneten Längen,
welche in diese Quadranten fallen, d. h. bei den Argumentzah-
len der zweiten Spalte von unten nach oben, dem Verlauf des
Schiefstandes durchaus entsprechend, im dritten Quadranten
abnehmende und im vierten Quadranten zunehmende Sech-
zigstel; die gegebene Länge führt also gerade so gut wie bei
der Venus ohne weiteres zu den dem Verlauf des Schiefstan-
des entsprechenden Sechzigsteln. Der Zusatz von 180", der die
Argumentzahlen der zweiten Spalte zu den ebenfalls erst ab-
nehmenden, dann zunehmenden Sechzigsteln des ersten und
zweiten Quadranten führt, ist demnach in dieser Hinsicht be-
langlos, wird aber maßgebend für die Erzielung derjenigen
Länge, von welcher der Ausfall nördlicher oder südlicher
Breite des Schiefstandes abhängt. So führt z. B. (vgl. S. 391,19)
die Länge von 20" ebensogut wie die um 180" vermehrte

428 Anhang.

Länge von 200*^ zu ^Yg«, während nur letztere bei darunter
180° bleibenden Anomaliezahl 108 nach Absatz 3Ba) S. 379 zn
der erforderlichen südlichen Breite führt.

Betrachtet man die beiden Sechzigstelreihen näher, die einer-
seits für die Argumentzahlen der ersten Spalte von oben nach
unten, anderseits für die der zweiten Spalte von unten nach
oben verlaufen, so besteht der einzige Unterschied darin, daß
auf der Strecke vom Apogeum zum Perigeum (d. i. von 0" bis
180**) die abnehmenden Sechzigstel (bis 90*^) von 6 zu 6 Grad
und die (von da ab) zunehmenden von 3 zu 3 Grad fort-
schreiten, dagegen auf der Strecke vom Perigeum zum Apogeum
(von 180*^ bis 360"*) die abnehmenden (bis 270") von 3 zu
3 Grad und die (von da ab) zunehmenden von 6 zu 6 Grad.
Es lassen sich demnach zu den um ISO*' vermehrten mittleren
Argumentzahlen der kürzeren Reihe die entsprechenden
Sechzigstel aus der längeren Reihe entnehmen. So entfallen
auf 27« die bei (27°-}- 180«=) 207° stehenden 53' 12''.

Zur Berechnung der Sechzigstel für die Planetenbreiten
muß noch folgendes bemerkt werden. Sie sind aus den Zahlen
für die Breite des Mondes ('I'abelle der Gesamtanomalie I
286) einfach durch Multiplikation mit 12 (S. 375,12) abgeleitet.
Bei der Nachprüfung hat sich für eine Reihe von Argument-
zahlen ein Rechnungsfehler herausgestellt, der merkwürdi-
gerweise stets auf ein Minus von 12" hinausläuft, eine Diffe-
renz, die auf das schließliche Ergebnis der Berechnung der
Breite natürlich keinen wesentlichen Einfluß haben kann.

Die Multiplikation mit 12 ergibt nämlich bei den Argument-
zahlen (einschließlich ihrer Ergänzungen zu 360°)

12° u. 168° aus 4°54' nicht 58'36" sondern 58' 48"

I

24° u. 156°
36° u. 144°
42° u 138»
72° u. 108»
78° u. 102°

4034' „ 54' 36" „ 54' 48"

4° 3' „ 48' 24" „ 48' 36"

3°43' „ 44 24" „ 44' 36"

1°33' „ 18' 24" „ 18' 36"

1° 3' „ 12' 24" „ 12' 36".

Hierüber bei den Argumentzahlen

99° aus 0°48' nicht 9' 24" sondern 9' 36"

111° „ 1°48' „ 21'24" „ 21'36"

135° „ 3°32' „ 42' 12" „ 42' 24"

153° „ 4°27' „ 53' 12" „ 53' 24"

165° „ 4°50' „ 57' 48" „ 58' 0".

22) S. 378. 380. 1. Es soll die Breite berechnet werden, wel-
che der Saturn am 6. Mechir (22. Dezember) 138 n. Chr. 8»»
abends (S. 243, 25) hatte. Die genauberechnete Länge war (Anm.
14.1) mit 80°6', die genauberechnete Anomalie mit 315° 35' fest-

Anhang. 429

gestellt. Nachdem wir erstere (Anm. 21) um 50^ vermehrt ha-
ben, gehen wir mit 130°6' in die Tabelle (S. 376) ein nnd no-
tieren aus der fünften Spalte ^76o- ^^ ^^^ genauberechneten
Anomaliezahl Slb^Sb' liefert die vierte Spalte, weil die ver-
mehrte Länge, auf den südlichen Halbkreis des Exzenters ent-
fällt, die Breite 2" 9', von der obige 'Veo ^^ nehmen sind. Der
Bruchteil 1°21' zeigt die südliche Breite an, welche der Sa-
turn zurzeit hatte.

Zur Kontrolle dieses Ergebnisses kann folgendes dienen. Be-
obachtiingsgemäß stand der Saturn {S. 244,4) von dem nörd-
lichen Hörn des südlich der Ekliptik stehenden Mondes 0*30'
in der Richtung der Zeichen (d. i. östlich) entfernt; das Hörn
lag mithin auch 1''21' südlich der Ekliptik; folglich mußte das
Zentrum des Mondes eine um 0"15' größere scheinbare süd-
liche Breite von 1^36' haben. Läßt sich diese Breite für den
Mond nachweisen, so ist damit auch die Breite des Saturn als
zutreffend bewiesen.

Nach den Mondtafeln berechnet beträgt die Entfernung des
Mondes vom nördlichen Grenzpunkt, einschließlich der Differenz
der Gesamtanomalie, 100°56', wozu die letzte Spalte der Tabelle
der Uesamtanomalie (1 286) rund 1" südliche wahre Breite ^ibt.
Folglich müssen die noch übrig bleibenden 0*^36' auf die süd-
wärts wirkende Breitenparallaxe (vgl. I Anh. Anm. 40) ent-
fallen. Da sich für Alexandria bei etwa 70** Zenitabstand die
Höhenparallaxe (AH) des Mondes in Erdnähe nach der Paral-
laxentafel (I 323) mit 1*15' berechnet und (S. 244, lo) die Län-
genparallaxe (0H) mit l'e' gegeben ist, so steht eine Breiten-
parallaxe (A0) im Betrag von 0*^36' zu diesen Zahlen im rich-
tigen Verhältnis ; denn sie muß sich aus der für das Parallaxen-
dreieck (A0H) geltenden Formel (AH^ -0H* = AG^, d.i.)

362 = 75a-66» oder 1269 = 5625-4356

als yi269 ergeben, was annähernd stimmt; denn 36^ = 1296.

2. Es soll die Breite berechnet werden, welche die Venus
am 29/30. Tybi (16. Dezember) 138 n. Chr. %6^ früh (S. 164, s)
hatte. Die genauberechnete Länge war (Anm. 14. 2) mit 208*14',
die genauberechnete Anomalie mit 229*26' festgestellt Zu
letzterer notieren wir aus der dritten Spalte der Tabelle (S. 377)
mit 1*.H3' die Breite, welche der Planet bei der gegebenen Ano-
maliezahl durch die Neigung des Epizykels erhält, und aus
der vierten die Breite, die ihm der Schief stand des Epizykels
verleiht, mit 2^29'.

Berechnet ist die Breite 1*33' unter der Annahme (vgl. S.
343, 12), daß der Epizykel in einem der Knoten das Maximum
der Neigung gegen die Ekliptik erreicht habe, während der
Planet auf dem Epizykel rund 50* über das Perigeum hinaus

430 Anliang.

ist, mifhin die größte Elongation als Morgenstern bereits einige
Grade hinter sich hat. Bei der gegebenen Länge 208*^ würde
die Breite 1"33' erst im zweiten Knoten, d. i, bei 270° Länge
am Ende des dritten Quadranten eintreten, an dessen Anfang,
d. i. im Perigeum, sie bei der Länge 180*^, ebenso wie der
Neigungswinkel, gleich Null ist. Bei dem Fortschritt in Länge
um 28*^ muß mit dem Anwachsen des Neigungswinkels auch der
Planet in Breite gehoben worden sein, und zwar nach Maß-
gabe der, zunehmenden Sechzigstel, zu welchen (Anm. 21. 2)
die um 90*^ vermehrte Länge führt. Demnach hat man die zu
der Länge (208''+ 90''=) 298<> gehörigen ^%o von dem Höchst-
betrag 1*^33' zu nehmen, welchen der Planet in dem gegebenen
Epizykelgrad erst im Knoten erreicht. Mit dem Bruchteil 0^43'
ist die Breite gefunden, zu welcher der Planet bei der Länge
208® infolge der Neigung des Epizykels gelangt, und zwar (nach
S. 379,13) als nördliche Breite.

Auch die durch den Schiefstand verliehene Breite 2° 29'
ist (vgl. S. 366, 21) unter der Annahme berechnet, daß der Epi-
zykel in einem der Knoten stehe und zur Ebene der Ekliptik
schiefgestellt sei, während der Planet auf dem Epizykel den
Berührungspunkt der Tangente auf der nach Norden gehobe-
nen Morgenseite überschritten hat. Tatsächlich ist es die Breite
(s. Figur zu Anm. 17), welche erst am Ende des zweiten Qua-
dranten, d.i. im Perigeum eintritt, wenn bei der Länge 180"
der Planet in der bezeichneten Lage durch das Maximum des
Schiefstandes gehoben erscheint. Bei dem Fortschritt in Länge
um 28" muß auch der Winkel, unter welchem der vermin-
derte Schiefstand dem Auge erscheint, kleiner geworden sein,
und zwar nach Maßgabe der abnehmenden Sechzigstel, wel-
che die Längen zwischen 180° und 270° ohne weiteres an die
Hand geben. Demnach hat man die zu der un vermehrten Länge
208° gehörigen '"^/^^ von 2°29' zu nehmen, um mit 2°9' die
dem Planeten durch den Schiefstand verliehene Breite, und
zwar (nach S. 379,34) ebenfalls als nördliche zu erhalten.

Zum Ansatz des dritten und letzten Faktors der Breite führt
(nach S. 379,35) folgende Berechnung:

52 .^ 52 -^ JL 2704 .^i A^>^i A

60 -^ 60 ^ 6 3600 ^6 4-^6 s'

Diese nicht ohne weiteres verständliche Vorschrift erklärt
sich folgendermaßen. Der im Mittelpunkt der Ekliptik gebil-
dete Neigungswinkel des Exzenters, welcher im Maximum (S.
335,16) Ve^ beträgt und stets auf nördliche Breite entfällt,
wird, während der Epizykel vom nördlichen Grenzpunkt zum
Knoten läuft, nicht bloß dadurch kleiner, daß der Epizykel-
mittelpunkt sich von Grad zu Grad der Ekliptik nähert, son-
dern auch dadurch, daß sich gleichzeitig die Ebene des Exzen-

Anhang. 431

ters zur EV>ene der Ekliptik herabsenkt, bis sie, wenn der Epi-
zykel im Knoten angelangt ist, mit ihr zusammenfällt. Die
Sechzigistel, nach denen man die Verkleinerung oder Vergröße-
rung dieses Winkels vorzunehmen hat, werden stets dieselben
sein, welche auf die Abnahme oder Zunahme des Schiefstandes
entfallen: abnehmende, wenn die Länge im ersten und drit-
ten Quadranten liegt, zunehmende, wenn im zweiten und
vierten. Im vorliegenden Fall sind also die zur unvermehrten
Länge 208'^ angesetzten ^^eo ^^n dem Maximum Vg" = 0<^10'
einmal aus dem ersten Grunde, und von dem Ergebnis 0^8'40"
zum zweitenmal aus dem zweiten Grunde zu nehmen, woraus
der durch den Neigungswinkel des Exzenters verursachte Teil-
betrag der nördlichen Breite des Planeten mit yg° = 0*'7'30"
hervorgeht.

Somit beläuft sich die Summe der drei erhaltenen Ansätze
0^3' -j-2'>9'-|-0n'30" auf eine nördliche Breite von 2<>59'30",
welche allerdings den von Ptolemäus (S. 165,6) mit 2° 40' an-
gesetzten Betrag erheblich überschreitet.

3 Es soll die Breite berechnet werden, welche der Merkur
im 18/19. Thoth (15. November) 265 v. Chr. 7^ früh hatte (vgl.
■^. 150,29 und Anm. 14 3 zur Zeit). Die genauberechnete Länge
>var (Anm. 14.3) mit 42**58', die genauberechnete Anomalie mit
U2''4l' festgestellt. Zu letzterer liefert die dritte Spalte der
Tabelle (S. 377) die Breite, welche der Neigungswinkel des Epi-
•ykels verursacht, mit 2^57', die vierte Spalte die vom Schief-
tand herrührende Breite mit 1*^53'. Von letzterer ist, weil die
' nge auf den erdfernen Halbkreis des Exzenters entfällt,
. d.s. 0"ll', in Abzug zu bringen. Zu der (Anm. 21.2) um
.)" vermehrten Länge (42»58' + 270®=)312°58' gibt die fünfte
l»alte ■^Yeo, die von 2''57' genommen 2"1' ergeben, d.i. (^nach
H79, 13) einen auf nördliche Breite entfallenden Betrag. Zu
nach Vorschrift um 180" vermehrten Länge (42" 58' -f-
-J»=) 223" erhalten wir ^%q, die von (1"53'- 0"11' =) 1"42'
enommen 1"12' ergeben, was (nach S. 379, 34) ebenfalls auf
örd liehe Breite entfällt. Endlich führt zum dritten Ansatz,
er stets auf südliche Breite hinausläuft, die Multiplikation

ixixr = üx|^ = r oder 0023'.
Das Schlußergebnis (2"l'-f l"12'-0°23' =) 2"n0' dürfte die
örd liehe Breite, welche dem Merkur in der beobachteten
onstellation (S. 151) zukommt, nur um ein geringes über-
ihreiten.

23) S. 385. 1. Berechnung für die Venus. Da die mittlere
)nne (auf der Geraden BEw) in 7125" steht, so liegt dort auch
Jr Mittelpunkt des Epizykels, d.h. die gleichförmige Länge

432

Anhanor.

«^'

beträgt von dem Apogeum ^ 25^ ab gerade 30^ Da ferner
der scheinbare Ort der Venus (auf der Geraden MTT) O 0** ist,
80 beträgt ihre Elongation von der mittleren Sonne ö**. Gesucht
ist die Entfernung des Planeten von dem
Apogeum desEpizykels. Ob die Entfernung
{mT\) von dem mittleren oder die Entfer-
nung (TT^) von dem genauen Apogeum ge-
meint ist, wird von Ptolemäus nicht ange-
geben.

Zu der gleichförmigen Lange 30" erhält
man aus der dritten und vierten Spalte der
Tabelle (S. 264) die kombinierte Prosth-
aphäresis der Länge mit l"!!', die von 30"
abgezogen, zu der genauberechneten Länge
28" 49' führt. Folglich liegt der genaube-
rechnete Ort des Epizykels (auf der Gera-
den ME^r in hJ 25"-f 28"49', d. i ) in TT23"
49', und der Planet in G 0" erscheint dem Auge in M um den
/, ^MTT = 6"11' von diesem Ort, d.i. von dem genauen Apo-
geum (^f) des Epizykels entfernt. Für die Erdentfernung, wel-
che bei der gleichförmigen Länge 30" eintritt, berechnet sich
die der Zahl 6" 11' am nächsten kommende Prosthaphäresis der
Anomalie folgendermaßen. Aus der sechsten Spalte erhält man
die Prosthaphäresis der Anomalie für die mittlere Entfernung
(als Mittel zwischen 5"1' und 7"31') mit 6"16'. Hiervon ist die
Differenz 0"4' für die größte Entfernung, der Länge 30" ge-
mäß mit ^Veoi ^'^' ^^ 0"3'30" in Abzug zu bringen, was 6"
12' 30" gibt. Zu dieser Zahl liefert die erste Spalte — weil
/, ^MTT zur Länge des Epizykels zu addieren ist — die ge-
nauberechnet'e Anomaliezahl 15" (als Mittel zwischen den Gra-
den 12 und 18), welche um die Prosthaphäresis 1"11' (d.i. bgm)
vermindert, zu der mittleren Anomaliezahl 13"49' führt. Dem-
nach ist von Ptolemäus mit 14" die vom mittleren Apogeum
gerechnete Zahl gemeint.

Zur Berechnung der Breite sei die genauberechnete Länge
mit 29" und die genauberechnete Anomalie mit 15" gegeben.
Nach der ausführlichen Darlegung des Verfahrens (Anm. 22. 2)
wird folgendes Schema verständlich sein.

Genauberechn. Anomalie 15": Neigung 1", Schiefstand 0"21'
Gen. Länge 29"-{- 90" = 119": «y^^ x io = ^o"29'

7eox0"21' = -f-0"18'30"

Gen. Länge (ohne Zus.) 29": 1 53, 53, ^ 1/ o_ 28/ xO"10'

/eo ^ /eo ^ /e ~ '36 -^ "

-f 0"7'47".

Anhang.

433

>ZW*

rio'

Die drei Ansätze geben in Summa (0''29' -J- 0M8' 30" -fO"7'
47"=) 0*^54' 17", was hinter der von Ptolemäus (S 385,23) mit
1^ angenommenen nördlichen Breite erheblich zurückbleibt.

2. Berechnung für den Merkur. Da die mittlere Sonne (auf
der Geraden BEm) in TT 19" steht, so liegt dort auch der Mit-
telpunkt des Epizykels, d.h. die gleichförmige Länge be-
trägt vom Apogeum si 10" ab 249" oder 69*^ vom Perigeum
Y 10" ab. Da ferner der scheinbare Ort des Planeten (auf der
Geraden MTT) G 0" ist, so beträgt seine Elongation von der
mittleren Sonne 11". Gesucht ist die
Entfernung (mTT) des Planeten von dem
(mittleren) Apogeum des Epizykels.

Zu der gleichförmigen Länge 249° ent-
nimmt man der dritten und vierten Spalte
der Tabelle (S. 265) die kombinierte
Prosthaphäresis der Länge mit -f-2"53'
und erhält somit die genauberechnete
Länge mit 251 "5H'. Folglich liegt der
genauberechnete Ort des Epizykels (auf
der Geraden ME^ in T 10"-j-7l°53', d.i.)
in TT21"53', und der Planet in O 0" er-
scheint dem Auge in M um den /.^MTT
= 8" 7' von dem genauen Apogeum (g)
des Epizykels entfernt. Für die mittlere Entfernung entfällt
nach der sechsten Spalte schon ein Winkel von 8" 4' auf den
30. Grad des Epizykels. Bei der durch die gleichförmige Länge
249" bedingten Erdnähe entfällt aber auf den 30. Grad des
Epizykels auch noch der um "Veo ^^^ Differenz (der 7 Spalte)
0"28', d.i. um 0"27' größere Winkel von 8" 31'. Die Zunahme
der Prosthaphäresis der Anomalie berechnet sich bei dieser Ent-
fernung auf einen Grad aus Ve [8*^31' - 60 51'J mit 0"17'; so-
mit liegt der im vorliegenden Fall gefundene Winkel von 8"7'
um genau lYg Epizykelgrade — weil auf diese der Zuwachs
0"25' (d.i. 17' + 8') entfällt — rückwärts des 30. Grades bei
28" 30'. Vermehrt man diese Gradzahl um die Prosthaphäresis
der Länge (d.i. bmg), die 2" 53' betrug, so wird man als Epi-
zykelgrad von dem mittleren Apogeum ab (28"30' -f- 2"53' =)
31 "23' erhalten. Auch dieses ErgelDnis weist darauf hin, daß
Ptolemäus mit dem 32. Grad die mittlere Anomaliezahl ge-
meint hat.

Zur Berechnung der Breite sei die genauberechnete Länge
mit 252" und die genauberechnete Anomaliezahl mit 29" ge-
geben. Das Schema der Berechnung gestaltet sich unter Berück-
sichtigung der nach S. 378, 25 vorzunehmenden Korrektion des
Schiefstandes folgendermaßen:

Ptolemäus, übers, v. Manitius. II. 28

434 Anhang.

Genauber. Anomalie 29°: Neigung VB1\ Schiefstand 0^53'
Schfst. vermehrt nm y^^: 0"53'+ 0«5' = 0^58'
Gen. L. 252«-}- 270°= 162°: "/^o x 1^37' =-f 1°32'

f i7„oxO°58' = + 0°17'24"
Gen. L. 252«+ 180«= 72». { £^.%„.%«=y,„.x0«45'=-0«4'.

Die drei Ansätze geben in Summa (10 32' 4- 0°17' 24" - 0°4'=)
1°45'24", womit die von Ptolemäus (S. 385,24) mit 1°40' an-
genommene nördliche Breite mit rund b^^ Minuten über-
schritten Yrird.

24) S. 389. 390 zweimal. Es soll gefunden werden, wie viel
Epizykelgrade die Venus auf dem erdnahen Halbkreis des
Epizykels zurücklegt, wenn sie in der Ekliptik eine scheinbare
Rückläufigkeit von 3° 14', 18°2' und 6°38' bewerkstelligt.

1. Da die Venus (S 386,18) am Anfang der Fische, d.i. 85°
vor dem Apogeum ^ 25° nahezu in der mittleren Entfernung
steht, so kann man die Beträge der sechsten Spalte der Ano-
malietabelle (S. 264) als maßgebend annehmen. Die Prosth-
aphäresis der Anomalie, d.i. der Winkel am Auge, unter wel-
chem der zurückgelegte Epizykelbogen in dieser Entfernung
erscheint, beträgt für einen Bogen von 3° am Perigeum des Epi-
zykels 7^38', so daß ein Grad unter einem Winkel von 2°33'
erscheint. Man findet demnach für einen Winkel am Auge von
3° 14' die durchlaufenen Epizykelgrade nach dem Verhältnis

l°:2°33' = a;:3014' mit a; = ||| = l^,

d.h. der gesuchte Epizykelbogen beträgt rund das ly^ fache
eines Grades oder 1°15' (genau 1°16'5").

2. Da (S. 390,9) am Anfang der Jungfrau, d. i. 95° nach
dem Apogeum H 25°, die Venus gleichfalls nahezu in mittlerer
Entfernung steht, so kommt dieselbe Spalte der Tabelle in Be-
tracht. Geht man mit 18° 2' in diese Spalte (von unten nach
oben) ein, so findet man, daß die Zahl 18° 1' (als Mittel zwi-
schen 21° 15' und 14°47') auf 7'/,° vom Perigeum ab gezählt
entfällt, d. i. zwischen die Argumentzahlen 186 und 189 der
zweiten Spalte.

3. Die (S. 390,27) auf eine Rückläufigkeitsstrecke von 6° 38'
entfallenden Epizykelgrade erhält man, da die Zahl 7° 38' der
sechsten Spalte zu 3° Entfernung vom Perigeum gehört, nach
dem Verhältnis

3°:7°38' = ir:6°38' mit ^ = ^^ = 2|^.

Die hieraus sich ergebenden 2%° lassen die von Ptolemäus
angegebenen 2^/^'^ als eine stark nach unten abgerundete Zahl
erkennen.

Anhangf.

435

Nachtrag zu S. 129, ii.

Die beiden nach den Epizykelmittelpunkten A und E ge-
zogenen Halbmesser KA und 0E liegen an der (S. 128) vor-
gelegten Figur nur zufällig auf einer Geraden, weil sie den
durch das Apogeum gehenden Durchmesser des testbleibenden
Exzenters um B unter rechten Winkeln schneiden, so daß
0 K ein gemeinsames Stück dieser Halbmesser wird Wenn die
Leitlinien fZ und PH mit diesem Durchmesser einen spitze-
ren Winkel bilden als an jener Figur, so werden sich die bei-

den Halbmesser KA und 0E in dem Punkte Z schneiden, der
(nach Eukl. I. 4; HI. 7) stets auf den bezeichneten Durchmesser
des festbleibenden Exzenters zu liegen kommt, wie vorstehende
Figur zeigt. CJm in diesem Falle 0A = K E nachzuweisen, be-
darf es zunächst des Beweises, daß 0Z==IK (weil in kongru-
enten rechtwinkligen Dreiecken gelegen), worauf sich auch
A 0AI^A KEI nachweisen läßt, weil je zwei gleichgroße Sei-
ten (0I = IK und IA = IE als die Reste der um gleichgroße
Stücke gekürzten Halbmesser KA und 0E) den /,AI0=/,KIE
einschließen. Folglich sind auch die Grundlinien 0A und KE
dieser Dreiecke einander gleich.

28'

436 Verzeiclmis der Abweichungen.

Verzeichnis der Abweichungen von dem Text Heibergs.

Im ersten Bande.
A. Vorgezogene Lesarten des Cod. D (Vat 180 saec. XII). ^
Zu den nach den Seiten des Originals zitierten Lesarten ist
Seite und Zeile der Übersetzung angegeben, wo letztere der ge-
wählten Lesart stillschweigend entspricht. Bei ausdrücklicher
Begründung wird auf die betrefiFende Anmerkung hingewiesen.
Nicht aufgeführt werden vorzuziehende Lesarten, welche den
griechischen Text ohne Einfluß auf die Übersetzung betreffen,
wie z. B. ccsi statt ahl (10, 8 u. ö.), ccvaQQLm^onsvoov statt ccva-
QiTC. (23,6), TCQos xccis aQKtovg statt Ttgog agyitovg (105,11; 108,6),
hsL statt ivLavTG) (195, 20) u. a. m.

16, 9 ra om] S. 11, 30 I 35, 9 tov IgotcXsvqov] S. 27, 24 I 40, 15;
42,3; 45,8 oTtSQ Uel dst^aL] S. 31,2; 32,2; 34,15 I 72,2 rgly. oq-
d-oymvLOv] S. 47,26 I 75,2 tcc K xal Ä cr]nsiu\ S. 50,11 I 77,11 6
^iyiötog -Kviilog] s. Berichtigung zu S, 52, 3 I 78, 11 rrj pro v%'^
8. Berichtigung zu S. 52,19 I 95,22 Trspiqpepetmv] S.64, 5 I 104,3.6
xfcWpöj] S. 71,19.22 I 105,13 t^ i. e. y^J S. 72, 19 I 107,2 fisöov-
Qavij6S6i\ S. 73, 18 I 111, 13 va /,'] 8. Anm. zu S. 76, 21 I 112,3
vd a\ 8. Anm. zu S. 77,1 I 122,7 qv^ ^ß' i.e. 11 ß] S.Berichtigung
zu S. 84,23 I 159,3 0Z] S. 111,9 I 160,18 r&v om.] s. Berichti-
gung zu S. 112,20 I 171,6 MK] S. 120,4 I 174, 1 in D tres co-
lumnae sunt cum quaternis sigais] S. 122—128 I 192,2 Tcgog] S.
131,8 I 197,20 7} diactQ.] S. 136, 11 I 199,5 KdllLTtTCOv] S. 137,19
und so an allen weiteren Stellen I 206, 3 'tyyt,6Tcc (cf. 205, 3)] S.
144, 1 I 208, 11 rjiisQ&v add ] S. 146, 12 I 209, 17 td^o^sv (cf. 252,9)]
S. 147,29 I 233,1 ^stä 7td67\g enovdfig] S. 166,24 I 233,24 ijiiEgag
add.] S. 167,18 I 238,4 iTtiUXoyiö^EVOLg] S. 171,4 I 249,21 oQd'o-
ymviov add.] S. 179, 23 I 262,6 avrovg'] S. 190,8 I 266, 5 ttjs yfig
rovteöTi, TOV ^codicczov did tov xevzqov xfig add.] s. Anm. zu ]S.
192, 24 I 267, 4 tag aijxdg] S. 193, 18 I 273, 9 ycvxXovg add.] S. 198,19 I
275, 2 oiTtEQydGExai] S. 200, 8 I 280, 5 % pro la\ S. 205, 3 I 294, 6
iiLug %al xfig avxrjg] S. 212,4 I 298,24 0A] s. Anm. zu S. 216,12 I
309, 19 ogd'oy. ^voiXog] S. 225,8 I 315, 16 iiiX£iil)£(og om.] S. 228,29
I 317, 25; 319, 4. 14 ÖQd-oychvLov] S. 230, 22; 231, 11 19 I 318,8 6q-
d-oyävLov add.] S. 230, 30 I 321, 11 xwv AA xal AM] S. 232, 27 I
326, 18 xrjg £jro;^i?s] Kapitelüberschr S. 237 I 328, i Ttgoxegov]
S. 238, 3 I 335, 13 Ttul xdg] S. 244, 5 I 341, 8 i&ny 81%^ e corr. w^]
S. 248, 21 I 345,12 v9' primitus] s. Anhang Anm. 33 zu S. 252, 2 I
347, 17 tj3w'] s. Anm. zu S. 253, 29 I 350, 14 xfjg 6sXrjV7]g öv^vyi&v]
S. 254,11 I 351,13 TtSQicpsQSiaig] S. 255,31 I 353,22 STti] S. 258, 2 1
390,32 33 Spalte ^': Xcc, kö pro Xß, xs] S. 286, 4. Spalte zu 120"
u. 123'' I 406,3 öia xovxo primitus] S. 298,5 1 410,8 ygcccpoiisvov

Verzeichnis der Abweichungen. 437

^Eyiatov] S. 301,8 I 452,2 {] m^] S. 330, 28 I 462, 5. 9. 16 a pro vso-
ILTiv. (cf. 195,14)] s Anm zu S. 338,24 I 4H4, 5 Tiliov] S. 340, 14 I
465, 10 va pro r/3] s Anm. zu S. 341, 14 I 473, 25 y,axa otldtos]
S. 347,7 I 474, 14 to om] S. 347,30 I 478, 16 iTti om.] S. 351,28 I
488, 25 iXaxl6rr]s] s. Anm. zu S. 362, i.

B. Verbesserungen und Ergänzungen.

Nicht erwähnt werden die aus praktischen Gründen hier und
da vorgenommenen Änderungen der Buchstabenfolge bei Be-
zeichnung von Geraden, Bogen und Dreiecken.

16,4 — 7] s. Anh. Anm. 2 zu S. 11,29 I 30, 16. 17] Einschiebsel:
s. Anm. zu S. 24,10 I 54, lO; 122,4 o Xß ä] 70? 32' 3" nach S. 27,12 ;
Sehnentafel S. 38 zu 72« u. S. 84, 2i I 83, 2. 4 gv? ^ cc n. xy id'
vd'] s. Berichtigung zu S. 55,13 I 107,13 TtagdliriXog] gestrichen
(vgl. 114, 23): S. 73, 30 I 109, 9 ^ly l.' y'] 43p 36': s. Anm. zu S.
75, 1 I 123, 11 iia d- tri] 41"0'18": s. Anm. zu S. 85, 22; richtig
Heib. 83, 20 I 123, 21 ME Druckfehler statt MH] S. 86, 2 I 181, 7
Q 11^, Xa Xcc] 100°41', 31»37': Winkeltabelle S. 125 Widder, als
Suppl.-Winkel der entspr. Winkel der Wage I 183,17 Xß 0] 32<»
30': Winkeltab. S. 126 Stier, vgl. Jungfrau I 187,27 q is, (i^ /xJ]
90n0', 47^50': Winkeltab. S. 128 Fische, vgl. Skorpion I 188,14
tovs <^cc7tby rmv iTCO^cöv wie 342, 5; 343, 15 u.a.m.] S. 129,17 I
194, 21 TLvd fehlt] s Anm zu S. 133, 26 I 224, 14 rov tcuqcc xr\v
äv(o\LaXiav (^diacpoQOvy wie 225,12] S. 159,16 I 226,23 AA Druck-
fehler statt AB] S. 161,9 I 247,6; 249,20 ß Xd X?] 2p 34': S.177,
31; 179,22 I 251,24 TtQog <^rotgy ccnoyüoig (steht bei Halma) wie
252, 3] S. 181, 18 I 28u, 2 (ßXovgy %vyiXovg\ S. 204, 36 I 343, 2 S
coQ&v 7CoiQEXriXv%-vi&v'\ s. Anm. zu S. 249, 28 I 345, 14 u. 346, 15]
TcaQsXd'.: S. 252,3.30 I 363,19 ö^a'] 259: s. Anm zu S. 266, 8 I
413,7 iv,ßXr]Q'sl6av'\ hinter BE: S. 303,4 I 419, 21 (JiXQißmgy iit-
ixsiv] S. 308, 13 I 449, 16 dv avzoxi] dicc rov H, wie auch Heib,
vermutet: S. 328, 28 I 455,7 — 17] Glosse: s. Anh. Anm. 41 zu S.
334, 17 I 462, 18 Tov l&iov <>tvx;iov>] S. 339, 13 I 463, 15 ^7R0%f)?]
ccTCoxfig: S. 339,32 I 465,17 inoxfig] iTtoveiag wie 465, 11: s. Anm.
zu Ö. 341, 25 I 477, 10 g d] 6"^ 15': s. Anm. zu S. 350, 15 I 486, 19
ctTtoyüov <TOi) ini'icvKXovy hierher aus Z.*17] S. 359, 16 I 486,20
liicrig] ^sylöxrig: s. Anm. zu S. 359,18 I 493,1 övvdysTca] s. Anm.
zu S. 366, 18 I 493, i4 /xetfTjg] iXa%i6T7\g: s. Anm. zu S. 367,16 I
494,12 fisyiGrov] ^iaov: s. Anm. zu S. 368,12 I 504,13 xvx^ov] xv-
TcXovg: S. 378,2; vgl. jedoch Heib. 504,21.

C. Figuren.
1. Beibehalten: S. 28. 30. 31. 33. 34. 45. 46. 47 (2 Fig.). 48.
49. 65. 67. 87. 88. 102. 104. 109. 117. 152. 153 157. 160. 162. 163.
168 (untere Fig). 171. 173 174. 177. 183. 214. 223 (2 Fig., un-
tere S. 224wiederh). 226. 227. 230. 232. 233.261. 268. 272.275.
279. 310 (Fig. links). 331 (obere Fig.). 332. 353. 377. 386.

438 Verzeichnis der Abweichungen.

2. Mit oder ohne Begründung abgeändert: S. 25. 29. 50. 51
(Anm.). 55. 60. 81. 82 (Anm. «> S. 83). 84. 103 (2 Fig.). 105. 107.
108. HO (Anm.*)). 112. 114. 115 (2 Fig.; s. Berichtigung S. 462).
116. 118. 119. 159. 164 (Anm. *^) S. 165). 172. 175 (Anm). 176.
178. 179 (Anm.). 180. 216 (2 Fig.; s. Berichtigung S. 462). 242.
263 (Anm.) 283. 289. 291. 301. 302. 314. 318 (Anm.*)). 321. 326
(wiederholt 328). 331 (untere Fig.). 379. 381 (untere Fig.). 404
(wiederholt 407).

3. Neu beigegeben: S. 14 (2 Fig.). 41 (Anm.). 43 (Anm.^)).
100. 156. 168 (2 Fig.; zur unteren Anm. i»)). 161. 168 (obere Fig.).
222. 229. 255 (Anm.). 296 (Anm. S. 295). 307 (Anm. *) S. 308).
309 (Anm. ^'>). 310 (Fig. rechts). 319. 320. 333 (Anm.V 335 (Anm.).
352 (Anm. *) S. 353). 358. 360. 362. 363. 366. 369. 370. 381 (obere
Fig.). 387. 399. 408. 409. 410 (2 Fig.). 412. 413.

Im zweiten Bande.

A. Vorgezogene Lesarten des Cod. D (Vat. 180 saec. XII).

Von den vorzuziehenden Lesarten, welche für die Übersetzung
belanglos sind, ist vor allem hervorzuheben dycQovvxtos statt
ccKQoovvxtos (Hei 321, i bis 539,3 au 120 Stellen).

9,4 ocTCoXa^ßccvsv] S. 9,16 I 19,3 tatg om.] S. 18,2 I 19, i9 xa/
om.] S. 18, 19 I 29, 7 Ttß Lß'] S. 25, lo I 32, i rod'] S. 27, 17 I 32, 18.
33, 20 aTCEXOv] S. 28, 7; 29, 3 I 37, 2 rfjs iTtoxfjg iTtl tov] S. 31, 20 j
37, 4 diä rovTcov om.] S. 31, 23 I 39, 4 o S"'] S. 32 Kl. Bär 1 I
44,19 7tQoriyov(isvos\ s. Anh. Anm. 4 Drache 17 I 59,3 ad ff'J s.
Anm. 4 Leier 10 I 69, 13 xy r^'] s. Anm. 4 Schlangentr. 13 I 90, 5
intog] 8. Anm. 4 Stier 33 I 91, lo kö] s. Anm. 4 Stier 36 I 95, 12
y] s. Anm. 4 Zwill. 25 I 101, ß y g'] s. Anm. 4 Löwe 26 I 121,16
vo] s Anm. 4 Wasserm. 17 I 179,4 vTto] S. 71, 18 I 181, 5 tiIbv-
Q&v] S. 73, 3 I 181, 6 stg xd\ S. 73, 6 I 190, 18 avatdXavtog'] S.
81,22.1 190,22 y.atccdvvavxog] S. 81, 26 I 197,6 EA] S 86, 7 I 200,6
tov] S. 88, 25 I 200, 7 H0ZK] s. Anm. zu S. 88, 27 1 208, 17 ano]
S. 94,27 I 219,7 vri pro Xt] S. 103,7 I 297,5 r« 8"\ s. Anm. 11
zu S. 156, 27 I 298, 1 ro tfig JI^.] S. 157, 18 I 303, 2 B^axiQag] s.
Anm. zu S. 161, 19 i 314, 22 ävcoiiaXiag] S. 170, 18 I 329, 17 ivtog
TovTOv] 8. Anm. zu S. 182, 11 I 379,3 rov ccTtoyslov (loigag] S.
218, 5 I 399, 15 TOV trjv] S. 233, 8 I 433, 4 |a ff pro ^a xff] S. 258,4
(vgl. S. 310, 14) I 443, 43 Spalte ^': cc^r] pro a vrj] S. 264, 7. Spalte
zu 1.56° I 470,6 Tfjg (cf.'473, l)] S. 282,30 I 476, 16 änb tov ccTto-
ysiov, rectius iTtl] S. 287, 27 I 497, 21 ärcb tov (cf. 499, 11)] S.
305, 24 I 499, 4 to om.] S. 306, 33 I 590, I8 iisyictov om.] S. 380,24.

B. Verbesserungen und Ergänzungen.
11,10 rov] tovg mit Cod. C: S. 11,18 I 25,19 (^vvKtbgy &Qccg
wie 27,3] S. 22, 16 I 29,17 tov ßog. <x^paroff>] S. 25,22 I 32,19

Yerzeichnis der Abweichungen. 439

a i§] 1^5': S. 28,8 I 43,14 %§ /.' f^'] \-(.' mit Codd. BG gestri-
chen: S. 33 Gr. Bär 33 I 47, 4 7t /] 83^ s. Anh. Anm. 4 Drache
23 I 48,18 avx&v] avrov: s. Anm 4 Bootes 8 I 56,5 — 7] verm.
Glosse: S. 36 Herk. a. E. I 81, 17. 18 a /,' y', ß] 2^ l^ÖO': s An-
merk. 4 Andrem. 13 I 85, 7 S" /,'] 6" 50': s. Anm. 4 Widder 5 I
87,16 Ly] 10^20': s. Anm. 4 Stier 10 I 89,16.17 7/, 7]/.'] 8" 30', 8°:
s. Anm. 4 Stier 27 I 103,4 x^] 26<>: s. Anm. 4 Jungfr. 2 I 111,
13.14 LT] r^\ tri] 18°, 18U0': s. Anm. 4 Skorpion 14 I 118,8 vo-
tio)] vatiaioc: s. Anm. 4 Steinb. 21 I 121, 12. 13 y, y ?'] 3*>10', 3^:
s. Anm. 4 Wasserm. 14 I 123, 17. 18 lS /.' ^', is y'J 15« 20', 14«45':
s. Anm. 4 Wasserm. 39 I 136,8 ccvr&v] ccvrov mit Cod. B: s.
Anm. 4 Orion 36 I 143,17 x£ y'] 21<>20': s. Anm. 4 Gr. Hund 5 I
146,2 tEöGccQöLv] TEöGaQcov: s. Anm. 4 Gr. Hund 24 I 153,7 ■nd']
19^: s. Anm. 4 Argo 45 I 155,18 l^ f^'] 13<*40': s. Anm. 4 Was-
serschi. 25 I 165, 13 cc y' Fehler statt X y', was auch Heib. als
richtig annimmt und Bode (nach dem Text von Montignot) an-
gibt] 30^20': S 63 Räucheraltar 4 I 169,12 la] 14": s. Anm. 4
Südl. Fisch 14 I 172,8.11 To^otov] to^ov: S. 66,15.18 I 179,15
Two;] rov, wie auch Heib. vermutet: S. 71,30 I 183,19 t&v xv-
ytXcov] xov xvxylov: s. Anm. zu S. 75,21 I 214,21 t&v] tcclg mit

Halma: S. 100, ii I 216, i ^ ,^ v Rechenfehler statt /* ,yv] 23 400":
S. lol, 2 I 238, 3 ^ iis Druckt, statt p, o pts] X 0"45': S. 113, 8 I
258,16 tfjg iiiarig <7taQ6dovy wie 257,18] S. 127,4 I 260,8 äva-
lialiav (^diatpoQOvy (steht bei Halma) wie 258, 12] S. 128, 24 I
264, 18 'TÖQOivog x-ö-'] 'Töq. -kcc' mit Cod. G: s. Anm. zu S. 132, 16 I
274, 10 Kapitelüberschr.] s. Anm. S. 140 I 278, 8; 279, 6 ZA] ZT:
8. Anm. zu S. 143, 18 (vgl. S. 144, 1) I 294, 5 iri y' ^yiata] ir} y
iyy.'. s. Anm. zu S. 155, 17^1 300, 2 id U 8'] id f^' d': s. Anm. zu
S. 159, 12 I 301, 5 6 <TO'ü> tfjg kcpQodltrig] S. 160, 6 I 352,5 Alyco-
vog xs'] Aty&vog xsr': s. Anm. zu S. 199,4 I 360, 1 iyixsvtgot.
<xal tov UTCoysiovy (steht bei Halma) wie 321,14; 392,8] Ka-
pitelüberschr. S. 204 I 424,6 ^ Druckfehler statt id'] S. 250,19 I
442,34 Spalte /: a, vcc] 1"54': S. 264, 3. Spalte zu 129" I 475,14
€ g] 5' 10": S. 287, 3 I 478, i7 AH] AA: S. 289, 14 I 481, 12 <^7ti>
tov äTtoyslov wie 470, 12; 473, 7; 482, 19 u. a. m.] S. 292, 1 I 499,4
8tav <tr6 xivtQOV tov ^jrixuxXot;)] s. Anm. zu S. 306,32 I 513,16
xat] gestrichen: S. 318,24 I 539,15 i6(ov ^ngog tolg änoy.y wie
541, 12] S. 339, 1 I 554, 11 KAM Druckf. statt KAM] S. 352, 11.

C. Figuren.

1. Beibehalten: S. 173. 175. 177. 197. 207. 231. 245. 248. 252
(unten). 269. 270. 272. 273. 317. 320. 321. 322. 343. 347 (2 Fig.).
349. 354. 363. 366. 369. 370. 372.

440 Berichtigungen.

2. Mit oder ohne Begründung abgeändert: S. 84 (Anm. «')).
85 87. 88. 122. 124. 120 128 (Anm.«)). 137. 141 (Anm. '^)). 143.
145. 148 151 (unten). 160. 162 (Anm ») S. 163). 165 168. 179.
182. 184. 185. 187. 190. 191. 193. 194. 200 (Anm.*)). 205.209.
211 213. 216. 217. 218. 220. 221. 224. 229. 233. 235. 236. 239.
240. 241. 243. 257. 276. 278 (Anm. *)). 286. 290. 294. 298. 313.
337 (Anm *)) 350 = 355. 358. 359. 362. 381. 383. 385. 387 (An-
merk. »)). 388. 389. 391.

3. Neu beigegeben: S. 6. 7. 121. 133 (2 Fig.). 151 (oben). 159.
164. 252 (oben). 365. 390. 392. 393.

Berichtigungen.

Zum ersten Bande.

S. 52,8 ist statt „der Kreis" nach Cod. D zu setzen „der
größte Kreis".

S. 52, 19 ist statt 23"1,9'59" nach Cod. D zu setzen 23«19'58".

S. 55, 13 ist dieselbe Änderung vorzunehmen, da Zeile 12 als
Ergänzung zu 180^ nach Cod. B» 156H0' 2" (statt 1") gewählt
worden ist.

S. 84, 23 ist letztere Zahl ebenfalls herzustellen und Zeile 24,
wie oben, 23" 19' 58" zu setzen, weil diese Grade nach Anm. ^)
das Doppelte von ll''39'59' sind.

S. 112,20 ist statt „der größten Kreise" nach Cod. D zu set-
zen „größter Kreise" wie S. 114,4.24 (Hei 162, i3; 163, lo).

S. 231,24 ist 10P12'49" in 10p 2' 49" zu korrigieren.

S 253,21.23 ist 178*^ in 168'^ zu korrigieren.

S. 271,.'! ist das Jahr 126 in 127 v.Chr. zu ändern. Die Be-
obachtung fällt 270* Vg'^ nach der S. 266, 6 mitgeteilten.

S. 274. 29 ist dieselbe Änderung vorzunehmen. Die Beobach-
tung fällt 66*97 h nach der S. 271,5 mitgeteilten.

S 3(i6, 28 ist „Nabopölassar" nach Cod. D zu lesen.

S. 420 Anm 11 Mitte ist „indem die von dem antarkti-
schen" (statt arktischen) zu lesen.

Zum zweiten Bande.

S. 90 Anm.**): Der noch fehlende Bogen AB ist nicht die
Äquatorhöhe, sondern die Höhe des kulminierenden Ekliptik-
punktes A, dessen Zenitabstand S. 90, 8 als bestimmbar bezeich-
net wurde. Folglich ist AB der Komplementbogen zu diesem
Zenitabstand.

S. 168,2 ist statt ^ das Zeichen v\ zu setzen.

S. 281, 11 ist statt „jeden" zu lesen „jeder" (vulg. k%dtsQOg).

Namenverzeichnis.

NicM aufgenommen sind die Namen der Planeten, der Stern-
bilder, der Ekliptikzeichen und einzelner Sterne. 13ie ägypti-
schen Monate sind nur ihrer Reihenfolge nach unter Ägypten
aufgeführt.

Adulitischer Meerbusen I 72,23.

Ägon, Zodiakalmonat der Zeit-
rechnung des Dionysius, II
199,4. Vgl. Didymon, Hy-
dron, Leonton, Parthenon,
Skorpion, Tauron u. II Anh.
Anm. 6.

Ägypten II 383, 22 ; Unterland
von Ägypten I 74, 22 ; Unter-
Ägypten 195,1; 124,1. —
Ägyptische Jahre zu 365 Ta-
gen I 142, 14. — Ägyptische
Monate: Thoth, Phaophi,
Athyr, Choiak, Tybi, Mechir,
Phamenoth, Pharmuthi, Pa-
chon, Payni, Epiphi, Mesore;
hierüber fünf Zusatztage
(Epagomenen).

Agrippa, Beobachter in Bithy-
nien, II 23, 14.

Alexander: Jahre von der Re-
gierung Nabonassars bis zum
Tode Alexanders I 184,19;
von da bis zur Regierung des
Augustus I 184, 20. — Jahre
nach, dem Tode Alexanders,
d. 8. Jahre der Philippischen
Ära (s 1142 Anm.*)): 4-4.
Jahr = I 50 Kall I 144, 10.
52. Jahr = 476 Nab. II 199, 8.
83. Jahr = 45 Dion. II 223,27.
178. Jahr = III 32 Kall. 1 142,
7. 26. 197. Jahr = 621 Nab.

I 271,2 (vgl. Z. 17); 274,28
(vgl. 275, 11). 4:5:3. Jahr = 3
Ant. 1 142, 10; 143, 2. 24; 144,
11; 167,20.
Alexandria: Meridian von AI.
I 129,14; 219, 29; 266,25; 348,
27; 349,5.8; 396,24; II 23,23;
27,1; 28, 28; Parallel von AI.

I 298, 35; Ortszeit I 185, 11 ;
348,25.28; 392,4; II 147, 12;
bürgerliche Stunde I 253,4;
351, 15; Fehlen der Parallaxe
in Länge I 265, 17 ; wirkende
Parallaxe II 23,4; 165,2;
221,5; 244,10. — Beobach-
tungen, in AI. angestellt, I
265,7 (nach Z. 17); 350,10;

II 18,25; 22,12; 24, 20; 27,21;
vgl. II Anh. Anm. 6 ; auf den
Meridian von AI. reduziert,
I 220,1. 11 27; 239,29; 241,
21; 248,6; 251,24; 307,7;
308,8. — Metallring in AI.
I 134,3; 135,3; vgl 136,9 u.
I Anh. Anm. 19.

Anthesterion, athenischer Mo-
nat, II 22, 14.

Antonin, römischer Kaiser 138
— 161 n Chr.: Anfang der
Regierung ohne näheres II
31,6; 76,4; 199,20; 247,2.
Anfang der Reg. = 21 Hadr.,
d. i. 884 Nab., II 167, so (408

442

Namenverzeichnis.

äg. Jahre nach 476 Nab.); =

I Ant., d.i. 885 Nab., II 15,6
(265 äg. Jahre nach III 50
Kall. = 620 Nab. nach Z. 9);

II 199, 15 (409 äg. Jahre nach
13 Dion. = 476 Nab.). — Er-
stes Jahr der Reg. II 131,20;
139,34; 167,28; 204,19 (vgl.
227,1: 377 äg. Jahre u. 128
Tage nach 45 Dion. = 507
Nab., rund 378 Jahre nach
224, 8); 220, 5. Zweites Jahr

I 265, 9 (886 Nab. nach Z. 20);

II 13,24; 141,7; 147,4 (886
Nab.); 164,7; 176,25; 195,9.
19; 220,20; 243,25. Drittes
Jahr 1 142,9 (463 Phil); II
162,4. Viertes Jahr II 131,
28; 139, 26; 156, 27; vgl. I Anh.
Anm. 30 a. E. und II Anh.
Anm. 11.

Apellaios, syromakedonischer
Monat der chaldäischen Zeit-
rechnung, II 135, 16. Vgl.
Dios, Xanthikos.

ApoIIonius von Perga II 268, i;
272, 18.

Apseudes, athenischer Archont,
1 143,21; 144,4.

Archimedes: Wenden 1 133, 32;
Kreis omfang I 385, 5.

Aristarch : Sommerwenden I
141,18; Sommerwende 280
V. Chr. I 144,5; 145,3. Vgl.

I 18, Anm. *).
Aristoteles I 1, 24.

Aristyll : Sternverzeichnis II 4,4;
Deklination von Fixsternen

II 18, 14. 26. 39; 19, 23.

Athenische Archonten: s. Ap-
seudes, Euandros, Phanostra-
tos.

Aualitischer Meerbusen I 72, 8 ;
94,1; 365,25.

Augustus, römischer Kaiser
30 V. Chr. bis 14 n. Chr.:

erstes Jahr der Regierung

l 184,22.

Babylon: Meridian von B. I
219,30; Länge der Nacht I
220,20; 307,1; bürgerliche
Nachtstunde 1247,23; 248,
32; 250,2. — In B. beob-
achtete Finsternisse 1 219,17;
220,10; 239,2.28; 241,20.31;
247, 11; 306,30; 307 6; 308,6.

Bithynien II 23, 14; 24,8.

Borysthenes I 76,8; 96, i; 120,
27; 128,1; 354,8. 14; 405,28.

Brettania I 76, 22; 77, 23; Groß-
brettania 1 77,9.16; Klein-
brettania I 77, 30; 78,4.15;
Süd-Brettania I 97, i.

Brigantium I 77, s.

Chaldäische Beobachtungen I
196,12; II 383,20 — Chal-
däische Zeitrechnung: 67.
Jahr II 135, 15 (504 Nab. nach
Z. 19). 75. Jahr II 135,« (512
Nab. nach Z. 11). 82. Jahr II
247, 14 (519 Nab. nach Z. 18
u. 250, 18).

DariusI,, persischer König 621
—485 V. Chr. : 20. Jahr der
Regierung I 241, 25. 31. Jahr
I 239,2(257 Nab. nach Z. 31).

Didymon, Zodiakalmonat, 11
133, 24. Vgl. Ägon.

Dionysius, Begründer einerZeit-
rechnung, s. II Anh. Anm 6.
13. Jahr der Zeitr. II 199,4
(52 Phil. = 476 Nab nach Z.
7. 8). 21. Jahr II 150,27(484
Nab.). 23. Jahr II 132, 15;
133, 6 (486 Nab. nach 132, 24;
133, 19). 24. Jahr II 134, 27
(486 Nab. nach Z. 32). 28.
Jahr II 133, 22 (491 Nab. nach
134,2). 45. Jahr II 223,24
(83 Phil, nach Z. 26).

Namenverzeichnis.

443

Dios, syromakedonischer Mo-
nat, 11135, 7. Vgl. Apellaios.

Domitian, römischer Kaiser 81
—96 n. Chr.: 12. Jahr der
Regierung II 23, 15 (840 Nah.
nach Z. 19)

Ebudische Inseln I 78, 18.

Elaphebolion, athenischer Mo-
nat, II 24, 22.

Eratosthenes : Schiefe der Ek-
liptik I 44, 23.

Euandros, athenischer Archont,

I 249, 24.

Enktemon: Sommerwenden I
141,17; Sommerwende 432
V. Chr. 1 143, 17; 144, 14; Jah-
reslänge I 145, 15.

Griechenland 11 383, 2i.
Großbrettania s. Brettania.

Hadrian, römischer Kaiser 117
—138 n. Chr.: 9. Jahr der
Regierung 1 239, 9 (872 Nab.
nach 240,7). 11. Jahr 11228,8.
12. Jahr II 157, i5 13. Jahr

II 158,27. 11 Jahr II 140,24.
15. Jahr II 176,19. 16. Jahr
II 130,23; 139,24; 156,15. 17.
Jahr I 184, 12. 25 (880 Nab.
nach Z. 30); 228, 10 ; II 204,
13; 228,10. 18. Jahr 11131,5;
139,31; 161,21. 19. Jahr I
228,15; 235, 2; II 137, lO; 176,
22. 20. Jahr I 228, 21 ; 299, 24
(883 Nab. nach 300,6); II
228, 15 ; 243,15 (883 Nab. nach
250,22). 21. Jahr II 158, i;
159,19; 204,16. — Vgl. I
Anh. Anm. 30 und II Anh.
Anm. 11 a. E.

Hellespont I 75, 11 ; 96,1; 126,1.
Hermeion I 74, 15.
Hipparch gelobt I 131,2; 201,
20; II 4, 11; 96, 6; getadelt I

329, 21; beobachtet in Ale-
xandria I 135, 3; 350,7 (?);
in Rhodus I 266,1; 271,1;
274, 26; 35.1, 8(?) = 394, 25;
ungenannten Ortes I 137, 20.
23; benutzt 2 in Babylon be-
obachtete Finsternissei 241,
17. 24:8. 394, 23; 3 aus Baby-
lon herübergebrachte (atti-
8che?)Beobachtungen I247ff.;
drei in Alexandria angestell-
te I 251, 10; eine des Diony-
sius II 134,29; Sternkoordi-
naten des Timocharis und
Aristyll II 4, 3; 12, 19; 16,28;
17, 7 — Schriften des Hip-
parch: „Von der Verände-
rung der Wende- und Nacht-
gleichenpunkte" 1 133, 21;
II 12,18; 16,26; wörtlich zi-
tiert I 133,28 bis 134,7; II
12, 26 — 28. „Von der Lauge
des Jahres" 1 145,2 (in ei-
nem Buch nach Z. 25); II
15,13; 17,4; wörtlich zitiert
I 145, 8—12; II 15, 14—18.
„Von Schaltmonaten und
Schalttagen" 1 145, 13; wört-
lich zitiert ebenda Z. 1 7 — 22.
Anderweitiges wörtliches Zi-
tat 1 145, 24 bis 146, 2. „Par-
allaxenberechnungen" in
zwei Büchern I 330, 4. Stern-
katalog II 4, 11; 13, 6; 14,23;
15,24.25; 18,15. — Schiefe
der Ekliptik I 44, 24; vermu-
tete Ungleichheit der Jah-
reslänge 1 133,1 bis 134,7;
Nachtgleichen I 134 f.; 142,
2. 22; an die Spika geknüpfte
Berechnung widerlegt I 136
— 139; Länge des Jahres I
141—146; Nachweis der Ex-
zentrizität der Sonnenbahn
I 166,24 bis 171,4 — Ver-
besserte Mondperiode 1 196,

444

Namenverzeichnis.

11 bis 198,3; Ergebnisse in
Anomalie und Breite als un-
zulänglich erkannt 1 202, 27;
240,19; 241,2; eingehender
Nachweis des Fehlers 1 394,ii
bis 396, 10. Methode zum
Nachweis der einlachen Ano-
malie des Mondes befolgt I
212,24; Differenzen im Be-
trag der Anomalie auf un-
genaueBerechnung vonlnter-
vallen zurückgelührt 1 245, i
bis 251, 9. Eine seiner Mond-
beobachtungen zum Nach-
weis der doppelten Anomalie
verwendet 1 266 f.; vgl. I 255,
15; zwei andere dem Nach-
weis der Neigung des Mond-
epizykels zugrunde gelegt I
27 1 — 278. Versuch seinerPar-
allaxenbestimmung abfällig
beurteilt 1 294, 26 f.; Bestim-
mung des Maximums der
Breite des Mondes anerkannt

I 285, 9. — Die Hipparchi-
sche Dioptra verwendet I
305, 17. Methode zum Nach-
weis der Entfernung der
Sonne befolgt I 310,4 bis
330, 12. Seine Korrektion der
Parallaxenberechnung ver-
worfen I 329,21 bis 330,12.
— Seine Vermutung der Prä-
zession der Nachtgleichen
gewürdigt II 3, 24; 4, 24; 12,
18 bis 13, 10. Alignements

II 5, 6 bis 8, 28; Himmelsglo-
bus II 11, 36; Abweichungen
in der Gestirnbeschreibung
II 32,6; 44 Widder 14. Die
Bewegung der Fixstern Sphä-
re um die Pole der Ekliptik
erkannt 11 16,24 bis 17, 12.
Von ihm beobachtete Dekli-
nation einzelner Sterne II
18, 19 bis 22, 7. — Seine Stel-

lungnahme zu einer Theorie
der Planeten II 96, 6 bis 97,
20 ; von ihm festgestellteWie-
derkehren der fünf Planeten
verbesserungsbedürftig be-
funden II 99, 6.
Hydron, Zodiakalmonat,!! 132,
16. Vgl. Ägon.

Ister I 76, 1.

Kallippus: Jahreslänge I 145,
16. 21. — Jahre Kallippischer
Perioden: der ersten Periode
36. Jahr II 24, 21 (454 Nab.
nach Z. 28); 27,13.22 (454
Nab. nach Z. 27). 47. Jahr
II 22,13 (465 Nab. nach Z.
19). 48. Jahr 11 25, 17 (466

• Nab. nach Z.23); 27,15. 50.
Jahr I 144, 5 (44 Phil nach
Z. 10); 145, 3 — Der zweiten
Periode 54 Jahr I 251, 13
(547 Nab. nach Z 27); 252,2
(548 Nab. nach Z 12). 55.
Jahr I 252, 28 (548 Nab nach
253,10). — Der dritten Pe-
riode 17. Jahr I 134, 11. 20.
Jahr I 134,13. 21. Jahr I
134,18. 32. Jahr I 134,21;
135,1; 137,19; 138,3; 142,
1 23 (178 Phil, nach Z. 7 u.
26). 33 Jahr I 134,26. 36.
Jahr I 134,29. 37. Jahr I
135,8; 35\ 8 (607 Nab.); 394,
25. 43. Jahr I 135, 11; 137, 23;
138,5; 145,6. 50. Jahr I 135,
16; 266,5 (620 Nab. nach Z.
22); II 14, 22 (1 Ant., d. i.
885 Nab., 265 äg. Jahre spä-
ter nach 15,!)). — Vgl. I
Anh Anm 20 u. 33.

Kambyses, persischer König
5-^9—522 V. Chr., I 241,25.
7 Jahr der Regierung I 308,3
(225 Nab.).

Namenverzeichnis.

445

Katuraktonium I 77, 22.
Kleinbrettania s. Brettania.

Leonton, Zodiakalmonat, II
134, 28. Vgl Ägon.

Mäotischer See I 76, 15.
Mardokempad, König von Ba-
bylon 721-709 V Chr : 1.

Jahr der Regierung I 219,i9.

2. Jahr 1 220.7.16; 234,27;

236,7 (28 Nab. nach Z. 10);

241,19; 394,24.
Massalia I 75, 18.
Menelaus der Geometer II 26,

15; 28, 14.
Meroel 73, i; 94, i; 122,1; 354,

6. 13; 405, 28.

Meton: Sommerwenden I 141,
16; Sommerwende 432. v. Chr.

I 143, 16; Jahreslänge I 145,

14. 21.

Metroos, bithynischer Monat,

II 23, 16.

Äabonassar, König von Baby-
lon 747—733 V. Chr. ; der An-
fang seiner Regierung fl.
Thoth = 26. Februar) als
Epoche der PJanetenbewe-
gungenll83, 6; 185,3; 236,1;
338, 21; 11155,11; 171,3; 203,
9; 227, 14; 251, 8. — Die zwi-
schen Epoche und Beobach-
tung liegende Zeit in ägyp-
tischen Jahren, in Tagen u.
Stunden mitgeteilt bis zu
einem Regierungsjahr 1) spä-
terer Könige von Baby-
lon: unter Angabe des Na-
bonassarischen Jahres 1 307,9;
ohne weiteres I 236, 9 ; 242,
19; 2) persischer Köni-
ge: unter Angabe I 308, 11;
ohne weiteres I 239, 30; 242,
24; 3) ägyptischer Köni-

ge: unter Angabe I 350,16;
11167,29; 4) athenischer
Archonten: unter Angabe
1 248, lu; 249,6; 250, 13; 5)
römischer Kaiser: ohne
weiteres 1 184, 28; 240,6; 265,
19; 300,5; 6) bis zum Tode
Alexanders: ohne weite-
res I 184, 18; 7) bis zu einem
Jahre der Philippischen
Ära: ohne weiteres I 271, 16;
275, 10; 8) bis zu einem Da-
tum Kallippischer Peri-
oden: unter Angabe des
Nabonassarischen Jahres I
351, 19; ohne weiteres I 251,
27; 252,11; 253,9. — Siehe
außerdem Alexander, Anto-
nin, Chaldäische Zeitrech-
nung, Darius, Dionysius, Do-
mitian, Hadrian, Kallippus,
Mardokempad , Nabopolas-
sar, Philadelphus, Philome-
tor, Trajan.

Nabopolassar, König von Ba-
bylon 625 — 605 v.Chr.: 5.
Jahr der Regierung 1 306, 28
(127 Nab.).

Napata I 73, 15.

Parthenon, Zodiakalmonat, II
223,24. Ygl. Ägon.

Perga s. Apollonius.

Phanostratos, athenischer Ar-
chont, I 247, 13 ; 248,23.

Philadelphus, d i.Ptolemäus IL,
König von Ägypten 285 —
247 V. Chr. : 13. Jahr der Re-
gierung II 167, -21 (476 Nab.).
Siehe 11 Anh. Anm 6

Philometor, d. i.Ptolemäus YL,
König von Ägypten 181 —
145 V. Chr. : 7. Jahr der Reg.
I 350,7 (574 Nab).

Phönizien I 74, 28; II 383, 17.

446

Namenverzeichnis.

Pontus 1 75,26; 96, i; 120,27;

127,1.
Poseideon, athenisclier Monat,

I 247, U; 249,24; II 27,23.
Ptolemais I 74, 14.
Pyanepsion, athenischerMonat,

II 25, 19.

Rhenus i 76, 29.

Rhodus: Meridian von Rh. I
266,25; Parallel von Rh. I
60,2; 74,35; 83,29; 91,4;
95,1; 125,1; 368,22.24; bür-
gerliche Stunde I 266,15;
271,14; 275,9; 351,14; Feh-
len der Parallaxe in Länge

I 275, 1. — In Rh. angestellte
Beobachtungen I 266, i (nach
Z. 15); 271, 2; 274, 27; 351,11.

Siehe I Anh. Anm. 44,
Rom II 20, 15; 28,14.

Skirophorion, athenischer Mo-
nat, I 248, 23.

Skorpion, Zodiakalmonat, II
150,29; 151,15. Vgl. Ägon.

Skythische Völkerschaften I

78, 24

Smyrna I 75, 5.

Soene I 73,29; 95, i; 123,1.

Stilbon, Beiname des Merkur,

II 132, 16; 150,30.

Süd-Brettania s. Brettania,
Syrus I 1,1; II 3,1; 395,2.

Tanais I 77, 2.

Taprobane I 71,27.

Tauron, Zodiakalmonat, II
133, 7. Vgl. Ägon.

Thebais I 74, i5

Theon der Mathematiker II 140,
26; 156,13; 157, 14; 158,26.

Thule I 78, 21.

Timocharis : Sternverzeichnis
li 4,5; 17,8.31; 18,14; Ko-
ordinaten der Spika II 12,
22.24; 16,28; 19,19; 27, IQ;
Vgl 1 137, 21 ; Deklination an-
derer Fixsterne II 18, 18 bis
20, 12. — Beobachtungen von
Sternbedeckungen durch den
Mond II 22, 12; 24, 20 ; 25, 17;
27,21; durch die Venus 11 167,
20; 168. 6.

Trajan, römischer Kaiser 98 —
117 n.Chr.: 1. Jahr der Re-
gierung II 26, 16 (845 Nab.
nach Z. 23); 28,15 (s. Z. 24).

Xanthikos, syromakedonischer
Monat, II 247, 15. Vgl. Apel-
laios.

Druck von B. G. Teubner in Dresden.

,0 tLMSteV PLACE
TOiiU«>«iO §. CANADA.

«